DIVISIBILIDADE E RESTO

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CENTRO EDUCACIONAL GIRASSOL

TD de Matemática

Prof.: Tiago Rodrigues proftiagorodrigues@gmail.com

1. Introdução

O assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros () é extremamente importante para resolução de problemas de Olimpíadas de Matemática (Teoria dos Números).

Quando falamos em divisibilidade e resto , pensamos logo que esse assunto é trivial, pois já foi visto na 5ª série. Mas não é bem assim, na realidade, esse tópico merece uma atenção mais profunda.

2. Divisibilidade

Definição

Sejam a e b dois inteiros, com a 0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é múltiplo de a.

Indicaremos por a b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a b.

Vejamos alguns exemplos:

1.4 12, pois 12 = 4 . 3

2. 5 30, pois 30 = - 5 . (- 6)

3.7 -21, pois 21 = 7 . ( - 3)

4.3 11, pois não existe q inteiro tal que 10 = 3 . q

Para a relação x y nos inteiros valem as seguintes propriedades:

P1 : a a, a Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva)

P2 : se a b e b a . (propriedade anti simétrica)

Demonstração:

De fato, por hipótese, b = a.q e a = b.q. Daí, b = b.(). Se b = 0, como a=b.q, então a=0, e se b0, então e portanto . Logo também nesse caso.

P3 : se a b e b c a c (propriedade transitiva)

Demonstração:

Por hipótese, b = a.q1 e c = b.q2 . Daí, c = a.() e portanto a c.

P4 : se a b e c 0, então a.c b.c .

Demonstração:

De fato, por hipótese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:

b.c = (a.c).q. Portanto, a.c b.c.

Obs.: a recíproca da propriedade 4 também é verdadeira, ou seja, se a.c b.c a b. (Tente provar !)

P5 : se a b e a c, então a ( b c).

Demonstração:

Pela hipótese, b = aq e c = aq. Daí subtraindo ou somando uma equação de outra, vem:

(b c) = a (). Portanto, a (b c).

Critérios de Divisibilidade

Um inteiro qualquer diferente de zero, é divisível por:

2, se for par. Ex: 2.004;

3, se a soma dos seus algarismos for um numeral divisível por 3. Ex: 123;

4, se o numeral formado pelos dois algarismos da direita for um divisível por 4. Ex:

7.008;

5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875;

6, se for divisível simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056;

7, retira-se o último algarismo da direita, em seguida subtrai-se do número que restou o dobro do algarismo retirado. Essa diferença tem que ser divisível por 7. Ex: 343;

Obs.: Não sendo notável a diferença, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo.

8, se o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Ex: 123.016;

9, se a soma dos algarismos desse número for divisível por 9. Ex: 9.234;

10, se terminar em 0. Ex: 1.230;

11, se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par for um número divisível por 11. Ex: 72.897;

12, se for divisível simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580;

13, retira-se o último algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao número que restou o quádruplo do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisível por 13. Ex: 11.661;

Obs.: Não sendo notável a soma, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo.

14, se for divisível simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612;

15, se for divisível simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455;

21, se for divisível simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548;

22, se ao mesmo tempo for divisível por 2 e 11. Ex: 19.536;

25, quando terminar 00, 25, 50 ou 75. Ex: 121.345.725.

ALGORITMO DA DIVISâO

Teorema

Se a e b são dois número inteiros, com b 0, então existem e são únicos os inteiros q e r que satisfazem as condições:

a = b.q + r e 0 r b

Os elementos a, b, q e r são chamados, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e resto da divisão de a por b.

Exemplo 1: Numa divisão o divisor é 4, ache os possíveis restos.

Solução: Como o divisor é 4, então 0 resto 4. Daí, os possíveis restos são .

Exemplo 2: Achar os números que, na divisão por 7, dão quociente igual ao resto.

