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Guias e Dicas
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Física 1, Notas de estudo de Física

Alberto Gaspa

Tipologia: Notas de estudo

2017
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Compartilhado em 23/06/2017

solon-oliveira-8
solon-oliveira-8 🇧🇷

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Baixe Física 1 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! c o m p r e e n d e n d o a Física m e c â n i c a 1 f í s i c a e n s i n o m é d i o a l b e r t o g a s pa r m a n u a l d o p r o f e s s o r 3 A Física, além de buscar o conhecimento do Universo, está presente em todos os ramos da atividade humana. Por ser uma ciência abrangente e com implicações importan­ tes na nossa vida, o livro de Física deve apresentar um conteúdo básico, mas também permitir a constante atua­ lização desse conteúdo, de suas implicações tecnológicas e da própria compreensão de como os conhecimentos físicos têm sido adquiridos. Esta coleção se propõe a auxiliar você a iniciar seus estudos nes­ sa ciência que tanto tem contribuído para o contínuo avanço tecnológi­ co do mundo que vivemos. Aqui você entenderá alguns fenômenos físicos, ao mesmo tempo que vai conhecer aspectos históricos de suas descobertas e dos cientistas que para elas contribuíram, o que tornará seu estudo agradável e desafiador, conduzindo­o à consolidação de seu entendimento. Esperamos que você possa usufruir desta coleção de forma pra­ zerosa e proveitosa. Para que isso aconteça, procure lembrar­se sem­ pre de que você só pode apreciar aquilo que conhece e de que conhe­ cimento só se adquire com estudo, esforço e persistência. O autor a o a l u n o CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_003a009_Iniciais.indd 3 3/7/13 10:29 AM 206 Conservação da energia F abiana Murer, a atleta da foto acima, é considerada uma das saltadoras de maior qualidade técnica do mundo. O esporte que ela pratica, salto com vara, começa com uma corrida de curta distância, quando a atleta exerce sua força muscular sobre a pista e esta, por intermédio do atrito, exerce força e realiza trabalho sobre a atleta. Esse trabalho se transforma em energia cinética e, acrescido de mais algum trabalho muscular adicional, é transferido à vara, que se cur- va, armazenando energia potencial elástica. A vara então se alonga e devolve à atleta energia cinética e, principalmente, energia potencial gravitacional, para que ela, somando a essa ener- gia o derradeiro trabalho de sua força muscular, ultrapasse o sarrafo. O inter-relacionamento dessas formas de energia e a sua conservação começa a ser estudado neste capítulo. F a b ri c e C o ff ri n i/ A g ê n c ia F ra n c e -P re s s e Salto de Fabiana Murer, recordista brasileira e sul-americana de salto com vara. capítulo 16 C A P Í T U LO 2 0 – P R E SSÃO E E M P U XO 273 2. Princípio de Arquimedes Observe as figuras abaixo. F o rm a to C o m u n ic a ç ã o /A rq u iv o d a e d it o ra Quando o bloco suspenso é imerso na água, o com- primento da mola diminui. Isso acontece porque a água exerce sobre o bloco uma força dirigida verticalmente para cima, denominada empuxo. O empuxo é uma força cujo módulo, direção e sentido são definidos pelo prin- cípio de Arquimedes (filósofo e matemático grego que viveu de 287 a.C. a 212 a.C.): Todo corpo imerso num fluido sofre a ação de uma força — denominada empuxo — dirigida verti- calmente para cima, cujo módulo é igual ao módulo do peso do volume do fluido deslocado. O peso do líquido deslocado e o empuxo que es- se líquido exerce sobre o corpo que o desloca são vetores de mesmo módulo e direção, mas de senti- dos opostos. O princípio de Arquimedes, a rigor, não é um princí- pio, pois pode ser deduzido a partir da lei de Stevin. Essa dedução nos permite obter a expressão matemática do módulo do empuxo (E) exercido por um fluido (,) sobre o corpo nele imerso. Sendo ρ , a densidade desse fluido, V , o volume do fluido deslocado e g o módulo da aceleração da gravidade local, E é dado por: E 5 ρ , V , g líquido ou fluido? Preferimos nos referir a fluido em vez de líquido porque o princípio de Arquimedes é válido também para os gases. E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 2. O volume de um corpo é 200 cm3. Adotando g 5 10 m/s2, determine o módulo do empuxo exer- cido sobre esse corpo quando inteiramente imerso: a) no ar, cuja densidade é 1,3 kg/m3 (a 0 °C e 1,01 ? 105 Pa); b) no álcool, cuja densidade é 800 kg/m3; c) na água, cuja densidade é 1 000 kg/m3. resolução a) Sendo ρ , 5 1,3 kg/m3, V , 5 200 cm3 5 2,0 ? 1024 m3 e g 5 10 m/s2, apli- camos a expressão E 5 ρ , V , g, obtendo: E 5 1,3 ? 2,0 ? 1024 ? 10 ⇒ E 5 2,6 ? 1023 N ou E 5 0,0026 N b) Sendo ρ , 5 800 kg/m3, V , 5 2,0 ? 1024 m3 e g 5 10 m/s2, aplicamos a expressão E 5 ρ , V , g, obtendo: E 5 800 ? 2,0 ? 1024 ? 10 ⇒ E 5 1,6 N c) Sendo ρ , 5 1 000 kg/m3, V , 5 2,0 ? 1024 m3 e g 5 10 m/s2, aplicamos a expressão E 5 ρ , V , g, obtendo: E 5 1 000 ? 2,0 ? 1024 ? 10 ⇒ E 5 2,0 N E X E R C Í C I O S 2. Um bloco de gelo flutua na água. O que acontece com o nível da água quando o bloco derrete? 3. Você coloca um ovo em um copo com água e ele afunda. Em seguida, você vai acrescentando e dis- solvendo sal na água gradativamente. A partir de um determinado momento, o ovo começa a se mover e sobe. Explique por que isso ocorre. Se em vez de sal você acrescentasse álcool, isso também poderia ocorrer? Por quê? W e s te n d 6 1 G m b H /A la m y /O th e r Im a g e s 4 238 239 Gravitação e fluidos N a s a /A rq u iv o d a e d it o ra Esta foto do pôr do sol, tirada da nave Discovery, em 1999, a caminho da Estação Espacial Internacional, mostra as águas do oceano Índico sob as nuvens; ao mesmo tempo, podemos contemplar, na faixa azulada ao fundo, a atmosfera terrestre. Água e ar são dois fluidos presos à superfície da Terra graças à ação gravitacional. E este é o ponto de partida para os objetos de estudo dos capítulos desta unidade. un idade 5 ABERTURA DE UNIDADE Cada unidade começa com uma página dupla, ilustrada por algum fenômeno natural ou construção humana que mostra a importância do conteúdo a ser estudado. ABERTURA DE CAPÍTULO Os capítulos se iniciam com uma imagem de abertura acompanhada de um breve texto, que funciona como ponto de partida para o estudo do conteúdo. Conheça seu livro Entenda como está organizado o seu livro de Física. TEXTO PRINCIPAL, EXERCÍCIOS RESOLVIDOS, EXERCÍCIOS PROPOSTOS E BOXES COMPLEMENTARES O texto básico do conteúdo é apresentado em linguagem simples e acessível, sem prejuízo do rigor necessário à abordagem de uma disciplina científica. Nesse texto básico foram intercalados exercícios detalhadamente resolvidos seguidos de exercícios propostos (chamados simplesmente de Exercícios) para que você possa refletir sobre o que está estudando e avaliar sua compreensão do que lê. Como complemento, apresentamos alguns boxes junto ao texto, com fundo colorido, relacionados a algum termo do texto principal (que também vem destacado com uma cor diferente). Aberturas de unidade instigantes ilustram os conceitos que serão estudados. Texto simples e acessível acompanhado de exercícios e boxes. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_003a009_Iniciais.indd 4 3/7/13 10:29 AM C A P Í T U LO 1 2 – M OV I M E N TO C I RC U L A R U N I FO R M E 159 1. Velocidade angular Movimentos circulares de pontos materiais são pouco comuns, mas são inúmeros os exemplos de cor- pos em rotação, como o cata-vento dos geradores eó- licos (veja a figura a seguir). Enquanto o cata-vento gi- ra, qualquer ponto fixo nas pás — um pequenino ponto vermelho, por exemplo — descreve uma circunferência. S te fa n K le in /I m ag eb ro ke r/ O th er Im ag es • v & P Enquanto o cata-vento gira, o ponto P descreve um movimento circular. A velocidade v & desse ponto nessa posição é única. Ainda que seu módulo se mantenha constante, a dire- ção e o sentido mudam a cada instante e só voltam a ser os mesmos quando a posição do ponto voltar a ser a mesma. Por isso o conceito de velocidade* para o es- tudo do movimento circular não é suficientemente útil, daí a necessidade de definir uma outra grandeza. Ob- serve a foto: D ar yl B en so n /M as te rl if e/ O th er Im ag es Δφ * Pode-se chamar a velocidade de um ponto material que descreve um movimento circular de velocidade escalar ou linear para distingui-la da velocidade angular. No entanto, nesta coleção usamos apenas a pala- vra velocidade para nomear a velocidade v &, adjetivando apenas a veloci- dade angular, ω. (A velocidade angular também é um vetor, mas nesta coleção as referências a ela serão sempre relacionadas ao seu módulo.) Ela mostra o ângulo que cada pá “varre” no interva- lo de tempo em que ocorreu a exposição. Se a pá gira um ângulo Δφ (lê-se delta fi) maior, no mesmo interva- lo de tempo Δt, pode-se concluir que a “rapidez” do movimento também é maior, ou seja, é possível definir uma grandeza alternativa à velocidade tendo por base esse ângulo e o intervalo de tempo em que ele é des- crito. Essa grandeza é a velocidade angular. Veja a figura ao lado: Enquanto o ponto mate- rial P vai da posição A à posi- ção B descrevendo um arco de circunferência, o raio OP “varre” o ângulo Δφ no inter- valo de tempo Δt. A velocida- de angular média ωm (lê-se ômega eme) desse ponto material é, por definição: ω ϕm t 5 ∆ ∆ A unidade de medida de ângulo no SI é o radiano, cujo símbolo é rad. Portanto, a unidade da velocidade angular é radianos por segundo (rad/s). Se determinarmos a velocidade angular média do ponto material num intervalo de tempo infinitamente pequeno, Δt → 0 (lê-se delta tê tendendo a zero), vamos obter a velocidade angular instantânea desse ponto, chamada simplesmente de velocidade angular (ω). conexões: matemática Para um determinado ângulo Δφ, a razão entre o arco de circunferência e o raio correspondente é constante. arco arco arco arco arco raio raio raio raio raio  Essa constante é, por definição, o valor desse ân gulo em radianos. Matematicamente: Δφ (rad) 5 comprimento do arco comprimento do raio correspondente Como a medida do ângulo em radianos é a razão entre dois comprimentos, ela é adimensional, ou seja, não tem unidade. O t P B A   5 178 U N I DA D E 3 – FO RÇ A E M OV I M E N TO C A P Í T U LO 1 3 – M OV I M E N TO C I RC U L A R E FO RÇ A C E N T R Í P E TA 179 P & R ep ro d u çã o /< w w w .t h ed an ce co m p an ys al tl ak ec it y. co m > P & conexões arte e educação física Arte e ciência: a física do balé Alguma vez você já assistiu a alguém dan- çando balé, mesmo que tenha sido na televisão? Talvez tenha notado como é espetacular a ha- bilidade dos bailarinos em realizar movimentos precisos e graciosos, desafiando o equilíbrio e a resistência física do corpo. Como conseguem fa- zer isso? É o que vamos ver a seguir, em alguns exemplos. Veja, por exemplo, a figura abaixo, à direita, que mostra uma bailarina equilibrando-se em uma perna só, com o esquema de forças repre- sentado. Trata-se de um caso de equilíbrio de um corpo rígido, pois são válidas as suas duas condições de equilíbrio: I. a resultante das forças exercidas sobre a bailarina (o peso P & e a força normal P & exercida pelo chão, dire- tamente no pé da bailarina) é nula, pois os módulos dessas forças são iguais; II. a soma dos momentos dessas forças, em relação a qualquer ponto, é nula, pois o peso P & da bailarina, aplicado ao seu centro de gravidade (CG), tem a mesma linha de ação da força normal P & . Note que a linha de ação das forças P & e P & é a mesma quando o centro de gravidade está na mesma vertical da área de contato da ponta da sapatilha com o chão. Quanto menor for a área de contato com o chão, como na posição en pointe, em que as pontas dos pés tocam o chão (veja foto abaixo), mais di- fícil é para um bailarino manter o equilíbrio. Daí a importância de muito treino e de sapatilhas especiais reforçadas nas pontas. Apesar de a área de contato do bailarino com o ar ser conside- rável, sobretudo quando ele usa roupas largas, a resis tência do ar ao movimento dele no ar pode ser considerada desprezível se a sua velocidade for pequena. Assim, pode-se considerar e estudar o movimento do bailarino, com boa aproximação, como um lançamento de projéteis, considerando a traje- tória do centro de gravidade durante o salto uma parábola. Veja a foto e figura abaixo. A figura representa o salto de um bailarino. Vamos supor que, durante o salto, o centro de gravidade do bailarino se desloque verticalmente 60 cm em relação à horizontal que passa pelo centro de gravidade, e que este se deslo- que 1,80 m horizontalmente. Note que só é possível estudar o salto desse modo porque o bailarino salta com um pé e chega ao chão com o outro. Com esses dados, pode-se determinar o módulo da velocidade inicial (v0), o ângulo de inclinação (α) dessa velocidade em relação à horizontal e o tempo (t) em que o bailarino fica no ar (obtemos v0 5 4,3 m/s, α5 53 e t 5 0,70 s, com dois algarismos significativos — verifique!). Apresentamos aqui apenas dois exemplos de posição e movimento do balé nos quais foi possível uma descrição básica fundamentada nas leis de Newton. Há outras posições e movimentos que envolvem um ou mais bailarinos que exigem outros conceitos, alguns ainda a serem apresentados na próxima unidade e outros, como a rotação, que estão além do alcance da Física do Ensino Médio. Você pode entender este texto como o início de um estudo mais abrangente que pode ser retomado mais adiante se e quando você continuar seus estudos de Física. Adaptado de: Physics and dance. Disponível em: <www.hep.uiuc.edu/home/g-gollin/dance/dance_physics.html>; Physics of dance. Disponível em: <http://ed.fnal.gov/trc_new/demos/present/physofballet.pdf>. Acesso em: 17 dez. 2012. 1. Observe a figura ao lado. Ela mostra os bailarinos norte-americanos Sandra Brown e Johann Ren- vall, durante apresentação do balé Airs, em 1978. a) Copie esquematicamente a foto no seu ca- derno e represente as forças exercidas sobre cada bailarino, nomeando-as (despreze as forças de atrito). b) Identifique os pares ação e reação das forças representadas. 2. Desconsiderando a resistência do ar, represente as forças exercidas sobre o bailarino enquanto ele se apoia no chão para saltar e quando ele está flutuando no ar. Justifique sua representação e identifique os agentes dessas forças. 3. O balé é um estilo de dança. Que outros estilos de dança você conhece? De qual você gosta mais? Pesquise a origem e história dessa dança e apresente para a classe. a m p l i a n d o o c o n h e c i m e n t o Pa u lo M an zi /A rq u iv o d a ed it o ra Marc Carter/Stone/Getty Images d f0 28 /S h u tt er st o ck /G lo w Im ag es Bailarinas durante apresentação do balé O lago dos cisnes, do compositor russo Tchaikovsky. Teatro Jinsha, Chengdu, China. 25 dez. 2010. Y u ri A rc u rs /S h u tt er st o ck /G lo w Im ag es N an cy E lli so n /A ce rv o d o f o tó g ra fo CG SEÇÃO CONEXÕES Cada unidade é encerrada por um texto de caráter interdisciplinar que aprofunda algum tópico abordado na unidade, relacionando-o com uma ou mais áreas do conhecimento humano. O texto é complementado por perguntas por meio das quais você poderá pesquisar e discutir com seus colegas os assuntos tratados. Esses textos podem contribuir tanto para ampliar sua visão da Física como de outras disciplinas, estabelecendo conexões entre conteúdos e auxiliando-o a perceber que o conhecimento está em constante e permanente diálogo, o que contribui para sua conduta consciente e cidadã no mundo. 268 U N I DA D E 5 – G R AV I TAÇ ÃO E F LU I D OS água-álcool sobre a porção de azeite. À medida que a quantidade de água aumenta, a mistura fica mais densa — a densidade da água é maior que a do álcool e a do azeite —, e o azeite começa a “levantar-se”, formando uma espécie de lombada. Aos poucos, essa lombada sobe e dela se des- prende uma gota de azeite. Nesse instante (ou um pouco antes, se possível) pare de derramar água e observe. Você verá que a gota de azeite fica flutuando no meio da mistura. As gotas pequenas, como a da figura 4, são praticamente esféricas. Você pode aumentar consideravelmente o tamanho dessa gota injetando mais óleo dentro dela com uma seringa de injeção. Nesse caso você vai notar que a gota fica um pouco achatada em razão da diferença de pressão a que está submetida, assunto abordado no próxi- mo capítulo. 1. A forma dos líquidos Você pode comprovar a esfericidade dos líquidos colo- cando uma colher de café de azeite de oliva no fundo de um copo transparente (o azeite de oliva tem uma cor amarela- da, o que o torna mais visível do que outros óleos). Em seguida, derrame sobre o azeite um pouco de álcool até a altura de 1 cm aproximadamente. Faça isso com cuidado para não desfazer a porção de azeite. Como o azeite de oliva é mais denso do que o álcool, ele se mantém no fundo do copo. Depois, comece a derramar água no álcool, com mais cuidado ainda, e observe atentamente o que acontece com a porção de azeite. Você verá uma interessante “disputa” entre as forças de adesão, que tendem a manter o azeite preso ao fundo do copo, as forças de coesão, que tendem a agregar as partículas do azeite, e a pressão da mistura Fo to s: E d u ar d o S an ta lie st ra /A rq u iv o d a ed it o ra 1 3 2 4 À medida que se dissolve água no álcool, o azeite começa a subir até desprender-se, formando uma pequena esfera de azeite que flutua na mistura. at i v i d a d e s p r át i c a s C A P Í T U LO 1 3 – M OV I M E N TO C I RC U L A R E FO RÇ A C E N T R Í P E TA 175 Testes 1. (Enem) O Brasil pode se transformar no primeiro país das Américas a entrar no seleto grupo das nações que dis- põem de trens-bala. O Ministério dos Transportes prevê o lançamento do edital de licitação internacional para a construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os 403 quilômetros entre a Central do Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital paulista, em uma hora e 25 minutos. (Disponível em: <http://oglobo.globo.com>. Acesso em: 14 jul. 2009.) Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser enfren- tado na escolha do trajeto que será percorrido pelo trem é o dimensionamento das curvas. Considerando-se que uma aceleração lateral confortável para os passageiros e segura para o trem seja de 0,1 g, em que g é a aceleração da gravidade (considerada igual a 10 m/s2), e que a velo- cidade do trem se mantenha constante em todo o per- curso, seria correto prever que as curvas existentes no trajeto deveriam ter raio de curvatura mínimo de, aproxi- madamente: a) 80 m. d) 1 600 m. b) 430 m. e) 6 400 m. c) 800 m. 2. (Enem) O mecanismo que permite articular uma porta (de um móvel ou de acesso) é a dobradiça. Normalmente, são necessárias duas ou mais dobradiças para que a por- ta seja fixada no móvel ou no portal, permanecendo em equilíbrio e podendo ser articulada com facilidade. No plano, o diagrama vetorial das forças que as dobradi- ças exercem na porta está representado em: a) d) b) e) c) 3. (Uerj) No interior de um avião que se desloca horizontal- mente em relação ao solo, com velocidade constante de 1 000 km/h, um passageiro deixa cair um copo. Observe a ilustração a seguir, na qual estão indicados quatro pontos no piso do corredor do avião e a posição desse passageiro. O copo, ao cair, atinge o piso do avião próximo ao ponto indicado pela seguinte letra: a) P. b) Q. c) R. d) S. 4. (PUC-PR) A respeito das grandezas massa e força peso, pode-se afirmar corretamente: a) Massa é o mesmo que força peso, mas medida em unidades diferentes. b) Massa é uma característica intrínseca do corpo, enquanto a força peso representa a interação gravi- tacional entre o corpo e o planeta no qual este se encontra. c) Ao levar um bloco de um lugar a outro no Universo, seu peso permanece inalterado enquanto sua massa se altera. d) Não é possível medir a massa de um corpo na Lua, porque lá não existe gravidade. e) O que nos mantém “presos” à Terra é sua atmosfera. 