Soluções das notas de Aula de Matemática Financeira

Soluções das notas de Aula de Matemática Financeira

(Parte 1 de 3)

Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira Resolvido por Diego Oliveira

Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira

(Profa Ms. Eridan da Costa Santos Maia) nibblediego@gmail.com Compilado dia 20/06/2017

Questoes resolvidas da apostila de matematica financeira elaborada pela professora Eridan Maia. A apostila conta com varios exercıcios desafiadores e pode ser adquirida na livraria de edicoes UESB em frente a biblioteca.

Caso voce tenha interesse neste solucionario, e nao tenha como adquirir a apostila original da prof. Eridan, pode baixar uma versao modificada da mesma gratuitamente pelo link: w.number.890m.com

Caso algum erro de resolucao seja detectado escreva para nibblediego@gmail.com para que o mesmo seja corrigido.

Aulas particulares para:

Ensino Fundamental e Medio. Calculo i e i.

Apenas para a cidade de Vitoria da Conquista - BA. WhatsApp: (7)98111-9211 Email: nibblediego@gmail.com

Sumario 1 REGRA DA SOCIEDADE 3 2 JUROS SIMPLES 12 3 DESCONTO SIMPLES 21 4 JUROS COMPOSTOS 31 5 EQUIVALENCIA DE TAXAS NA CAPITALIZAC AO COMPOSTA 36 6 EQUIVALENCIA DE CAPITAIS NO REGIME COMPOSTO 4 7 TAXA INTERNA DE RETORNO 49

8 RENDASCERTASOUSEQUENCIASDECAPITAISOUSERIESDECAPITAIS 53

9 SISTEMAS DE AMORTIZAC AO 6

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1 REGRA DA SOCIEDADE

1. Tres pessoas se associam com o capital de R$ 450,0. Calcular a entrada de cada socio sabendo que ao 1◦ coube R$ 320,0 ao 2◦ R$ 380,0 e ao 3◦ R$ 20,0 do lucro.

Solucao O lucro total foi de R$ 320 + 380 + 20 = 90 e o capital investido foi de R$ 450,0.

Supondo que o perıodo do investimento foi o mesmo para cada investidor, isto e (t1 = t2 = t3 = t), entao:

Como c1 + c2 + c3 e o capital total investido entao:

2. Uma sociedade entre tres amigos durante um perıodo comum de tempo produziu um lucro de R$ 200,0. O primeiro dos socios entrou com um capital que era o dobro do capital segundo socio, este por sua vez contribuiu com uma quantidade triplicada em relacao ao terceiro. Qual o lucro de cada socio?

Solucao O lucro total foi de R$ 200,0. Supondo que o capital do 3◦ socio fosse “w” entao:

o capital do primeiro socio sera 6w; o capital do segundo socio sera 3w.

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Logo

que implica em:

3. O socio joao recebeu R$ 3690,0 a menos que o socio Paulo. Sabendo-se que joao Permaneceu 3 meses na sociedade e Paulo ficou 5 meses. Qual o lucro de cada um? Supondo que o capital investido por ambos sejam o mesmo.

Solucao Se o lucro de Paulo e “x” entao Joao recebeu x − 3690 de lucro. E pela regra da sociedade

Supondo que cp = cj (capital de Pedro igual ao de Joao) entao:

da relacao acima tira-se as identidades (1) e (2).

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4. Tres socios lucraram R$ 350,0. Calcular o lucro de cada socio sabendo que o lucro do primeiro esta para o lucro do segundo assim como 2/3 e que o lucro do segundo esta para o lucro do terceiro assim como 4/5.

Solucao Seja x o lucro do 1◦ socio e y o lucro do 2◦ socio e z o lucro do 3◦ socio entao:

x + y + z = 3500 (1) como o lucro do primeiro esta para o lucro do segundo assim como 2/3 entao:

e o lucro do segundo esta para o lucro do terceiro assim como 4/5

A solucao da equacao (4) ocorre para y = 1200. Logo o primeiro socio recebeu:

o segundo R$ 120,0 e o terceiro:

5. O lucro de uma empresa foi de R$ 2300,0. Sabendo-se que o 1◦ socio contribuiu com

R$ 210,0 e o 2◦ socio com R$ 110,0 e que do lucro total coube ao 3◦ socio a importancia de R$ 1500,0. Pergunta-se: qual foi o lucro de cada socio e qual a contribuicao do 3◦ socio.

Solucao

Pela formula:

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da igualdade a seguir:

Conclui-se que c3 = R$ 600,0 (Capital do 3◦ membro investido). Assim:

6. Uma firma teve um lucro de R$ 3870,0. O 1◦ socio empregou 10,0 durante um mes e seis dias; o 2◦ socio empregou R$ 120,0 durante um mes e dez dias e o 3◦ socio empregou R$ 150,0 durante um mes. Qual o lucro de cada socio?

