Aplicações de Máximo e Mínimo de Funções

Aplicações de Máximo e Mínimo de Funções

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Aplicações de máximos e mínimos

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 06/10/2017

Exemplo 1: Um campo retangular à margem de uma parede deve ser cercado com exceção do lado onde está a parede. Se o custo da cerca é de R$ 12 por metro linear do lado paralelo a parede e R$ 8 nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que pode ser cercado com R$ 3600 de material.

Solução: O desenho da situação é o seguinte Parede y my m x m

A função de custo é dada por:

Já a área do retângulo é dada por:

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Note que A( ) é uma função do 2◦ grau com concavidade voltado para baixo, assim, seu ponto de máximo pode ser determinado tanto pela fórmula:

Como por meio da derivada.

Exemplo 2: Um fabricante de latas sem tampa deseja usar folhas de flandres1 com dimensões de 8 cm por 15 cm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Qual deve ser a área desses quadrados para que a caixa tenha volume máximo?

Solução: O desenho a seguir ilustra o problema.

x x x x x x x x

8cm 15cm 8cm - 2x

15cm - 2x A função de volume seria:

1A folha de flandres ou simplesmente flandre é um material laminado estanhado composto por ferro e aço de baixo teor de carbono revestido com estanho.

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Cujos pontos críticos ocorrem para: x = 5/3 ou x = 6.

Contudo, como ∈ (0,4) (veja novamente o desenho) então x = 6 não é um valor possível. Assim, a área de cada quadrado é de 5.8 cm2.

Exemplo 3: Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e dois outros vértices sobre a parábola y = 9 - x2 acima do eixo x.

Solução: A situação é representada com a imagem a seguir:

A área do retângulo é dada por

Como x é uma medida não pode ser negativo, logo a solução ocorre para = p 3.

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Exemplo 4: Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto mais próximo B, numa praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir até o ponto C, a 9 Km do ponto B. A mulher pode alugar um barco por R$ 15 o quilometro e navegar até um ponto P entre B e C e então alugar um carro a um custo de R$ 12 por quilometro e chegar a C por uma estrada reta. Ache o percusso mais barato de A até C.

Solução: O problema pode ser modelado como no desenho abaixo.

9 Km

A função que desejamos minimizar é a de custo

Pelo desenho percebe-se que:

Como m(AP) é uma medida (ou seja, não faz sentido ser um valor negativo) então:

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Colocando o valor de m(AP) na função de custo (C) e levando em conta que m(PC) = 9 – m(BP) então:

Chamando m(BP) de x podemos escrever a função de custo de forma mais agradável.

Note que o ponto de mínimo para C(x) ocorre para x = 8. Assim, o percusso mais barato seria de de A à P e depois de P até C, com P estando a 8km abaixo de B.

Exemplo 5: Seja R o alcance de um projetil dado por:

Ache o valor de θ para que o alcance seja máximo. Solução:

Uma vez que já temos a função resta nos somente que encontrar o seu valor máximo.

Pela regra do quociente:

Como g é uma constante (constante gravitacional) então sua derivada é zero de modo que R′ pode ser escrito como:

Pela regra do produto para derivadas sabemos que:

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Igualando a derivada de R igual a zero: R′ = 0

Exemplo 6: Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estudantes custará R$ 15 por estudante, se no máximo 150 fizerem a viagem, contudo, o custo por estudante será reduzido em R$ 0.05 para cada estudante que exceder 150, até que o custo caia para R$ 10 por estudante. Quantos alunos devem ser acomodados na excursão para que a renda da escola seja máxima?

Solução:

Vamos imaginar que a função L(x) do lucro é contínua, então podemos descrevela assim:

Para encontrar o lucro máximo para a escola devemos determinar o valor de que resulte no maior valor de L(x).

No intervalo [0, 150] a função L( ) não possui ponto critico, pois não existe nenhum valor para tal que L’(x) seja nulo.

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Assim, o valor de máximo absoluto nesse intervalo é o extremos direito do próprio intervalo.

Já no intervalo [151, 250] a função L(x) têm ponto um ponto crítico em x = 225.

Testando os valores de fronteira dos dois intervalos e do ponto crítico encontrado chegamos à:

Como podemos ver o valor de máximo de L(x) ocorre para = 225. Logo são necessário 225 estudantes para fornecer o máximo de lucro a escola de excursão.

Exemplo 7: Laranjeiras da califórnia produzem 600 laranjas por ano, se forem plantadas no máximo 20 árvores por acre (4km2) cada árvore plantada a mais causa um decréscimo de 15 laranjas por pé. quantas árvores devem ser plantadas por acre para se obter o maior número de laranjas?

Solução: Sendo n( ) o número de laranjas quando são plantadas árvores por acre então:

Para determinar o valor de de b basta fazer n(x) = 0 considerando ≥ 21.

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No primeiro intervalo a função não têm ponto(s) crítico(s) de modo que o valor de máximo é o extremo do próprio intervalo.

Já no segundo intervalo existe um ponto critico em = 30.5.

Calculando n( ) para os extremos do intervalo e para o ponto crítico encontrado chegamos à:

Assim, como podemos ver o maior número de laranjas é obtido com 30 arvores.