5. (Vunesp-SP) Um professor de Física pendurou uma pequena esfera, pelo seu centro de gravidade, ao teto da sala de aula, conforme a figura: 30° 60° dinamômetro Em um dos fios que sustentava a esfera ele acoplou um dinamômetro e verificou que, com o sistema em equilí- brio, ele marcava 10 N. O peso, em newtons, da esfera pendurada é de: a) 5 3 . d) 20. b) 10. e) 20 3 . c) 10 3 . q u e s t õ e s d o e n e m e d e v e s t i b u l a r e s Este livro é não consumível. Faça todas as atividades no caderno. BOXE CONEXÕES Ao longo do texto principal, há vários momentos que permitem estabelecer relações com outras disciplinas do conhecimento. Alguns deles são destacados por meio de boxes que ressaltam com quais áreas determinado conteúdo está dialogando. ATIVIDADES PRÁTICAS No fim de cada capítulo, sugerimos atividades experimentais cujo objetivo é levar você a refletir sobre os fenômenos tratados. Realizados com a orientação do professor, esses experimentos vão auxiliar você a compreender melhor os conteúdos apresentados. QUESTÕES DO ENEM E DE VESTIBULARES Ao final de cada unidade, você vai encontrar um conjunto atualizado de questões extraídas do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e dos principais vestibulares do país, todas referentes ao conteúdo abordado. Conteúdos interdisciplinares que promovem a ampliação do conhecimento. S te fa n K le in /I m ag eb ro ke r/ O th er Im ag es D ar yl B en so n /M as te rl if e/ O th er Im ag es C A P Í T U LO 1 2 – M OV I M E N TO C I RC U L A R U N I FO R M E 159 1. Velocidade angular Movimentos circulares de pontos materiais são pouco comuns, mas são inúmeros os exemplos de cor- pos em rotação, como o cata-vento dos geradores eó- licos (veja a figura a seguir). Enquanto o cata-vento gi- ra, qualquer ponto fixo nas pás — um pequenino ponto vermelho, por exemplo — descreve uma circunferência. S te fa n K le in /I m ag eb ro ke r/ O th er Im ag es • v & P Enquanto o cata-vento gira, o ponto P descreve um movimento circular. A velocidade v & desse ponto nessa posição é única. Ainda que seu módulo se mantenha constante, a dire- ção e o sentido mudam a cada instante e só voltam a ser os mesmos quando a posição do ponto voltar a ser a mesma. Por isso o conceito de velocidade* para o es- tudo do movimento circular não é suficientemente útil, daí a necessidade de definir uma outra gr n eza. Ob- serve a foto: D ar yl B en so n /M as te rl if e/ O th er Im ag es Δφ * Pode-se chamar a velocidade de um ponto material que descreve um movimento circular de velocidade escalar ou linear para distingui-la da velocidade angular. No entanto, nesta coleção usamos apenas a pala- vra velocidade para nomear a velocidade v &, adjetivando apenas a veloci- dade angular, ω. (A velocidade angular também é um vetor, mas nesta coleção as referências a ela serão sempre relacionadas ao seu módulo.) Ela mostra o ângulo que cada pá “varre” no interva- lo de tempo em que ocorreu a exposição. Se a pá gira um ângulo Δφ (lê-se delta fi) maior, no mesmo interva- lo de tempo Δt, pode-se concluir que a “rapidez” do movimento também é maior, ou seja, é possível definir uma grandeza alternativa à velocidade tendo por base esse ângulo e o intervalo de tempo em que ele é des- crito. Essa grandeza é a velocidade angular. Veja a figura ao lado: Enquanto o ponto mate- rial P vai da posição A à posi- ção B descrevendo um arco de circunf rência, o raio OP “varre” o ângulo Δφ no inter- valo de tempo Δt. A velocida- de angular média ωm (lê-se ô ega eme) desse ponto material é, por definição: ω ϕm t 5 ∆ ∆ A unida e de medi de ângulo no SI é o radiano, cujo símbolo rad. P rtanto, a unidade da velocidade angular é radianos por segundo (rad/s). Se determinar os a ve cidade gular média do ponto material num intervalo de tempo infinitamente pequeno, Δt → 0 (lê-se delta tê tendendo a zero), vamos obter a velocidade angular instantânea desse ponto, chamada si plesm te de velocidade angular (ω). conexões: atemátic Para um determinado ângulo Δφ, a razão entre o arco de circunferência e o raio correspondente é constante. arco arco arco arco arco rai raio raio raio raio  Essa constante é, por definição, o valor desse ân gulo em radianos. Matematicamente: Δφ (rad) 5 comprimento do arco comprimento do raio correspondente Como a medida do ângulo em radianos é a razão entre dois comprimentos, ela é adimensional, ou seja, não tem unidade. O t P B A   Objeto Educacional Digital Este ícone indica Objetos Educacionais Digitais relacionados aos conteúdos do livro. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_003a009_Iniciais.indd 5 21/03/2013 15:26 8 U N I D A D E 4 LEIS DE CONSERVAÇÃO 180         1 4 Trabalho e potência 182 1. Conceito de trabalho 183 2. Trabalho de força constante 184 3. Unidade de trabalho no SI – o joule (J) 185 4. Trabalho de força de módulo variável 187 5. Potência 188 6. Potência e velocidade 190 7. Rendimento 192 Atividades práticas 193         1 5 Energia 195 1. A energia e suas formas 196 2. Energia cinética 197 3. Energia potencial 201 Atividades práticas 205         1 6 Conservação da energia 206 1. Energia mecânica 207 2. Conservação da energia mecânica 208 3. Trabalho de forças dissipativas 214 Atividades práticas 216         1 7 Impulso e quantidade de movimento 217 1. Introdução 218 2. Impulso de força variável: determinação gráfica 221 3. Força média no impulso 223 4. Conservação da quantidade de movimento 225 Atividade prática 230 Questões do Enem e de vestibulares 231 Conexões 236 p . 2 0 6 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_003a009_Iniciais.indd 8 3/7/13 10:29 AM U N I D A D E 5 GRAVITAÇÃO E FLUIDOS 238         1 8 Gravitação 240 1. Introdução 241 2. As leis de Kepler 242 3. A lei da gravitação universal 244 4. Campo gravitacional 247 5. O vetor g & 248 6. Planetas e satélites: a terceira lei de Kepler e a velocidade orbital 250 Atividades práticas 252         1 9 Introdução à Hidrostática 254 1. Líquidos — natureza, forma e propriedades 255 2. Densidade 258 3. Pressão 260 4. Pressão no interior de um líquido em repouso — lei de Stevin 262 5. Consequências da lei de Stevin 264 Atividades práticas 268         2 0 Pressão e empuxo 270 1. Princípio de Pascal 271 2. Princípio de Arquimedes 273 3. Peso aparente e flutuação dos corpos 274 Atividades práticas 279 Questões do Enem e de vestibulares 281 Conexões 284 Glossário 286 Respostas 290 Leituras complementares 296 Significado das siglas 298 Bibliografia 299 Índice remissivo 301 9 p. 2 28 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_003a009_Iniciais.indd 9 21/03/2013 15:27 un idade 1 10 Introdução ao estudo da Física CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 10 3/7/13 10:30 AM c A p í T u LO 1 – O q u e é F íSi c A ? 13 1. Profecias e previsões científicas: a magia e a ciência “Em 1896 há de rebanhos mil correr da praia para o sertão; então o sertão virará praia e a praia virará ser- tão.” Assim Euclides da Cunha, autor de Os Sertões, narra uma das muitas profecias de Antônio Conselheiro (1830-1897), beato, misto de sacerdote e chefe de ja- gunços, que, no final do século XIX, liderou cerca de 30 mil sertanejos que viviam em Canudos, arraial localiza- do ao norte da Bahia, até serem massacrados por tro- pas do governo federal. De onde Antônio Conselheiro tirava suas profecias? Que diferença há entre profecias e previsões científi- cas? Essa é, sem dúvida, uma das primeiras noções que devem estar muito claras para qualquer pessoa que tenha interesse em ciência ou pretenda se dedicar à carreira científica. Às vezes essa diferença parece óbvia, pois algumas profecias expressam ideias absurdas ou mirabolantes, mas não é esse o aspecto que as diferencia das previ- sões científicas — muitas previsões científicas tam- bém podem nos parecer absurdas ou mirabolantes. A primeira diferença é a origem das profecias. Elas são, em geral, formuladas ou reveladas por alguém que se diz escolhido por um ser superior para essa missão. Por isso, elas não devem ser discutidas ou provadas, são consideradas objeto ou dogmas de fé. A segunda é que a possibilidade de comprovações ou contestações é bastante reduzida: se o profeta é mesmo um inter- mediário entre alguma divindade e as pessoas, se as revelações são falsas ou verdadeiras, dificilmente será possível saber. Em ciência não há intermediários nem revelações, embora o papel do indivíduo, sua genialidade e criativi- dade sejam fundamentais. No entanto, é impossível a alguém que não saiba Física, por exemplo, formular uma lei física — seria o mesmo que escrever uma frase ou poesia numa língua que não se conhece. A ciência é uma construção humana, e qualquer passo adiante só pode ser dado por quem já percorreu ou tem conhecimento dos anteriores. conexões: língua portuguesa e história Os Sertões é uma das principais obras do Pré- -Modernismo brasileiro, tendo grande importância lite- rária, histórica e jornalística. Todos os grandes cientistas, em qualquer época, só foram capazes de dar contribuições novas e rele- vantes porque, além da dedicação intensa, conheciam a fundo a ciência com que trabalhavam. Assim, é preciso que o conhecimento científico atinja um estágio mínimo para que sejam possíveis no- vas descobertas. Se Einstein não vivesse na época em que viveu, jamais poderia ter formulado a teoria da re- latividade — ele não disporia do conjunto de conheci- mentos necessários para formular essa teoria. Outra diferença entre profecias e previsões científi- cas está ligada ao objetivo da ciência, que busca com- preender a natureza e interagir com ela. Por essa razão, a ciência precisa ser eficiente, seus princípios e leis devem funcionar. Isso obriga os cientistas a verificar a validade de suas previsões, a comprová-las experimentalmente, reformulando ou rejeitando aquelas teorias ou hipóteses cujas previsões não se ajustam aos fatos. Além disso, à medida que o ser humano aprofunda seu conhecimento da natureza, torna-se necessário também aprimorar o saber científico, e isso exige atuali- zação e reformulação contínuas. Por essa razão, a ciên- cia não tem verdades definitivas ou dogmas. Todas as teorias, leis e princípios científicos são provisórios, valem durante algum tempo e em determinadas condições. Albert Einstein (1879-1955). A lb u m /a k g -i m a g e s /L a ti n s to ck R e p ro d u ç ã o /C o le ç ã o p a rt ic u la r Antônio Conselheiro (1830-1897). CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 13 3/7/13 10:30 AM 14 u N i DA D e 1 – i N T rO D u ç ãO AO e ST u D O DA F íSi c A Uma última e importante diferença entre profe- cias e previsões científicas está na linguagem utili- zada. Em ciência, as palavras têm um significado preciso, restrito, não podem dar margem a diferen- tes interpretações. Nas profecias ocorre exatamente o oposto. Elas são expressas com palavras ou frases carregadas de símbolos, de múltiplos sentidos, de metáforas. Como saber o que de fato Antônio Con- selheiro pretendia dizer com sua profecia? A praia e o Sertão trocariam de lugar literalmente, ou uma re- presa cobriria sua aldeia — o que de fato ocorreu —, ou, ainda, os oprimidos sertanejos que o seguiam se libertariam de seus coronéis opressores, numa sim- bólica pregação revolucionária? A partir dessas considerações, talvez fôssemos tentados a concluir que só as previsões científicas me- reçam crédito, as profecias, não. Isso seria um equívo- co. A ciência tem métodos para a busca do conheci- mento, que exigem um contínuo aprimoramento, mas esse processo não garante que a ciência chegue a algo absoluto que se possa chamar de verdade. Embora cresça de maneira notável, o conhecimento científico ainda está muito longe de oferecer ao ser hu- mano respostas a todas as suas indagações básicas, como o porquê e o para que de sua própria existência. Até mesmo a razão última de eventos estritamente materiais dificilmente é explicada pela ciência: a Física afirma que partículas com cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem, mas não explica por que isso acontece. Há pouco mais de um século, grande parte da co- munidade científica chegou a pensar que o conheci- mento de todas as leis da natureza estava muito próximo de ser alcançado. Mas a própria ciência apresentou novas e intrincadas questões, mostran- do que a natureza era muito mais complexa do que se imaginava. Hoje, a única certeza é a de que, em ciência, não há certezas. Por isso, o ser humano utiliza também outras formas de conhecimento, segue suas intuições, seus profetas, seus mitos, suas religiões. A contribuição da ciência, e da Física em particular, ao conhecimento do Universo em que vivemos é ines- timável e cresce vertiginosamente a cada dia. Ela está presente em todos os campos da atividade humana, mas não tem, e decerto não terá, respostas a todas as nossas indagações e necessidades. 2. A Física: uma construção humana As origens da Física remontam à Pré-História, quan- do o homem primitivo, ao contemplar o firmamento, percebeu que o Sol, a Lua e as estrelas descreviam mo- vimentos cíclicos como se todos estivessem incrusta- dos numa grande esfera girante — a esfera celeste. A du- ração do dia, do ano, as estações, a melhor época para plantar e colher foram suas primeiras aplicações à me- lhoria de sua vida cotidiana. A figura abaixo ilustra esse aspecto. Acredita-se que o monumento de pedras de Stonehenge, na Inglaterra, tenha sido um observatório astronômico primitivo, destinado a observar a Lua e o nascer e o pôr do sol, com o objetivo de elaborar um ca- lendário das estações do ano. Essa Física primitiva não se chamava Física nem eram físicos aqueles que formularam suas ideias ini- ciais. Eles eram sacerdotes, profetas, magos, pessoas que muitas vezes, em meio a rituais e invocações místicas, faziam recomendações, profecias, previ- sões, elaboravam remédios e poções mágicas. J o h n M e a d /S P L /L a ti n s to c k Stonehenge, conjunto de monumentos de pedra organizado de forma circular, localizado na Inglaterra e construído a partir do ano 2400 a.C. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 14 3/7/13 10:30 AM c a p í t u lo 1 – o q u e é f ísi c a ? 15 Embora a Física, como toda ciência, não siga re- gras, ela tem um corpo de conhecimentos aceitos consensualmente pelo conjunto dessas associações científicas. Dizer que uma afirmação está fisicamen- te errada não significa que ela contraria a natureza, como algumas pessoas ingenuamente pensam. Sig- nifica apenas que essa afirmação não está de acordo com as ideias da Física, homologadas por essas as- sociações. Se alguém disser, por exemplo, que “a luz é formada por jatos de microestrelas”, essa afirma- ção não será aceita pelas associações. Ela será con- siderada absurda, não científica, contrária às leis da Física. Isso, no entanto, não quer dizer que a luz não possa ser formada por “jatos de microestrelas”, mas que essa não é a concepção dos físicos para a natu- reza da luz. Um exemplo elucidativo do caráter humano e convencional da ciência é o novo modo de definir planeta, decidido recentemente por uma academia científica e que excluiu Plutão da lista dos planetas do Sistema Solar. Plutão deixou de ser um planeta, ou melhor, os mais importantes nomes da astronomia mundial re- solveram deixar de considerá-lo assim. Ele continua em órbita em torno do Sol como sempre esteve, na- da mudou, mas o status de planeta, atribuído a ele nas primeiras décadas do século XX, foi alterado pa- ra planeta-anão porque os astrônomos concluíram que a denominação e a classificação anteriores eram inadequadas. Além disso, as concepções dos físicos a respeito dos fenômenos naturais sofrem reformulações ao longo do tempo. Do final do século XIX ao início do século XX, hou- ve mudanças revolucionárias na maneira de a Física entender a natureza. Essas reformulações ocorrem sempre que há insatisfações na comunidade científi- ca a respeito das leis e teorias que a Física estabelece para explicar determinados fenômenos, quando es- sas leis e teorias falham em suas previsões ou não preveem os fatos como são, de fato, observados ex- perimentalmente. A Física, como toda ciência, tem o compromisso de entender a natureza — por isso falhas não devem acontecer. Se suas previsões estiverem erradas, as teorias que produziram essas previsões devem ser reformuladas. Embora carregadas de misticismo e magia, essas atividades pro pi ciaram o conhecimento dos primei- ros princípios e das leis científicas. Não se pode, en- tretanto, dizer que esses sacerdotes e magos fos- sem cientistas nem que o que faziam pudesse ser chamado de ciência. A ciência, tal como a conhecemos hoje, iniciou-se bem mais tarde, com os filósofos gregos, quando o so- brenatural deixou de ser invocado na explicação dos fe- nômenos da natureza. Para esses filósofos, fenômenos como os raios e os trovões deveriam ter causas natu- rais, não seriam mais fruto da ira dos deuses, como se pensava até então. Assim, aos poucos, religião e ciência começaram a se separar em razão de diferentes ma- neiras de abordar e entender a natureza. E a ciência também foi se dividindo — e continua a dividir-se — em áreas específicas do conhecimento. Surgiram, então, a Matemática, a Física, a Química, a Biologia, a Geologia, a Ecologia e muitas outras. Como ramo independente da ciência, a Física co me çou a surgir no século XVII com cientistas como Gilbert, Kepler e Galileu. Eles formula- ram princípios e leis, fizeram observações sistemáticas, verificações experimentais e, sobretudo, escreveram e publicaram suas ideias e resultados. Mais importante que o papel desses cientistas, no entanto, foi a criação das academias ou sociedades científicas na segunda metade do século XVII. Surgidas na Itália, Inglaterra e França, essas entidades passaram a reunir cientistas e a publicar os seus trabalhos. A par- tir de então, academias e sociedades científicas come- çaram a ser criadas em inúmeros países, nas mais dife- rentes áreas e subáreas das ciências. Atualmente essas sociedades, de certo modo, ofi- cializam e cuidam das ciências às quais se dedicam. Fazendo uma comparação, podemos dizer que elas exercem um papel parecido com o das associações es portivas em relação aos esportes que represen- tam, regulamentando e cuidando do cumprimento de suas regras. conexões: filosofia Os gregos foram os primeiros pensadores — pes- soas que se dedicavam à busca sistemática da Verdade — que se definiram como filósofos, amantes da sabe- doria, em grego. Os primeiros filósofos gregos surgiram no século VII a.C. Foram também os primeiros cientis- tas, aqueles que procuravam entender a natureza sem recorrer ao sobrenatural, às divindades ou à magia. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 15 26/03/2013 13:56 18 u N i DA D e 1 – i N T rO D u ç ãO AO e ST u D O DA F íSi c A 6. Aplicações tecnológicas Até aqui procuramos mostrar que a Física, como to- da ciência, é uma forma de conhecimento, uma das maneiras de que o ser humano dispõe para descrever e controlar os fenômenos naturais. Ela não é a única, mas é, sem contestação, a mais eficiente. As suas aplica- ções tecnológicas se multiplicam vertiginosamente e pode-se dizer que não há campo da atividade humana em que ela não influa de modo decisivo nos dias de ho- je. Uma relação de todas essas aplicações seria impos- sível, mas veja a seguir um panorama das aplicações da Física no mundo contemporâneo por área ou setor da atividade humana: • Na geração e produção de energia: a energia elétrica, nossa principal fonte de energia, é produzida a partir da indução eletromagnética — fenômeno físico des- coberto em meados do século XIX, pelo qual a ener- gia de rotação de turbinas se transforma em energia elétrica. Essa energia de rotação pode se originar: • da energia das águas em movimento em razão da gravidade; conexões: geografia As aplicações tecnológicas da Física para a geração e produção de energia têm uma relação intrínseca com a Geografia, pois elas influenciam a industrialização, a urbanização, a economia e até mesmo conflitos políticos. D e lf im M a rt in s /P u ls a r Im a g e n s Usina hidrelétrica de Itaipu. À esquerda, o vertedouro por onde é escoada a água não usada para mover as turbinas. À direita, estão as turbinas, localizadas na parte mais baixa da barragem. 5. Áreas de atuação da Física Desde o tempo dos filósofos gregos até o século XVII, a Física fazia parte das chamadas ciências natu- rais, cujo objetivo era o estudo de toda a natureza. A partir daquela época, a Física passou a se restringir à matéria inanimada e, mais tarde, com o desenvolvi- mento da Química, definiu o seu universo de atuação. Atualmente, ela se divide em grandes áreas de es- tudo e pesquisa. Das áreas relacionadas a seguir, as três primeiras compõem a Física clássica, que reúne todo o conhecimento físico cujas bases se formaram até o final do século XIX. As três últimas constituem a Física moderna, uma nova Física surgida no início do século XX como resposta às indagações não respondi- das e às previsões não confirmadas pela Física clássica: • Mecânica clássica: estudo do movimento das par- tículas e dos fluidos. A Mecânica clássica pode ser subdividida, didaticamente, em: Cinemática, estudo descritivo dos corpos em movimento; Estática, es- tudo dos sólidos em equilíbrio; Dinâmica, estudo das leis de Newton e dos princípios de conserva- ção; Fluidodinâmica, estudo dos fluidos; e Mecânica on dulatória, estudo do movimento ondulatório em meios materiais. • Termodinâmica: estudo da temperatura, do calor e seus efeitos e das propriedades de agregação dos sistemas de múltiplas partículas. • Eletromagnetismo: estudo da eletricidade, do mag- netismo, das ondas eletromagnéticas e da Óptica. • Relatividade restrita: reformulação dos conceitos de espaço, tempo e energia com o estudo do compor- tamento de partículas em alta velocidade. • Relatividade geral: estudo das relações entre a gravitação e as propriedades geométricas do es- paço. • Mecânica quântica: estudo do mundo microscópico do átomo e das partículas elementares. Podemos incluir ainda como área da Física a Astro- física, pois ela estuda a física dos corpos astronômicos. Embora também muito próxima da Física, a Cosmologia tem um campo de estudo mais amplo: busca a com- preensão da estrutura do Universo e das leis que o re- gem, o que lhe dá o caráter de ciência independente, embora seu corpo de conhecimentos básicos seja o mesmo da Física. