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PMR-2360 - Controle e Automa o I 2a. Lista de Exerc cios - Vers o 2004

[Ex. 1] Um sistema de controle para um sistema de testes de suspens o de carros possui um controlador unit rio (i.e. H(s) = 1) e uma planta dada por: G(s) = K(s2 + 4s + 8) . s2 (s + 4) (1)

Deseja-se escolher K tal que os p los dominantes tenham um valor de coeficiente de amortecimento = 0.5. Utilizando o lugar das ra zes mostre que para este requisito K = 7.35 e s = -1.3 + j2.2 [Ex. 2] Considere um sistema em malha fechada como o da figura acima, onde H(s) = e G(s) = s+a , s (2)

2 . (3) (s + 1)(s + 3) Utilizando o lugar das ra zes, determine o valor de a de tal forma que o coeficiente de amortecimento dos p los dominantes em malha fechada seja igual a 0.5. [Ex. 3] Um sistema de controle para um laser cir rgico acoplado a um manipulador com motor CC pode ser utilizado em opera es ortop dicas de quadris. Tais cirurgias requerem alta precis o de posi o e velocidade. O sistema de controle em malha fechada dado por: H(s) = K, e G(s) = (4)

1 . (5) s(1 s + 1)(2 s + 1) Onde 1 = 0.1s a constante el trica do motor CC e 2 = 0.2s a constante mec nica do motor CC. O ganho K do controlador deve ser ajustado de tal forma que o erro est tico para uma entrada do tipo rampa r(t) = At (onde A = 1mm/s) menor que 0.1mm enquanto a estabilidade mantida. Deseja-se que o erro durante a opera o nunca ultrapasse o valor de 0.1mm. Calcule o ganho K e proponha uma metodologia de opera o que garanta os requisitos acima. Obs: Para o c lculo do sobresinal utilize a hip tese de uma entrada a degrau e admita que os p los complexos sejam dominantes. [Ex. 4] Os motores el tricos de corrente cont nua (CC) s o largamente utilizados em diversas m quinas de sistemas de manufatura. Um motor el trico controlado por armadura associado a eventuais engrenagens, sensores para realimenta o e uma in rcia global fixa, um sistema de 3a. ordem considerando a posi o angular como a sa da do sistema. Na pr tica, o sistema modelado como um sistema de 2a. ordem j que a constante de tempo el trica do sistema bem menor que a constante de tempo mec nica. Vamos supor que um motor CC utilizado numa m quina para efetuar o posicionamento angular de um certo componente. Projete um sistema de controle para esta m quina segundo as seguintes hip teses: 1

O modelo completo deste sistema pode ser escrito como: G(s) = 4 . s(s + 10) (6)

Este componente funciona apenas em 3 posi es angulares: -60o , 0o e +60o como indicado na Figura abaixo.

0O -60 O +60 O

O motor opera num intervalo de tens o de [-5V,+5V] o que corresponde ao sinal do sensor de posi o no intervalo [-180o , 180o ]. O padr o de opera o pode ser representado pela Figura abaixo contendo o sinal de refer ncia utilizado na entrada do sistema de controle.

+60O 0O -60O 5seg

+5/3V 0V -5/3V

A representa o do sistema de controle est ilustrado na Figura abaixo.

D(s) perturbacao

R(s)

+ -

E(s)

H(s)

U(s)

+

G(s) Planta

Y(s) saida

Controlador referencia

+

O controlador que deve ser utilizado um controlador proporcional, i.e., H(s) = Kp . O motor sujeito a um dist rbio eventual que pode ser modelado atrav s de um degrau equivalente a 1V , ou seja, D(s) = 1/s. A especifica o do sistema de controle requer que o tempo de assentamento do sistema ts seja menor do que 1 seg, e que o erro transit rio ou est tico seja sempre menor do que 6o , ou seja, cerca de 10% do valor do degrau (60o ). [Ex. 5] O sistema de controle autom tico de helic pteros necess rio pelo fato do sistema ser inerentemente inst vel. O sistema de controle de um helic ptero pode ser representado atrav s da figura abaixo onde dois controladores podem atuar o sistema de controle autom tico e o controle do piloto atrav s do manche. Quando o piloto n o est utilizando o manche a chave pode ser considerada como estando aberta. A din mica do helic ptero pode ser

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representada pela seguinte fun o de transfer ncia: G2 (s) = 25(s + 0.03) , (s + 0.4)(s2 - 0.36s + 0.16) (7)

a fun o de transfer ncia da a o de controle do piloto dada por: GP (s) = s2 KI , + 12s + 1 (8)

e a fun o de transfe ncia do controle autom tico dada por: GC (s) = K2 (s + 1) . (s + 9) (9)

(a) Com a a o de controle do piloto desligada, determine o lugar das ra zes. Determine o ganho K2 que resulta num amortecimento de = 0.707 (b) Para o ganho K2 obtido no item anterior determine o erro est tico devido a um dist rbio Td (s) = 1/s. (c) Com a a o de controle do piloto adicionada, desehe o lugar das ra zes para K1 variando de zero a quando K2 assume o valor calculado no tem (a). (d) Recalcule o ero est tico da parte (b) quando K1 possui um valor adequado.

CHAVE R(s)

+

Td + + - G2 Y (s)

GP (s)

-

GC

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