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Apostila de C lculo I

1

Apostila de C lculo I

Limites

Diz-se que uma vari vel x tende a um n mero real a se a diferen a em m dulo de x-a tende a zero. ( x a ). Escreve-se: Exemplo : Se x = x a ( x tende a a).

1 , N = 1,2,3,4,. . quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero. N

Defini o:

lim f(x) igual a L se e somente se, dado x a e 0 , existe 0 tal que se

x a

0 x - a ent o f (x) - L .

Propriedades: 1. lim C = C ( C = constante)

x a

2. lim [f (x) g (x) ] = lim f (x) lim g (x)

x a x a x a

3. lim [f (x) . g (x) ] = lim f (x) . lim g (x)

x a x a x a n

4. lim [f (x) ]

x a

n

= lim f (x) x a

lim f (x) f (x) 5. lim = x a x a g (x) lim g (x)

x a

6. lim n f (x) = n lim f (x)

x a x a

2

Apostila de C lculo I limf (x) 7. lim C f (x) = C x a

x a

, C = Constante

8. lim logb f (x) = logb lim f (x)

x a x a

9. lim P (x) = P (a) onde P (x) uma fun o polinomial

x a

10. Quando f (x) h (x) g (x) , x a e

lim f (x) = L = lim g (x) , ent o lim h (x) = L

x a x a x a

Exemplos: 1) lim (3x + 4) = 3. 2 + 4 = 10

x 2

2) lim

x 2

x 2 - 4 22 - 4 0 = = indetermin ado 2-2 0 x -2 x2 - 4 (x + 2)(x - 2) = (x + 2) = 4 = lim lim x -2 x-2 x 2 x 2

lim

x 2

3) lim

x 0

(x + 2)

x -

-

2

=

0+2 - 2 = 0

2- 2 0 = indetermin ado 0 0 2 = lim x 0 x.

lim

x 0

(x + 2)

x

2

= lim x 0

( (x + 2) - 2 ).( (x + 2) + x.( (x + 2) + 2 )

1 2+ 2 = 1 2 2 = 2 4

)

( (x + 2) +

x +2-2 2

)

= lim

x 0

( (x + 2) +

1

2

)

=

3

Apostila de C lculo I Exerc cios : 1) Calcular os limites: x2 + 4 x +3 8 - 2x + x 2 1- x3 x3 - 8 x -2 2x 3 - 2x 2 x -1 - x + 3 7 - x3 - x 4-x x 3 - 27 x-3

a) lim

x 1

i) lim

b) lim

x 2

j) lim

x 2

c) lim

x 2

l) lim

x 3

d) lim

x0

(4 - x )

x

m) lim 3x 2 - 7 x + 2

x 3

(

)

-1

y +8 e) lim x -2 y + 2

3

n) lim (x + 4 ) .(x + 2)

3 x -1

[

]

f) lim

x 1

x 2 - 3x + 2 2x - 2 x 2 + 3 x - 10 2x 2 - x - 6 x -3 - 2 x-5

o) lim

x 2

t 2 + 5t + 6 t+2 t 2 - 5t + 6 t-2

p) lim

x 2

g) lim

x 2

h) lim

x 5

4

Apostila de C lculo I Limites Laterais Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto , por valores menores que a, f (x) tende ao n mero L 1 . Este fato indicado por:

lim f (x) = L 1

x a -

Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto , por valores maiores que a, f (x) tende ao n mero L 2 . Este fato indicado por:

x a +

lim f (x) = L 2

Os n meros L 1 e L 2 s o chamados, respectivamente, de limite esquerda de f em a e limite direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a . Exerc cios : 1) Seja a fun o definida pelo gr fico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: y

3

1 x 3

-1

a) lim f (x) x 3

b) lim f (x) +

x 3

c) lim f (x)

x 3

d) lim f (x)

x

e) lim f (x)

x -

f) lim f (x)

x 4

5

Apostila de C lculo I 2) Seja a fun o definida pelo gr fico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: y

0,5 x 1

a) lim f (x) +

x 1

b) lim f (x) -

x 1

c) lim f (x)

x 1

d) lim f (x)

x

e) lim f (x) .

x -

3) Dada a fun o f ( x ) = 1 + x - 3 , determinar, se poss vel, lim f (x) e lim f (x) . +

x 3 x 3

x 2 + 1 para x 2 para x = 2 . Determinar: lim f (x) , lim f (x) 4) Seja f(x) = 2 x 2x 2 + 9 - x 2 para x 2

, lim f (x) .

x 2

x - 1 para x 3 5) Seja f(x) = . Determinar lim f (x) , x 3 3x - 7 para x 3

x 3 +

lim f (x) , lim f (x) ,

x 3

lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x 5

x 5 x 5 +

6

Apostila de C lculo I Limites Infinitos Ao investigarmos lim f (x) ou x a

x a +

lim f (x) pode ocorrer que , ao tender x para

a, o valor f (x) da fun o ou aumente sem limite, ou decres a sem limites. Por exemplo: f (x) = 1 . x -2

Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite: x f (x) 2,1 10 2,01 100 2,001 1.000 2,0001 10.000 2,00001 100.000

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite: x f (x) 1,9 -10 1,99 -100 1,999 -1.000 1,9999 -10.000 1,99999 -100.000

Assim :

= lim x 2 x - 2

+

1

e

= - . lim x 2 x - 2

-

1

S o consideradas indetermina es:

0 0

0. ( )

( ) ( )

Exemplos: x2 = indetermin ado x +1 x2 x2 1 1 x2 lim x + 1 = lim x + 1 = lim 1 1 = 0 = x + x + x + + 2 x x2 x

1) lim

x +

7

Apostila de C lculo I 2) lim 2x + 3 = indetermin ado x3 + x 2x + 3 2 3 + 3 3 2 2x + 3 x = 0 = 0 = lim 3x = lim x lim 3 1 1 x + x + x x + x + x x + 1+ 2 3 x x

x +

Exerc cios: 1) Seja f (x) = 5 + 3x . Determinar: 2x + 1 c) lim f (x)

1 x ( - ) + 2

a) lim f (x)

x +

b) lim f (x)

x -

d) lim f (x)

1 x ( - ) - 2

2)

Calcular: a) lim 1 + x - 2 +

x ( 2 )

(

)

b) lim +

x ( 5 )

(1 +

2x - 10 x+3

)

c) lim -

x ( 4 )

(x - 4)3

x 2 - +3x + 1 x2 + x - 6

1

d) lim +

x ( 4 )

(x - 4)3

1

e) lim

2x 2 - 5 2 x - 3 x + x + 2

f) lim +

x 2

g) lim -

x 2

x 2 - +3x + 1 x2 + x - 6

8

Apostila de C lculo I

Continuidade

O conceito de continuidade est baseado na parte anal tica, no estudo de limite, e na parte geom trica na interrup o no gr fico da fun o. Assim, as fun es f(x), abaixo, s o todas descont nuas:

y

y

y

a

x

a

x

x a

lim f(x) lim f(x)

x a x a +

lim f(x) f(a)

x a

lim f(x) =

x a x a +

lim f(x) = -

Defini o: Uma fun o cont nua em um ponto A se:

a) b) c)

f (a) definida

lim f (x) existe

x a

lim f (x) = f (a)

x a

A descontinuidade no gr ficos (2) chamada por ponto ou remov vel, a descontinuidade em (1) por salto e em (3) uma descontinuidade infinita.

Exemplos:

Estudar analiticamente a descontinuidade das fun es:

9

Apostila de C lculo I 1- x 2 f(x) = 1 1- x x 1 x =1 x 1

a)

em x =1.

f(1) = 1

x 1

2 lim f (x) = lim 1 - x = 0 - - x 1

x 1+

lim f (x) = lim 1 - x = lim 1 - x = 0 + +

x 1 x 1

f descont nua por ponto ou remov vel em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1.

b)

3x - 2 f(x) = 4 3x 2 - 8

x2 x =2 x2

no ponto x=2.

x 2 -

lim f (x) = lim 3x - 2 = 4 = L1 -

x 2

x 2 +

2 lim f (x) = lim 3x - 8 = 4 = L2 + x 2

como L1 = L2 =f(2) ent o a fun o cont nua.

Exerc cios:

Estudar analiticamente a descontinuidade das fun es: x 3 - 27 x3 2 2x - 3 x - 9 2 x =3 f(x) = x - 2 -1 x3 x-3

a)

em x =3.

10

Apostila de C lculo I x =2 7 f(x) = 3x 2 - 5 x - 2 x2 x-2 sen x x0 x x =0 3 f(x) = x+4 -2 x0 x

b)

c)

3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe lim f (x) :

x1

x2 -1 -1 x -1 f(x) = (x - A) 2

x 1 x 1

10

Apostila de C lculo I

Derivada de uma Fun o

Acr scimo da vari vel independente

Dados x 0 e x 1 denominam incremento da vari vel x, diferen a: x = x 1 - x 0 x

x0

x1

x = x1 - x 0

Acr scimo de uma fun o

Seja y = f(x) cont nua. Dados x 0 e x 1 podem-se obter f(x 0 ) e f(x 1 ) . diferen a y = f(x 1 ) - f(x 0 ) chama-se acr scimo ou varia o da fun o f(x). Como x 1 = x 0 + x , ent o: y = f(x 0 + x) - f(x 0 )

Graficamente:

y = tg x

y

f(x 1 )

Q y x x0

P f (x 0 )

x1

x

12

Apostila de C lculo I Raz o Incremental

O quociente da varia o da fun o y pelo incremento da vari vel independente x chamado raz o incremental. y f(x 0 + x) - f(x 0 ) = x x

Trocando x 0 por x (fixo momentaneamente), temos: y f(x + x) - f(x) = x x Observe que a raz o incremental o coeficiente angular ( tg ) da reta secante s, que passa por P e Q.