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 18 3/7/13 10:30 AM c A p í T u LO 1 – O q u e é F íSi c A ? 19 • Nos transportes: os motores a explosão de todos os veículos automotores, assim como as turbinas dos aviões, são aplicações de um ramo específico da Físi- ca — a termodinâmica. Alguns trens mais modernos estão sendo construídos para flutuar magnetica- mente sobre os trilhos, aplicação de uma descoberta mais recente — a supercondutividade. Os túneis de vento, aplicação da fluidodinâmica, possibilitam a construção de veículos de forma aerodinâmica, que lhes facilita a movimentação, reduzindo o consumo de energia e aumentando sua velocidade. • Nas telecomunicações e na eletrônica: o eletromag- netismo possibilitou o envio das primeiras men- sagens através de fios, quando surgiram o telégra- fo e o telefone, e também a geração e a recepção de ondas eletromagnéticas, o que levou ao rádio e à televisão. A Física moderna propiciou a descoberta do laser e de novos materiais próprios à confecção de transistores, circuitos integrados, chips e à cria- ção de dezenas de diferentes equipamentos ele- trônicos que modificaram sensivelmente a vida em nosso planeta, como o telefone celular, relógios e computadores. • Na medicina: os raios X revolucionaram a forma de fazer diagnósticos e, mais tarde, a ultrassonografia e a ressonância magnética vieram ampliar ainda mais essa possibilidade. A contribuição da Física à Medici- na se aplica a todas as suas áreas e especialidades: marca-passos, próteses, equipamentos para o mo- nitoramento de pacientes e para cirurgias tornaram as clínicas e hospitais modernos mais parecidos com instituições de pesquisa em Física do que com casas de saúde. P a s ie k a /S P L /L a ti n s to ck Imagem de ressonância magnética de cabeça humana. • da energia do vapor de água gerado a alta pres- são pelo calor derivado da queima de combustível fóssil — carvão ou derivados de petróleo — ou re- sultante da energia nuclear; L u b o s P a v li c e k /C T K /A s s o c ia te d P re s s /G lo w I m a g e s As usinas nucleares, como esta, localizada na República Tcheca, são usinas termelétricas em que a fonte de calor que transforma água em vapor é a energia nuclear. • e do ar em movimento. Direta ou indiretamente, a Física está presente em todos esses processos, assim como em qualquer forma alternativa de geração de energia elétrica, co- mo a energia solar e das marés. S te fa n W e rm u th /R e u te rs /L a ti n s to ck Turbinas de vento de usina eólica na costa de Kent, cidade localizada ao sul da Inglaterra. Quando foi inaugurada, em setembro de 2010, era a maior usina costeira do mundo. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 19 3/7/13 10:30 AM 20 u N i DA D e 1 – i N T rO D u ç ãO AO e ST u D O DA F íSi c A • Na pesquisa científica: em qualquer área, a pesquisa científica utiliza ferramentas e equipamentos específicos, como detectores e instrumentos de medida de precisão. A própria pesquisa em Física utiliza dezenas de equipamentos que ela mesma tornou possíveis, entre eles os aceleradores de partículas — as maiores e mais fantásticas máquinas do planeta —, com os quais os físicos procuram descobrir a estrutura íntima da matéria e a origem do Universo. Veja as figuras abaixo. A figura a mostra o primeiro acelerador de partículas circular (cíclotron) do mundo. Inventado pelo físico norte-americano Ernest Lawrence (1901-1958), tinha apenas 10 cm de diâmetro. Em b, o Large Ha- dron Collider (LHC), o maior acelerador de partículas do mundo, localizado em Genebra, Suíça, no Centro Europeu de Pesquisas Nucleares (CERN); tem um túnel subterrâneo, em forma de anel, de 27 km de circunferência. Em c, a vista interna do anel principal do LHC. Ségny Ornex Fetney Voltaire Meyrin St. Genis Pouilly Crozet Anel do “superproton synchroton” (SPS), onde os prótons são acelerados e injetados no LHC. Detectores onde as partículas colidem. Chevry Vernier Genebra Versoix FRONTEIRA FRANÇA-SUÍÇA Sauverny Detector O anel em que passam os prótons (veja parte dele na foto c) tem 27 km de circunferência e está entre 70 e 140 m de profundidade. b R e p ro d u ç ã o / A rq u iv o d a e d it o ra H e n ry M ü h lp fo rd t/ W ik im e d ia C o m m o n s A d a m H a rt -D a v is /S P L /L a ti n s to ck a c É claro que uma lista como essa será sempre incompleta. Não só porque seria desnecessariamente extensa como também porque, a todo momento, surgem novas descobertas e aplicações. Fizemos uma seleção inicial cujo objetivo foi mostrar a importância da ciência que estamos começando a estudar. Voltaremos a ela quando abordarmos outras aplicações da Física, como as geladeiras, os fornos de micro-ondas, as fibras ópticas e os modernos telescópios. 7. A Física e as civilizações extraterrestres É natural que uma ciência capaz de influir de modo tão significativo na vida do ser humano tenha extraordinária influência também na sua maneira de pensar e na sua concepção de vida. Há muita gente que acredita que a Física explica tudo, e alguns físicos garantem que a Física é capaz de provar a inexistência da vida após a morte, dos dis- cos voadores, das civilizações extraterrestres e coisas semelhantes. No entanto, também há físicos que garantem que a Física moderna demonstra exatamente o oposto… Na verdade, a Física não garante nem uma coisa nem outra. A ideia de que a Física explica tudo é falsa — a Física explica muito pouco, quase nada. Ela descreve muito mais do que explica. Dizer, como enuncia a lei da gravitação universal, que “os corpos se atraem na razão direta do produto de suas massas e inversa do quadrado da distância entre eles” não é explicar, é descrever. Explicar é dizer por que essa atração ocorre e por que a intensidade dessa atração é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Isso a Física não sabe e, portanto, ela não explica o essencial. O que se costuma chamar de explicação em Física tem como ponto de partida determina- dos princípios ou leis que na verdade não explicam nada, apenas descrevem e preveem fenômenos da natureza. É certo que atualmente não há teoria física que possa justificar a existência de um mundo espiritual ou a possi- bilidade de comunicação com seres extraterrestres. E isso é tudo o que a Física, ou os físicos, pode afirmar. Preten- der provar que esses seres não existem é ignorar que toda ciência é uma construção humana e, como tal, não está nem concluída nem é imune a erros, por mais fantásticas que sejam suas conquistas e seus acertos. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_010a022_U1_C1.indd 20 3/7/13 10:30 AM 23 Grandezas escalares e vetoriais O veleiro raramente se movimenta na mesma direção e sentido em que sopra o vento. A dire-ção e o sentido do movimento desse tipo de embarcação dependem da força resultante exercida sobre ele — e a força resultante é a soma vetorial da força que o vento exerce sobre a vela com as forças que a água exerce sobre a quilha e o leme, que ficam no casco. Desse modo, o mesmo vento pode fazer os veleiros se deslocarem em sentidos opostos – é o caso dos velei- ros 4293 e 4542 da foto. Ao contrário da soma algébrica, na qual as mesmas parcelas dão sempre o mesmo resultado, o resultado da soma vetorial não depende apenas do valor numérico associado ao vetor (seu módulo), mas leva em conta também a direção e o sentido desse vetor — vetorialmente, 2 1 2 nem sempre é igual a 4. Vetores e soma vetorial são assuntos tratados neste capítulo. R e p ro d u ç ã o /A c e rv o d o a u to r capítulo 2 Regata na lagoa Rodrigo de Freitas, Rio de Janeiro, em abril de 2009. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 23 3/7/13 10:32 AM 24 U N I DA D E 1 – I N t ro D U ç ão Ao E st U D o DA f ísI c A 1. Grandezas e medidas Comprimento, massa, tempo, força e velocidade são grandezas porque podem ser medidos — em sín- tese, tudo o que pode ser medido é grandeza. Mas há coisas impossíveis de serem medidas, como tristeza, valentia e paixão. Não é possível atribuir um valor nu- mérico à valentia de uma pessoa ou à paixão que ela sente por outra. Qualidades e sentimentos humanos não podem ser considerados grandezas; por isso, não são objetos de estudo da Física. Mas o que é medir? Medir uma grandeza é atribuir- -lhe um valor numérico e uma unidade. Para isso é ne- cessária a escolha de um padrão, que pode ser um mo- delo concreto, como o quilograma-padrão. Trata-se de um pequeno cilindro (mais ou menos do tamanho de uma xícara de café) constituído de uma liga de platina e irídio. É a única unidade do SI que ainda tem padrão ma- terial; para que seja preservado, ele é mantido sob três campânulas de vidro a vácuo. Esse padrão também pode ser definido por regras que possam ser repro- duzidas em laboratórios especializados, como o pa- drão de comprimento — o metro, cuja definição atual é baseada na velocidade da luz. Definido o padrão que permite a medida da grande- za, define-se a unidade de medida dessa grandeza, seus múltiplos e submúltiplos, e a esse padrão se ajus- tam os correspondentes instrumentos de medida. A partir daí, a medida passa a ser um processo de com- paração entre o que se quer medir e o padrão. Em princípio, qualquer indivíduo, comunidade ou nação pode construir e definir seus próprios padrões e unidades. No entanto, é fácil imaginar como o mundo seria complicado se cada país tivesse padrões e unida- des diferentes, por isso é importante que esses pa- drões e unidades se- jam uni ficados em todo o mundo, para facilitar tanto a troca de infor- mações científicas co - mo comerciais. Quilograma-padrão: pequeno cilindro protegido por várias campânulas de vidro. B u re a u I n te rn a ti o n a l d e s P o id s e t M e s u re s /A g e n c e F ra n c e -p re s s e 2. Grandezas fundamentais e derivadas Embora existam dezenas de grandezas físicas, são estabelecidos padrões e definidas unidades para um número mínimo de grandezas denominadas funda- mentais. A partir das grandezas fundamentais são de- finidas unidades para todas as demais grandezas, cha- madas grandezas derivadas. Assim, da grandeza fundamental comprimento, cuja unidade é o metro, definem-se unidades de grandezas derivadas, como área (metro quadrado) e volume (me- tro cúbico). De duas grandezas fundamentais, compri- mento e tempo, definem-se, por exemplo, as unidades de velocidade (metro por segundo) e aceleração (me- tro por segundo ao quadrado). 3. Sistema Internacional de Unidades (SI) Até 1960 havia em todo o mundo diversos sistemas de unidades, isto é, conjuntos diferentes de unidades fundamentais que davam origem a inúmeras unidades derivadas. Grandezas como força e velocidade, por exemplo, tinham cerca de uma dezena de unidades di- ferentes em uso. Por essa razão, a 11ª- Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) criou o Sistema Interna- cional de Unidades (SI) com o objetivo de eliminar essa multiplicidade de padrões e unidades. O SI deveria atri- buir a cada grandeza uma só unidade, o que foi acorda- do na 14ª- CGPM, em 1971. Nessa conferência foram sele- cionadas as unidades básicas do SI: metro, quilograma, segundo, ampère, kelvin, mol e candela, corresponden- tes às grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade lu- minosa. Do mesmo modo, foram estabelecidos os seus símbolos e unidades derivadas, (veja tabela a seguir). O progresso científico e tecnológico tem possibilitado a re- definição dos padrões dessas grandezas. Todas as grandezas e unidades utilizadas nesta co- leção são aquelas adotadas pelo Sistema Internacional de Unidades. Adotaremos, eventualmente, algumas u ni dades práticas, de uso muito frequente, como o quilômetro por hora (km/h) para velocidade, o cava- lo-vapor (cv) para potência e rotações por minuto (rpm) para frequência. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 24 3/7/13 10:32 AM c A p í t U lo 2 – g r A N D E z As E s c A l A r E s E V E to r I A Is 25 4. Notação científica A expressão numérica da medida de determinadas grandezas associadas a fenômenos naturais frequen- temente resulta em valores muito pequenos ou muito grandes; é o caso dos dois exemplos ilustrados nas fi- guras a seguir. Adaptado de: STUDENT Atlas. London: Dorling Kindersley, 2011. Unidades fundamentais do SI Grandeza Unidade Símbolo* Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampère A Temperatura termodinâmica kelvin K Quantidade de matéria mol mol Intensidade luminosa candela cd * Observação: Os símbolos não são abreviações, por isso não têm ponto. Algumas unidades derivadas do SI** Grandeza Unidade Símbolo Área metro quadrado m2 Volume metro cúbico m3 Densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 Velocidade metro por segundo m/s Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2 Força newton N Pressão pascal Pa Trabalho, energia, quantidade de calor joule J Potência watt W Carga elétrica coulomb C Diferença de potencial volt V Resistência elétrica ohm Ω ** Observação: Há muitas outras unidades derivadas que serão apresentadas ao longo do texto. Fonte: Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (Inmetro). SI – Sistema Internacional de Unidades. 8. ed. Rio de Janeiro, 2007. L ic k /U C B e rk e le y /J . B lo o m . C . H a n s e n b Em a, está representado o supercontinente co- nhecido como Pangeia, 250 milhões de anos depois do início da deriva continental, hipótese segundo a qual havia na superfície da Terra um único continente que se dividiu em placas menores e deu origem aos continentes e oceanos atuais. Pesquisas recentes per- mitem estimar o valor dessa velocidade relativa de afastamento em torno de 0,000000002 m/s. Equador 0º AMÉRICA DO NORTE AMÉRICA DO SUL ÁFRICA ANTÁRTIDA ÍNDIA AUSTRÁLIA EURÁSIA a Pangeia CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 25 3/7/13 10:32 AM 28 U N I DA D E 1 – I N t ro D U ç ão Ao E st U D o DA f ísI c A O valor de 10 depende do número de algarismos significativos adotado. Se forem dois, será 3,2; três, 3,16 e assim por diante (o modo como se faz esse arredondamento é apresentado na página 45). Para entender a origem desse critério, observe o es- quema abaixo. Nele está representada uma barra verde, de altura medida pela ordenada y v , equidistante das ordenadas das alturas das barras laranja, y L 5 1,00 ? 10n, e azul, y A 5 1,00 ? 10n 1 1 (nesse caso, medidas em me- tros). Para determinar a ordenada y v , definimos como critério de equidistância a igualdade das razões entre as ordenadas da barra azul e verde e entre as ordena- das das barras verde e laranja. Obtemos então: y A y v 5 y v y L ⇒ 1,00 ? 10n 1 1 y v 5 y v 1,00 ? 10 n ⇒ ⇒ y v 2 5 1,00(10n 1 1 ? 10n) ⇒ ⇒ y v 2 5 1,00(10n 1 1 1 n) ⇒ y v 2 5 1,00(10 ? 102n) ⇒ ⇒ y v 5 10 ? 10 n y (m) y v 1,00 ? 10 n 1 1 1,00 ? 10 n 0 Assim, se y v 5 10 ? 10 n é a ordenada equidistante de y L e y A , todo valor y . y v , estará mais próximo de y A . Portanto, sua ordem de grandeza será 10n 1 1. Se y , y v , estará mais próximo de y L , portanto, sua ordem de gran- deza será 10n. 6. Grandezas escalares e vetoriais Se alguém disser que vai sair de casa às 10 horas e 20 minutos ou que a temperatura máxima prevista pa- ra o dia é de 25 ºC, não será necessário mais nenhuma informação. Para as grandezas tempo e temperatura, elas são completas, não deixam dúvida. Grandezas desse tipo ficam perfeitamente definidas pelo valor numérico e unidade — são grandezas escalares. Além do tempo e da temperatura, são exemplos de grande- zas escalares o volume, a massa, a energia e a intensi- dade da corrente elétrica. Observe agora a imagem a seguir. N b ie b a ch /S h u tt e rs to ck /G lo w I m a g e s Suponha que logo em seguida ao flagrante da foto acima, o beija-flor tenha se deslocado com velocidade de 10 m/s. Com base apenas nessa informação, é pos- sível indicar onde ele estava no segundo seguinte a essa foto? E d u a rd o S a n ta li e s tr a /A rq u iv o d a e d it o ra algarismos significativos Na maioria dos casos em que se trabalha em situa- ções reais, o número de algarismos obtidos em cálculos costuma ser muito grande — aparecem muitas casas decimais ou elas são infinitas — e supera em muito o número correto de algarismos significativos a serem utilizados. Em outras palavras, obtêm-se mais algarismos do que seria possível por meio dos instrumentos de medi- da utilizados na situação real. Nesse caso, os físicos desprezam todos os algarismos que ultrapassam esses limites, pois eles não são significativos (não podem ser lidos em nenhum dos instrumentos de medida utiliza- dos na situação real). CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 28 3/7/13 10:32 AM C A P Í T U LO 2 – G R A N D E Z AS E S C A L A R E S E V E TO R I A IS 29 E X E R C Í C I O S 3. A tabela a seguir apresenta a área dos cinco oceanos terrestres. Escreva essas medidas em notação cien- tífica e determine a ordem de grandeza de cada uma. Oceano Área (km2) Pacífico 156 000 000 Atlântico 76 800 000 Índico 68 600 000 Antártico 20 300 000 Ártico 14 100 000 Adaptado de: World Atlas. Disponível em: <www.worldatlas.com/ aatlas/infopage/oceans.htm>. Acesso em: 10 set. 2012. 4. Dos termos ou expressões dados a seguir, quais são grandezas físicas? Peso, esfor ço, caráter, calor, energia, volume, volume de trabalho, volume de jogo, luminosidade, claridade, umidade, potência, excentrici dade. Justifique. 5. Veja a foto: Suponha que a legenda da foto acima seja esta: São quatro horas da tarde, o tempo é bom e a tem- peratura agradável: 20 ºC; o veleiro, de meia tone- lada, desliza a 12 km/h graças ao vento que sopra de leste para oeste com velocidade de 20 km/h. Identifique quais são, nessa legenda, as grande- zas físicas e, entre elas, quais são as escalares e as vetoriais. Justifique. G e o rg e H a ll /O th e r Im a g e s Considere que uma pessoa empurrou a travessa de frutas do centro da mesa da foto da página anterior com uma força de 5,0 N. Para que lado a travessa foi? (Newton, N, é a unidade de força do SI e será definida mais adiante. Por enquanto, para você saber qual a in- tensidade de uma força de 1 N, faça uma experiência simples. Ponha sobre a sua mão, na horizontal, algo que tenha 100 g, como um pacote de presunto fatia- do, por exemplo. A força que você faz para segurar esse pacotinho é de 1 N aproximadamente.) Apesar de o valor numérico e a unidade das gran- dezas terem sido dados — velocidade de 10 m/s e força de 5,0 N —, não há como responder às pergun- tas formuladas acima. Só poderíamos determinar a posição do beija- -flor no segundo seguinte, ou o possível efeito da força sobre a travessa de frutas, se soubéssemos a direção e o sentido da velocidade do pássaro ou da força aplicada à travessa. Grandezas como deslocamento e força, cuja es- pecificação completa exige a indicação de direção e sentido em que atuam, são grandezas vetoriais. Outros exemplos de grandezas vetoriais são a velocidade, a aceleração, a quantidade de movimen- to e o vetor campo elétrico. Há, portanto, dois tipos de grandezas físicas: • as grandezas escalares, que ficam perfeitamente definidas com o valor numérico e a unidade, como o tempo e a temperatura; • e as grandezas vetoriais, que necessitam ainda da especificação da sua direção e sentido, como deslo- camento e força. E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 2. Sabe-se que a massa do planeta Mercúrio é 3,18  1023 kg, e o seu raio médio é 2,43  106 m. Determine a ordem de grandeza dessas medidas. R Como 3,18  3,16, a ordem de grandeza da massa de Mercúrio é 1023  1  1024 kg. Como 2,43 3,16, a ordem de grandeza do raio é 106 m. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 29 6/20/14 8:43 AM 30 U N I DA D E 1 – I N t ro D U ç ão Ao E st U D o DA f ísI c A 7. Representação de grandezas vetoriais: vetor A representação de grandezas escalares exige ape- nas que se indique a sua medida, ou seja, o seu valor nu- mérico e a unidade correspondente. Alguns exemplos: 3,0 kg (massa); 0,25 s (tempo); 8,0 ∙ 103 kg/m3 (densi- dade); 0,52 A (intensidade da corrente elétrica). Para representar grandezas vetoriais é necessário indicar, além da intensidade, a direção e o sentido da grandeza. Essa indicação é feita utilizando-se um vetor (veja figura a seguir). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo comprimento é proporcional à intensidade da grandeza que repre- senta. Nesse caso, a intensidade da grandeza vetorial é chamada de módulo. O vetor pode ser representado pelo segmento de reta orientado cujo comprimento indica o módulo da grandeza; a reta suporte do segmento (reta s, que contém o vetor) indica a direção, e a seta indica o sentido. módulo, valor ou intensidade? Quando nos referimos a grandezas escalares não há necessidade de utilizar uma palavra espe- cífica para expressar a sua medida, basta expressar a própria medida: a massa de um corpo é 2,0 kg, o comprimento da pista é 2,0 km, o tempo de espera é 20 min. Tudo o que precisamos saber da mas- sa, do comprimento ou do tempo está dito. Outro termo acrescido aí, como valor ou intensidade, seria inadequado ou redundante. Mas no caso das grandezas vetoriais esse procedimento deixa de ser correto, pois a expressão da medida só dá uma parcela da informação — dizer que a força apli- cada a um corpo é 20 N, por exemplo, não indi- ca a direção e o sentido da força. Por isso, nesse caso, o correto é dizer: o módulo da força aplicada a um corpo é 20 N. Costuma-se usar também, em vez de módulo, as palavras valor ou intensidade, mas uma consulta ao dicionário mostra que essas palavras não são sinônimas de módulo. Talvez seja possível aceitá-las assim, dada a frequência do uso, mas nesta coleção usaremos preferencial- mente o termo módulo. s Para entender o que significam e como se repre- sentam a direção e o sentido de uma grandeza, obser- ve as figuras a seguir. Figura 1 a = d = c = b = a &, b &, c & e d & são vetores de mesma direção e sentido. Figura 2 a & e b & são vetores de mesma direção e sentidos opostos. Na figura 1 estão representados vetores de mes- ma direção e sentido; na figura 2 os vetores têm a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, vetores de mesma direção são paralelos entre si, mas isso não garante que tenham o mesmo sentido. Na linguagem cotidiana, consagrada pelo dicionário, direção e senti- do podem ser sinônimos e ter o significado de “rumo”, “orientação”. Em Física, no entanto, essas palavras têm significados diferentes. Se uma pedra é lançada verticalmente, a direção do seu movimento é sempre a mesma — vertical —, mas o sentido não. Na subida o sentido é para cima; na descida ela se movimenta no sentido oposto — para baixo. Muitas vezes estamos interessados apenas no módulo de uma grandeza vetorial. Quando alguém diz que a velocidade máxima permitida numa estrada é 80 km/h, ou que um cabo de aço pode exercer força de até 100 000 N, por exemplo, não existe a preocupação nem a necessidade de indicar a direção e o sentido dessas grandezas. Por isso, muitas vezes nos referi- mos somente ao módulo da grandeza vetorial. Nesse caso, ela é representada apenas pelo símbolo: F, v, a, E. A representação de uma grandeza vetorial com suas características — módulo, direção e sentido — é indicada com o acréscimo de uma seta sobre o símbolo que a re- presenta, como F &, v &, a & e E & (veja a figura a seguir). b = a = F = CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 30 3/7/13 10:32 AM c A p í t U lo 2 – g r A N D E z As E s c A l A r E s E V E to r I A Is 33 E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 4. Um barco atravessa um rio perpendicularmente à correnteza. Sabendo que os módulos das velocida- des do barco e da correnteza do rio são, respectiva- mente, v B 5 4,0 m/s e v C 5 3,0 m/s, determine o módulo da velocidade resultante. v B= v C= P a u lo M a n zi /A rq u iv o d a e d it o ra RESOLUÇÃO Admitindo que a velocidade resultante v & do barco seja a soma vetorial de sua própria velocidade, v & B , com a velocidade da correnteza, v & C , podemos obter o módulo da velocidade resultante, v &, a partir do teorema de Pitágoras aplicado ao esquema abaixo: v C v B v = = = v 2 5 v 2 B 1 v 2 C ⇒ v2 5 4,02 1 3,02 ⇒ v 2 5 16 1 9,0 ⇒ ⇒ v 2 5 25 ⇒ v 5 5,0 m/s Portanto, o módulo da velocidade resultante é: v 5 5,0 m/s. A direção e o sentido podem ser determinados graficamente. E X E R C Í C I O S 10. Um móvel desloca-se 120 m no sentido oeste-les- te e, em seguida, 50 m no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses desloca- mentos. b) Determine o módulo do deslocamento resultante. 11. Um pequeno fragmento do revestimento do alto de um prédio se destaca e cai verticalmente até o ins- tante em que está com 10 m/s, quando uma súbita rajada de vento comunica a esse fragmento uma velocidade horizontal de 24 m/s. a) Represente esquematicamente essas velocida- des e a velocidade resultante nesse instante. b) Determine o módulo da velocidade resultante. Soma de vetores de direções quaisquer A rigor, não há diferença entre a situação da figura a seguir e a do item anterior. Para um móvel, partir de A e atingir B num deslocamento d & 1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d & 2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d &. Veja a figura: d = C A B =d 2 =d 1 Novamente o deslocamento d & equivale aos deslocamentos d & 1 e d & 2 . Portanto, d & 5 d & 1 1d & 2 . Na determinação do módulo do vetor resultante d &, no entanto, não é possível aplicar o teorema de Pitágoras, já que o ângulo entre d & 1 e d & 2 não é reto. Nesse caso aplica-se a regra do paralelogramo. Observe as figuras a seguir. b = c = a = a b = c = a = a O vetor b & pode ser deslocado para a outra extremidade de a &, reproduzindo a figura anterior. Os vetores a & e b &, complementados pelos segmen- tos tracejados, formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante c &. Segundo a regra do paralelogra- mo, se a & e b & formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor resultante c& será dado pela expressão: c2 5 a2 1 b2 1 2ab · cos α O termo cos α significa cosseno de α. É uma cons- tante trigonométrica que associa a cada ângulo um va- lor numérico. conexões: matemática A regra do paralelogramo se origina da lei dos cossenos, que se aplica a um triângulo qualquer e dá a medida de um lado c em função da medida dos outros dois lados, a e b, e do ângulo α , opos- to a c. Em Física, ela é “adaptada” para paralelo- gramos, por isso o sinal do produto 2ab é positivo, enquanto na lei dos cossenos é negativo. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 33 3/7/13 10:32 AM 34 U N I DA D E 1 – I N t ro D U ç ão Ao E st U D o DA f ísI c A E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 5. Na figura abaixo estão representadas duas forças: F & 1 , de módulo F 1 5 5,0 N, e F & 2 , de módulo F 2 5 3,0 N, formando entre si um ângulo α 5 60. Determine o módulo F da força F & resultante dessas duas forças. (Dado: cos 60 5 0,50.) a = 60° F 1 = F 2 = RESOLUÇÃO Aplicando a regra do paralelogramo, temos: F2 5 F 1 2 1 F 2 2 1 2 F 1 F 2 ? cos α ⇒ ⇒ F2 5 5,02 1 3,02 1 2 ? 5,0 ? 3,0 ? cos 60 ⇒ ⇒ F2 5 25 1 9,0 1 30 ? 0,50 ⇒ F2 5 49 ⇒ F 5 7,0 N O módulo da resultante é, portanto, 7,0 N. Nesse caso, também, a direção e o sentido podem ser determinados graficamente. E X E R C Í C I O S 12. A soma 2 1 2 pode não ser 4? Justifique. 13. O módulo da soma de dois vetores pode ser menor que o módulo de cada um dos vetores componen- tes? Explique. 14. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velo- cidade de módulo 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento que comu- nica ao avião uma velocidade de módulo 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste. a) Faça um esquema gráfico representando essas velocidades e a velocidade resultante. b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dado: cos 45 5 0,71.)* 15. Na figura estão representadas duas forças concor- rentes, F & 1 e F & 2 , de mesmo módulo: F 1  F 2  100 N. Determine o módulo da resultante de F & 1 e F & 2 . (Dado: cos 120  0,50.) 120° F 1 = F 2 = * Neste livro não adotamos o sinal > (aproximadamente igual) por ser re- dundante. Neste caso e em todas as situações físicas, toda igualdade é sempre aproximada. 9. Decomposição de vetores Na soma de dois vetores, podemos obter um único vetor — o vetor resultante — equivalente a esses dois. Na decomposição de vetores o procedimento é inverso. Dado um vetor a &, podem-se obter dois outros vetores a &x e a &y tal que a &x 1 a &y 5 a &. Veja a figura a seguir: a x& a y& a = y x Nesse caso, como a &x e a &y são vetores perpendicu- lares entre si, a decomposição é ortogonal. Observe a figura: a x= a y= a y=a = a O vetor a &y pode ser deslocado para a extremidade do vetor a &x de tal modo que o vetor a & e seus vetores componentes ortogonais a &x e a &y formem um triângulo retângulo. Da Trigonometria aplicada ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes ho- rizontal ( a &x) e vertical ( a &y) de a & em função do ângulo α. Assim, no triângulo colorido, temos: cos α 5 a x a ⇒ a x 5 a ? cos α expressão do módulo do componente horizontal a &x do vetor a &. E ainda: sen α 5 a y a ⇒ a y 5 a ? sen α expressão do módulo do componente vertical a &y do vetor a &. Finalmente, como o triângulo formado por a & e seus componentes a &x e a &y é um triângulo retângulo, aplican- do o teorema de Pitágoras, temos: a2 5 a 2 x 1 a 2 y que é a relação entre o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 34 3/7/13 10:32 AM c A p í t U lo 2 – g r A N D E z As E s c A l A r E s E V E to r I A Is 35 E X E R C Í C I O S 16. Nas observações do exercício resolvido 6, afir ma- mos que a soma algébrica dos módulos dos com- ponentes ortogonais dessa força (120 N 1 160 N) não tem significado físico e que componentes de grandezas vetoriais só podem ser somados veto- rialmente. Faça essa soma e obtenha o módulo da força decomposta. 17. Um projétil é lançado do solo segundo uma dire- ção que forma 53 com a horizontal e em uma velocidade de módulo v  200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, v &x, e vertical, v &y, dessa velocidade. (Dados: sen 53  0,80; cos 53  0,60.) V = 53° 18. A figura abaixo representa as velocidades v &1, v &2, v &3, v &4, v &5 e v &6 de um projétil em movimento em seis instantes sucessivos (t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 5 e t 6 ). y t1 t2 t3 t4 t5 t6 x v1= v3= v4= v5= v6= v2= Sabe-se que cada quadradinho representa 20 m/s (módulo da velocidade). Determine: a) o módulo dos componentes v &x dessas velocida- des em cada instante; b) o módulo dos componentes v &y dessas velocida- des em cada instante; c) os módulos de v &1, v &2, v &3, v &4, v &5 e v &6. E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 6. No esquema representado na figura abaixo, a força tem módulo F 5 200 N. Determine o módulo de seus componentes hori- zontal, F & x , e vertical, F & y . São dados: cos 37 5 0,80 e sen 37 5 0,60. F = 37° x y RESOLUÇÃO Aplicando a expressão a x 5 a ? cos α, obtemos F x 5 F ? cos α. Logo: F x 5 200 ? cos 37 ⇒ F x 5 200 ? 0,80 ⇒ F x 5 160 N Aplicando a expressão a y 5 a ? sen α, obtemos F y 5 F ? sen α. Logo: F y 5 200 ? sen 37 ⇒ F y 5 200 ? 0,60 ⇒ F y 5 120 N Portanto, os componentes de F & têm módulos F x 5 160 N e F y 5 120 N. Observações 1·) Como veremos no capítulo 11, embora os com- ponentes das grandezas vetoriais constituam um artifício matemático, eles têm realidade físi- ca. Se a força F & for aplicada a um corpo, ela de fato exercerá ações horizontal e vertical corres- pondentes a esses componentes. 2·) A soma algébrica dos módulos dos componen- tes dessa força (120 N 1 160 N) não tem nenhum significado físico — componentes de grandezas vetoriais só podem ser somados vetorialmente. Nesse caso, o módulo da resultante, que é o módulo de F &, só pode ser obtido por meio do teorema de Pitágoras. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 35 3/7/13 10:32 AM CONEXÕES 38 U N I DA D E 1 – I N t ro D U ç ão Ao E st U D o DA f ísI c A Dois pesos e duas medidas A criação do sistema métrico foi um ato revolucionário. De 5 de maio de 1789 a 9 de maio de 1799, ocorreu um dos eventos mais importantes da história mundial: a Revolução Francesa. Na França do século XVIII era grande a injustiça social e o consequente sentimento de revolta das camadas populares. A insatisfação foi tamanha que essas pes- soas foram às ruas para tomar o poder das mãos da monarquia absolutista do rei Luís XVI. Sob o lema “Liberdade, Igualdade e Fraternidade”, significados relacionados, respectivamente, às cores da bandeira da França, azul, branco e vermelho, a Revolução Francesa se caracterizou por uma série de acontecimentos que alteraram de forma radical o quadro social e político do país. O memorável julgamento de Luís XVI na Convenção Nacional (1796). Gravura de Luigi Schiavonetti e William Miller. Na mesma Convenção Nacional que julgou e decidiu a execução do rei Luís XVI, foram criados padrões únicos de massa e comprimento e foi adotado o sistema métrico decimal na França. Nessa época, a França vivia uma situação caótica. Praticamente não havia leis, a confusão reinava em todos os setores e se agravava pela inexistência de padrões oficiais de medida. Os comerciantes eram acusados de usar padrões de medidas diferentes, um para comprar, outro para vender; um para pagar, outro para receber, prática perversa que ficou conhecida como “dois pesos e duas medidas”. Por esse motivo, durante a chamada Convenção Nacional (1792-1795), período revolucionário que se caracterizou por várias medidas radicais, entre elas o julga- mento e execução de Luís XVI, foram estabelecidos padrões únicos de massa e comprimento e foi adotado o siste- ma decimal, mais cômodo e racional. Foi proposta também uma alteração no calendário e na divisão das horas do dia: o ano foi dividido em 12 meses (veja tabela a seguir) de três períodos de 10 dias (decâmeros ou décadas); o dia foi dividido em 10 horas, cada hora em 100 minutos. R e p ro d u çã o / M u se u d o L o u v re , P ar is , F ra n ça . A Liberdade guiando o povo (1831). Óleo sobre tela do artista francês Eugène Delacroix. Apesar de ter sido pintado em homenagem à Revolução de Julho de 1830, o quadro se inspira na Revolução Francesa, sobretudo ao personificar a Liberdade segurando a bandeira da França, cujas cores representam o lema da revolução. T h e A rt A rc h iv e / A la m y / O th e r Im ag e s CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 38 3/7/13 10:32 AM história c A p í t U lo 2 – g r A N D E z As E s c A l A r E s E V E to r I A Is 39 Calendário revolucionário francês Estação Mês Correspondência com o nosso calendário Outono Vindimário (mês da vindima) 22 de setembro a 21 de outubro Brumário (mês da bruma, neblina) 22 de outubro a 20 de novembro Frimário (mês da geada) 21 de novembro a 20 de dezembro Inverno Nivoso (mês da neve) 21 de dezembro a 19 de janeiro Pluvioso (mês das chuvas) 20 de janeiro a 18 de fevereiro Ventoso (mês dos ventos) 19 de fevereiro a 20 de março Primavera Germinal (mês da germinação) 21 de março a 19 de abril Floreal (mês das flores) 20 de abril a 19 de maio Pradial (mês das pradarias) 20 de maio a 18 de junho Verão Messidor (mês da colheita) 19 de junho a 18 de julho Termidor (mês do calor) 19 de julho a 17 de agosto Frutidor (mês das frutas) 18 de agosto a 21 de setembro Para viabilizar essa proposta foram construídos relógios com mostradores duplos, como o da figura ao lado. Neles era possível consultar tanto a hora an- tiga (parte inferior) como a revolucionária (acima). O mostrador menor, à es- querda, marcava as décadas do mês. Mas o tempo decimal nunca foi aceito pela população — durou pouco mais de seis meses, de 22 de setembro de 1794 a 7 de abril de 1795, quando foi extinto. No mesmo dia de sua extinção, o sistema métrico decimal foi adotado. h tt p :/ /p e rs o n a l. te le fo n ic a .t e rr a .e s /w e b / jl m a rt in m a s /r e p c a le n d a r/ c a le n d a r. h tm l 1. A respeito da revolução francesa, pesquise e discuta com seus colegas (se necessário, peça ajuda de seu professor de História): a) Quais os períodos da revolução francesa? b) Qual a era a estrutura social da frança do século XVIII antes da revolução, ou seja, quais as principais classes sociais da época? 2. A revolução francesa pretendia estabelecer um dia com 10 horas. Que horas seriam quando um relógio “revolucioná- rio” marcasse 4,6 horas? 3. Algumas embalagens podem dar ao consumidor a impressão de que a quantidade do produto nela contido é maior do que aparenta. a) Discuta com seus colegas: por que é importante verificar se as medidas informadas nas embalagens dos produtos estão corretas? b) Vocês ou sua família têm esse costume? c) Experimentem fazer essa verificação com alguns produtos de supermercado. Explorem diferentes grandezas e atentem para a escolha dos instrumentos de medida adequados. Apresentem os dados para a classe. a m p l i a n d o o c o n h e c i m e n t o CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_023a039_U1_C2.indd 39 3/7/13 10:32 AM 4040 Estudo dos movimentos un idade 2 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 40 3/7/13 10:33 AM c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS 43 2. Espaço percorrido e velocidade escalar A definição de movimento permite pensarmos ini- cialmente em dois conceitos genéricos e provisórios, mas que nos são muito úteis no dia a dia. O primeiro deles é o conceito de espaço percorrido, definido como a medida do comprimento do percurso do corpo em movimento. Essa medida costuma ser obtida entre duas referências, como os marcos quilo- métricos de uma estrada. Veja a figura a seguir. O es- paço percorrido é o comprimento do caminho percorri- do pelo móvel para ir de A a B — quanto mais curvas ele fizer, maior o espaço percorrido, embora o comprimen- to do segmento de reta que une os pontos inicial e final do percurso não se altere. A B O segundo conceito é o de velocidade escalar, que dá a ideia quantitativa ou numérica da rapidez com que o corpo se movimenta. velocidade escalar A palavra velocidade tem diversos significa- dos, como rapidez ou ligeireza, que não podem ser confundidos com o conceito físico de veloci- dade. O conceito de velocidade escalar que apa- rece aqui deve ser entendido como provisório; já o conceito físico de velocidade será apresentado no próximo capítulo. A principal diferença entre eles é que velocidade é um vetor, tem módulo, direção e sentido, enquanto velocidade escalar é uma grandeza escalar, tem apenas valor numérico e unidade. Em outras palavras, dois automóveis que se cru- zam em pistas diferentes de uma avenida com velo- cidade de 60 km/h não têm a mesma velocidade, no sentido que a Física dá ao termo, porque eles têm sentidos diferentes. 1. Conceito de movimento A ideia de movimento, na linguagem cotidiana, tem significado amplo e quase sempre ligado à vida — é di- fícil imaginar vida sem movimento; frequentemente vida é sinônimo de movimento. No entanto, em Física, a palavra movimento, como todas as palavras, adquire significado mais preciso e restrito: movimento é sem- pre um conceito relativo; só faz sentido falar em movi- mento de um corpo em relação a outro corpo. Por exemplo: um passageiro sentado num ônibus que percorre uma estrada está em movimento em relação a uma árvore junto à estrada, mas está parado em re- lação ao ônibus. A ideia de “parado” ou “em movimento” leva em conta a mudança, ou não, da localização do corpo em relação a outro que sirva de referência com o decor- rer do tempo. Em outras palavras, um corpo está em movimento quando a sua posição, em relação a de- terminado corpo de referência, varia com o decorrer do tempo. (Estamos utilizando a expressão corpo de referência em vez de sistemas de referência ou refe- rencial porque, como veremos mais adiante, corpos co- mo poste, carro, árvore não podem ser considerados sistema de referência ou referenciais.) Essa é uma definição inicial, provisória, que permite algumas conclusões interessantes. No choque de um carro contra um poste, por exemplo, pode-se afirmar que o carro bateu no poste se o poste for o corpo de re- ferência, ou que o poste bateu no carro se o carro for o corpo de referência. Esta última afirmação pode pare- cer absurda porque estamos acostumados a relacionar todas as coisas com a terra, o chão. E, em relação ao chão, é claro que o poste está fixo e o carro está em movimento. Mas, se uma mosca estiver pousada no capô do carro durante a colisão, ela certamente verá o poste avançando contra o carro. a palavra corpo De acordo com o Dicionário eletrônico Houaiss, um dos muitos significados atribuídos à palavra corpo é “a substância, a matéria, tudo o que ocupa lugar; tudo o que tem existência física e extensão no espaço”. É nesse sentido amplo que ela é usada aqui: um raio cósmico atravessando o espaço, um atleta correndo em uma pista, um rio ou o vento são exemplos de corpos em movimento. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 43 3/7/13 10:33 AM 44 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS A velocidade escalar pode estar relacionada a um intervalo de tempo, quando então é chamada de velo- cidade escalar média, ou a um instante — intervalo de tempo infinitamente pequeno —, quando então é cha- mada de velocidade escalar instantânea. Velocidade escalar média (v m ) de um corpo é, por definição, a razão entre o espaço percorrido (Δe ; lê-se “delta e”) e o intervalo de tempo (Δt) gasto para per- corrê-lo. Assim, a expressão matemática da velocida- de escalar média é: v m 5 espaçopercorrido intervalode tempogastoparapercorrê-lo Ou, adotando os símbolos correspondentes: v m 5 ∆ ∆ e t O intervalo de tempo Δt (delta t) pode ser expresso pela diferença entre o instante inicial t 0 (t zero) e o ins- tante final t, correspondentes ao início e ao fim do per- curso considerado (estamos considerando intervalo de tempo, Δt, como noção intuitiva — que dispensa defini- ção — obtida pela diferença entre dois instantes deter- minados: t, final ou posterior, e t 0 , inicial ou anterior). As- sim, o intervalo de tempo é representado pela expressão: Δt 5 t 2 t 0 A unidade da velocidade escalar média ou instan- tânea é obtida pela razão entre as unidades de espa- ço percorrido (comprimento) e de tempo. Como no SI a unidade de comprimento é o metro (m) e a de tem- po é o segundo (s), a unidade de velocidade é o me- tro por segundo (m/s). DELTA (Δ) Em Física usa-se a letra grega Δ (delta) sem- pre que se pretende representar um intervalo ou a variação de alguma grandeza. A variação de uma grandeza é sempre obtida pela diferença entre sua medida final e inicial no intervalo de tempo consi- derado; no caso do espaço percorrido essas medi- das podem ser duas referências — dois marcos quilométricos, por exemplo — fixadas no cami- nho percorrido por um móvel, por isso optamos por usar a notação Δe em vez de e, apenas. Assim, podemos escrever Δe 5 e 2 e 0 , sendo e e e 0 as refe- rências consideradas. Na prática, entretanto, utilizam-se também ou- tras unidades, como o quilômetro por hora (km/h). A definição de velocidade escalar instantânea é um pouco diferente da de velocidade escalar média. A dife- rença aparece porque, para determinar a velocidade escalar instantânea de um corpo, é necessário consi- derar um intervalo de tempo infinitamente pequeno, um instante. A Matemática representa esse intervalo de tempo na forma Δt → 0 (delta t tendendo a zero) e tem regras de cálculo especiais para o cálculo de frações em que o denominador tende a zero. O que importa, por enquanto, é distinguir velocida- de média de velocidade instantânea. Para isso vamos nos valer de um exemplo: se um carro percorre 100 qui- lômetros em 2 horas, a sua velocidade média é única e vale 50 km/h. Nesse percurso, no entanto, ele certa- mente teve, em determinados momentos, velocidades instantâneas — marcadas pelo velocímetro — diferen- tes de 50 km/h. O velocímetro mede a velocidade es- calar instantânea do carro; a velocidade escalar média, para ser medida, depende da escolha do intervalo de tempo a ser considerado, por isso só pode ser calcula- da a posteriori. Veja a tabela abaixo. Como as demais desta cole- ção, ela é apenas ilustrativa. Seus dados foram obtidos de diferentes fontes, a maioria delas indireta. Por essa razão não há indicação da fonte desses dados. Descrição Velocidade (m/s) Deriva continental 2 ? 1029 Lesma 1,0 ? 1023 Homem caminhando apressadamente 1,3 Prova dos 100 m rasos 10 Boeing 747 (velocidade máxima) 270 Som no ar à temperatura ambiente 330 Moléculas de O 2 no ar à temperatura ambiente 450 Ponto na superfície da Terra no equador 460 Velocidade da Terra em torno do Sol 3,0 ? 104 Luz no vácuo 3,0 ? 108 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 44 6/20/14 8:47 AM c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS 45 E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 1. Um automóvel sai de São Paulo às 10 horas e chega ao Rio de Janeiro às 17 horas depois de percorrer 420 quilômetros. a) Qual foi a velocidade escalar média desse automóvel? b) O que se pode afirmar sobre a velocidade es calar instantânea do automóvel às 15h10min? G . E v a n g e li s ta /O p ç ã o B ra s il I m a g e n s resolução a) Sendo dados Δe 5 420 km, t 0 5 10 h e t 5 17 h, da definição de velocidade escalar média, temos: v m 5 ∆ ∆ e t ⇒ v m 5 420 17 10 ⇒ v m 5 420 7,0 ⇒ ⇒ v m 5 60 km/h b) Os dados só nos permitem saber a velocidade escalar média em todo o intervalo de 7,0 horas que durou a viagem; não há como saber a velo- cidade escalar instantânea no instante pedi- do (15h10min). Desde que compatíveis com os dados do enunciado, o carro pode ter tido qual- quer velocidade, inclusive nula. 2. Um avião que vai de Brasília a Recife decola às 7h00min e aterrissa às 9h30min. Sabendo-se que a velocidade média do avião é de 910 km/h, qual o espaço percorrido por esse avião? resolução Da expressão da velocidade média, temos: v m 5 ∆ ∆ e t ⇒ Δe 5 v m Δt Expressando o intervalo de tempo em números decimais, temos: Δt 5 9 h 30 min  7 h 00 min ⇒ Δt 5 9,5 h  7,0 h ⇒ ⇒ Δt 5 2,5 h Como v m 5 910 km/h, temos: Δe 5 v m Δt ⇒ Δe 5 910 · 2,5 ⇒ Δe 5 2 300 km Observação: O resultado da conta 910 · 2,5 é igual a 2 275, mas ele foi arredondado por coerência com os algarismos significativos dos dados do enuncia- do do exercício. criTÉrios para escrever alGarisMos siGNiFicaTivos O primeiro critério para escrever algarismos sig- nificativos decorre do instrumento e do processo de medida usados. Veja a imagem: E d u a rd o S a n ta li e s tr a / A rq u iv o d a e d it o ra Só é possível escrever a medida do diâmetro dessa arruela por meio de dois ou três algarismos significa- tivos: 1,5 cm ou 1,55 cm. No segundo caso, o terceiro algarismo é avaliado, mas ainda é significativo por- que essa avaliação se baseia no instrumento de medi- da (metade da sua menor divisão). É fácil concluir que, nessa medida, com essa régua, três é o número máximo de algarismos que pode ser adotado. O segundo critério decorre de cálculos feitos a partir de medidas como essas: se calcularmos, por exemplo, a área A do círculo externo dessa arruela adotando o diâmetro d 5 1,55 cm, com uma calcula- dora de 10 dígitos, vamos obter: A 5 1,886919088 cm2. Mas, como não faz sentido obter um resultado com mais algarismos significativos do que a medida que lhe deu origem, devemos desprezar os sete últimos algarismos. Nesse caso, adota-se a seguinte regra de arredondamento: se o primeiro algarismo despreza- do for menor que 5, preservam-se os anteriores; se for maior ou igual a 5, acrescenta-se uma unidade ao primeiro algarismo preservado. Portanto, a medida dessa área deve ser expressa por A 5 1,89 cm2. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 45 3/7/13 10:33 AM 48 u N i da d E 2 – E ST u d O d OS M OV i M E N TOS O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, representado na figura a, a seguir, é utilizado para mo- vimentos no espaço que não serão objeto de nosso estudo. yFigura a P(x, y, z) x z Sistema cartesiano ortogonal para determinar a posição de um ponto material P no espaço: pode-se associá-lo aos três cantos da sala, por exemplo. Vamos estudar apenas movimentos retilíneos e movimentos curvilíneos no plano, o que permite a sim- plificação desse sistema de eixos. Para movimentos retilíneos utilizaremos apenas um desses eixos, como mostra a figura b. Para movimentos no plano vamos utilizar o sistema de eixos da figura c. y O P(y) Figura b Se o ponto material P se move verticalmente, por exemplo, pode- -se reduzir esse referencial apenas ao eixo y, das ordenadas. y x Figura c P(x, y) Para movimentos no plano é necessária a utilização de dois eixos cartesianos ortogonais, x e y. EXERC ÍC IOS 9. Uma casa pode ser considerada um referencial? Justifique. 10. Que tamanho deve ter um corpo para ser conside- rado um ponto material? Justifique. 11. Uma borracha está sobre uma carteira na sala de aula. Que coordenadas são necessárias para definir a posição dessa borracha: a) em relação à carteira? b) em relação à sala de aula? Veja os exemplos a seguir: F o rm a to c o m u n ic a ç ã o /A rq u iv o d a E d it o ra y Referencial a x 1 m F F L L A A menor divisão da escala é 1,0 m. y A Referencial b x 1 km A menor divisão da escala é 1,0 km. Nesses referenciais estão representados dois siste- mas de eixos cartesianos, fixos no solo, numa determi- nada região da Terra. Supondo que a região seja plana (desprezando-se as ondulações do terreno e a curvatu- ra da Terra), ambos os sistemas são referenciais válidos para o estudo de qualquer movimento nessa região. Em a, está representado um plano cartesiano cuja menor divisão da escala é 1,0 m. Nesse referencial, ca- da ponto do automóvel tem coordenadas diferentes — o automóvel, portanto, não pode ser considerado um ponto material em relação a esse referencial. Em b, no entanto, a menor divisão da escala é 1 000 vezes maior. Nesse caso não é possível distinguir dois pontos distintos do automóvel. O mesmo automóvel, em relação a esse referencial, é um ponto material. Ponto material é, portanto, um corpo — no seu sentido restrito de porção limitada de matéria — cujas dimensões podem ser consideradas desprezíveis em relação a um determinado referencial. Referencial, por sua vez, é o sistema de coordena- das rígido em relação ao qual se podem especificar as coordenadas do ponto material. Existem diferentes sistemas de coordenadas que permitem definir a posição do ponto no espaço. Cada um desses sistemas pode ser um referencial válido pa- ra o estudo do movimento do ponto material. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 48 3/7/13 10:33 AM c a p í T u lO 3 – i N T rO d u ç ãO aO E ST u d O d OS M OV i M E N TOS 49 P a u lo M a n zi /A rq u iv o d a e d it o ra Dois aviões deixam cair pacotes de mantimentos para um grupo de pessoas isoladas por uma enchente. Mesmo nesse caso, essas trajetórias só podem ser definidas se os pacotes forem considerados pontos materiais. Se não o forem e os pacotes girarem ao cair, as trajetórias de pontos situados na borda dos pacotes, por exemplo, serão espirais verticais em relação aos pi- lotos e espirais parabólicas em relação às pessoas que estão em terra. EXERC ÍC IO 12. A foto a seguir mostra um bumerangue em movi- mento — ela foi obtida por meio da instalação de três LEDs (dispositivo eletrônico emissor de luz) em três pontos de sua estrutura. Observe-a e responda: a) Quantas trajetórias esse bumerangue descre- ve? Explique. b) Qual delas é a verdadeira? Justifique. M ic h a e l M u rp h re e /C o rb is /L a ti n s to ck 4. Trajetória A ideia de trajetória é aparentemente simples. As li- nhas luminosas formadas pelos faróis e lanternas de automóveis da foto abaixo ou do rastro do foguete da foto de abertura desta unidade são exemplos típicos de trajetórias de corpos em movimento. R e p ro d u ç ã o /< h tt p :/ /m e d ia .s k y to n ig h t. c o m > No entanto, essa simplicidade depende também do conceito de ponto material e de referencial. Veja a figura: A O B O ponto central da roda (O) descreve uma reta, mas os pontos A e B descrevem curvas. Qual é a trajetória da roda? Não é possível dizer qual é a trajetória da roda em relação ao solo ou a qualquer outro referencial, pois pontos diferentes da roda têm trajetórias diferentes. Só é possível definir a trajetória de um corpo se ele puder ser considerado um ponto material ou, se for um corpo rígido e extenso, só se tiver movimento de translação puro (ou seja, quando todos os seus pontos descrevem trajetórias paralelas). Observe a figura a seguir e note que os pacotes, enquanto caem, se não forem freados muito rapidamente pela resistência do ar, tendem a manter a mesma velocidade do avião. Cada piloto verá esses pacotes descreverem uma trajetória quase retilí- nea e vertical se mantiverem a sua velocidade e a sua rota. As pessoas em terra, no entanto, veem os paco- tes descreverem uma trajetória parabólica. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 49 3/7/13 10:33 AM 50 u N i da d E 2 – E ST u d O d OS M OV i M E N TOS 1. Algarismos significativos Um exemplo prático, não relacionado à Física, mas à economia doméstica, vai ajudar vocês a perceber a conveniência do uso de algarismos significativos. Em grupo, suponham que alguém lhes peça que calcule quanto é gasto por dia em suas casas com eletricidade e queira que vocês considerem nesse cálculo o consumo diário no período de um ano. O cálculo é simples – basta dividir a soma dos valores das contas mensais de um ano pelo número de dias correspon- dente –, mas vocês vão perceber que alguns critérios têm de ser estabelecidos: • Qual o número de dias de um ano que vocês vão usar: 360; 365; 370; 365,25 ou outro valor? • Na soma de todos os valores das contas de um ano, vocês devem colocar todos os algarismos obtidos ou podem arre- dondar, suprimindo alguns? • No cálculo do consumo diário, expresso pela divisão do valor total das contas pelo número de dias de um ano, vocês colocam todos os algarismos obtidos ou podem arredondar, suprimindo alguns? Os dados do problema são escolhidos por vocês, mas a escolha do número de algarismos de um dado – o número de dias do ano, por exemplo – implica, por coerência, o número de algarismos do outro e o que aparece na resposta. Relatem as decisões tomadas, justificando-as, e apresentem seus cálculos à classe. 2. Ponto material e sistema de referência Atividade em grupo, com base nas figuras que apareceram na página 48. a) Peguem uma borracha com formato retangular ainda bem definido, de preferência nova, e examinem a figura da esquerda. Na situação considerada, esse carro não é um ponto material, pois as coordenadas dos faróis da frente não coincidem com as coordenadas das lanternas traseiras, por exemplo. Se, em vez do automóvel, vocês representassem a borracha no mesmo plano cartesiano, ela poderia ser considerada um ponto material? Justifique. Sugestão: Vocês podem desenhar um plano cartesiano com a mesma escala dessa figura (1 cm equivale a 1 m) e repre- sentar a borracha nesse plano, em qualquer posição, também nessa mesma escala. Usem para isso uma folha de papel almaço quadriculada ou de papel milimetrado. b) Na figura da direita, o automóvel é representado por um ponto A, tendo em vista a escala do gráfico (cada quadradi- nho vale 1 km). Isso acontece porque as dimensões do automóvel representadas nessa escala não ultrapassam as dimensões do ponto que representa na figura. Assim pode-se afirmar que, nesse caso, o automóvel é um ponto material. Não é difícil perceber que isso poderia valer em escalas menores, ou seja, atribuindo a cada quadradinho valores menores que 1 km. Qual deve ser o menor valor dessa escala para que o automóvel ainda possa ser conside- rado um ponto material? Observação: Para facilitar seus cálculos, suponham que o diâmetro da pequena circunferência que representa o ponto A na figura seja 1 mm (não se esqueçam de que, em Geometria, ponto não tem dimensão; estamos falando de ponto mate- rial, e não de ponto geométrico). F o rm a to c o m u n ic a ç ã o /A rq u iv o d a E d it o ra y Referencial a x 1 m F F L L A y A Referencial b x 1 km at i v i d a d e s p r át i c a s CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_040a050_U2_C3.indd 50 3/7/13 10:33 AM c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS 53 E X E R C Í C I O R E S O LV I D O 1. No eixo de coordenada abaixo, estão representadas pelas letras A, B e C as posições, em metros, de um ponto material em movimento. Determine: a) as posições dos pontos A, B e C; b) o módulo do deslocamento entre as posições A e B; A e C; e B e C. resolução a) Basta escrever as abscissas desses pontos na figura dada: x A 5 2,0 m; x B 5 14 m; x C 5 24,0 m b) Entre A e B, da expressão Δx 5 x 2 x 0 escrita na forma Δx AB 5 x B 2 x A , obtemos o módulo do deslocamento: Δx AB 5 14 2 2,0 ⇒ Δx AB 5 12 m Entre A e C o módulo do deslocamento é: Δx AC 5 x C 2 x A ⇒ Δx AC 5 24,0 2 2,0 ⇒ ⇒ Δx AC 5 26,0 m Analogamente, entre B e C o módulo do deslo- camento é: Δx BC 5 x C 2 x B ⇒ Δx BC 5 24,0 2 14 ⇒ ⇒ Δx BC 5 218 m Observações 1·) No deslocamento AC, se o ponto material vai de A para B e volta para C, o espaço percorrido é 30 m (12 m de A para B e 18 m de B para C), enquanto o módulo do deslocamento AC é Δx AC 5 6,0 m (omitimos o sinal negativo por- que ele não se refere ao módulo do desloca- mento, mas ao seu sentido). 2·) O sinal positivo de Δx AB indica que o desloca- mento de A para B tem o mesmo sentido do eixo; os módulos dos deslocamentos de A para C e de B para C são precedidos de sinal negativo porque têm sentidos opostos ao do eixo. 3·) Os deslocamentos obtidos têm módulo, direção (do eixo x) e sentido (indicado pelo sinal), por- tanto, eles estão expressos vetorialmente. –6,0 –4,0 C A B –2,0 0 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 x (m) E X E R C Í C I O S 1. Por que a Física estuda movimentos retilíneos se eles são tão raros na natureza? 2. Dizer “posição de um ponto material” é o mesmo que dizer “espaço de um ponto material”? Explique. 3. Se um motorista deseja medir o consumo de com- bustível de seu automóvel, em qual dos conceitos ele deve se basear: deslocamento ou espaço per- corrido? Justifique. 4. Um garoto lança uma bola contra uma parede e ela volta à sua mão, mantendo-se na mesma direção. Se a mão do garoto se manteve na mesma posição em relação ao chão desde que a bola saiu da mão até voltar a ela de novo, qual o deslocamento da bola nesse intervalo de tempo? Qual o espaço per- corrido? Justifique. 5. No eixo de coordenada abaixo estão representadas pelas letras A, B e C as posições sucessivas, em metros, de um ponto material em movimento. –10 –5,0 A C B 0 5,0 10 15 20 25 30 35 40 45 x (m) Determine: a) as posições A, B e C; b) o módulo do deslocamento entre as posições A e B; A e C; e B e C. S é rg io D o tt a /A rq u iv o d a e d it o ra CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 53 3/7/13 10:34 AM 54 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS 3. Velocidade média e instantânea Já vimos o conceito de velocidade escalar média, definindo-o a partir do espaço percorrido por um mó- vel. O conceito de velocidade média é semelhante, mas é definido a partir do deslocamento de um ponto ma- terial. A velocidade média de um ponto material é, por definição, a razão entre o deslocamento Δx & de um mó- vel e o intervalo de tempo Δt correspondente. Assim, expressa em módulo, a velocidade média é: v m 5 ∆x t∆ No movimento retilíneo, sendo x 0 a posição do móvel no instante t 0 e x a posição no instante t, o deslocamen- to será Δx 5 x 2 x 0 no intervalo de tempo Δ t 5 t 2 t 0 . Portanto, o módulo da velocidade média no movimento retilíneo pode ser obtido pela razão: v m 5 x x t t 0 0 As unidades de velocidade média são as mesmas que as da velocidade escalar média, uma vez que des- locamento e espaço percorrido têm a mesma dimen- são (comprimento). A velocidade instantânea é definida do mesmo mo- do que a velocidade escalar instantânea. Quando o in- tervalo de tempo em que se mede o deslocamento é in- finitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo é um instante (Δt → 0), a velocidade média é igual à velocidade nesse instante. Portanto, nesse caso, a velocidade instantânea é a velocidade média calcula- da em um intervalo de tempo infinitamente pequeno. VeLoCiDaDe esCaLaR MÉDia Da mesma forma que deslocamento e espa- ço percorrido são conceitos diferentes, velocidade média e velocidade escalar média — conceitos deri- vados de deslocamento e espaço percorrido — tam- bém são diferentes. Como o deslocamento, a veloci- dade média é um vetor, por isso é costume chamá-la de velocidade vetorial média. Neste livro, no estudo dos movimentos de cor- pos ou pontos materiais, não vamos utilizar o adje- tivo vetorial para velocidade média nem para velo- cidade instantânea. Isso porque em Física, quando nos referimos à velocidade de um corpo ou de um ponto material, só faz sentido falar em velocidade como vetor. Nesse caso, acrescentar o adjetivo veto- rial seria redundância. E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 2. Um ponto material percorre uma trajetória reti- línea à qual se associa um eixo coordenado. Seu movimento é descrito pela tabela abaixo, onde a linha t (s) representa os instantes em segundos, e a linha x (m), as posições em metros ocupadas pelo ponto material nesses instantes: t (s) 0 2,0 4,0 6,0 8,0 x (m) 10 30 40 40 20 Determine o módulo do deslocamento e da ve- locidade média desse móvel nos intervalos de tempo: a) de 0 a 2,0 s; b) de 2,0 a 4,0 s; c) de 4,0 a 6,0 s; d) de 6,0 a 8,0 s. resolução a) Da tabela, obtemos: t 0 5 0 ⇒ x 0 5 10 m; t 2 5 2,0 s ⇒ x 2 5 30 m Da expressão Δx 5 x 2 x 0 , obtemos: Δx (2, 0) 5 x 2 2 x 0 ⇒ Δx (2, 0) 5 30 2 10 ⇒ ⇒ Δx (2, 0) 5 20 m Para determinar o módulo da velocidade média, aplicamos a expressão v m 5 x x t t 2 2 0 0 : v m(2, 0) 5 x x t t 2 0 2 0 2 2 ⇒ v m(2, 0) 5 30 10 2,0 0 2 2 ⇒ ⇒ v m(2, 0) 5 10 m/s b) Da tabela, obtemos: t 2 5 2,0 s ⇒ x 2 5 30 m; t 4 5 4,0 s ⇒ x 4 5 40 m Portanto: Δx (4, 2) 5 x 4 2 x 2 ⇒ Δx (4, 2) 5 40 2 30 ⇒ ⇒ Δx (4, 2) 5 10 m E o módulo da velocidade média é: v m(4, 2) 5 x x t t 4 2 4 2 2 2 ⇒ v m(4, 2) 5 40 30 4,0 2,0 2 2 ⇒ ⇒ v m(4, 2) 5 5,0 m/s CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 54 3/7/13 10:34 AM c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS 55 c) Da tabela, obtemos: t 4 5 4,0 s → x 4 5 40 m t 6 5 6,0 s → x 6 5 40 m Portanto: Δx (6, 4) 5 x 6 2 x 4 ⇒ Δx (6, 4) 5 40 2 40 ⇒ ⇒ Δx (6, 4) 5 0 m v m(6, 4) 5 x x t t 6 4 6 4 2 2 ⇒ v m(6, 4) 5 40 40 6,0 4,0 2 2 ⇒ ⇒ v m(6, 4) 5 0 m/s d) Da tabela, obtemos: t 6 5 6,0 s → x 6 5 40 m t 8 5 8,0 s → x 8 5 20 m Portanto: Δx (8, 6) 5 x 8 2 x 6 ⇒ Δx (8, 6) 5 20 2 40 ⇒ ⇒ Δx (8, 6) 5 220 m v m(8, 6) 5 x x t t 8 6 8 6 2 2 ⇒ v m(8, 6) 5 20 40 8,0 6,0 2 2 ⇒ ⇒ v m(8, 6) 5 210 m/s Observação: Como as posições foram obtidas di- retamente de um eixo coordenado, o sinal que pre- cede os módulos do deslocamento e da velocidade média é positivo quando os vetores corresponden- tes têm o mesmo sentido do referencial e negativo quando esses vetores têm sentido oposto. Em ou- tras palavras, quando se adotam os dados obtidos por meio de um referencial, os sinais aparecem na solução naturalmente. 