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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES João Célio Brandão, Abraham Alcaim e Raimundo Sampaio Neto

Centro de Estudos em Telecomunicações da PUC-Rio Rio de Janeiro – Novembro de 2010

É proibida a reprodução deste material, exceto para uso didático, sem fins lucrativos, mediante autorização dos autores.

1. INTRODUÇÃO3
2. ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS4
2.1 SÉRIE DE FOURIER6
2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER9
2.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER14
2.4 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SINAIS DE ENERGIA INFINITA25
2.4.1 Função Impulso25
2.4.2 Transformadas de Fourier baseadas na função impulso28
2.5 SISTEMAS LINEARES3
2.5.1 Caracterização de sistemas lineares3
2.5.2 Obtenção do sinal de saída em um sistema linear34
2.5.3 Função de transferência35
2.5.4 Filtros37
2.6 ENERGIA E POTÊNCIA DOS SINAIS40
2.7 TEOREMA DA AMOSTRAGEM42
2.8 APÊNDICE: PRINCIPAIS TRANSFORMADAS DE FOURIER4
2.9 EXERCÍCIOS47
3. PRINCÍPIOS DA MODULAÇÃO51
3.1 MODULAÇÃO DE AMPLITUDE51
3.1.1 Modulação AM-DSB-SC57
3.1.2 Modulação AM58
3.1.3 Modulação AM-SSB64
3.1.4 Modulação AM-VSB69
3.1.5 Modulação de amplitude em quadratura70
3.1.6 Translação de frequência71
3.2 MODULAÇÃO DE FREQUÊNCIA74
3.2.1 Definições básicas74
3.2.2 Modulação FM75
3.2.3 FM de faixa estreita78
3.2.4 FM com sinal modulador senoidal79
3.2.5 Geração de FM – Método Indireto80
3.2.6 Espectro de um sinal FM com sinal modulador senoidal82
3.2.8 Demodulação de sinais FM84
3.3 EXERCÍCIOS86
4. TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE MENSAGENS90
4.1 CODIFICAÇÃO DE FONTES DISCRETAS SEM MEMÓRIA90
4.1.1 Informação própria e entropia91
4.1.2 Princípios da codificação de bloco91
4.1.3 Codificação de Huffman93
4.2 CODIFICAÇÃO DE FONTES CONTÍNUAS – SINAIS DE VOZ94
4.2.1 Sistema PCM95
4.2.2 Quantização adaptativa103
4.2.3 Codificação diferencial105
4.2.4 Codificação no domínio da frequência1
4.2.5 Codificação paramétrica118
4.3 - EXERCÍCIOS121
5. TRANSMISSÃO DIGITAL123
5.1 MODELO GERAL DO TRANSMISSOR E DO RECEPTOR123
5.1.1 Filtro casado127
5.1.2 Receptores com filtro casado128
5.2 – SISTEMAS DE MODULAÇÃO DIGITAL132
5.2.2 Sistemas com modulação de amplitude e fase140
5.2.3 Sistemas com modulação de frequência155
5.2.4 Sistemas com recepção não coerente159
5.3 LARGURA DE FAIXA DA TRANSMISSÃO DIGITAL164
5.3.1 A interferência entre símbolos165
5.3.2 Eliminação da interferência entre símbolos - Critério de Nyquist170
5.3.3 Largura de faixa e interferência entre símbolos173
5.4 APÊNDICE: O DIAGRAMA DO OLHO175
5.5 APÊNDICE: OTIMIZAÇÃO CONJUNTA TRANSMISSOR- RECEPTOR178
5.6 EXERCÍCIOS179
6. RUÍDO EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES184
6.1 CARACTERIZAÇÃO MATEMÁTICA DO RUÍDO184
6.1.1 Ruído branco filtrado185
6.1.2 Decomposição de um ruído passa-faixa189
6.2 CARACTERIZAÇÃO DO RUÍDO NOS RECEPTORES195
6.2.1 Ruído nos resistores195
6.2.2 Temperatura equivalente de ruído e fator de ruído196
6.2.3 Modelo equivalente do receptor203
6.3 EXERCICIOS204
7. DESEMPENHO DE SISTEMAS AM E FM EM PRESENÇA DE RUÍDO206
7.1 SISTEMA AM-DSB-SC207
7.2 SISTEMA AM-SSB208
7.3 SISTEMA AM209
7.4 SISTEMA FM212
7.4.1 Pré-ênfase216
7.5 COMPARAÇÃO DE DESEMPENHO218
7.6 EXERCÍCIOS221
RUÍDO223
8.1 SISTEMAS BINÁRIOS224
8.2 SISTEMAS PAM232
8.3 SISTEMAS COM MODULAÇÃO DE AMPLITUDE E FASE234
8.3.1 ASK234
8.3.2 QAM235
8.3.3 PSK238
8.4 SISTEMA FSK240
8.5 SISTEMAS COM RECEPÇÃO NÃO COERENTE240
8.6 ANÁLISE DE DESEMPENHO243
8.6.2 Comparação246
8.6.3 Limitantes da taxa de bits249
8.6.4 Capacidade do Canal250
8.7 APÊNDICE: DESEMPENHO COM CÓDIGO CORRETOR DE ERRO253
8.8 APÊNDICE : TABELA DA FUNÇÃO Q(α)255