Derivada de uma fun o num ponto x:

eja y = f(x) cont nua. Calculamos a raz o incremental

y . O limite da raz o x

incremental para o acr scimo x tendendo a zero definido como a derivada da fun o f(x). Ela pode ser indicada como: y = f (x)

Lagrange

Dy = Df(x)

Cauchy

dy df = dx dx & y

Leibnitz

Newton

13

Apostila de C lculo I Ent o: f (x) = y lim x 0 x ou f (x) = lim x 0 f(x + x) - f(x) x

y f ( x + x ) Q

s

t y

f (x)

x

P x + x x

x

Quando x 0 , a reta secante s tende para a reta tangente t , tg tg e f (x) = tg . Geometricamente f (x) mede a inclina o da reta tangente curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)).

Exemplo: Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela defini o f (x ) . f(x + x) - f(x) x

f (x) =

lim x 0

f(x) = C f(x + x) = C

14

Apostila de C lculo I f (x) = lim x 0 se C-C 0 = lim =0 x x 0 x f(x) = C f (x) = 0 .

Ent o

Propriedades f(x) = C f (x) = 0 .

1. Propriedade

2. Propriedade f(x) = x n f (x) = n x n-1

Exemplos: a) f(x) = x 7 b) f(x) = x f (x) = 7x 6

1 2

f (x) = x

1 -1 1 - 1 f (x) = x 2 = x 2 = 2 2 2 x

1

1

Exerc cios: Calcular a derivada das fun es: a) f(x) = 4x 3 b) f(x) = 7x 9

3

c) f(x) = x 4

3. Propriedade (f + g) (x) = f (x) + g (x) 4. Propriedade (f - g) (x) = f (x) - g (x)

Exemplos:

15

Apostila de C lculo I a) f(x) = 2x 4 + 3x 7 f (x) = 8x 3 + 21x 6 b) f(x) = 3x 9 - 10x 4 f (x) = 27x 8 - 40x 3

1

2

c) f(x) = 3x 3 - 4x 5 1 -1 2 -1 f (x) = 3. x 3 - 4. x 5 = 3 5

1 2

1 x

2 3

-

8

3

5x 5

5. Propriedade (f. g) (x) = f (x) . g(x) + f(x) . g(x)

Exemplos: a) F(x) = x 3 .(x 2 + 1) f (x) = x 3 f (x) = 3x 2

g(x) = x 2 + 1 g (x) = 2x F (x) = 3x 2 . (x 2 + 1) + x 3 . 2x F (x) = 5x 4 + 3x 2

2

b) F(x) = (x 3 + 2x).(x 3 + 2x 2 ) f(x) = (x 3 + 2x)

2

f (x) = 3x 2 + 2 g (x) = 2 -3 x + 4x 3

1

g(x) = (x 3 + 2x 2 )

16

Apostila de C lculo I

2 - F(x) = (3x + 2).(x + 2x ) + (x + 2x).( x 3 + 4x) 3

2 2 3

2 3

1

F(x) =

11 3 10 3 x + 10x 4 + x + 12x 2 3 3

8

2

c) F(x) = (x 2 + 4)(2 + x 9 ) f (x) = 2x g (x) = 9x 8

f(x) = x 2 + 4 g(x) = 2 + x 9

F (x) = 2x.(2 + x 9 ) + (x 2 + 4).(9x 8 ) F (x) = 11x 10 + 36x 8 + 4x

f (x) f (x) . g(x) - f(x) . g(x) 6. Propriedade g (x) = (g(x))2 Exemplos: 1- x x2 f(x) = 1 - x g(x) = x 2 y = f (x) = -1 g (x) = 2x

a) y =

(-1).(x 2 ) - (1 - x).(2x) - x 2 - 2x + x 2 x 2 - 2x = = (x 2 ) 2 x4 x4 x-2 x3

y =

17

Apostila de C lculo I b) y = x+3 1- x2 f(x) = x + 3 g(x) = 1 - x 2 y = f (x) = 1 g (x) = -2x

1.(1 - x 2 ) - (x + 3).( -2x) (1 - x 2 )2 x 2 + 6x + 1 (1 - x 2 )2

y =

x 2 - 5x + 6 a) y = x2 - 7

f(x) = x 2 - 5x + 6 g(x) = x 2 - 7

f (x) = 2x - 5 g (x) = 2x

y =

(2x - 5).(x 2 - 7) - (x 2 - 5x + 6).(2x) (x 2 - 7) 2 5x 2 - 26x + 35 (x 2 - 7) 2

y =

18

Apostila de C lculo I Exerc cios:

Calcular as derivadas das fun es: 1) y = (1 - t 2 ) t 4 2) y = (z 3 - 2z 2 + 1)(z - 5)