3. O gráfico abaixo descreve o movimento retilíneo de um ponto material ao longo de uma trajetória associada a um eixo coordenado; x (m) são suas posições em metros e t (s), os instantes corres- pondentes em segundos. x (m) 100 100 20 30 40 200 300 t (s) Determine: a) as posições do ponto material nos instantes: t 5 0 s; t 5 10 s; t 5 20 s; t 5 30 s e t 5 40 s; b) o módulo das velocidades médias nos intervalos de tempo: de 0 a 10 s; de 10 a 20 s; de 20 a 30 s; e de 30 a 40 s. resolução a) Trata-se de uma leitura direta do gráfico, cujos resultados podem ser colocados na tabela abaixo: t (s) 0 10 20 30 40 x (m) 0 100 300 200 100 b) Basta aplicar a expressão do módulo da veloci- dade média v x x t t m 5 2 2 0 0     a cada intervalo: v m(0, 10) 5 x x t t 10 0 10 0 2 2 ⇒ v m(0, 10) 5 100 0 10 0 2 2 ⇒ ⇒ v m(0, 10) 5 10 m/s v m(10, 20) 5 x x t t 20 10 20 10 2 2 ⇒ v m(10, 20) 5 300 100 20 10 2 2 ⇒ ⇒ v m(10, 20) 5 20 m/s v m(20, 30) 5 x x t t 30 20 30 20 2 2 ⇒ v m(20, 30) 5 200 300 30 20 2 2 ⇒ ⇒ v m(20, 30) 5 210 m/s v m(30, 40) 5 x x t t 40 30 40 30 2 2 ⇒ v m(30, 40) 5 100 200 40 30 2 2 ⇒ ⇒ v m(30, 40) 5 210 m/s Observação: Do ponto de vista matemático é indi- ferente descrever um movimento por tabela ou gráfico. A vantagem do gráfico é a informação vi- sual, mais completa e imediata. Nesse caso, por exemplo, a simples observação do gráfico permite saber que o ponto material caminha em um senti- do, de 0 a 20 s, e no sentido oposto, de 20 a 40 s. Com um pouco mais de familiaridade com a lingua- gem gráfica pode-se concluir também que a velo- cidade média de 10 s a 20 s é maior do que a veloci- dade média de 0 a 10 s. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 55 3/7/13 10:34 AM 58 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS 5. O módulo da velocidade de um ponto material em trajetória retilínea varia de 10 m/s a 30 m/s em 5,0 s. Qual o módulo da sua aceleração média nesse in- tervalo de tempo?  De início, representamos esquematicamente o enun ciado: v & Dt v 0& Sendo v 0 5 10 m/s, v 5 30 m/s e Δt 5 5,0 s, pela definição de aceleração média, em módulo, temos: Δv 5 v 2 v 0 ⇒ Δv 5 30 2 10 ⇒ Δv 5 20 m/s a m 5 ∆ ∆ v t ⇒ a m 5 20 5,0 ⇒ a m 5 4,0 m/s2 6. Um automóvel está com velocidade de módulo 90 km/h quando é freado em linha reta, parando em 5,0 s. Determine o módulo da aceleração média ocorrida durante a freagem.  O módulo da velocidade inicial é v 0 5 90 km/h ou 25 m/s no instante t 0 5 0. Como o automóvel parou, a velocidade final é v 5 0 no instante t 5 5,0 s. Representamos o esquema dessa situação, em que se admite o automóvel como um ponto material: v & = 0v0& a m& t 0 = 0 t Da definição de aceleração média, em módulo, vem: a v v t t a a m m m 5 2 2 5 2 2 5 2 0 0 0 25 5,0 0 5,0 m/s⇒ ⇒ 2 Observação: Apesar de ser costume associar a ace- leração negativa à frenagem, na verdade não é essa a razão de o módulo da aceleração média estar pre- cedido pelo sinal negativo. Nesse caso, isso ocorre porque ela está orientada no sentido oposto ao do eixo coordenado. EXERC ÍC IOS 9. A foto mostra um dos novos carros expostos em 2011 no Salão do Automóvel de Tóquio. Segundo o fabricante, “esse carro acelera de 0 a 100 km/h em 4,8 s e atinge velocidade de até 300 km/h”. D iv u lg a ç ã o /A rq u iv o d a e d it o ra Com base nesses dados, determine: a) o módulo da aceleração média desse automóvel quando a velocidade varia de 0 a 100 km/h; b) o intervalo de tempo gasto para o carro atingir sua velocidade máxima partindo do repouso e mantendo essa aceleração média. 10. O módulo da velocidade de um ponto material em movimento retilíneo reduz de 18 m/s a 6,0 m/s em 3,0 segundos. Qual a aceleração média desse móvel em módulo e sinal? 11. Um automóvel parte do repouso (v 0 5 0) e adqui- re uma velocidade de módulo 90 km/h depois de 10s, percorrendo uma trajetória retilínea. Determine: a) o módulo da aceleração média desse automóvel em km/h/s; b) o módulo da aceleração média em unidades do SI. 12. Um ponto material tem movimento retilíneo. Num determinado instante, o módulo da sua velocidade é de 5,0 m/s. Se o módulo da aceleração média desse ponto material é de 2,0 m/s2, qual o inter- valo de tempo necessário para que o módulo da velocidade por ele atingida seja 25 m/s? CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 58 6/20/14 8:47 AM c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS 59 5. Funções e gráficos: a descrição matemática dos movimentos Das quatro grandezas relacionadas ao movimento do ponto material estudadas até aqui, tempo, posição, velo- cidade e aceleração, pode-se concluir, da própria defini- ção de movimento, que o tempo e a correspondente po- sição do ponto material, em relação a um determinado referencial, sempre variam. Mas podem variar também a velocidade e a aceleração desse ponto material. Se houver correspondência entre os valores ou mó- dulos dessas grandezas, poderemos obter funções que permitirão descrever matematicamente esses movi- mentos. Como o módulo e o sinal dessas grandezas de- pendem do referencial adotado, a expressão de cada função também depende desse referencial. Assim, do movimento do ponto material podem ser escritas, entre outras, as funções: • da posição em relação ao tempo; • da velocidade em relação ao tempo; • da aceleração em relação ao tempo; • da velocidade em relação à posição. Uma vez que a cada função matemática correspon- de um gráfico, a descrição dos movimentos pode ser feita também com a utilização de gráficos. funções e equações Função é uma relação matemática entre duas variáveis; a cada valor atribuído, ou assumido, por uma delas correspondem um ou mais valores as- sumidos pela outra. A expressão x 5 2 1 3t I é uma função, pois a cada valor de t corresponde um valor de x. Outro exemplo é v2 5 x II , função em que, a cada valor positivo de x, correspondem dois valores de v. Em ambas as expressões, existem infi- nitos pares de valores de t e x (em I ) e de x e v (em II ) que satisfazem a igualdade. Isso é o que distin- gue função de equação. A equação é uma igualdade que só pode ser sa- tisfeita por um número limitado de valores. Assim, a expressão x 1 3 5 7 é uma equação, pois a igual- dade só pode ser satisfeita para x 5 4. Quando se atribui um determinado valor a uma das variáveis de uma função, ela se torna uma equação. Atribuindo-se a t o valor 3, por exemplo, na função I , ela se torna a equação x 5 11. Na função II , quando x assume o valor 4, obtém-se a equação v2 5 4, só satisfeita pelos valores v 5 12 ou v 5 22. Lembremos que eixos cartesianos bidimensionais são duas retas orientadas, perpendiculares entre si, onde se representam as coordenadas corresponden- tes às variáveis independentes e dependentes de uma função. As variáveis independentes são aquelas às quais atribuí mos valores. As variáveis dependentes, como o próprio nome indica, têm valores que depen- dem daqueles atribuídos às variáveis independentes. Os valores da variável independente da função fi- cam no eixo das abscissas, enquanto os valores da va- riável dependente são colocados no eixo das ordena- das, por convenção. A cada par de valores corresponde um ponto, o gráfico (ou figura) formado por esses pon- tos é a “curva” da função. A partir do gráfico da função, é possível obter sua expressão matemática. Quando o gráfico é uma reta, essa expressão tem a forma: y 5 mx 1 n em que: • y é a variável dependente; • x é a variável independente; • m é o coeficiente angular, que pode ser obtido pela razão: m 5 y 2 2 y 1 x 2 2 x 1 em que x 2 , y 2 e x 1 , y 1 são as coordenadas de dois pontos P 2 e P 1 da reta (veja a figura a seguir); • n é o coeficiente linear, o valor numérico da ordena- da cortada pela reta. y x n y 1 x 1 x 2 y 2 P 1 (x 1 , y 1 ) P 2 (x 2 , y 2 ) Par de eixos cartesianos perpendiculares entre si. A partir do gráfico dessa função, é possível obter a sua expressão matemática. Para isso é preciso saber o seu coeficiente angular, determinado pelas coordena- das dos pontos P 2 e P 1 , e o seu coeficiente linear. Os exercícios resolvidos apresentados a seguir mos- tram como é possível descrever movimentos com fun- ções e gráficos. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 59 3/7/13 10:34 AM 60 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 7. A função da posição (x) em relação ao tempo (t) de um ponto material em movimento retilíneo, expres- sa em unidades do SI, é x 5 10 1 5,0t. Determine: a) a posição do ponto material no instante t 5 5,0 s; b) o instante em que a posição do ponto material é x 5 50 m; c) o gráfico posição 3 tempo correspondente a essa função. resolução a) Para t 5 5,0 s, temos: x 5 10 1 5,0t ⇒ x 5 10 1 5,0(5,0) ⇒ ⇒ x 5 10 1 25 ⇒ x 5 35 m b) Para x 5 50 m, temos: x 5 10 1 5,0t ⇒ 50 5 10 1 5,0t ⇒ ⇒ 50 2 10 5 5,0t ⇒ 40 5 5,0t ⇒ t 5 8,0 s c) Atribuímos valores a t, obtendo os correspon- dentes valores de x. Em seguida colocamos esses valores num sistema de eixos cartesia- nos. Neste caso, trata-se de uma função afim* — a variável t está no primeiro grau —, portanto o gráfico é uma reta. Para traçar a reta podem ser utilizados apenas dois pontos, por exemplo: • para t 5 0 → x 5 10 m • para t 5 5,0 s → x 5 35 m Esses valores, colocados num sistema de eixos cartesianos, permitem a construção do gráfico posição 3 tempo (x 3 t) desse movimento. É interessante incluir também mais alguns pon- tos para confirmar a linearidade da função: t 5 1,0 s → x 5 15 m t 5 3,0 s → x 5 25 m t 5 2,0 s → x 5 20 m t 5 4,0 s → x 5 30 m Veja o gráfico: x (m) 20 1,0 2,0 3,0 4,0 30 40 t (s) 10 50 5,0 6,0 * Em Física, costuma-se chamar essa função de linear, o que em Mate- mática só é correto quando n 5 0; para n ≠ 0, a função é denominada afim. 8. A função da posição (x) em relação ao tempo (t ) de um ponto material em movimento retilíneo, expressa em unidades do SI, é x 5 30t 2 5,0t 2. Determine: a) a posição do ponto material no instante t 5 3,0 s; b) o instante em que a posição do ponto material é x 5 40 m; c) o gráfico posição 3 tempo correspondente a essa função. resolução a) Para t 5 3,0 s, temos: x 5 30t 2 5,0t 2 ⇒ x 5 30(3,0) 2 5,0(3,0)2 ⇒ ⇒ x 5 90 2 45 ⇒ x 5 45 m b) Para x 5 40 m, temos: x 5 30t 2 5,0t 2 ⇒ 40 5 30t 2 5,0t 2 ⇒ ⇒ 5,0t 2 2 30t 1 40 5 0 ⇒ t 2 2 6,0t 1 8,0 5 0 Obtivemos uma equação do segundo grau cujas raízes são t ’ 5 2,0 s e t” 5 4,0 s. Ambas são válidas, ou seja, o ponto material passa duas vezes pela mesma posição. Pode- mos concluir, portanto, que o ponto material executa um movimento de vaivém. c) Atribuímos valores a t, obtendo os correspon- dentes valores de x. Colocamos os pontos re- presentados por esses valores numa tabela: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 x (m) 0 25 40 45 40 25 Esses pontos permitem a construção do gráfi- co posição 3 tempo (x 3 t) desse movimento. Obtivemos uma parábola: x (m) 20 1,0 2,0 3,0 4,0 30 40 t (s) 10 5,0 Observação: A parábola tem a concavidade para baixo. A simples visualização do gráfico dá infor- mações importantes sobre o movimento. Neste caso, trata-se de um movimento de vaivém em que o ponto material atinge a distância máxima da origem no instante t 5 3,0 s, na posição x 5 45 m. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 60 3/7/13 10:34 AM c A P í T U lO 4 – M OV I M E N TOS r E T I l í N E OS 63 Estudo de um movimento retilíneo O maior velocista da atualidade é o atleta jamai- cano Usain Bolt, que se tornou famoso na Olimpíada de Pequim ao conquistar três medalhas de ouro e bater dois recordes olímpicos e um recorde mundial. Na última edição dos Jogos Olímpicos, realizados em Londres, 2012, Bolt levou o ouro novamente nas três provas de atletismo. Na ocasião, ele quebrou seu próprio recorde de Pequim e mais um recorde mun- dial, no revezamento dos 4 3 100 m. Em 16 de agosto de 2008, durante a Olimpíada de Pequim, por ocasião do recorde mundial dos 100 m rasos, batido por Usain Bolt, foram divulgados os dados da tabela 1, abaixo, assinalando os instantes em que o atleta passou a cada 10 m durante a corrida. Tabela 1 x (m) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (s) 0 1,85 2,87 3,78 4,65 5,50 6,32 7,14 7,96 8,79 9,69 Fonte: THE SCIENCE OF SPORT. Disponível em: <www.sportsscientists.com/2008/08/beijing-2008-men-100m-race-analysis.html>. Acesso em: 22 ago. 2012. A partir dos dados da tabela 1, reúnam-se em grupos para fazer a análise do movimento retilíneo de Usain Bolt, confor- me proposto a seguir: a) Em uma folha de papel milimetrado, construam o correspondente gráfico posição 3 tempo desse movimento. Para auxi- liar essa construção, apresentamos abaixo um recorte com dois pontos do início e com o ponto final desse gráfico. x (m) t(s) 30 20 10 0 100 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,0 t (s) D a v id J . P h il li p /A s s o c ia te d P re s s /G lo w I m a g e s Usain Bolt cruza a linha de chegada na prova masculina dos 4 x 100 m, durante os Jogos Olímpicos de Londres, em 11 de agosto de 2012. at i v i d a d e p r át i c a CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 63 3/7/13 10:34 AM 64 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS b) A partir da tabela 1, construam a tabela 2, abaixo, calculando a velocidade média do atleta em cada intervalo de 10 m por ele percorrido; t f e t i são os instantes final e inicial de cada intervalo de tempo; x f e x i são as posições final e inicial correspondentes. Para auxiliar e orientar o trabalho do grupo, já estão preenchidas as duas primeiras linhas, expri- mindo os dados com três algarismos significativos. Vocês devem completar a tabela 2 no caderno (não escrevam no livro): Tabela 2 Intervalos Δx 5 x f 2 x i (m) t i a t f (s) Δt 5 t f 2 t i (s) v m 5 Δx Δt (m/s) 1º- 10 0 a 1,85 1,85 5,41 2º- 10 1,85 a 2,87 1,02 9,80 [...] [...] [...] [...] [...] c) Usando as duas colunas destacadas em amarelo da tabela 2, construam o gráfico velocidade média 3 intervalo de tempo. Os intervalos de tempo devem ser repre- sentados por meio de semirretas horizontais. Para traçar a curva desse gráfico, sugerimos considerar o valor da velocidade instantânea do atleta igual ao valor da velocidade média no meio de cada intervalo de tempo. A rigor, isso só é correto quando a aceleração é constante, mas nesse caso e para cada intervalo, essa é uma aproximação aceitável. Como no item a, para auxiliar a construção desse gráfico, apresentamos um recorte dele com o seu início e o final. d) A partir da tabela 2, construam a tabela 3 a seguir, calculando a aceleração média do atleta em cada intervalo de 10 m por ele percorrido. Já estão preenchidas a primeira e a última linha. Vocês devem completar a tabela 3 no caderno (não escrevam no livro). Tabela 3 Intervalos t i a t f (s) Δt 5 t f 2 t i (s) Δv m 5 v f 2 v i (m/s) a m 5 Δx Δt (m/s2) 1º- 0 a 1,85 1,85 5,41 2,92 [...] [...] [...] [...] [...] 10º- 8,79 a 9,69 0,90 20,90 21,0 e) Apesar de o estudo da Cinemática ser meramente descritivo, procurem fazer uma análise do esforço exercido por esse atleta durante a corrida. Em que intervalos de tempo ele é maior e por quê? Vocês verão que, a partir do capí - tulo 8, com o estudo das leis de Newton, essa resposta, que agora só pode ser dada de modo opinativo, sem funda- mentação teórica, poderá ser formulada adequadamente com base em leis da Física. t (s ) 0 1,00 2,00 9,00 10,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 t (s ) 11,0 12,0 vm (m/s) 13,0 t (s) CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_051a064_U2_C4.indd 64 3/7/13 10:34 AM 65 Movimento retilíneo uniforme N a foto acima, mesmo que todos os carros estejam com a mesma velocidade, em módulo, nenhum deles tem movimento retilíneo uniforme porque a trajetória de nenhum deles é retilínea. Apesar de na linguagem cotidiana esse trecho de estrada ser considerado “uma reta”, do ponto de vista da Física, pelo menos, essa afirmação é falsa: os carros nessa estrada têm uma trajetória de subidas e descidas claramente curvilínea. Por isso, dizemos que movimentos retilíneos uniformes são muito raros. No entanto, apesar de raros, é importante estudá-los porque, graças à sua simplicidade — neles há apenas duas variáveis: a posição e o tempo —, sua descrição matemática é acessível a todos que se iniciam no estudo da Física. Ao compreendermos a descrição do movimento retilíneo uniforme, objeto de estudo des- te capítulo, podemos compreender a descrição matemática de movimentos gradativamente mais complexos. F a b io C o lo m b in i/ A c e rv o d o f o tó g ra fo capítulo 5 Estrada em Monte Alto, SP. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 65 3/7/13 10:35 AM 68 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS 3. Estudo gráfico do MRU O estudo de um movimento pode ser feito tanto com o auxílio das funções que o descrevem, como por meio dos gráficos correspondentes. As funções permi- tem um tratamento matemático mais simplificado, en- quanto os gráficos permitem a melhor visualização da forma como variam as grandezas que descrevem o movimento. Gráfico posição versus tempo (x × t) A função da posição de um MRU é linear do primeiro grau em t, portanto o seu gráfico é uma reta. Observe o gráfico a seguir: Posição Tempo x0 t0 P0(t0, x0) P (t, x) t x Da expressão do coeficiente angular, m 5 y 2 2 y1 x 2 2 x 1 aplicada aos pontos P(t, x) e P 0 (t 0 , x 0 ), obtemos: m 5 x 2 x 0 t 2 t0 Como na expressão da velocidade do ponto mate- rial em MRU v 5 x 2 x 0 t 2 t0 , então, em módulo, temos: v 5 coeficiente angular do gráfico x × t Quando o ponto material se desloca no sentido po- sitivo do eixo, o módulo da sua velocidade é precedido do sinal positivo — o coeficiente angular da reta, repre- sentado pela inclinação α, está compreendido no inter- valo 0 , α , 90°. Quando o ponto material se desloca no sentido contrário, a inclinação α está compreendida no intervalo 90° , α , 180°. Nesse caso, o módulo da velo- cidade é precedido do sinal negativo. Veja os gráficos: x t a O ponto material tem velocidade positiva ( 0° , α , 90°). x a t O ponto material tem velocida- de negativa ( 90° , α , 180°). Gráfico velocidade versus tempo (v × t) Como no MRU a velocidade é constante, a função da velocidade em relação ao tempo também é cons- tante. Portanto o gráfico velocidade 3 tempo é uma re- ta paralela ao eixo do tempo. Essa reta estará acima do eixo se a velocidade for positiva ou abaixo do eixo se for negativa, como nos gráficos a seguir: Velocidade v Tempo Velocidade Tempo –v Pode-se demonstrar que o deslocamento no in- tervalo de tempo Δt, representado no gráfico abaixo por Δx, é igual à “área sob a curva” do gráfico veloci- dade 3 tempo nesse mesmo intervalo de tempo. Velocidade v t t 0 Tempo Dx 5 A “área sob a curva” Chama-se “área sob a curva” a região com- preendida entre a curva da função e o eixo das abscissas. Na figura abaixo, a “área sob a curva”, A, em amarelo, está compreendida entre a curva e as coordenadas x 1 e x 2 do eixo das abscissas. y x 2 x 1 x A Essa área é calculada da mesma forma que a área da figura plana correspondente, mas tem sig- nificado diferente, por isso sempre nos referimos a ela entre aspas. Assim, a “área sob a curva” do gráfico velocidade 3 tempo do MRU é a área de um retângulo, mas não tem a dimensão de superfície. A dimensão da “área sob a curva” é igual à dimensão do produto das dimensões das grande- zas representadas nos eixos cartesianos. No grá- fico velocidade 3 tempo, é igual à dimensão de velocidade (comprimento : tempo) multiplicada pela dimensão do tempo, resultando na dimensão de comprimento, pois: comprimento tempo  tempo 5 comprimento CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 68 3/7/13 10:35 AM c A P í T U lO 5 – M OV I M E N TO r E T I l í N E O U N I FO r M E 69 E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 4. A seguir temos os gráficos posição 3 tempo de dois pontos materiais A e B em MRU. x (m) t (s) 2,0 Ponto material A 10 0 20 4,0 30 x (m) t (s) 5,0 Ponto material B 50 0 100 10 Determine: a) a velocidade do ponto material A; b) a velocidade do ponto material B; c) a função da posição do movimento de cada ponto material. resolução a) Tomando os pontos: t 0 5 0 ⇒ x 0 5 10 m e t 5 2,0 s ⇒ x 5 20 m, temos: v 5 x 2 x o t 2 t 0 ⇒ v 5 20 2 10 2,0 2 0 ⇒ v 5 5,0 m/s b) Tomando os pontos: t 0 5 0 ⇒ x 0 5 100 m e t 5 5,0 s ⇒ x 5 50 m, temos: v 5 50 2 100 5,0 2 0 ⇒ 2 50 5,0 ⇒ v 5 210 m/s c) A: sendo x 0 5 10 m e v 5 5,0 m/s, a função da posição é: x A 5 10 1 5,0t B: sendo x 0 5 100 m e v 5 210 m/s, a função da posição é: x B 5 100 2 10t 5. A seguir estão representados os gráficos velocidade 3 tempo do movimento de dois pontos materiais A e B. v (m/s) t (s) 2,0 4,0 Ponto material A 20 0 6,0 v (m/s) t (s)10 20 –5,0 0 Ponto material B 30 Determine: a) o deslocamento do ponto material A no intervalo de 0 a 6,0 s; b) o deslocamento do ponto material B no intervalo de 10 a 30 s. resolução a) Como o deslocamento Δx é igual à “área sob a curva” correspondente a esse intervalo de tem- po, temos, para A: Δx A 5 20(6,0 2 0) ⇒ Δx A 5 120 m b) Calculando a “área sob a curva” correspondente ao intervalo de 10 a 30 s, temos, para B: Δx B 5 25,0(30 2 10) ⇒ Δx B 5 2100 m Observação: O sinal negativo que precede o des- locamento indica que o sentido do deslocamento é oposto ao sentido positivo do eixo. 6. Um ponto material percorre uma reta com velocida- de constante de módulo 5,0 m/s no sentido positi- vo do eixo. Sabe-se que no instante t 0 5 0 ele está na posição x 0 5 210 m. Determine: a) a função da posição em relação ao tempo do movimento desse ponto material; b) o gráfico posição 3 tempo; c) o gráfico velocidade 3 tempo. resolução a) Dados v 5 5,0 m/s e x 0 5 210 m, temos: x 5 x 0 1 vt ⇒ x 5 210 1 5,0t b) Como o gráfico é uma reta, bastam dois pontos para representá-lo. No entanto, vamos obter mais dois pontos e construir uma tabela para evidenciar a linearidade da função. Assim, para: t 5 0 ⇒ x 0 5 210 m t 5 2,0 s ⇒ x 5 210 1 5,0 · 2,0 ⇒ x 5 0 t 5 4,0 s ⇒ x 5 210 1 5,0 · 4,0 ⇒ x 5 10 m t 5 6,0 s ⇒ x 5 210 1 5,0 · 6,0 ⇒ x 5 20 m Agrupando esses valores numa tabela, temos: t (s) 0 2,0 4,0 6,0 x (m) 210 0 10 20 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 69 3/7/13 10:36 AM 70 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS A partir dessa tabela, construímos o gráfico: x (m) t (s) 2,00 10 4,0 Ð10 20 6,0 c) O gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo, (velocidade constante). Também é possível esco- lher alguns valores para t; os correspondentes módulos de v = são todos iguais a 5,0 m/s: v (m/s) t (s) 2,00 5,0 4,0 6,0 7. A função da posição em relação ao tempo do movi- mento de um ponto material, no SI, é x 5 100 2 20t. Determine: a) o módulo e sinal da velocidade e a posição inicial; b) o gráfico posição 3 tempo; c) o gráfico velocidade 3 tempo. resolução a) Identificando a função dada com a função da posição do MRU, x 5 x 0 1 vt, temos: x 0 5 100 m e v 5 220 m/s b) Montamos uma tabela para alguns valores de t: t (s) 0 2,0 4,0 6,0 x (m) 100 60 20 ]20 e construímos o gráfico: x (m) t (s) 2,00 20 –20 4,0 40 60 80 100 6,0 c) Como v 5 220 m/s constante, temos o gráfico: v (m/s) t (s)2,0 0 –20 4,0 6,0 8. Dois pontos materiais A e B percorrem a mesma re- ta no mesmo sentido com velocidades de módulo v A 5 15 m/s e v B 5 10 m/s. Num determinado instan- te, A está 100 m atrás de B. Determine a posição e o instante em que A alcança B. resolução Inicialmente estabelecemos um referencial único para o movimento dos dois pontos materiais. Veja a figura a seguir: 100 m0 v & v & t 0 = 0 t 0 = 0 A B Dessa forma, A, no instante t 0 5 0, está na posição x0A 5 0 e B, no mesmo instante t0 5 0, está na posi- ção x0B 5 100 m. A partir daí podemos escrever as funções da posição do movimento de cada ponto material. Sendo x0A 5 0 e vA 5 15 m/s, a função da posição de A é: x A 5 0 1 15t ⇒ x A 5 15t I Sendo x0B 5 100 m e vB 5 10 m/s, a função da posi- ção de B é: x B 5 100 1 10t II Uma vez que foi estabelecido um referencial único para o movimento dos dois pontos materiais, no instante em que A alcançar B, ambos estarão na mesma posição, ou seja, x A 5 x B . Dessa forma, igualando as funções I e II , obte- mos: 15t 5 100 1 10t ⇒ t 5 20 s Substituindo este valor em I ou II , obtemos x 5 300 m. Portanto, A alcança B no instante t 5 20 s na posi- ção x 5 300 m. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 70 3/7/13 10:36 AM c A P í T U lO 5 – M OV I M E N TO r E T I l í N E O U N I FO r M E 73 1. Estudo experimental de um movimento retilíneo uniforme E d u a rd o S a n ta lie s tr a /A rq u iv o d a e d it o ra Este é um dispositivo simples para o estudo de um movimento retilíneo uniforme. Uma haste cilíndrica com rosca (à venda em lojas de ferragens) de 30 ou 60 cm é fixada ao lado de uma régua de madeira de mesmo com- primento. Quando se coloca uma arruela ligeiramente maior do que o diâmetro da haste na sua extremidade superior, ela oscila e desce lentamente pela haste em movimento aproximadamente retilíneo uniforme. Para que isso aconteça, é importante experimentar algumas arruelas diferentes para obter o movimento mais uniforme (algumas arruelas se prendem na haste durante o movi- mento, outras escapam e descem aos saltos). Para você estudar um MRU com esse dispositivo basta um cronômetro e o auxílio de um colega, pois é preciso fazer medidas de posição e tempo simultaneamente. Colo- que a arruela no alto da haste e solte-a; assim que ela começar a descer uniformemente, inicie a cronometra- gem. O instante inicial é t 5 0 e a posição nesse instante, medida por meio da régua, é a posição inicial (x 0 ). Enquan- to a arruela desce, anote os valores das posições pelas quais ela vai passando e os instantes correspondentes. Você pode fazer as medidas em intervalos de tempos iguais, em instantes prefixados ou em posições predeter- minadas medidas em centímetros. Desse modo, torna-se mais fácil a realização e a anotação das medidas. Obtenha pelo menos seis medidas (quanto mais, melhor). Coloque esses dados em uma tabela como esta: t (s) x (cm) Com essa tabela podemos construir em uma folha de papel milimetrado ou quadriculado o gráfico posi- ção 3 tempo do movimento da arruela. Esse gráfico nos permite determinar o módulo da velocidade de queda da arruela e a correspondente função da posição em relação ao tempo. É interessante notar que os pontos devem estar razoavelmente alinhados, caso contrário o movimento não terá sido uniforme. A figura abaixo é um exemplo de como você pode traçar uma reta por meio de pontos aproxima- damente alinhados. x (cm) + + + + + t (s) 0 + Agora você pode determinar a função da posição do movimento dessa arruela e a sua velocidade. Para isso, siga como exemplo o exercício resolvido 4. Observações 1·) Note que, pela função obtida do gráfico, você só pode obter um resultado para o módulo da velocidade, pois essa função supõe que a velocidade seja constante. Para que isso seja verdade é preciso que os pontos do gráfico estejam rigorosamente alinhados, o que dificilmente ocorre. O mais provável é que os pontos fiquem como no exemplo do gráfico acima e, nesse caso, o módulo da velocidade obtida deve ser entendido como um valor médio entre os valores obtidos. Para isso você deve esco- lher para o seu cálculo dois pontos da reta média, igno- rando os pontos da tabela. 2·) Atividades práticas como esta são importantes, mas não dão indicações sobre a validade das medidas feitas, ou seja, não há como saber se a velocidade obtida está correta. No entanto, há outras atividades experimen- tais que permitem essa avaliação. É o caso da atividade prática a seguir. at i v i d a d e s p r át i c a s CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 73 3/7/13 10:36 AM 74 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS 2. Estudo experimental do encontro entre dois móveis C lá u d io P e d ro s o /A rq u iv o d a e d it o ra Numa régua de madeira de 60 cm prende-se uma manguei rinha de plástico transparente de 1 cm de diâme- tro junto a uma escala gra duada. Enche-se a mangueiri- nha com óleo de soja, por exemplo. Coloca-se, imersa no óleo, uma esfera de aço de 6 a 8 mm de diâmetro (à venda em lojas de peças de motos ou bicicletas). (O óleo é impor- tante porque diminui a velocidade da bolha de ar e da esfe- ra, o que facilita a coleta de dados, e preserva a esfera de aço da ferrugem.) Então vedam-se as extremidades da mangueirinha, se possível com rolhas de borracha, dei- xando uma pequena bolha de ar no interior do tubo. É importante que a bolha de ar tenha aproximadamente o mesmo diâmetro da esfera de aço. Bolhas muito grandes ficam alongadas e dificultam a determinação correta da posição do encontro. Inicialmente devemos deixar a bolha de ar e a esfera de aço nas extremidades opostas da mangueirinha. Em seguida, inclinamos a régua colocando a extremidade onde está a esfera de aço sobre um ou dois livros para manter a inclinação constante. Observamos então que a esfera desce enquanto a bolha de ar sobe; ambas com movimento aproximadamente retilíneo uniforme se cru- zam numa determinada posição e continuam o seu movi- mento. Trata-se de um típico encontro de dois móveis. Para estudar esse movimento, sugerimos o seguinte processo: 1) Estudar o movimento da esfera colocando a extremi- dade da régua onde está a esfera sobre um ou dois livros e, com um cronômetro e a escala da régua, mar- car os instantes e as correspondentes posições. Obter pelo menos seis pontos. Em seguida, repetir o proce- dimento da Prática 1: preencher uma tabela com as posições x (cm) e os instantes t (s) correspondentes, construir o respectivo gráfico posição 3 tempo e determinar a velocidade da esfera e a função da posi- ção em relação ao tempo do seu movimento. 2) Repetir o procedimento da mesma maneira, mas focali- zando a bolha de ar. Construir o gráfico posição 3 tempo do movimento da bolha e determinar a sua velocidade e a correspondente função da posição em relação ao tempo. É importante que as condições físicas sejam idênticas às do movimento da esfera de aço. Devemos adotar a escala da régua como referencial. Dessa forma um dos gráficos terá inclinação negativa. Veja um exemplo no gráfico da figura abaixo: a reta está voltada para baixo porque a bolha de ar se movimenta no sen- tido oposto à orientação dada pela escala da régua: x (cm) + + + + + t (s) 0 + 3) Agora podemos determinar a posição do encontro dos dois móveis. Isso pode ser feito graficamente, dese- nhando ambos os gráficos no mesmo plano cartesiano (veja o gráfico abaixo) ou igualando as funções da posição dos dois móveis. x (cm) t (s) 0 Repita o procedimento algumas vezes e anote a posi- ção x (cm) em que ocorre o encontro. Se você mantiver inalteradas as condições iniciais, ele deverá ocorrer sempre na mesma posição. Se houver alguma varia- ção, considere a média dos valores obtidos. Esse valor deve ser igual ao determinado pelo gráfico e pelas fun- ções dos movimentos. Observação: Esta atividade prática, ao contrário da pri- meira, permite uma avaliação experimental da sua validade, ou seja, a observação direta da posição do encontro. Note que o resultado dessa observação, se feito corretamente, não pode ser contestado, pois ele é a resposta dada “pela natureza”. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_065a074_U2_C5.indd 74 3/7/13 10:36 AM 75 Movimento retilíneo uniformemente variado O movimento retilíneo uniformemente variado, conhecido pela sigla MRUV, é quase sempre um movimento de curta duração em que um móvel é acelerado uniformemente na mesma direção, durante um determinado intervalo de tempo, variando o módulo e, às vezes, também o sentido de sua velocidade. Esse foi, aproximadamente, o movimento do veículo da foto acima nos seus 16 segundos ini- ciais quando, a partir do repouso, atingiu a velocidade de 965,5 km/h (268,2 m/s). Trata-se do Thrust SSC (Thrust Supersonic Car), uma espécie de carro-foguete que, em 15 de outubro de 1997, no deserto de Nevada, nos Estados Unidos, tornou-se o primeiro veículo terrestre a ultra- passar a velocidade do som, alcançando a fantástica velocidade de 1 228 km/h (341,1 m/s). É pouco provável que nesses 16 segundos a aceleração tenha sido constante, mas essa condição será sempre estabelecida neste capítulo para que tenhamos um movimento que possa ser estudado com recursos elementares de cálculo. D a v id M a d is o n /G e tt y I m a g e s O Thrust Supersonic Car, primeiro veículo terrestre a ultrapassar a velocidade do som. capítulo 6 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 75 3/7/13 10:36 AM 78 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS  Inicialmente representamos o enunciado no esque- ma abaixo: t = 4,0 s v = 0 a & v 0 = 12 m/s t 0 = 0 a) Sendo v 0 5 12 m/s e v 5 0 para t 5 4,0 s, obte- mos o módulo e o sinal da aceleração: a v v t t a a5 2 2 5 2 2 2 0 0 20 12 4,0 0 3,0 m/s⇒ ⇒ b) Sendo v 0 5 12 m/s e a 5 23,0 m/s2, em módulo e sinal, obtemos: v 5 v 0 1 at ⇒ v 5 12 2 3,0t c) Para t 5 3,0 s, temos: v 5 12 2 3,0t ⇒ v 5 12 2 3,0 ? 3,0 ⇒ ⇒ v 5 3,0 m/s d) Nesse caso há duas possibilidades: a primeira quando a velocidade tem o mesmo sentido do eixo, em que v 5 14,5 m/s: v 5 12 2 3,0t ⇒ 4,5 5 12 2 3,0t ⇒ t 5 2,5 s a segunda quando a velocidade tem sentido oposto ao eixo, v 5 24,5 m/s (como discuti- mos no quadro da página 76, se a aceleração continua a existir, o ponto material para, mas não fica parado): v 5 12 2 3,0t ⇒ 24,5 5 12 2 3,0t ⇒ t 5 5,5 s e) Para t 5 6,0 s, temos: v 5 12 2 3,0t ⇒ v 5 12 2 3,0 ? 6,0 ⇒ ⇒ v 5 26,0 m/s 3. A função da velocidade em relação ao tempo do movimento de um ponto material, a partir de um determinado referencial, em unidades do SI, é v 5 12 2 3,0t. Determine a velocidade inicial e a aceleração desse ponto material.  Basta identificar a função dada, v 5 12 2 3,0t, com a função da velocidade em relação ao tempo do MRUV, v 5 v 0 1 at. Como o termo indepen- dente de t é v 0 e o coeficiente de t é o módulo da aceleração, a, acrescido do sinal devido ao refe- rencial, temos: v 0 5 12 m/s e v 523,0 m/s2 E X E R C Í C I O S 1. Para escrever a função de um movimento é preciso estabelecer um referencial? Justifique. 2. Um ponto material percorre uma reta, sempre no mesmo sentido, com aceleração constante. No ins- tante t 0 5 0 o módulo da sua velocidade é 8,0 m/s; no instante t 5 10 s, é 48 m/s. Determine: a) a aceleração; b) a função da velocidade em relação ao tempo; c) a função da posição em relação ao tempo (admi- ta x 0 5 0); d) a velocidade nos instantes: 0 s; 2,0 s; 4,0 s; 6,0 s; 8,0 s; e 10 s; e) o gráfico velocidade 3 tempo; f) a posição nos instantes: 0 s; 2,0 s; 4,0 s; 6,0 s; 8,0 s; e 10 s; g) o gráfico posição 3 tempo; h) o gráfico aceleração 3 tempo. 3. Um automóvel tem velocidade de módulo 72 km/h quando é freado, em linha reta, com aceleração cons- tante, até parar. Sabe-se que 5,0 s depois do início da freagem a sua velocidade é 54 km/h. Determine: R ic a rd o A zo u ry /P u la r Im a g e n s a) a aceleração (em m/s2); b) a função da velocidade; c) o gráfico velocidade 3 tempo; d) o instante em que o automóvel para; e) a função da posição (admita x 0 5 0); f) o gráfico posição 3 tempo; g) a distância percorrida durante a freagem. Observação: Em casos como esse, em que apare- cem no enunciado veículos reais, nem sempre é verossímil supor que eles sejam pontos materiais; podemos então supor que estamos considerando para estudo um ponto fixo localizado na frente des- ses veículos. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 78 6/20/14 8:48 AM C A P Í T U LO 6 – M OV I M E N TO R E T I L Í N E O U N I FO R M E M E N T E VA R I A D O 79 3. Gráfico velocidade versus tempo A função da velocidade em relação ao tempo do MRUV é uma função do primeiro grau, linear. Portanto, o seu gráfico é uma reta. Observe o exemplo: Velocidade  Tempo t0 v0 v P0(t0, v0) P (t, v) t O coeficiente angular dessa reta, determinado a par- tir das coordenadas dos pontos P0 e P, é: m v v t t    0 0 Como também a v v t t    0 0 , podemos afirmar que o coeficiente angular do gráfico velocidade  tempo do MRUV é igual à aceleração desse movimento em mó- dulo e sinal. Observe agora os gráficos a seguir. v  t v  t Aceleração positiva (0°  α  90°). Aceleração negativa (90°  α  180°). Quando o módulo da aceleração é precedido do sinal positivo, isto é, quando o sentido da aceleração coincide com o sentido do eixo, o coeficiente angular é positivo. Nesse caso, o ângulo α está compreendido no intervalo 0°  α  90°. Quando a aceleração tem sentido oposto ao do eixo, seu módulo é precedido do sinal negativo, e α está compreendido no intervalo 90°  α  180°. No MRUV, assim como no MRU, a “área sob a cur- va”, A, do gráfico velocidade  tempo no intervalo de tempo Δt é igual ao módulo do deslocamento Δx do ponto material nesse intervalo de tempo. (Reveja “Área sob a curva”, na página 68.) Veja a figura: Portanto: A  Δx Velocidade Tempo v v0 0 A t E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 4. Determine a aceleração em módulo e sinal de cada movimento retilíneo representado pelos gráficos: a) v (m/s) t (s) 1,0 5,0 0 2,0 10 3,0 15 20 b) v (m/s) t (s) 5,0 20 0 10 40 15 60 80 c)  a) Tomando os pontos de coordenadas: t0  0; v0  5,0 m/s e t  3,0 s; v  20 m/s, temos: a v v t t a a      0 0 20 5,0 3,0 0 5,0⇒ ⇒ m/s2 b) Tomando os pontos de coordenadas t0  0; v0  80 m/s e t  15 s; v  20 m/s, obtemos: a v v t t a a      0 0 20 80 15 0 4,0⇒ ⇒ m/s2 c) Como a reta é paralela ao eixo do tempo, a velocidade é constante, portanto a acelera- ção é nula. Podemos também aplicar a expressão a  v v t t   0 0 para os pontos de coordenadas t 0  0; v0  12 m/s e t  6,0 s; v  12 m/s, obtendo: a a    1 2 1 2 6,0 0 0⇒ v (m/s) t (s) 2,00 4,0 6,0 12 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 79 26/03/2013 14:01 80 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS 5. Veja a seguir os gráficos velocidade  tempo de dois movimentos retilíneos uniformemente variados: v (m/s) t (s) 2,00 4,0 20 6,0 8,0 40 Determine o módulo do deslocamento nos trechos coloridos.  Sabemos que o módulo do deslocamento é igual à “área sob a curva” do gráfico velocidade  tempo. No primeiro gráfico, a área corresponde à área de um trapézio cuja base menor (b) é v0  20 m/s; a base maior (B) é v  40 m/s e a altura (h) é t  8,0 s. Então: Δx  área do trapézio Áreatrapézio    ( ) 2 (40 20)8,0 2 B b h x⇒ ∆ ⇒ ⇒ Δx  240 m No segundo gráfico, o trecho colorido é um triân gulo cuja base (b) é t  20 s e a altura (h) é v  10 m/s. Então, temos: Δx  área do triângulo Áreatriângulo Área 2 20 10 2triângulo   bh x⇒ ∆ ⇒ Δx  100 m E X E R C Í C I O 4. Determine o módulo e sinal da aceleração e do des- locamento do movimento de um ponto material representado pelos gráficos abaixo nos intervalos de 0 a 15 s (figura a) e de 0 a 30 s (figura b). a) v (m/s) t (s) 5,0 20 30 0 10 10 15 b) v (m/s) t (s) 5,00 10 15 20 10 v (m/s) t (s) 10 40 60 0 20 20 30 4. Função da posição em relação ao tempo Estabelecido o sistema de referência, como o repre- sentado abaixo, a função da posição em relação ao tempo do ponto material em MRUV possibilita a deter- minação da sua posição x em qualquer instante t. x t 0 x0 t0 v0& Sistema de referência para o MRUV: 0 é a origem; x0, v &0 e t0 são a posição, a velocidade e o instante iniciais; x é a posição no instante t. A função da posição x de um ponto material em re- lação ao tempo t é dada pela expressão: x x v t a t   0 0 21 2 Essa relação matemática foi obtida e verificada experimentalmente por Galileu Galilei de forma sim- plificada no século XVI. GALILEU GALILEI Galileu Galilei (1564-1642) foi um físico, matemá- tico, astrônomo e filósofo italiano, um dos princi- pais representantes do Renascimento científico. Nasceu em Pisa e passou grande parte de sua vida em Pádua, onde desenvolveu a maior parte do seu trabalho. Publicou sua principal obra em 1634, em italiano: Discorsi e dimonstrazioni matema- tiche intorno a due nuove scienze, sobre o movi- mento dos corpos. Criador do “método experimental” nas ciências, aliando a hipótese teórica à sua verificação experi- mental, Galileu é muitas vezes chamado, por esse motivo, “pai da Ciência Moderna”. Galileu Galilei. Gravura de autoria desconhecida (c. 1630). A u to ri a d es co n h ec id a, c . 1 63 0/ H u lt o n A rc h iv e/ G et ty Im ag es CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 80 26/03/2013 14:01 C A p í T U lO 6 – M OV I M E N TO R E T I l í N E O U N I fO R M E M E N T E VA R I A D O 83 t 5 3,0 s: x 5 10 1 2,0 · 3,0 1 2,0 · 3,02 ⇒ x 5 34 m t 5 4,0 s: x 5 10 1 2,0 · 4,0 1 2,0 · 4,02 ⇒ x 5 50 m t 5 5,0 s: x 5 10 1 2,0 · 5,0 1 2,0 · 5,02 ⇒ x 5 70 m Agrupamos os valores na tabela abaixo e cons­ truímos o gráfico: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 x (m) 10 14 22 34 50 70 x (m) t (s) 10 1,00 2,0 3,0 4,0 5,0 20 30 40 50 60 70 d) Atribuindo valores a t na função da velocidade v 5 2,0 1 4,0t, obtemos os correspondentes valores de v: t 5 0: v 5 2,0 1 4,0 · 0 ⇒ v 5 2,0 m/s t 5 1,0 s: v 5 2,0 1 4,0 · 1,0 ⇒ v 5 6,0 m/s t 5 2,0 s: v 5 2,0 1 4,0 · 2,0 ⇒ v 5 10 m/s t 5 3,0 s: v 5 2,0 1 4,0 · 3,0 ⇒ v 5 14 m/s t 5 4,0 s: v 5 2,0 1 4,0 · 4,0 ⇒ v 5 18 m/s t 5 5,0 s: v 5 2,0 1 4,0 · 5,0 ⇒ v 5 22 m/s Agrupamos esses valores na tabela abaixo e construímos o gráfico: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 v (m/s) 2,0 6,0 10 14 18 22 v (m/s) t (s) 4,0 2,0 1,00 2,0 3,0 4,0 5,0 8,0 6,0 12 10 16 14 20 22 18 e) Como a aceleração é constante, o gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo no ponto onde a 5 4,0 m/s2: a (m/s 2 ) t (s) 4,0 9. Um ponto material percorre uma reta no sentido po­ sitivo do eixo com aceleração constante. No instante t 0 5 0 ele passa pela origem com velocidade de mó­ dulo v 0 5 40 m/s; no instante t 5 4,0 s ele está com velocidade de módulo v 5 8,0 m/s. Determine: a) a aceleração desse ponto material; b) o gráfico velocidade  tempo; c) o gráfico posição  tempo. resolução a) Da expressão do módulo da aceleração a v v t t 5 2 2 0 0 apli cada ao esquema abaixo, temos: t = 4,0 st0 = 0 0 v &v0& a a5 2 2 52 8,0 40 4,0 0 8,0⇒ m/s2 O módulo da aceleração resulta precedido de si­ nal negativo porque ela tem sentido oposto ao sentido do eixo. b) Substituindo v 0 5 40 m/s e a 5 28,0 m/s2 na função da velocidade em relação ao tem­ po, temos v 5 40 2 8,0t. Atribuindo valores a t, obtemos os correspondentes valores de v, agrupados na tabela: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 v (m/s) 40 32 24 16 8,0 0 28,0 216 A partir desses dados construímos o gráfico: v (m/s) t (s) 40 32 24 16 8,0 0 –8,0 –16 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 c) Sendo x 0 5 0 e substituindo as demais cons­ tantes na função da posição em relação ao tem­ po, temos: x t t x t t5 1 2 5 240 1 2 ( 8,0) 40 4,02 2⇒ CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 83 3/7/13 10:36 AM 84 U N I DA D E 2 – E ST U D O D OS M OV I M E N TOS Atribuindo valores a t, obtemos os correspon­ dentes valores de x e construímos o gráfico: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 x (m) 0 36 64 84 96 100 96 84 x (m) t (s) 100 80 60 40 20 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 Observações 1·) A velocidade do ponto material é nula no ins­ tante t 5 5,0 s, mas, como já comentamos, isso não significa que o movimento cessou — ele para e volta. É o que mostra o gráfico posição  tempo. 