AP1-EAR-2017-2-Gabarito corrigido

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Fundacao Centro de Ciencias e Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito da AP1 - EAR - 10/09/2017

Questao 1 [2,0 pontos] Indique claramente a hipotese e tese e prove detalhadamente cada enunciado:

. Por hipotese e propriedade

pela hipotese, |x 2| 6= 0, inverte-se e conclui-se que 1

(b) A hipotese e: a,b 2 R e a b< ✏ para todo ✏ > 0. A conclusao e: a b. Suponha, por absurdo que a>b .D aı, a b> 0. Tomando em particular, ✏ = a b> na hipotese (que vale para todo numero real > 0), tem-se a b< a b. Isto e um absurdo pela tricotomia! Logo, a b.

Questao 2 [2,0 pontos] Mostre, por meio da definicao de limite de sequencia que limn!1 9n4

Prova: Seja ✏ > 0 onde ✏ 2 R. Pela Propriedade Arquimediana, existe um natural n0 > 4r 5

5 , de onde vem 5

Mostrou-se assim que: para todo numero real ✏ > 0, existe n0 2 N tal para todo n 2 N,s e n>n 0

Daı, pela definicao de limite, conclui-se que limn!1 9n4

Prova: (a) 1 e uma cota inferior de A, pois 1 <x para todo x 2 A. (b) Note que 1 /2 A. Portanto, deve-se mostrar a condicao (I2) da Definicao Infimo.

Seja entao b 2 R tal que 1 <b . Ora, se b> 1 entao basta tomar a = 1 pois 1 <b e1 2 A. Suponha agora que 1 <b 1. Como b e 1 sao numeros reais e 1 <b entao pelo Teorema da

Densidade, existe a 2 R tal que 1 <a<b . E, preciso assegurar que a 2 A. Como 1 <a<b 1 entao a 2 A, pela definicao de A.

Portanto, em qualquer das duas situacoes possıveis para b> 1, existe a 2 A tal que a<b .I sto comprova a condicao (I2) da Definicao Infimo. Logo, dos itens (a) e (b) tem-se pela Definicao que 1= inf A.

Questao 4 [2,0 pontos] Seja (xn)n2N definida pela relacao de recorrencia

(a) [1,5 pts] Mostre usando o PIM, que (xn)n2N e crescente e limitada superiormente por 2, isto e, que xn xn+1 2, para todo n 2 N.

(b) [0,5 pt] Conclua que (xn)n2N converge para 3/2. Prova: (a) Deve-se mostrar que xn <x n+1 2 para todo n 2 N. Note que

Logo, vale xk+1 <x k+2 2. Pelas duas etapas anteriores e pelo PIM, conclui-se que 1 xn <x n+1 < 2 para todo n 2 N. 2

(b) Como (xn)n2N e crescente e limitada, existe L =l imxn. Alem disso, a subsequencia (xn+1)n2N converge para o mesmo limite L de (xn)n2N. Ou seja,

L =l imxn+1 =l im ⇣xn3

(b) [1 pt] Mostre, usando a definicao de serie que, se 1X n=1 |an| e convergente entao lim|an| = 0.

Prova: (a) Usando fracoes parciais tem-se que

Daı, a reduzida da serie e dada por

Assim, sn =3 n/(3n + 1) e limn !1sn =1 . Logo, a serie converge para 1. 2

(b) Sejam sn e sn 1 as reduzidas dos n e n 1 primeiros termos da serie 1P

sn = |a1| + |a2| ++ |an1| + |an| e sn1 = |a1| + |a2| + .. . + |an2| + |an1|.

Subtraindo sn 1 de sn, obtem-se |an| = sn sn 1. Sendo, por hipotese, 1X n=1 |an| convergente, entao existe L 2 R tal que 1P n=1 |an| = L. Portanto, por definicao de convergencia de serie (e resultado de

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