1. INTRODUÇÃO

O objetivo principal deste texto é servir como texto básico para uma disciplina introdutória sobre sistemas de comunicações em um curso de Engenharia Elétrica. O texto tem abrangência limitada, abordando apenas os conceitos mais importantes dos sistemas analógicos e digitais - para um estudo mais profundo e amplo sobre o assunto, existe uma excelente e conhecida bibliografia(!) . Por outro lado, incorpora resultados de muitos anos de experiência dos seus autores como professores do Centro de Estudos em Telecomunicações da PUC-Rio, o que permitiu um tratamento didático do assunto em nível adequado aos alunos típicos do curso de graduação. Além disso, inclui um bom número de exercícios, todos eles com solução.

O texto está estruturado em duas partes. Na primeira parte são descritas as técnicas básicas de processamento de sinais nos sistemas de telecomunicações. Este processamento consiste na criação de sinais adequados à transmissão da informação a longa distância e na recepção destes mesmos sinais no local de destino, considerando a influência do meio físico de transmissão, denominado canal.

As técnicas de transmissão e recepção de sinais são baseadas nas propriedades matemáticas desenvolvidas através da análise espectral, também conhecida como análise de Fourier. E, para caracterizar o canal, é necessário utilizar as propriedades dos Sistemas Lineares. Assim, o presente texto começa com os fundamentos da análise de Fourier e dos sistemas lineares, apresentados no capítulo 2.

A principal técnica utilizada na criação de sinais adequados à transmissão a longa distância é denominada modulação e consiste em associar a informação aos parâmetros de uma senóide – amplitude, frequência e fase. No capítulo 3, apresentam-se os princípios da modulação e, em particular, as propriedades da modulação de amplitude e de frequência. Para sinais de informação analógicos, estas técnicas podem ser vistas como técnicas de transmissão analógica.

As modulações também podem ser usadas para transmitir informação digital. Porém, a análise da transmissão digital requer um tratamento especial. Em geral antes de passar pelo processo da modulação, na transmissão digital há a necessidade de codificar a informação, transformando-a em uma sequência de bits. As técnicas de codificação de mensagens são apresentadas no Capítulo 4. Em seguida, no Capítulo 5, são descritas as técnicas de transmissão digital, incluindo a transmissão em banda básica através da Modulação de Pulsos em Amplitude (PAM) e as principais modulações utilizadas, conhecidas pelas siglas ASK (Amplitude Shift Keying), PSK (Phase Shift Keying), QAM (Quadrature Amplitude Modulation) e FSK (Frequency Shift Keying). Uma breve análise do efeito de distorções lineares e de sua relação com a ocupação espectral é feita no final do capítulo.

A segunda parte do texto aborda o desempenho das técnicas de transmissão da informação em presença de ruído. Para isso, o ruído, presente nos receptores de todo sistema de telecomunicações, é caracterizado no Capítulo 6, sob aspectos teóricos e práticos. E, nos capítulos seguintes, o desempenho dos diversos sistemas de transmissão, analógicos e digitais, é analisado. O Capítulo 7 trata, essencialmente, de calcular a razão sinal-ruído na saída dos receptores dos sistemas analógicos enquanto no Capítulo 8, são desenvolvidas as expressões para cálculo da probabilidade de erro nos sistemas de transmissão digital. Ao final, é desenvolvido um modelo para a análise comparativa de desempenho dos sistemas.