2·) Note que não há instante final para esse mo­ vimento. Do ponto de vista matemático, po­ de­se atribuir qualquer valor a t e achar a cor­ respondente posição do ponto material. Isso não é uma condição irreal nem absurda: para corpos em movimento no espaço sideral, por exemplo, ela é perfeitamente aceitável. 3·) Pela mesma razão, os valores atribuídos a t podem ser negativos — isso não significa um recuo no tempo, mas permite determinar as posições que o móvel assumiu antes do início das medidas do tempo. EXERC ÍC IOS 8. A função da posição de um ponto material é x 5 5,0t 1 4,0t2, no SI. Determine: a) a posição inicial e o módulo da aceleração desse ponto material; b) a função da velocidade; c) os gráficos velocidade 3 tempo e posição 3 tempo. 9. Um trem parte do repouso e, depois de 50 s de per- curso retilíneo com aceleração constante, sua velo- cidade tem módulo v 5 54 km/h. Determine: a) a aceleração; b) a distância percorrida pelo trem nesses 50 s. 7. Função da velocidade em relação à posição — “equação” de Torricelli A função da velocidade em relação à posição do ponto material em MRUV — conhecida como “equa- ção” de Torricelli, em homenagem ao físico e matemá­ tico italiano Evangelista Torricelli (1608­1647) — é ex­ pressa da seguinte forma: v 2 5 v 2 0 1 2a(x – x 0 ) ou, sendo Δx 5 x 2 x 0 : v 2 5 v 2 0 1 2aΔx Nessa função, as constantes são o módulo da velo­ cidade inicial (v 0 ), o módulo da aceleração (a) e a posi­ ção inicial (x 0 ). Veja abaixo a representação esquemáti­ ca do sistema de referência em que aparecem as constantes e as variáveis dessa função: x v 0& v & x 0 Observe que nessa função o tempo, t, não aparece. Por isso ela torna mais fácil a resolução de problemas em que essa variável não é conhecida. eQuação de torricelli? Como vimos no quadro Funções e equações da página 59, equação não é sinônimo de função. A equação de Torricelli deveria ser chamada função de Torricelli. No entanto, como o termo equação, nessa expressão, já é tradicional, optamos por mantê-lo, mas entre aspas. Embora homenageie Torricelli, não há referência explícita a essa equação em seus trabalhos. O que há é uma referência indireta na expressão por ele deduzida da velocidade de saída da água de um furo a uma profundidade h do nível da água em repou- so, contida em um recipiente, conhecida como lei de Torricelli: v 5 2gh Esquema de Torricelli para a dedução da célebre lei de Torricelli. F o n te : T o k a ty . G . A . H is to ry a n d P h il o s o p h y o f F lu id M e ch a n ic s . C o u ri e r D o v e r P u b li c a ti o n s , 1 9 9 4 , p . 5 8 /F a c -s ím il e CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 84 3/7/13 10:36 AM C A P Í T U LO 6 – M OV I M E N TO R E T I L Í N E O U N I FO R M E M E N T E VA R I A D O 85 E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 10. Um automóvel parte do repouso e adquire movi- men to retilíneo com aceleração constante de mó- dulo a  2,0 m/s2. Qual a velocidade desse auto- móvel, em km/h, após um percurso de 100 m?  Veja o esquema: 100 m v0 = 0 0 a & v& Sendo v0  0, a  2,0 m/s 2 (a aceleração tem o mesmo sentido do eixo) e Δx  100 m, temos: v2  v 20  2aΔx ⇒ v 2  02  2  2,0  100 ⇒ ⇒ v 2  400 ⇒ v  20 m/s Para obter a velocidade em km/h: v  20  3,6 ⇒ v  72 km/h Observação: Apesar de a raiz quadrada admitir dois sinais, neste caso, por causa do referencial, só é válido o positivo. 11. O sistema de freios de um trem pode produzir uma aceleração constante de módulo 5,0 m/s2 em tra- jetória reti línea. Estando o trem com velocidade de módulo 54 km/h, a que distância da estação os freios devem ser acionados?  Como o trem deve parar na estação, podemos repre- sentar esse movimento por meio do esquema abaixo, em que v  0 na posição x onde fica a estação. Como o sentido da aceleração é oposto ao refe- rencial, o seu módulo é precedido de sinal negativo: a  5,0 m/s2. Sendo v0  54 km/h  15 m/s e v  0, aplicando a “equação” de Torricelli, temos: v2  v 20  2aΔx ⇒ 0 2  152  2(5,0)Δx ⇒ ⇒ 10Δx  230 ⇒ Δx  23 m Observação: O uso correto dos algarismos signifi- cativos, em Física, às vezes dá a impressão de que erramos a conta. Mas não erramos. O resultado 225, que vem de 152, escrito com dois algarismos significativos, é 230. v0 = 54 km/h a & v = 0 x0 = 0 x x 12. Um ponto material tem MRUV. No instante t0  0 ele está a 50 m da origem com velocidade de módulo v0  10 m/s e aceleração de módulo a  4,0 m/s 2, ambas no mesmo sentido. Determine: a) o módulo da sua velocidade a 150 m da origem; b) a posição desse ponto material quando o módu- lo da velocidade for 20 m/s.  De início, adotamos o referencial representado no esquema abaixo: 50 m t0 = 0 v0 = 10 m/s 0 a & v0& a) Sendo v0  10 m/s, x0  50 m e a  4,0 m/s 2, para x  150 m, temos: v 2  v 20  2a(x  x0) ⇒ ⇒ v 2  102  2  4,0(150  50) ⇒ ⇒ v 2  900 ⇒ v  30 m/s (o sinal é positivo por- que a velocidade tem o mesmo sentido do eixo) b) Pela expressão v 2  v 20  2a(x  x0), para v  20 m/s, temos: 202  102  2 · 4,0(x  50) ⇒ ⇒ 400  100  8,0x  400 ⇒ 8,0x  700 m ⇒ ⇒ x  88 m (com dois algarismos significativos) E X E R C Í C I O S 10. Um avião a jato comercial deve atingir uma velocida- de de 360 km/h para decolar. Se a pista tem um comprimento de 2 000 m, qual deve ser o módulo da aceleração desse avião, suposta constante, para ini- ciar a decolagem? 11. O sistema de freios de um automóvel é capaz de produzir uma aceleração de módulo constante de 8,0 m/s2. Determine a distância que ele percorre em linha reta, até parar, quando freado com veloci- dade inicial de: a) 36 km/h; b) 144 km/h. 12. Um ponto material tem MRUV. Num determinado ins- tante t0  0 ele está a 100 m da origem com veloci- dade de módulo v0  5,0 m/s e aceleração de módulo 2,5 m/s2, ambas no mesmo sentido. Deter- mine, desse ponto material: a) o módulo da velocidade a 220 m da origem; b) a posição quando o módulo da sua velocidade for 15 m/s. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_075a087_U2_C6.indd 85 26/03/2013 14:03 88 Queda livre Q uando um corpo é solto de uma determinada altura, ele adquire um movimento de queda vertical, cuja velocidade aumenta continuamente. Numa queda “livre”, isto é, em que a resistência do ar é desprezível, todo corpo, seja qual for seu peso, sejam quais forem suas dimensões, cai sempre no mesmo intervalo de tempo se for solto da mesma altura. Sua veloci- dade sempre aumenta durante a queda, mas, em intervalos de tempo iguais, essa variação é sempre a mesma - todos caem com a mesma aceleração: a aceleração da gravidade. Essa é uma afirmação difícil de aceitar porque contraria nossa observação cotidiana. Por isso, para ilustrar essa afirmação, foi tirada esta foto em múltipla exposição com uma maçã e uma pena caindo dentro de uma câmara de vácuo. Esta foto mostra de modo eloquente a cons- tância da aceleração da gravidade em um movimento de queda livre, tema deste capítulo. J im S u g a r/ S c ie n c e F a c ti o n /G e tt y I m a g e s capítulo 7 Maçã e pena caindo simultaneamente dentro de uma câmara de vácuo. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 88 3/7/13 10:37 AM c a p í t u lo 7 – q u e da l i v r e 89 1. Introdução Se não houvesse a resistência do ar, todos os cor- pos, de qualquer peso ou forma, abandonados da mesma altura, nas proximidades da superfície da Ter- ra, levariam o mesmo tempo para atingir o solo. Esse movimento é conhecido como queda livre. A trajetória é retilínea, vertical, e a aceleração é a da gravidade (g &), constante, cujo módulo com dois algarismos signifi- cativos é g 5 9,8 m/s2. A rigor, o movimento de queda livre não existe na prática porque não é possível evitar a influência da re- sistência do ar. Em um ambiente como a Lua, por exemplo, onde a atmosfera é praticamente inexistente, isso é possível. Em 2 de agosto de 1971, o astronauta norte-americano David Scott, comandante da missão Apollo 15, fez uma experiência interessante que comprovou esse fato. Deixando cair, ao mesmo tempo, um martelo, com massa de 1,32 kg, e uma pena de falcão, com massa de 30 g, Scott comprovou que, na ausência da resistência do ar, a aceleração com que os corpos caem é a mes- ma, visto que o martelo e a pena atingiram o solo lunar no mesmo instante. Veja a foto: A la n B e a n /C o le ç ã o p a rt ic u la r O astronauta David R. Scott, na superfície da Lua, deixa cair um martelo e uma pena, comprovando que, na ausência da resistência do ar, a aceleração com que os corpos caem é a mesma. Já na Terra, no entanto, muitas vezes a resistência do ar pode ser considerada desprezível e, nesses ca- sos, o movimento de queda livre é possível. Um exem- plo é o movimento de uma pequena esfera maciça caindo de baixa altura. 2. Funções do movimento de queda livre No movimento de queda livre, a trajetória é retilí- nea, e a aceleração, constante. Trata-se, portanto, de MRUV e, como tal, as funções matemáticas que o descrevem são as mesmas vistas no capítulo ante- rior. No entanto, para caracterizar o estudo do movi- mento de queda livre, vamos dar a essas funções ca- racterísticas específicas: • Como a trajetória é sempre vertical, a variável x, que representa a posição, associada ao eixo horizontal das abscissas, será substituída pela variável y, asso- ciada ao eixo vertical das ordenadas. • A aceleração é a da gravidade, portanto vamos adotar sempre a& 5 g &. Vamos estabelecer um único sistema de referência: um eixo vertical, orientado para cima, com a origem fixada, em geral, no solo (veja a figura a seguir). Nessas condições, como a aceleração da gravidade é orientada verticalmente para baixo, o seu módulo será sempre precedido de sinal negativo. 0 g & Sistema de referência para o movimento de queda livre. • O deslocamento Δx 5 x 2 x 0 será substituído pela altura h ou Δy, expresso por Δy 5 y 2 y 0 . Assim, podemos reunir, na tabela abaixo, as princi- pais funções do MRUV ao lado das correspondentes funções “adaptadas” ao movimento de queda livre. Funções MRUV Queda livre Velocidade em relação ao tempo v = v 0 + at v = v 0 – gt Posição em relação ao tempo x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 y = y0 + v0t – 1 2 gt2 Velocidade em relação à posição (“equação” de Torricelli) v2 = v2 0 + 2aΔx v2 = v2 0 + 2a(x – x 0 ) v2 5 v2 0 – 2gΔy v2 5 v2 0 – 2g(y – y 0 ) Na maioria dos exercícios e problemas, em vez de g 5 9,8 m/s2, costuma-se adotar g 5 10 m/s2, com dois algarismos significativos. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 89 6/20/14 8:49 AM 90 u N i da d E 2 – E St u d o d oS M ov i M E N toS E X E R C Í C I O S R E S O LV I D O S 1. Um corpo pequeno* é abandonado de uma altura de 80 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g 5 10 m/s2, determine: a) a função da posição; b) a posição nos instantes t 5 0; t 5 1,0 s; t 5 2,0 s; t 5 3,0 s e t 5 4,0 s; c) o gráfico posição  tempo; d) a função da velocidade; e) a velocidade nos instantes t 5 0; t 5 1,0 s; t 5 2,0 s; t 5 3,0 s e t 5 4,0 s; f) o gráfico velocidade  tempo; g) o instante em que ele atinge o solo; h) a velocidade com que ele atinge o solo. resolução a) Fixando a origem do sistema de referência no solo, temos y 0 5 80 m. Como o corpo foi aban- donado, o módulo de sua velocidade inicial é nulo, v 0 5 0. Veja a figura abaixo. 0 y 0 = 80 m v0 = 0 g & Substituímos esses valores na função da posição: y 5 y 0 1 v 0 t 2 1 2 ? gt2 ⇒ ⇒ y 5 80 1 0t 2 1 2 ? 10t2 ⇒ y 5 80 2 5,0t2 b) Substituindo os valores de t nessa função, temos: t 5 0: y 5 80 2 5,0 ? 02 ⇒ y 5 80 m t 5 1,0 s: y 5 80 2 5,0 ? 1,02 ⇒ y 5 75 m t 5 2,0 s: y 5 80 2 5,0 ? 2,02 ⇒ y 5 60 m t 5 3,0 s: y 5 80 2 5,0 ? 3,02 ⇒ y 5 35 m t 5 4,0 s: y 5 80 2 5,0 ? 4,02 ⇒ y 5 0 m * O corpo precisa ser pequeno para que possa ser considerado um ponto material; não nos referimos diretamente a ponto material para não tornar o enunciado muito artificial. c) Agrupamos na tabela os valores de t (s) e y (m) e construímos o gráfico: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 y (m) 80 75 60 35 0 y (m) t (s) 10 1,00 2,0 3,0 4,0 20 30 40 50 60 70 80 d) Da função da velocidade, temos: v 5 v 0 2 gt ⇒ v 5 0 2 10t ⇒ v 5 210t e) Substituindo os valores de t na função da velo- cidade, temos: t 5 0: v 5 210 ? 0 ⇒ v 5 0 t 5 1,0 s: v 5 210 ? 1,0 ⇒ v 5 210 m/s t 5 2,0 s: v 5 210 ? 2,0 ⇒ v 5 220 m/s t 5 3,0 s: v 5 210 ? 3,0 ⇒ v 5 230 m/s t 5 4,0 s: v 5 210 ? 4,0 ⇒ v 5 240 m/s f) Construímos o gráfico velocidade  tempo a partir dos valores reunidos na tabela: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 v (m/s) 0 –10 –20 –30 –40 v (m/s) t (s)1,00 2,0 3,0 4,0 –40 –30 –20 –10 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 90 3/7/13 10:37 AM c a P í t u lo 7 – q u E da l i v r E 93 Obtemos uma equação do segundo grau incom- pleta, cujas raízes são t 5 0 e t 5 6,0 s. A primei- ra raiz, t 5 0, corresponde ao instante de lança- mento, portanto não é a resposta pedida. A resposta é a segunda raiz, t 5 6,0 s, instante em que o projétil atinge o solo, na volta. h) Para obter a velocidade com que o projétil atinge o solo basta determinar v para y 5 0 na “equa- ção” de Torricelli: v2 5 v2 0 2 2g(y 2 y 0 ) ⇒ ⇒ v2 5 302 2 2 ? 10(0 2 0) ⇒ ⇒ v 5 230 m/s Observações 1·) As respostas dos itens f e g podem ser obtidas diretamente do gráfico posição  tempo do item c. 2·) No item h há duas respostas: v 5 130 m/s e v 5 230 m/s; o sinal é negativo por causa do referencial. Nesse caso, a resposta pode ser obtida também por meio do gráfico velocidade  tempo do item e; note que, nesse caso, o sinal da velocidade aparece diretamente, não há necessidade de escolha. 3·) Se, em vez de ser lançado verticalmente, o pro- jétil for lançado com uma determinada inclina- ção θ em relação à horizontal, a sua trajetória será uma parábola. Essa parábola pode ser descrita por meio da composição de dois movimentos: um MRU na direção horizontal e um MRUV (lançamento ver- tical) na direção vertical (Veja o tópico Lança- mento oblíquo de projéteis, na página 95). 5. Uma criança joga uma pedra verticalmente para o alto e observa que ela volta às suas mãos depois de 4,0 s. Desprezando a resistência do ar e adotando g 5 10 m/s2, responda: a) Com que velocidade ela lançou a pedra? b) Qual a altura máxima atingida pela pedra? c) Em que instantes a pedra está a 15 m de altura? d) Com que velocidades a pedra passa pela altura de 15 m? d) Da função da velocidade, v 5 v 0 2 gt, temos: v 5 30 2 10t e) Substituindo na função da velocidade os valo- res de t, obtemos os correspondentes valores de v: t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 v (m/s) 30 20 10 0 –10 –20 –30 A partir desses valores, construímos o gráfico: v (m/s) t (s) Ð10 1,00 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 10 20 Ð20 30 Ð30 f) A altura máxima atingida corresponde à posição y em que v 5 0. Então, da “equação” de Torricelli, temos: v 2 5 v 2 0 2 2g(y 2 y 0 ) ⇒ 02 5 302 2 2 ? 10(y 2 0) ⇒ ⇒ 0 5 900 2 20y ⇒ y 5 45 m g) Quando o projétil atinge o solo, sua posição é y 5 0. Então, da função da posição, y 5 y 0 1 v 0 t 2 1 2 ? gt 2, temos: y 5 30t 2 5,0t 2 ⇒ 0 5 30t 2 5,0t 2 ⇒ ⇒ 5,0t 2 2 30t 5 0 CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 93 3/7/13 10:37 AM 94 u N i da d E 2 – E St u d o d oS M ov i M E N toS EXERC ÍC IOS 1. É possível um corpo com aceleração constante, não nula, ter velocidade nula? Justifique. 2. A foto da página 89, que mostra o astronauta David R. Scott deixando cair na Lua um martelo e uma pena, faz parte de um filme que você deve assistir pela internet, em casa ou na escola. Você pode encontrá-lo com as palavras-chave: Hammer and feather ou no endereço: <www.youtube.com/ watch?v=4mTsrRZEMwA>. Assista ao filme e meça o tempo de queda do martelo (o tempo de queda da pena é o mesmo, como o filme demonstra, mas o movimento do martelo é mais visível). Avalie a altura de queda do martelo e calcule o módulo da aceleração da gravidade na Lua. Em seguida, responda: a) O valor que você obteve é aceitável? Justifique. b) Até hoje há quem duvide de que o homem tenha ido à Lua. O resultado obtido pode ajudar você a convencer alguém que duvide de que isso de fato ocorreu? Explique como. 3. Um pequeno corpo é abandonado de uma altura de 180 m. Desprezando a resistência do ar e adotando g 5 10 m/s2, determine: a) a função da posição; b) o gráfico posição 3 tempo; c) a função da velocidade; d) o instante em que ele atinge o solo; e) a velocidade com que ele atinge o solo. 4. Um pequeno corpo é abandonado em queda livre de determinada altura. Depois de 1,0 s ele está a 40 m de altura. Adotando g 5 10 m/s2, pergunta-se: a) De que altura ele foi abandonado? b) Em que instante ele atinge o solo? c) Com que velocidade ele atinge o solo? 5. Um menino joga uma pedra para o alto e, depois de 3,0 s, ela volta às suas mãos. Desprezando-se a resis- tência do ar e adotando g 5 10 m/s2, pergunta-se: a) Com que velocidade ele lançou a pedra? b) Qual a altura máxima por ela atingida? c) Em que instantes ela está a 10 m de altura? d) Quais as velocidades da pedra a 10 m de altura? e) Com que velocidade ela atinge o solo? resolução a) Adotando o referencial da figura abaixo, temos y 0 5 0. v 0& 0 t 0 = 0 t = 4,0 s g & Como a pedra volta a essa posição (origem) depois de 4,0 s, então, para t 5 4,0 s, y 5 0. Da função da posição, y 5 y 0 1 v 0 t 2 1 2 ? gt 2, temos: 0 5 0 1 v 0 ? 4,0 2 1 2 ? 10 ? 4,02 ⇒ ⇒ 0 5 4,0v 0 2 80 ⇒ v 0 5 20 m/s b) Para v 5 0, na “equação” de Torricelli, v 2 5 v 2 0 2 2g (y 2 y 0 ), obtemos: 02 5 202 2 2 ? 10(y 2 0) ⇒ ⇒ 0 5 400 2 20y ⇒ y 5 20 m c) Para y 5 15 m, na função da posição, y 5 y 0 1 v 0 t 2 1 2 ? gt2, temos: 15 5 0 1 20t 2 5,0t2 ⇒ 5,0t 2 2 20t 1 15 5 0 Resolvendo a equação, obtemos: t 5 1,0 s e t 5 3,0 s. O primeiro valor é o instante em que a pedra passa por essa posição subindo; o segun- do é o instante em que ela passa pela mesma posição descendo. d) Para y 5 15 m, da “equação” de Torricelli, v 2 5 v 2 0 2 2g(y 2 y 0 ), temos: v 2 5 202 2 2 ? 10(15 2 0) ⇒ v 2 5 100 ⇒ ⇒ v 5 10 m/s Ambas as respostas são válidas: v 5 110 m/s (quando a pedra está subindo) e v 5 210 m/s (quando a pedra está caindo). Observação: Os mesmos resultados podem ser encontrados substituindo-se os instantes obti- dos no item c na função v 5 v 0 2 gt: Para t 5 1,0 s: v 5 20 2 10 · 1,0 ⇒ v 5 110 m/s Para t 5 3,0 s: v 5 20 2 10 · 3,0 ⇒ v 5 210 m/s CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 94 3/7/13 10:37 AM c a P í t u lo 7 – q u E da l i v r E 95 3. Lançamento oblíquo de projéteis O movimento de um projétil lançado obliquamente em relação à horizontal com uma velocidade v &0, desprezan- do-se a resistência do ar, pode ser descrito por meio da decomposição de sua velocidade inicial, v &0, em dois compo- nentes ortogonais: o horizontal, v &0x , e o vertical, v &0y , relacionados ao ângulo de lançamento θ (veja a figura abaixo). u v 0& v &0 x v &0 y Assim, pode-se supor que o movimento do projétil seja composto de dois movimentos, um horizontal com ve- locidade inicial v &0x de módulo: v 0x 5 v 0 ? cos θ e outro vertical com velocidade inicial v &0y de módulo: v 0y 5 v 0 ? sen θ A figura abaixo descreve detalhadamente esse procedimento. y x v &0 v &0 y v &0 x v &1 v &1y v &1x v &2 v &2y v &2x v &6 v &6y v &6x t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 v &5v &5y v &5x v &4v &4y v &4x v &3y = 0 v &3v &3x = u trajetória do projétil v &0 x t0 v &1x t1 v &2x t2 v &3x t3 v &4x t4 v &5x t5 v &6x t6 t6 t5 t0 v &6y v &5y t4 v &4y v &0 y t1 v &1y t2 t3 v &2y g & v &3y = 0 MRUV (LANÇAMENTO VERTICAL) MRU Desprezando-se a resistência do ar, à medida que o projétil sobe, os componentes verticais da sua velocidade em qualquer instante ( v &0y , v &1 y , v &2y , v &3y , v &4y , v &5y e v &6y ) variam apenas por causa da aceleração da gravidade, g &. Sendo essa aceleração constante (nas proximidades da superfície da Terra), esses componentes variam uniformemente. Portanto, o movimento do projétil na direção do eixo y é um MRUV (veja faixa amarela à esquerda). Como a acelera- ção da gravidade não tem componente horizontal, pode-se concluir que os componentes horizontais da sua velo- cidade ( v &0x , v &1 x , v &2x , v &3x , v &4x , v &5x e v &6x ) permanecem constantes. Logo, o movimento do projétil na direção do eixo x é um MRU (veja faixa verde na parte de baixo). Pode-se demonstrar que, nessas condições, a trajetória do projétil é uma parábola. Podemos estudar esse movimento usando a sua trajetória real, mas, além de ser um procedimento matemático complexo, só é possível fazê-lo com recursos que estão fora do alcance do Ensino Médio. Por isso, vamos estudar esse movimento por meio de suas projeções nos eixos x e y: MRU, na direção do eixo x, e MRUV, na direção do eixo y. CompreendFisica_Fisica_vol1_PNLD2015_088a105_U2_C7.indd 95 3/7/13 10:37 AM
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