Matematica Ensino Médio

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O Telecurso 2000 Telecurso 2000 é uma proposta de educação a distância para dar atendimento, prioritariamente a jovens e adultos que prioritariamente, desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade até o nível de 2º Grau, bem como adquirir competências básicas para o exercício de uma profissão. No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao ensino de 3ª à 8ª séries do 1º Grau, às três séries do 2º Grau e, ainda, conhecimentos específicos relativos aos Cursos Profissionalizantes. Constitui-se, também, numa possibilidade de reciclagem para os professores e num reforço à aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educação. O Quais são as disciplinas No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura: 1 ª FASE 2 ª FASE 3 ª FASE 1 ª FASE 2 ª FASE 3 ª FASE 1 ª FASE 2 ª FASE 3 ª FASE 1º GRAU -LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA E HISTÓRIA LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA E CIÊNCIAS INGLÊS, MATEMÁTICA, CIÊNCIAS E GEOGRAFIA 2º GRAU LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA, FÍSICA E BIOLOGIA LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA, FÍSICA E QUÍMICA QUÍMICA, HISTÓRIA, INGLÊS E GEOGRAFIA CURSOS PROFISSIONALIZANTES UNIVERSO MECÂNICO, ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO, NORMALIZAÇÃO, MATERIAIS, LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DESENHO MECÂNICO, ELEMENTOS DE MÁQUINAS, CÁLCULO TÉCNICO LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DESENHO MECÂNICO, METROLOGIA, HIGIENE E SEGURANÇA DO TRABALHO, QUALIDADE, PROCESSOS DE FABRICAÇÃO, ENSAIOS DE MATERIAIS QUALIDADE AMBIENTAL, TRATAMENTO TÉRMICO, MANUTENÇÃO, PROCESSOS DE FABRICAÇÃO, TRATAMENTO DE SUPERFÍCIES, AUTOMATIZAÇÃO/ AUTOMAÇÃO Cada fase tem a duração média de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades. Recursos de aprendizagem O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos próprios, referentes a cada disciplina, permitindo -além da aprendizagem dos conteúdos -a construção de novos conhecimentos e sua aplicação. Cada aula na TV tem duração de 15 minutos. Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exercícios. É importante o uso de dicionários e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueçam a aprendizagem. Como participar O Telecurso 2000 é aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de várias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste à sua possibilidade de participação. Alternativa 1 Freqüentando a telessala instalada numa instituição privada ou pública. Neste caso, o participante: q faz sua inscrição; q freqüenta o curso no local e nos horários estipulados pela instituição. Trata-se da recepção organizada na qual os alunos se reúnem com a organizada, presença do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo. Alternativa 2 Assistindo às teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponível: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e até no trabalho, sem necessitar da presença do Orientador de Aprendizagem durante a veiculação dos programas. Essa alternativa atende aos que têm dificuldade de freqüentar diariamente uma sala de aula. Neste caso, o participante: q faz sua inscrição num centro controlador; q freqüenta o curso pelo menos uma vez por semana. Trata-se da recepção controlada com a presença do Orientador de Aprencontrolada, dizagem para tirar dúvidas, orientar, analisar exercícios, trocar idéias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno. Alternativa 3 Assistindo às teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientação anterior ou posterior e, portanto, sem freqüentar a telessala ou o centro controlador. Trata-se da recepção livre ou isolada destinada aos participantes que isolada, tenham total impossibilidade de freqüentar uma telessala ou centro controlador. Como obter certificado de conclusão O participante poderá prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Estado. Secretarias de Educação de cada Estado Os procedimentos são os seguintes: q informar-se sobre datas de inscrição, local e documentos necessários; q inscrever-se; q prestar os exames das matérias que desejar, não necessitando aguardar a conclusão de todo o telecurso; q pedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matéria em que foi aprovado -quem é aprovado em determinada matéria não precisa mais prestar exame dessa disciplina; q solicitar à Secretaria de Educação o certificado de conclusão quando tiver conclusão, sido aprovado em todas as matérias do currículo do Telecurso 2000. A UA U L A L A 1 1 Recordando operações V Introdução amos iniciar nosso curso de matemática do 2º grau recordando as quatro operações: l adição subtração multiplicação divisão l l l Vamos lembrar como essas operações são feitas e, principalmente, quando devemos utilizá-las na solução de um problema. Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática, o mais importante é o raciocínio .Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais são as contas que devem ser feitas. l Um motorista de táxi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias? l Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. De quanto foi o troco? l Uma caixa de leite tipo "longa vida" possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas? l Devo repartir 24 balas igualmente entre meus três filhos. Quantas balas deve receber cada um? Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, e também os negativos -1, 2, 3, Nossa aula A U L A A adição Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar as coisas que estão separadas. EXEMPLO 1 Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é: 27 +31 +18 =76 Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos números de uma soma chama-se parcela .Na operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 +27 +31 também dá 76 76. Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser soma17. dos. Por exemplo, a soma de -12 com -5 dá -17 Para escrever essa operação fazemos assim: (- 12 +(- 5) =17 Observe que colocamos -5 entre parênteses para evitar que os sinais de +e de -fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja: 12 -5 =17 1 A subtração Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo. EXEMPLO 2 Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é: 90 -52 =38 Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes envelopes. A U L A 1 Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja: 9 -5 =4 5-9 =4 Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta. 5 +5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Na operação 9 +5 =14 partimos do número 9, andamos 5 unidades para a 14, direita e chegamos ao número 14. Na operação 9 -5 =4 partimos do número 9, andamos 5 unidades para a 4, esquerda e chegamos ao número 4. 9 +9 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Na operação 5 +9 =14 partimos do número 5, andamos 9 unidades para a 14, direita e chegamos ao número 14. Na operação 5 -9 =4 partimos do número 5, andamos 9 unidades para 4, a esquerda e chegamos ao número -4. Para resumir, as regras são as seguintes: l l Escrever 5 ou +5 é a mesma coisa. Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então: (+) (+) =(+) (+) (-) =(-) (-) (+) =(-) (-) (-) =(+) Por exemplo: 5 +(+ 3) =5 +3 =8 5 +(- 3) =5 -3 =2 5 +(+ 3) =5 -3 =2 5 -(- 3) =5 +3 =8 Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números. EXEMPLO 3 João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento: DIA SALDO INICIAL DEPÓSITO RETIRADA A U L A 1 10 10 12 15 18 21 00,00 53,00 25,00 65,00 30,00 18,00 Qual será o saldo de João após essas operações? Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta: 53 -25 +65 -30 -18 O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim: 0 53 -25 +65 -30 -18 =(53 +65) -(25 +30 +18) =118 -73 =45 Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária. A multiplicação A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 7 +7 +7 +7 +7 =5 7 =35 O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma: 5 +5 +5 +5 +5 +5 +5 =7 5 =35 Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação. A U L A 1 1. Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso: 5 7=7 5 2. Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 3 5 =(2 3) 5 =6 5 =30 2 3 5 =2 (3 5) =2 15 =30 2 3 5 =(2 5) 3 =10 3 =30 3. Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo: 2 (3 +4 +5) =2 12 =24 Ou, ainda: 2 (3 +4 +5) =2 3 +2 4 +2 5 =6 +8 +10 =24 Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes: (+) ( -) =( -) ( -) (+) =( -) ( -) ( -) =(+) Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras. l Para calcular 4 (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a -3. Daí: ((((4 (- 3) =(- 3) +(- 3) +(- 3) +(-3) 4 (- 3) =3 -3 -3 -3 4 (- 3) =12 Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto: (- 3) 0 =0 Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) (- 2 +2) =0 l É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: (( -3) ( -2) +(- 3) 2 =0 Ora, sabemos que (- 3) 2 dá -6. Logo, devemos ter (- 3) (- 2) =6 para que a soma seja zero. { { ?6 A divisão Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro. A U L A 1 EXEMPLO 4 Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa? A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5. 