• Communications Systems, Simon Haykin and Michael Moher, Wiley, 5th Ed., 2009

• Modern Digital and Analog Communications Systems, B.P. Lathi and Zhi Ding, Oxford University Press, 4th Ed. 2009

• Communications Systems, B. Carlson and Paul Crilly, McGraw Hill, 5th Ed., 2009

2. ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

Neste capítulo serão apresentados os conceitos básicos relacionados a sinais e sistemas lineares, começando pelo conceito de sinal e de suas propriedades.

Sinal

O problema básico das telecomunicações é a transmissão de mensagens através de sinais. Um sinal é uma sequência de valores relacionados a instantes de tempo, contendo uma mensagem, ou informação, a ser transmitida. Em geral, os valores que constituem um sinal são convertidos em valores de tensão ou corrente elétrica para que possam ser transmitidos através de um meio físico.

As mensagens podem ser de natureza contínua ou discreta e, em princípio, são representadas, respectivamente, por sinais analógicos e sinais digitais.

Sinal analógico

Um sinal é dito analógico quando seus valores podem variar de forma contínua, de modo a representar uma mensagem de natureza contínua. Assim, em um determinado instante, o sinal analógico pode apresentar um número infinito de valores, mesmo se estes valores estiverem limitados por um valor máximo e um mínimo.

Um exemplo de sinal analógico é a sequência de valores de tensão na saída de um telefone. Estes valores acompanham as variações de intensidade da voz do locutor, que ocorrem de forma contínua, como ilustrado na Fig. 2.1.

Fig. 2.1 – Exemplo de sinal analógico: sinal de voz

Sinal Digital

Um sinal digital apresenta apenas um conjunto finito de valores entre um máximo e um mínimo, representando uma mensagem de natureza discreta. Um exemplo típico de sinal digital é aquele que representa a mensagem gerada por um teclado de computador. Sabemos que cada tecla é associada a uma sequência de valores binários (bits), representados por 0 e 1, como ilustrado na Fig. 2.2 (a).

Diversos tipos de sinal digital podem ser criados para transmitir as sequências correspondentes a cada tecla. Na Fig 2.2 (b) temos um sinal digital com 2 níveis, onde o bit 0 corresponde à tensão -1 volt e o bit 1 à tensão 1 volt. Na Fig. 2.2 (c) temos um sinal digital com 4 níveis de tensão, -3, -1, 1 e 3 volt, cada nível representando um par de bits.

Fig. 2.2 – Exemplo de sinal digital: sinal que representa os caracteres de um computador - (a) codificação do teclado; (b) sinal binário; (c) sinal multinível

Conversão A/D

Sinais analógicos podem ser digitalizados através de um processo de amostragem e discretização. Este processo, também conhecido como conversão Analógico/Digital ou Conversão A/D, surgiu com o chamado sistema PCM – sigla de Pulse Code Modulation. O sistema PCM foi utilizado para digitalizar sinais de voz para telefonia e assim permitir a transmissão de sinais de voz na forma digital.

Representação temporal e espectral

Pela própria definição, um sinal é representado por uma função do tempo, como se vê nas ilustrações das Figuras 2.1 e 2.2. No entanto, para análise de propriedades físicas importantes no processo de transmissão dos sinais, é conveniente desenvolver uma outra forma de representação dos sinais, denominada representação espectral. Esta representação é desenvolvida expressando-se um sinal como a soma de senóides de diferentes amplitudes e frequências e determinando a função amplitude versus frequências destas senóides. Esta técnica é denominada Análise de Fourier e será estudada ao longo deste capítulo.

BitsAmplitudes
10 0 1
BitsAmplitudes
1001 1 0

2.1 SÉRIE DE FOURIER

Seja

0 ()Tgt um sinal periódico de período T0. Este sinal pode ser expresso como uma soma infinita de senos e cossenos da seguinte forma:

g t a a nf t b sen nf tpi pi ∞

onde

=(2.2)

1 ( )T T a g t dt

=∫(2.3)
2 ( )cos 2 ; 1, 2,T

n T a g t nf t dt nT pi−

2 ( ) 2 ; 1, 2,T

n T b g t sen nf t dt nT pi−

A expressão (2.1) é chamada Série de Fourier na forma trigonométrica.