2

3 t -1 5 6) y = 2 +7 t2

3) y = (x 3 - 2x)(x 3 + 2x 2 ) 7) y =

3

1 1+ x + x2 + x3

x2 - 2 3) y = x 4) y = (x 2 + 3)(3x - 1)

8) y =

(3x

- 2x 2 + 1 3 2 x + 5x 4

4

)

8 - z + 3z 2 5) y = 2 - 9z

9) y = 1 +

1 1 1 + 2 + 3 x x x

10) y =

3 1 - x x2

19

Apostila de C lculo I Significado Geom trico da Derivada

y Na = - 1 f ( x )

T (a = f ( x ))

f (x) x

x

f (x) = inclina o da tangente T no ponto P(x, f(x))

N

= reta normal ao gr fico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))

Exemplo:

Obter as equa es das retas normal e tangente ao gr fico da fun o y = f(x) = 4 - x 2 nos pontos P1 (2,0) e P2 (-1,3).

No ponto (2,0)

f (x) = 2

a=2

an = -

1 2

Equa o de T

y = 2(x - 2) y = 2x - 2

equa o de N

y =-

1 (x - 2) 2

y =-

1 x +1 2

No ponto (-1,3):

f (x) = 2

a=2

20

Apostila de C lculo I

Equa o de T

y - 3 = 2(x + 1) y = 2x + 5

equa o de N

y -3=-

1 (x + 1) 2

y =-

1 5 x+ 2 2

Exerc cios: 1) Dada a fun o y = x 2 - 2 x e o ponto P(4,12), determine a equa o das retas normal e tangente ao gr fico da fun o no ponto P.

2) Achar a equa o da reta tangente ao gr fico da fun o no ponto de abcissa dada: a) f ( x ) = 2 x 2 - 5 , x = 1 b) f ( x ) = 1 x , x=2

3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gr fico da fun o dada paralela ao eixo x: a) y = x3 x2 -3 - 4x 3 2

b) y = x 3 + 10 c) y = x 4 + 4 x

4) Achar a equa o da reta normal ao gr fico da fun o no ponto de abcissa dada: a) f ( x ) = x 3 + 2 x - 1 , x = -1

21

Apostila de C lculo I b) y = x

, x=4

5) Determinar as abcissas dos pontos do gr fico y = 2 x 3 - x 2 + 3 x - 1 nos quais a tangente : a) paralela reta 3 y 9 x 4 = 0 b) perpendicular reta 7 y = -x + 21

Derivadas de Ordem Superior y = f(x) f (x) = dy = y dx

derivada primeira

f (x) =

d dy d 2 y = y ' = dx dx dx 2

derivada segunda

f (x) =

d d2 y d3 y = = y ' dx dx 2 dx 3

derivada terceira

De um modo geral dn y = yn n dx Calcular y , y e y : :

f n (x) =

Exemplos:

a) y = x 8 - 4 x 4 + 2 x y ' = 8 x 7 - 16 x 3 + 2 y " = 56 x 6 - 48 x 2 22

Apostila de C lculo I

y "' = 336 x 5 - 96 x

b) y = 4 x 2 - 2x + 40 x 3 - x

y ' = 8 x - 2 + 120 x 2 -

1 -2 x 2

1

y ' = 8 + 240 x +

1 -2 x 4

3

y ' = 240 -

3 -2 x 8

5

Exerc cios: Calcular y , y e y :

1

1) y = 4x 7 - 5x 5 + 3x 6 - 11

2)y =

x2 - 1 x

8 - 1 2

3) y = x + x

+ 15x -1

4) y =

x3 - 4 x2

5) y = x 2 + 3 (x - 1)

(

)

23

Apostila de C lculo I Regra da Cadeia

Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, ent o a fun o composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

dy dy du = . = f ' (u ). g ' (x ) dx du dx

Para derivar y = x 2 + 1 derivar, ou seja:

(

)

2

podemos expandir a fun o e depois

y = f ( x ) = x 4 + 2x 2 + 1 y = 4x 3 + 4x = 4x x 2 + 1

(

)

( )

100

Se quisermos derivar atrav s da regra da cadeia.

a fun o y = x 2 + 1

s conseguiremos resolver

Assim: u = x2 +1 y = u100 dy = 100u 99 du du = 2x dx

u = x2 +1

99 99 dy = 100 x 2 + 1 .2x = 200 x x 2 + 1 dx

(

)

(

)

Nesse caso a propriedade : y = un y ' = n . u n -1 . u '

24

Apostila de C lculo I Exemplos:

1) y = x 2 + 2 x + 4

= x 2 + 2x + 4

(

)

1 2

y' =

1 2 x + 2x + 4 2

(

) (2x + 2) =

- 1 2

(x + 1)

x 2 + 2x + 4

2) y = 8 x + x 4 - 10

(

)

20

y ' = 20 8 x + x 4 - 10

(

) (8 + 4 x ) = 80(8 x + x

19 3

4

- 10

) (2 + x )

19 3

Exerc cios:

Calcular y para a s fun es:

1) y =

1

5

x - x +1

4

2) y =

x2 + 3

3

x-2

3) y =

x2 -1 x +1

4) y = x 2 - 4 x + 2

(

)

8

5) y = 3 x 4 - 2 x + 1 6) y = (3 x + 1) . 2x - 5

6

7) y = (8x - 7 )

-5

25

Apostila de C lculo I 8) y = w 4 - 8w 2 + 15

(

)

4

9) y = (6 x - 7) . 8 x 2 + 9

3

(

)

2

10 ) y = 3 8r 3 + 27

11) y =

1 3s - 4 2x + 3 4x 2 + 9

12) y =

13) y =

1 2 3 + 4 + 5 3 x x x

14) y =

(x

2

+ 3x + 5)

1

2

15) y = (4 x 2 - 3 ) 2 x + 1 5x - 1 (3x + 4)3

(

)

16) y =

Derivada das Fun es Trigonom tricas

Derivada da fun o seno

Se y = f ( x ) = sen x

y=

dy = cos x dx

26

Apostila de C lculo I Pela Regra da Cadeia: Se y = sen u y' = dy = u ' cos u dx

Derivada da fun o cosseno y = f ( x ) = cos x sen 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 - sen 2 x cos x = 1 - sen 2 x

(

)

1 2

y = cos x = 1 - sen 2 x y' = 1 1 - sen 2 x 2

(

)

1 2

(

1 ) (- 2senx. cos x ) = 2 (cos x ) (- 2senx. cos x ) = -senx

- 1 2 2 - 1 2

Se y = f ( x ) = cos x

y=

dy = -sen x dx

Pela Regra da Cadeia: Se y = cos u

y' =

dy = -u ' sen u dx

Exemplos:

Calcular as derivadas de: 1) y = sen x 2 + 1

(

)

dy = cos x 2 + 1 .2x dx

y =

(

)

y = 2xcos x 2 + 1

(

)

27

Apostila de C lculo I 2) y = sen x 1 -1 y = cos x . x 2 2

y =

1 2 x

cos x

3) y = x 2 + 1 sen x 3 + 2

(

)

20

(

)

f = 20(x 2 + 1) .2x

19

f = x2 + 1

(

g = sen x 3 + 2

(

)

20

)

g = 3x 2 . cos(x 3 + 2)

y = 40 x(x 2 + 1) sen(x 3 + 2) + 3 x 2 (x 2 + 1) cos(x 3 + 2)

19 20

4) y =

cos x x2 f = cos x g = x2 f ' = -senx g ' = 2x

y =

'

- x 2 sen x - 2 x cos x - x sen x - 2 cos x = x3 x4

Derivada da fun o tangente

Se y = f ( x ) = tg x

y=

sen x cos x

f = sen x g = cos x

f ' = cos x g ' = -sen x 28

Apostila de C lculo I

y' =

cos 2 x + sen 2 x 1 = = sec 2 x 2 cos x cos 2 x

Pela Regra da Cadeia: Se y = tg u

y' =

dy = u ' sec 2 u dx

Derivada da fun o cotangente

Se y = f ( x ) = cot g x

y=

cos x sen x

f = cos x g = sen x

f ' = -sen x g ' = cos x

y' =

- sen 2 x - cos 2 x -1 = = - cos sec 2 x 2 2 sen x sen x

Pela Regra da Cadeia: Se y = cot g u y ' =

dy = -u ' cos sec 2 u dx

Derivada da fun o secante

y = sec x =

1 = cos -1 x cos x

y = -1cos - 2 x(- sen x ) =

sen x cos 2 x

= sec x.tgx

29

Apostila de C lculo I Pela Regra da Cadeia: Se y = sec u

y = sec u . tgu . u

Derivada da fun o cossecante

y = cos sec x =

1 = sen -1 x sen x - cosx sen2x

y = (- 1) sen-2 x (cosx ) =

= -cossecx.cotg x

Pela Regra da Cadeia: Se y = cos sec u y = - cos sec u . cot g. u

Exemplos: Calcular as derivadas de:

1) y = tg x 2 + 2x + 1

(

)

( )

y = [2x + 2]sec 2 x 2 + 2x + 1

2) y =

tgx cos sec x f = tg x g = cos sec x f ' = sec 2 x g 1 = - cos sec x. cot g x

y' =

sec 2 x. cos sec x + cos sec x.tgx. cot gx sec 2 x + 1 = cos sec x cos sec 2 x

30

Apostila de C lculo I Exerc cios:

1)y = cot g x 3 + 3 sec

(

) (

x +1

)

12) y = tg(3x - 1) + sen 1 + sec x

2

2)y = x 2 . cos sec (5 x )

x

3)y = cotg3 3x 5 + 1 4)y = sen(8x + 3 )

5)y = tg3 5 - 6x

(

)

13) y = 2 x cot g x + x 2 tg x 14) y = sen(- x ) + cos(- x ) 15) y = (sen (4x ) + cos (2x ))