80 5 =16 Logo, cada caixa deve conter 16 lápis. No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? Á resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2. Veja a operação: dividendo 082 5 -5 16 032 0-30 02 divisor quociente resto Na operação acima, 82 é o dividendo ,5 é o divisor ,16 é o quociente e 2 é o resto .Esses quatro números se relacionam da seguinte forma: 82 =5 16 +2 (dividendo) =(divisor) (quociente) +(resto) Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema. A U L A EXEMPLO 5 Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas? Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação: 46 -42 0 .4 6 7 1 O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas. Exercícios Exercício 1 Efetue as operações indicadas: a) 37 +43 =b) 55 -18 =c) 18 -55 =d) 12 +(- 7) =e) 12 -(- 7) =f) -9 -6 =g) -9 +(- 6) =h) -9 -(- 6 ) =i) 13 7 =j) (- 8) 9 =l) (7 -3) 4 =m) (3 -8) (- 4) =Exercício 2 Efetue as operações indicadas. Lembre que, se várias operações aparecem em uma mesma expressão, as multiplicações e divisões são feitas primeiro e depois as somas e subtrações. a) 4 +2 3 =b) 20 -3 +12 -30 6 =c) 13 112 -11 10 =Exercício 3 Um revendedor entrou numa confecção e fez a seguinte compra. MERCADORIA QUANTIDADE PREÇO UNITÁRIO (R$) camisetas camisas bermudas calças 30 15 25 20 06 12 09 18 Quanto ele pagou por essa compra? Exercício 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificação de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador deverá ter recebido após 4 semanas? A U L A 1 Exercício 5 Descubra que números estão faltando nas operações abaixo: a) 12 .180 b) .8 5 26 c) 148 =6 .4 Exercício 6 Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietário colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combustível será suficiente? Exercício 7 Em uma festa, as mesas do salão são quadradas e acomodam, no máximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serão necessárias? Exercício 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados? Exercício 9 João tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cercá-lo com uma cerca de arame com 5 fios. Quantos metros de arame ele deverá comprar? A UA U L A L A 2 2 Frações e números decimais nicialmente, as frações são apresentadas como 2 partes de um todo. Por exemplo, teremos 5 de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituir2 mos o "bolo" por uma unidade qualquer, a fração 5 é um número e, como tal, possui seu lugar na reta numérica. Para fazer a marcação na reta numérica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas 0 2 5 1 2 Introdução I Por outro lado, a fração é também o resultado da divisão de dois números; 2 por exemplo, a fração 5 ,que é o resultado da divisão de 2 por 5. Observe o desenho a seguir: 2 5 2 5 2 5 2 2 5 2 5 Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais. Nossa aula Nesta aula vamos estudar as frações, suas propriedades e a forma de representá-las por números decimais. A divisão prolongada Imagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma deverá receber? Sabemos que 25 não é múltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber não será um número inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos então lembrar como fazemos a divisão de 25 por 4. //25 //25 4 -24 6 0.l 0.l Até agora, nossa conta indica que cada pessoa receberá 6 reais; mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um zero ao resto e uma vírgula ao quociente. 25 4 25 -24 6,25 -10 -8 -20 -20 -20 -0 -0 O resultado da divisão de 25 por 4 é 6,25 ou seja, cada pessoa receberá 6 reais e 25 centavos. Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar a operação que fizemos da seguinte forma: 25 =6,25 4 Todas as frações podem ser representadas por números decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador prolongando a operação. A máquina de calcular faz muito bem esse trabalho. Observe os exemplos. A U L A 2 25 4 2 5 4 =126 15 1 2 6 1 5 =2 3 2 3 =O que aconteceu no último exemplo? 