Em resumo, podemos mostrar que qualquer função periódica pode ser obtida por uma soma de senóides de frequências múltiplas de uma frequência denominada frequência fundamental que é igual ao inverso do período T0 da função. As senóides cujas frequências fn são múltiplas da frequência fundamental (f=nf0) são denominadas componentes de frequências harmônicas ou, simplesmente, harmônicos. Para que a soma de senóides

(2.5)

reproduza a função, as amplitudes das senóides devem ser calculadas através de (2.3), (2.4) e

termos da série – gráfico (c)Observamos que, com 3 termos, a aproximação já começa a

A Fig. 2.3 ilustra o significado da série de Fourier. A figura mostra a aproximação de uma função periódica – gráfico (a) - com apenas 2 termos da série - gráfico (b) - e com 3 esboçar a função original. Pode-se mostrar que, à medida que aumenta o número de termos da série, a aproximação fica cada vez melhor.

Fig. 2.3 – Aproximação pela série de Fourier - ilustração

A série de Fourier dada por (2.1) pode ser representada de forma mais compacta usando números complexos. Sabemos que

)cos( φφφ

=(2.6)

e sen

=(2.7)

Usando estas duas propriedades em (2.1) e fazendo algumas manipulações, chegamos à seguinte expressão:

T n g t c e pi

=∑(2.8)

onde

n T c g t e dt n T pi−

==±∞∫(2.9)

Podemos verificar que

Podemos verificar também que, se 0 ()Tgt for uma função real, cn = c-n*.

Espectro de frequências

A função que relaciona os coeficientes cn às frequências fn é denominada espectro de frequências. Como em geral os coeficientes cn são números complexos, temos 2 tipos de espectros: o espectro de amplitude |cn| – correspondente ao módulo do coeficiente e o espectro de fase ∠cn, correspondente à fase do coeficiente. A Fig. 2.4 ilustra o espectro de amplitude de um sinal periódico.

Fig. 2.4 – Espectro de amplitude de um sinal periódico

-3f0
-2f0
-f0
0f0
2 f03 f0

Exemplo 2.1 – Série de Fourier complexa de uma sequencia de pulsos retangulares

Neste exemplo desenvolvemos o cálculo da série de Fourier complexa para a sequência de pulsos retangulares mostrada na Fig. 2.5. Aplicando (2.9), temos j nf t j nf tn Ac Ae dt e

T T j nf pi pipi

Após algumas manipulações, chegamos a sen nf TAT c

T nf Tpipi

Fig. 2.5 – Sequência periódica de pulsos retangulares

Função sinc Uma função muito importante na análise de sinais é a função sinc(x) definida como

xpi pi

=(2.12)

Esta função está representada na Fig. 2.6. Note que a função sinc (x) se anula para valores inteiros de x, pois sen(npi) = 0 para n inteiro. Porém, para n = 0, resolvendo a indeterminação (0/0), chegamos ao valor 1.

-3-2 -1 0 1 2 3 x

Fig. 2.6 – Função sinc sinc(x) 1

-T/20 T/2

Expressando (2.1) através da função sinc obtemos sinc( ) |n f nfTc A Tf T =

=(2.13)

O espectro de amplitude é dado por sinc( )n f nfTc A Tf T =

=(2.14)

e está representado na Fig. 2.7 para o caso em que T = T0/2. Note que, neste caso, f0= 1/(2T).

Fig. 2.7 – Espectro de amplitude para a sequência periódica de pulsos retangulares

2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER

Considere uma função periódica 0 ()Tgt formada pela repetição de uma função g(t) em intervalos regulares iguais a T0, onde T0 é maior do que a duração de g(t), como ilustrado na Fig. 2.8. Pode-se verificar que, como no intervalo [-T0/2, T0/2], 0 ()Tgt= g(t), a expressão

(2.9) que calcula os coeficientes da série, é equivalente a

nc g t e dt n T

Alternativamente, podemos escrever

=(2.16)

0 ( )n f nfT c G f = onde

=∫(2.17)

Observamos, portanto, que os coeficientes da série de Fourier de

0 ()Tgt podem ser obtidos a partir das amostras de G(f) em f = nf0 como ilustrado na Fig. 2.9.

-2/T-1/T 0 f0 1/T 2/T 3/T f

c pi = sinc( )2 ATf

Fig. 2.8 – Sinal periódico 0 ()Tgt formado pela repetição de um sinal g(t)

Fig. 2.9 – Espectro do sinal periódico 0 ()Tgt obtido a partir das amostras de G(f)

Aumentando o valor de T0, diminui o valor de f0 e assim, como ilustrado nas Figs 2.10 (a) e (b), as componentes de frequência correspondentes às amostras de G(f) vão ficando cada vez mais próximas. No limite, quando T0 tende a infinito, as frequências harmônicas nf0 podem assumir qualquer valor, as amostras se tornam contínuas e o espectro de frequências é a própria função contínua G(f). Este espectro é o espectro da função g(t), pois observamos através da Fig.2.8 que se 0T→∞ a função periódica 0 ()Tgt se reduz à função g(t) (se as repetições só ocorrem depois de um intervalo infinito, isto significa que não ocorrerão).