2

6)y = cos 3x 5 - 5x 3

(

)

16) y =

x + cos 3x sen 2x

7)y = tg 8 x - 5 x

(

)

17) y = (x 2 - 1) tg x - x sen 2x 18) y = tg (- 2x )(x 2 - 2x + 1)

sen x 8 )y = 1 + cos x sec 2x tg2x - 1

9)y =

19) y = cos sec 5x . tg x 20) y = cos 2 x 2 - 2x + 1 21) (sen x + cos 3x )

10) y = sec x.tg( x 2 + 1)

(

)

11) y =

1 cos x . cotg x

3

31

Apostila de C lculo I

Derivada da Fun o Inversa

Vimos a regra da cadeia para a composi o de duas fun es f (x) e g(x): f

g

x

u

y

du dx dy dx

dy du

dy dy du = . dx du dx Para a fun o inversa g = f

-1

f

f -1

x

y

x

dy dx

dx dy

dx =1 dx

32

Apostila de C lculo I Portanto:

dy 1 = dx dx dy

ou

dx 1 = dy dy dx

Derivada da Fun o Exponencial

Se y = a x

y ' = a x ln a Se y = a u

Pela Regra da Cadeia:

y = u .a u ln a

Exemplos: Derivar:

1) y =2 x

y = 2 x ln 2

2 2) y = 2 x

2 2 y = 2 x ln2. 2x = 2x.2 x . ln 2

Para a = e 2,71828 y = ex y = ex Se y = e u

Pela Regra da Cadeia:

y = e uu

Exemplos: Derivar

2 1) y = e x + 1

2 +1 y = e x .(2x )

33

Apostila de C lculo I 2) y = e x

1 y = e x . 2 x

3) y = e sen x

x2 +1 e x

y = e sen x . cos x

x 2 +1 2x.x - 1. x 2 y = e x . 2

4) y =

(

x

2 +1 = e x . x - 1 x2

)

x 2 +1

Derivada da Fun o Logaritmo

y = loga x

ay = x

dx = a y . ln a = x. ln a dy

Como:

dy 1 = dx dx dy

dy 1 = dx x. ln a

Se y = log z x

y =

1 x ln a u u ln a

Pela Regra da Cadeia:

Se y = log a u

y =

Para a=e

loga x = ln x u u

Pela Regra da Cadeia:

Se y = ln u

y =

Exemplos: Derivar

34

Apostila de C lculo I 1) y = ln x 2 y = 2x x

2

=

2 x

1 2) y = ln x 1 y = 2 x = 2x x 1 3) log3 x 1 y = 2 x = x ln 3 2 ln 3

Lembrar que :

ln (p . q) = ln p + ln q

ln

p = ln p ln q q

ln pr = r . ln p Exerc cios: Derivar

1) y = ln

[ 6x - 1.(4x + 5) ]

3

2) y = ln 3

x2 - 1 x2 + 1

3) y = ln

x 2 (2x - 1)3

(x + 5)2

4) y = ln x + x 2 - 1 5) y = e -2x .tg (4x )

35

Apostila de C lculo I Derivadas de Fun es na Forma Impl cita

Considere a express o:

x 2 + y 2 = 49

Podemos isolar y em fun o de x:

y 2 = 49 - x 2

y = 49 - x 2

Ficam definidas duas fun es:

y = f (x) = 49 - x 2

e

y = f (x) = - 49 - x 2

Diz-se que y = f (x) = 49 - x 2 e y = f (x) = - 49 - x 2 s o fun es na forma expl cita (y em fun o de x) , enquanto x 2 + y 2 = 49 uma fun o na forma impl cita.

Seja x 2 + y 2 = 49 . Usando a Regra da Cadeia :

(un ) = n. un-1u , a derivada de y 2 com rela o a x 2.y. y .

Na equa o inicial se derivarmos todos os termos com rela o a x, temos: 2 x + 2 y y = 0 y = 2x x =2y y

36

Apostila de C lculo I Exemplos: Calcular y ' para as fun es abaixo:

1) x 3 + 3y 4 = 0

3 x 2 + 12 y 3 y = 0

y =

- 3 x2 12 y 3

=

- x2 4y 3

2) x 2 y + y 4 = 4

f = x2 g=y

f = 2x g = y

2 x y + x 2 y + 4 y 3 y = 0 y = -2xy x + 4 y3

2

3) sen 4 x + x cos y = e x

4 sen 3 x cos x + cos y + x (-sen y) y = e x - e x + 4 sen 3 x cos x + cos y x sen y

y =

4) Encontrar as equa es das retas tangente e normal ao gr fico da curva 1, 27 . 2

x2 y2 + = 1 no ponto 4 9

Derivando com rela o a x , temos:

37

Apostila de C lculo I 1 1 . 2x + . 2y. y = 0 4 9 x 2 + y .y = 0 2 9 -x y = 2 2 y 9 27 No ponto 1, 2

a = y P =

-9 2 27

aN =

2 27 9

Reta Tangente T

y-

-9 27 (x - 1) = 2 2 27

Reta Normal N

y-

27 2 27 (x - 1) = 2 9

Exerc cios: 1) Calcular y ' para:

a) 3 x 2 + 5 x 4 - xy = 4

b) sen y + x 2 y 3 = tg x

c) y = x 2 sen y

2) Encontrar as equa es das retas tangente e normal ao gr fico da curva y 4 + 3 y - 4 x 3 = -5 x + 1 no ponto (1, 0 ) .