Solucao

7. Uma pequena empresa tem um capital de R$ 370,0. O primeiro socio ficou um mes e seis dias; o 2◦ socio ficou um mes e dez dias; o 3◦ socio ficou um mes. O lucro foi assim distribuıdo: R$ 1080,0 para o 1◦ socio, para 2◦ socio R$ 1440,0 e R$ 1350,0 para o 3◦ socio. Qual o investimento de cada socio nesta sociedade.

Solucao

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Do lado esquerdo da equacao concluı-se que:

sabe-se tambem que:

8. Dividir o lucro de R$ 1215,0 entre os socios A e B sabendo que o capital de A e 3/5 do capital de B e que eles tiveram na empresa durante 3 meses e 10 dias e 2 meses socio e 15 dias, respectivamente. Qual o lucro de cada socio?

Solucao Chamando de “w” o capital do segundo B, entao:

onde o 100 e o 75 do denominador representam 3 meses e dez dias e 2 meses e 13 dias respectivamente em dias.

Da equacao acima obtemos:

e tambem

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Assim, o lucro do socio A foi de R$ 675,0 e do socio B de R$ 540,0.

9. Uma firma organizada por tres socios em 1◦ de maio deu um lucro de R$ 6880,0 apurado em 31 de dezembro. O capital social R$ 30.0,0 foi dividida em partes iguais. O 2◦ socio tendo entrado com R$ 6.0,0 so integralizou ou completou seu capital em 15 de julho. O 3◦ entrou com metade, completando a sua parte 1◦ de agosto. Quanto recebeu cada socio?

Solucao

Com base em um calendario observamos o seguinte:

entre 1◦ de Maio e 31 de Dezembro existem 244 dias; entre 1◦ de Maio e 15 de Julho existem 75 dias; entre 15 de Julho e 31 de Dezembro existem 169 dias; entre 1◦ de Maio e 1◦ de Agosto existem 92 dias; e entre 1◦ de Agosto ate 31 de Dezembro existem 152 dias.

O problema nada fala sobre o primeiro socio, assim vamos assumir que ele tenha contribuıdo com sua parte (dez mil) no inıcio da sociedade. Sendo assim,

o que implica em:

Ou seja, o lucro do primeiro socio foi de R$ 3507,56, do segundo R$ 1618,65 e do terceiro R$ 1753,78.

10. Dois socios fundaram uma sociedade com o capital de 800,0. No momento de liquidar

Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira Resolvido por Diego Oliveira o primeiro socio recebeu o capital mais o lucro no total de R$ 230,0. Sabendo-se que o lucro total foi de R$ 1200,0. Qual o capital de cada socio?

Solucao

Seja x o lucro do primeiro socio e y o lucro do segundo, e considerando que o tempo da aplicacao e o mesmo para ambos, entao:

substituindo (2) em (1)

o que resulta em c1 = R$ 920,0. Como o capital total e a soma de c1 e c2 entao:

1. Na fundacao de certa sociedade A e B entraram com R$ 520,0 e R$ 730,0 respectivamente. Quando a empresa completou seu segundo mes de existencia o socio A retirou R$ 120,0; dois meses depois desta data o socio B depositou R$ 150,0. Ao fim do primeiro semestre de atividades verificou-se o lucro de R$ 1506,0. Qual o lucro de cada socio?

Solucao

Dos R$ 520,0 investido pelo socio A apenas R$ 40,0 permaneceu na aplicacao por durante 6 meses. O restante R$ 120,0 (520,0−40,0) foi aplicado apenas durante os dois primeiros meses. Assim:

Do total aplicado pelo socio B apenas R$ 730,0 ficou durante os seis meses. Os 150 aplicados depois so teve rendimento nos dois ultimos meses. Assim:

Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira Resolvido por Diego Oliveira entao pela regra da sociedade lucro de A

lucro de A

onde se conclui que o lucro de A foi de R$ 9.594,0 e o lucro de B de R$ 5.412,0.

12. Duas pessoas A e B fundaram uma empresa com R$ 3240,0 e R$ 4080,0 respectivamente.

Quando a empresa completou seu terceiro mes de existencia o socio B retirou R$ 1230,0. Dois meses depois desta data o socio A depositou R$ 1120,0 e B depositou R$ 3050,0. Ao fim do setimo mes de fundacao da empresa verificou-se o lucro de R$ 9838,80. Quanto coube a cada socio?

Solucao Analogo ao exercıcio anterior.

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2 JUROS SIMPLES

1. Um objeto e vendido por R$ 120,0 a vista ou entao por uma entrada de R$ 60,0 mais uma parcela de R$ 62,40 apos um mes. Qual a taxa de juro cobrada?

Solucao

Primeiro determinamos o valor do juro cobrado daqueles que preferirao o pagamento em duas vezes.

ou seja, o juro e de R$ 2,40.