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Exemplo 8: Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de superfície lateral que possa ser inscrito em uma esfera com um raio de 6 cm.

Solução: Uma representação do problema é feita a seguir.

A área lateral do cilindro é calculada por A(r,h) = 2pirh

Assim:

Como o raio é uma medida (portanto sempre maior que zero), então r = 3p 2.

Logo o raio do cilindro é 3p 2 cm e sua altura 6p 2 cm.

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Exemplo 9: Dado a circunferência de equação 2 + y2 = 9, ache a menor distância entre o ponto (4,5) e um ponto na circunferência.

Solução: O desenho a seguir deixa claro a situação.

(x,y) (4,y) d

Pelo teorema de Pitágoras o quadrado da distância (d) entre os pontos (x,y) e (4,5) é:

Como o ponto mais próximo de (4,5) está obviamente no primeiro quadrante (reveja o desenho) então fica evidente que y é positivo, ou seja:

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e igualando-a a zero determinamos que d’(x) = 0 apenas para x = 1.87 aproximadamente.

Como o ponto mais próximo deve estar no 1◦ quadrante então deve variar entre 0 e 3 ( ∈ [0,3]). Testando então os extremos desse intervalo e o ponto crítico encontrado

descobrimos que a menor distância é 3,4.

Exemplo 10: Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?

Solução: A função que deve ser minimizada é a da área total A(x,r) tal que: A(x,r) = Área do quadrado + Área do círculo. Supondo que o quadrado têm lado e a circunferência raio r então: A(x,r) = 2 + pir2 (1)

De acordo com o enunciado o fio têm 16 centímetros e não deve haver sobras após o seu uso, assim o perímetro do quadrado somado ao do círculo deve ser também igual a 16.

Substituindo esse último resultado na equação (1)

Derivando a função em r chega-se à:

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cujo zero ocorre somente para r = 8

Logo o corte deve ser feito a 16 pi + 4 unidades de comprimento de um dos ex- tremos do fio.

Exemplo 1: Pretende-se construir um campo de futebol (figura verde), com a forma de um retângulo mais uma região semi-circular em duas das extremidades, conforme a figura.

O perímetro da região deve ser uma pista de 440m. Determine as dimensões da região pra que a parte retangular tenha área máxima.

Solução: A função da área retangular que desejamos maximizar é:

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Como h é o diâmetro então, assim como pode ser visto pelo desenho, ele deve ser o dobro do valor do raio (h = 2r), sendo assim:

pi (2).

pi . Usando agora (1) e o valor

Exemplo 12: Silos para conter cimento têm a forma de um cilindro de altura h e raio r sobreposto a um cone de altura e raio iguais a r.

Para silos com volume total de 100 m3, determine r de modo que a área lateral seja a menor possível, a fim de minimizar o custo de cada silo.

r r

Solução: 13

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A função que desejamos minimizar é a da área lateral do silo que é a soma da área lateral do cilindro com a área lateral do cone.

Pelo desenho g = rp 2 (teorema de Pitágoras), então:

Para colocar h em função de r usamos a equação do volume (V = pir2h+ 1

substituindo (2) em (1)

m que é aproximada- mente igual a 3.5 m. Como esse ponto é de mínimo absoluto no intervalo chegamos a solução.

Exemplo 13: Todas as manhãs, à mesma hora sai um barco do ponto P1 para o leste, a 20km/h, e outro do ponto P2 para o norte, a 40Km/h. A boia B, no cruzamento das rotas, dista 100 Km de P1 e 60Km de P2.

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100 km 20 km/h

60 km 40 km/h

A que horas os barcos estarão mais próximos um do outro? Solução:

Pelo teorema de Pitágoras a distância entre os barcos do ponto P1 e P2 é dada pela equação:

Se ambos os barcos se movem com velocidade constante então a medida de cada segmento varia de acordo com o tempo que pela física é dado por:

Fazendo a derivada de P1P2

e igualando-a a zero

Conclui-se que a função têm somente um ponto crítico em t = 2.2. Como o gráfico da função é uma parábola sabemos que esse ponto é um ponto de mínimo absoluto de modo que podemos afirmar que os barcos estarão mais próximos 2.2 horas depois de iniciarem juntos o seus movimentos.

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Exemplo 14: Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Solução: Considere o desenho a seguir.

zprédio y

Usando semelhança de triângulos encontramos a relação:

Substituindo (1) em (2)

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O primeiro zero desta ultima função ocorre para x = 0. O segundo ocorre quando:

Exemplo 15: Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.

Solução: Considere o desenho.

3 cm

Usando a semelhança de triângulos 17

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A área do retângulo é:

Fazendo AR(2) chegamos á AR = 3 . Ou seja, o maior retângulo que pode ser inscrito têm altura de 2cm e largura de 1.5 cm (ou vice e versa).

Solução: Não se sabe ainda qual ponto é esse, mas podemos expressá-lo por ( ,ƒ( )).

parte da função que iremos considerar é somente a parte positiva, isto é: y = p 2 .

Fazendo a derivada de d igual a zero conseguimos determinar os pontos críticos da função.

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Chamando p de y então:

Acima percebemos que um zero da função ocorre para y = 0 e consequentemente x = 0.

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