38

Apostila de C lculo I Diferenciais de uma Fun o

Dada uma fun o y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como: dy = f (x) x onde x o acr scimo da vari vel independente x e dy o diferencial de y.

Define-se ent o a diferencial da vari vel dependente como : dy = f (x) dx

Lembrando o significado geom trico da derivada, temos: y = f (x + x) - f (x) f (x + x ) - f (x) f (x) x f (x + x ) f (x) + f (x) x Exemplos:

1) Obter um valor aproximado para

37 .

escolhendo

f (x) = x x = 36 x = 1 x + x = 37

39

Apostila de C lculo I f (x) = 1 2 x

f (x + x) = f (x) + f (x)x

37 = 36 +

1 2 36

.1

37 6 +

1 6,08333 12

2) Obter um valor aproximado para sen 310 f (x) = sen x x = 30 0 = 6 180

x = 10 =

f (x + x) = f (x) + f (x)x sen 310 = sen + cos . 6 6 180

sen 310 0,51511

40

Apostila de C lculo I Exerc cios:

1) Obter um valor aproximado para b) (3,1) d) (2,03 )

a) 3 63

4

c)

4

15

3

e) cos 44 0

2) Calcular os diferenciais de: a) y = x 3 - 5 x 2 + 2

(

)4

b) y = sen 3x 2

( )

c) y =

sen x x

41

Apostila de C lculo I Aplica es da Derivada

M ximos e M nimos de uma Fun o

Considere a fun o cujo gr fico : M ximo absoluto

y

M ximo relativo

M nimo relativo x a

x1

x2

x3

x4

x5

b

f(x) crescente nos intervalos (a, x1 ), (x 2 .x 3 ), (x 4 .x 5 ) f(x) decrescente nos intervalos (x1.x 2 ), (x 3 .x 4 ) f(x) constante no intervalo (x 5 , b ) y Seja um trecho de f(x) crescente: f(x) f ' ( x ) = tg

se f (x) crescente, temos 0 tg 0 e f ' (x) 0

2

x

42

Apostila de C lculo I

y Seja um trecho de f(x) decrescente: f(x) f ( x ) = tg

'

se f (x) decrescente, temos tg 0 e f ' (x) 0

2

x

Se f(x) constante, f ' (x) = 0 .

Exemplos: 1) Determinar os intervalos em que a fun o f ( x ) = 4 - x 2 crescente e onde decrescente. f (x) = 4 - x 2 - 2x 0 f ( x ) = -2 x

'

se se

x 0 f(x) crescente para x 0 x 0 f(x) decrescent e para x 0

- 2x 0

2) Determinar os intervalos em que a fun o f ( x ) = x 2 + 5 x + 4 crescente e onde decrescente. f (x ) = x 2 + 5x + 4

43

Apostila de C lculo I

2x + 5 0 f ' ( x ) = 2x + 5 2x + 5 0

se

xx-

5 5 f(x) crescente para x 2 2

se

5 5 f(x) decrescent e para x 2 2

M ximos e M nimos Relativos ou Locais

Seja f(x) definida no dom nio D.

x 0 D ponto de m nimo local de f (x) se f (x 0 ) f (x) para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

y

f(x 0 ) x0

x

x 0 D ponto de m ximo local de f (x) se f (x 0 ) f (x) para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. y

f(x 0 )

44

x0

x

Apostila de C lculo I

Resultado:

Se f (x) existe e cont nua , ent o num ponto de m ximo ou m nimo local temos f ' (x 0 ) = 0 . Esse ponto chamado ponto cr tico de f(x).

Estudo do Sinal da Derivada Segunda

Para se caracterizar m ximos e m nimos locais necess rio uma an lise do sinal da derivada segunda da fun o f (x).

y

f (x) = 0

f (x) 0

f (x) 0

x

x0

Observe que para x x 0 temos f ' ( x ) 0 .Para x = x 0 temos f ' ( x ) = 0 e para x x 0 temos f ' ( x ) 0 . Logo f ' ( x ) decrescente e portanto sua derivada f ' ' ( x ) 0.