A taxa so pode ser cobrado sobre a 1a parcela, pois ao pagar a segunda a dıvida ja estara quitada e nao faz sentido cobrar sobre algo ja pago. Sendo assim:

2. Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,0 a uma taxa de 5,5% a.m. no perıodo de 2 de janeiro a 6 de marco deste ano.

Solucao

A taxa de juro esta ao mes assim necessitamos trazer n para o mesmo perıodo. Para isso usamos regra de tres simples.

portanto,

3. Calcule os juros e os juros exatos (ver pagina 12) produzidos por um capital de R$ 50,0 aplicado a taxa de 60% a.a. durante 25 dias.

Solucao Calculando os juros.

Os juros exatos sao calculados da mesma forma que os juros simples, exceto por considerar o ano com 365 dias ao inves de 360.

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4. A empresa de Rafael vende pacotes de cafe de 1 quilo. Numa tentativa de aumentar suas vendas, passa a comercializar o cafe em embalagens contendo 20% a mais de cafe, mantendo o mesmo preco dos pacotes de 1 quilo. Em que percentagem foi reduzido o preco do quilo de cafe?

Solucao: Primeiro determinamos quantas gramas corresponde a 20% de 1kg.

1kg 100%

Supondo agora que o pacote custe R$ 10,0 entao o pacote com 1,2kg (1kg + 20g) deveria custar R$ 120,0. Como pela promocao o pacote de 1,2kg se manteve no valor de R$ 10,0 entao e como se Rafael tivesse feito um desconto de R$ 20,0 em cada pacote. Para finalizar determinamos esse desconto (de 20 reais) em termos de percentagem.

Assim, o preco do cafe foi reduzido em 16,67%.

5. Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro a taxa de 20% a.a. e o segundo a taxa de 40% a.a. Calcule os capitais, sabendo que a soma deles e R$ 50,0 e que eles produziram, num ano, juros totais de R$ 130,0.

Solucao

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6. Dois capitais diferentes aplicados a mesma taxa durante 3 meses renderam R$ 84,0 e R$ 115,20 de juros. Sabendo que um capital supera o outro em R$ 130,0, calcule esses capitais e a taxa envolvida.

Solucao

Se o primeiro capital C1 for igual a x, entao o segundo C2 sera x + 130. Seja Jt a soma dos juros de ambos os capitais entao:

como por hipotese i1 = i2 entao podemos substituir as duas taxas na equacao acima simplesmente por i.

substituindo (2) em (1)

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Assim, a taxa de juros i e de 8% a.m.

7. Maria obteve R$ 4410,0 de emprestimo a taxa de 21% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importancia a 18% a.a. assumiu o compromisso com essa pessoa e na, mesma data liquidou a divida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro emprestimo saldou o debito e verificou que pagou ao todo R$ 826,8 de juros. Calcule o prazo do primeiro emprestimo.

Solucao

Nao se sabe quantos meses se passou ate Maria obter a segunda proposta entao, vamos chamar esse total de x.

Juro da primeira divida.

Juros da segunda divida

8. Foi aplicado R$ 50,0 por 20 dias a taxa de 4.5% a.m. Sabendo que se paga um imposto de servico de 20% do rendimento, calcular o valor de resgate e a taxa lıquida.

Solucao

O valor de resgate (VR), e o capital mais os Juros menos o imposto. VR = (Capital + Juros) − Imposto

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Levando-se em conta que 20 dias equivale a (2/3) de um mes entao o calculo dos juros e o seguinte:

e o imposto

portanto,

Agora que sabemos qual o valor de resgate podemos usar a formula de juros para determinar a taxa lıquida.

9. Numa operacao financeira considerando o imposto igual ao do exercıcio anterior, qual a taxa lıquida para 1 mes sabendo que a taxa bruta e de 7% a.m.?

Solucao Sabe-se que J − imposto = Cin o que implica em:

como a taxa e igual a 20% ou 0,20 do juro entao

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10. Um vendedor ambulante oferece no portao, para uma dona de casa, um produto pelo preco de 180,0 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser pagar 5% a mais sobre o preco do produto para pagar em duas vezes (1+1). Determine a taxa mensal que o vendedor esta cobrando.

Solucao

A vista a Dona de casa pagara R$ 180,0 a prazo 189 (180 + 5%), logo os juros sera de 9 reais.

Como o plano de pagamento e de (1+1) ou seja ela da a entrada entao os juros irao correr apenas sobre a 1◦ parcela.

J = Cin

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3 DESCONTO SIMPLES

1. Um comerciante deseja realizar uma liquidacao de 50%. De que porcentagem um produto de R$ 150,0 deve ser aumentado para que depois do desconto anunciado o comerciante receba os mesmos R$ 150,0? E se o desconto for: 20%; 15%?

Solucao

Seja x o valor acrescentado ao R$ 150,0 para que apos o desconto de 50% tenha si o mesmo valor entao o valor nominal (N) deve ser igual a 150 + x. Sendo assim,

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