Fig. 2.10 – Espectro do sinal periódico0 ()Tgt obtido a partir das amostras de G(f) à medida que aumenta o valor de T0 - em (b) T0 tem o dobro do valor observado em (a).

-3f 0
-2f0
-f00 f0 2f0 3f0 f
-T0/20 T0/2 T0 2T0 t
-6f 0
-5f0
-4f0 -3f0 -2f0 -f00 f 0
2f0
3f0 4f0 5f06f0 f
-f00 f 0

A função G(f) dada por (2.17) que recebe o nome de Transformada de Fourier da função g(t) e, como se viu nos exemplos, permite determinar os coeficientes da expansão de

Fourier da versão repetida desta função. Pode-se verificar ainda que se 0T→∞, o somatório em (2.8) tende à integral

que é a Transformada Inversa de Fourier.

A Transformada de Fourier pode ser vista como uma versão contínua do espectro de frequências do sinal, ou seja, valores complexos que permitem determinar a amplitude e a fase das componentes de frequência do sinal. A transformada inversa corresponde à expressão do sinal como a soma contínua (integral) de suas componentes. No quadro a seguir são mostradas as expressões para o par de transformadas de Fourier e a notação usada para representar estas transformadas.

Exemplo 2.2 - Transformada de Fourier de um pulso retangular

A transformada de um pulso retangular de amplitude unitária e duração T, centrado em t = 0 e representado na Fig. 2.1 pode ser obtida calculando-se a integral em (2.17), que neste caso se reduz a

G f Ae dt AT Tfpi−

==⋅∫(2.19)

O espectro está mostrado na Fig. 2.12

Observando as duas figuras, vemos que a transformada de Fourier de um pulso retangular simétrico em relação à origem é dada pela função sinc com as seguintes características: (i) seu valor máximo é igual ao produto da amplitude pela duração do pulso; (i) seus nulos ocorrem em múltiplos do inverso da duração do pulso.

Transformada de Fourier

Fig. 2.1 – Pulso retangular simétrico

Fig. 2.12 – Transformada de Fourier de um pulso retangular de amplitude A e duração T

Exemplo 2.3 – Transformada de Fourier de um Pulso Exponencial

O pulso exponencial representado na Fig. 2.13 é definido como

-atu(t); a>0onde 

Fig. 2.13 – Pulso Exponencial Aplicando (2.17) temos at j ft a j f t a j f t a j fG f e e dt e dt e pi pi pi pi

Substituindo os limites de integração, obtemos

fja fG

=(2.21)

O espectro de amplitude correspondente é dado por

-T/20 T/2 t

A g(t)

-3/T-2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T f

AT G(f) g(t) 0 t

e está representado na Fig. 2.14. Deve-se observar que, quanto maior o valor de a, mais rápido é o decaimento da função e -at e |G(f)| se espalha para frequências mais altas.

Fig. 2.14 – Espectro de amplitude de um pulso exponencial

Exemplo 2.4 - Transformada de Fourier de um pulso exponencial duplicado Para o pulso exponencial duplicado mostrado na Fig. 2.15, e expresso por

taetg−=)(; a>0(2.23)

a integral de Fourier pode ser colocada da seguinte forma

( ) at j ft at j ftG f e e dt e e dtpi pi∞ − − −

Resolvendo a integral obtemos

=(2.24)

2 )2(2)( fa afG pi+ Fig. 2.15– Pulso exponencial duplicado

-a/2pi0 a/2pi f

2.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Propriedade 1 - Relação entre série e transformada de Fourier

Observando (2.16) podemos estabelecer a seguinte propriedade: os coeficientes {cn} da série de Fourier de uma função periódica 0 ()Tgt formada pela repetição, com período T0, de uma função g(t), cuja duração é menor do que T0, podem ser obtidos através da transformada de Fourier de g(t), de acordo com a seguinte expressão:

)(00nfGfcn=(2.25)

Propriedade 2 – Transformada de Fourier de uma função real

G*(f) = G(-f)(2.26)

Se g(t) for uma função real, então

Para demonstrar a expressão basta desenvolver o conjugado da integral em (2.17). Escrevendo

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