45

Apostila de C lculo I Conclus o:

Dada uma fun o f (x):

a) Calcular a derivada primeira f ' ( x ) . b) Obter os pontos cr ticos x 0 para os quais f ' ( x ) = 0 .

c) Calcular a derivada segunda: Se f ' ' ( x 0 ) 0 temos que x 0 ponto de m ximo relativo. Se f ' ' ( x 0 ) 0 temos que x 0 ponto de m nimo relativo

Exemplos:

1) Determinar os pontos de m ximos e m nimos locais da fun o f (x) = 4 - x 2 pontos cr ticos ( f ' ( x ) = 0 )

f ' (x) = - 2 x

-2x = 0

x0 = 0

f ' ' (x) = -2

x 0 ponto de m ximo relativo

f (x 0 ) = f (0) = 4 o valor m ximo relativo de f (x).

2) Idem para y = f (x) = 2x 3 - 12x 2 + 18 x - 2 pontos cr ticos x = 1 x = 3

f (x) = 0

f ( x ) = 6 x 2 - 24 x + 18 = 0

46

Apostila de C lculo I

f ' ' ( x) = 12 x - 24 f ' ' ( 1) = - 12 0 x 0 = 1 abcissa do ponto de m ximo relativo f (1) = 6 o valor do m ximo relativo f ' ' ( 3) = 12 0 x 0 = 3 abcissa do ponto de m nimo relativo f (3) = -2 o valor do m nimo relativo

Estudo da Concavidade de uma Fun o

A concavidade de uma curva f (x) identificada pelo sinal da derivada segunda. Se f ' ' ( x ) 0 num intervalo do dom nio D temos concavidade voltada para cima. Se f ' ' ( x ) 0 num intervalo do dom nio D temos concavidade voltada para baixo. Um ponto do gr fico de y = f (x) onde h mudan a no sinal da derivada segunda f ' ' ( x ) chamado ponto de inflex o f ' ' ( x ) = 0 .

Exemplo:

Seja y = f (x) = a) b) c)

x3 5 2 - x + 6 x + 2 . Determine: 3 2

o intervalo onde f(x) crescente e onde decrescente. pontos de m ximo e m nimo relativos. Pontos de inflex o.

Solu o:

47

Apostila de C lculo I x = 2 a) f (x) = x 2 - 5 x + 6 x = 3 Estudo do sinal:

1.

linha : x 2

2.

linha : x 3

3.

linha : (x-2) (x-3)

2 + + -

3 + + +

f (x) 0 f (x) 0

para

x 2 ou x 3 2 x 3

f crescente

para

f decrescent e

b)

pontos cr ticos

f (x) = 0

x = 2 x = 3

48

Apostila de C lculo I x f (x) = 2 x - 5 x = 2 f (x) 0 f (2) = =3 20 20 ponto 2, de m ximo relativo 3 3 f (x) 0

f (3) =

13 13 ponto 3, de m nimo relativo 2 2

c)

inflex o + 5 2

f ' ' (x) = 0

2 x-5

x=

5 2

f (x) passa de - para +

M ximos e M nimos Absolutos

Se y = f (x) cont nua e definida num intervalo fechado [a,b], deriv vel em [a,b] ent o existem pontos x 0 e x 1 tais que: 1) f (x 0 ) f (x) , x [a, b] 2) f (x1 ) f (x) , x [a, b]

e

x0 x1

= ponto de m nimo absoluto de f(x) = ponto de m ximo absoluto de f(x)

49

Apostila de C lculo I Para se obter os pontos de m nimo e m ximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de m nimo e m ximo relativos. Compara-se esses valores com os da fun o no extremo do intervalo.

Exemplo:

Seja y = f (x) = 16 - x 2 no intervalo [ -1, 4 ]

Pontos de m ximo e m nimo relativos f ' (x) = 0 f ' ' ( x ) = -2 -2x =0 x=0

[ - 1, 4]

como f ' ' ( x ) 0 ent o x = 0 ponto de m ximo local

e o valor m ximo da fun o f (0)=16. Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0

Por compara o f (x) = 0 ponto de m ximo absoluto e x =4 ponto de m nimo absoluto.

Exerc cios: 1) Dada a fun o y = f ( x ) = x3 - 3 x 2 + 9 x + 1 verifique os intervalos 3

para os quais a fun o crescente e decrescente. Determine os pontos cr ticos, verificando se s o de m ximo ou m nimo. Determine o ponto de inflex o, se houver. 2) Idem para y = f ( x ) = - x3 + 3 x 2 - 5x 3

3) Determinar n meros positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e cuja soma seja a menor poss vel. 4) Determinar n meros positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja o maior poss vel. 5) Encontre os pontos cr ticos, indicando se s o m ximos ou m nimos locais para y = (x 2 - 1) .

3

50

Apostila de C lculo I 6) Uma f brica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produ o dado por C = 2x 3 + 6 x 2 + 18 x + 60 e o valor obtido na venda dado por V = 60 x - 12x 2 , determinar o n mero timo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V C. 7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimens es a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 m 2 de rea, determinar as dimens es a e b de forma que o comprimento da cerca seja m nimo. 8) Um fio de comprimento l cortado em dois peda os. Com um deles se far um c rculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas reas compreendidas pela figura seja m nima?

51