Solução: Seja N um dos números procurados. Pelo algoritmo da divisão temos N = 7.q + r, com 0 r 7. Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 q 7 e portanto os números são: 0, 8, 16, 24, 32, 40 e 48.

Restos das divisões

Na aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por outro, cujo caráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado na aplicação do caráter pelo divisor considerado.

Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11?

Solução:

Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17

Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4

17 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.

Teoria dos restos

Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.

Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4?

Solução:

Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3.

Proposição2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da divisão do produto dos restos dos fatores por esse número.

Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9?

Solução:

Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6.

NÚMEROS PRIMOS

Definição

Dizemos que um número inteiro positivo p maior que 1 é primo, se, e somente se, p possui exatamente dois divisores positivos distintos, ou seja, . Exemplo: O número 2 é primo, pois os divisores positivos de 2 são . E mais, 2 é o único número primo par, pois se existe primo par maior que 2, seria da forma N = 2q (q 1). Portanto, 1, 2 e q são divisores de N, o que torna absurdo, pois N é primo.

Proposição 1. O conjunto dos números primos é infinito.

Proposição 2. Se p é primo e p ab, então p a ou p b.

Teorema fundamental da aritmética

Todo inteiro positivo pode ser decomposto em fatores primos de uma única maneira.

Exemplo:

a)2004 = 2 x 31 x 1671

b)10.800 = 24 x 33 x 52

Proposição 3. Se um número 1 não é divisível por nenhum dos primos p menores ou iguais a , então é primo.

Exemplo: O número 271 é primo ou composto?

Solução: Primeiro, observemos que . Os primos que não superam 16 são: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Mas, nenhum deles divide 271. Logo, este número é primo.

Proposição 4. Seja N um inteiro positivo cuja forma fatorada é , onde são primos. A quantidade de divisores positivos de N é dada por .

Exemplo: Quantos divisores positivos possui o número 48 ?

Solução: Como , então .

Proposição 5. Seja N um inteiro positivo, cuja forma fatorada é , onde são primos. A soma dos divisores positivos de N é dada por .

Exemplo: Ache a soma dos divisores positivos do número 90?

Solução: Fatorando temos , então

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (MARAVILHAS!)

1. Determinar os números inteiros positivos que , divididos por 17, dão o resto igual ao quadrado do quociente.

2. Calcular o número de divisores positivos do produto

3. Encontre o valor da soma dos divisores positivos comuns entre 240 e 360.

4. Mostrar que, se a soma de dois inteiros quaisquer é divisível por 2, então a sua diferença também é divisível por 2.

5. Mostrar que, se n2 + 1 é divisível por n + 1, então n = 1.

6. Mostrar que a expressão 10n x (an 1) + 1 é divisível por 9, qualquer que seja o inteiro positivo n.

7. Sendo n um inteiro positivo, mostrar que 665 (93n 82n).

8. Mostrar que o inteiro N = 248 1 é divisível por dois inteiros compreendidos entre 60 e 70.

9. Achar o resto da divisão de 62002 por 10.

10. Um número dividido por 5 deixa resto 3 e dividido por 9 deixa resto 4. Determinar o resto da divisão deste número pelo produto 5 x 9.

11. Encontre o resto da divisão de 4555 por 10.

12. Determinar o resto da divisão por 3 da soma: 34 + 2487 + 36427 + 6123134, sem efetuá-la.

13. Determinar o resto da divisão por 8 do produto: 9428 x 7613 x 36249, sem efetuá-lo.

14. Determinar os restos das divisões por 5 e por 9, da expressão: 215378 x 27274 + 35826 x 1327.

15. Um número a dividido por 11 dá resto 2 e b é um número que, dividido pelo mesmo divisor, deixa resto 3. Calcular o menor número que se deve subtrair de a3 + b2 para se obter um múltiplo de 11.

16. Achar os valores do inteiro n para os quais a fração represente um inteiro.

17. Diga, justificando, se a igualdade 310 + 7100 = 8100 é verdadeira.