2 A representação decimal da fração 3 tem infinitas casas decimais, ou seja, a quantidade de algarismos não acaba nunca. Esses números decimais que possuem algarismos (ou grupos de algarismos) que se repetem eternamente são as dízimas periódicas .As dízimas periódicas são incômodas. Com elas, em geral não conseguimos fazer contas de somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Por isso, preferimos representar esses números na forma de frações. Vamos então recordar as operações com frações. A U L A Frações iguais: Sabemos que a fração 2 é igual ao número decimal 0,5. Entretanto, as 2 3 4 frações 4 ,6 ,8 ,são também iguais a 0,5. Temos aqui um primeiro exemplo de frações iguais: 1 2 1 2 3 4 =2 4 6 8 Como fazemos para obter frações iguais? A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta. Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerado e o denominador pelo mesmo número. Observe os exemplos: 1 1 7 7 =2 2 7 14 2 2 3 6 =5 5 3 15 12 12 4 3 =32 32 4 8 50 50 10 5 =60 60 +10 6 Os dois últimos exemplos são importantes porque mostram como simplifi12 car frações. Se em algum problema aparece a fração 32 ,podemos, em seu lu3 gar, usar a fração 8 ,que representa o mesmo número e é mais simples. A propriedade que vimos é fundamental para as operações de adição e subtração de frações. Operações com frações Sabemos que é muito fácil somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador. Neste caso, basta somar ou subtrair os numeradores. Assim: 3 4 3+4 7 +10 10 10 10 Observe outro exemplo e a simplificação do resultado. 3 7 3 +7 10 5 +8 8 8 8 4 Como faremos, então, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes? Não é difícil. Vamos tentar representar as frações dadas por outras, iguais às que temos, mas com denominadores iguais. É o que veremos a seguir. Adição e subtração de frações Tomemos como exemplo, a soma 4 +6 .Os denominadores são diferentes. Então, buscamos um número que seja múltiplo de ambos. Encontramos 12, que é múltiplo de 4 e também de 6. Vamos então representar as duas frações dadas com esse mesmo denominador. Observe: 1 1 A U L A 2 1 1 3 3 =4 4 3 12 1 1 2 2 =6 6 2 12 Então, 1 1 3 2 3+2 5 +4 6 12 12 12 12 Acabamos de somar duas frações com denominadores diferentes. A subtração é feita da mesma forma. Devemos também igualar os denominadores. 4 3 Consideremos então a diferença 5 -8 .Qual será o novo denominador que devemos escolher? Pense um pouco e observe a solução. 4 4 8 32 =5 5 8 40 3 3 5 15 =8 8 5 40 Então, 4 3 32 15 17 -5 8 40 40 40 Multiplicação de frações Se na solução de algum problema devemos calcular, por exemplo a terça parte de dois quintos ,estamos frente a uma situação em que devemos multiplicar duas frações. A regra é a seguinte: Para multiplicar duas frações, multiplique os numeradores e os denominadores Assim: 1 2 1 2 2 =3 5 3 5 15 A U L A O inverso de um número O inverso de um número é um outro que, multiplicado pelo primeiro, dá 1. Por exemplo: o inverso de o inverso de 2é 3 5 1 2 5 3 2 porque porque 2 3 5 1 2 5 3 =2 2 =1 =1 é 15 15 O zero é o único número que não possui inverso .Observe agora a igualdade abaixo: 2 3 =2 1 3 Ela está correta, é claro. Mas, o que está mostrando? Que, do lado esquerdo, estamos dividindo 2 por 3 e, do lado direito, estamos multiplicando 2 pelo inverso de 3. Isso vale para qualquer número. A regra é a seguinte. Dividir um número por outro é o mesmo que multiplicar esse número pelo inverso do outro. Por exemplo, quanto dá a solução. 4 5 divididos por 3 ?Pense um pouco e acompanhe 2 4 2 4 3 12 6 =5 3 5 2 10 5 As porcentagens Uma porcentagem é uma fração de denominador 100. Por exemplo, 32% é 32 igual à fração 100 que também é igual ao número decimal 0,32 Quando queremos 0,32. calcular uma porcentagem de algum valor, multiplicamos a fração por esse valor. Veja: 32% de 650 laranjas =0,32 650 =208 laranjas 08% de R$140,00 =0,08 140 =R$11,20 O que fazer para transformar uma fração qualquer em uma porcentagem? Se o denominador só possui múltiplos de 2 e de 5, é fácil encontrar uma fração equivalente com denominador 100. Por exemplo: 2 2 20 40 =40% 5 5 20 100 Mas como faríamos com a fração 7 ?O mais prático, em qualquer caso, é usar a máquina para dividir o numerador pelo denominador e depois deslocar a vírgula duas casas para a direita. Observe os exemplos: 4 8 25 5 8 4 7 =8 25 =0,32 =32% 5 8 =0,625 =62,5% 4 7 @0,5714 =57,14% A U L A 2 Repare que nesse último exemplo fizemos uma aproximação. Na prática, usamos duas ou, no máximo, três casas decimais em nossas aproximações. Exercício 1 Simplifique as frações abaixo. Exemplo: 18 18 2 9 9 3 3 =42 42 2 21 21 3 7 a) 20 32 24 36 c) 320 400 10 100 b) d) Exercício 2 Complete os espaços abaixo com os sinais de (menor), (maior) ou =(igual). Exemplo: 2 .5 3 8 Solução: Exercícios 2 2 8 16 =3 3 8 24 5 5 3 15 =8 8 3 24 a) } c) d) 16 15 2 5 24 24 3 8 5 .3 8 5 2 .5 3 9 5 .23 6 24 8 .20 10 25 b) Exercício 3 Efetue: a) 3 1 +8 6 3 4 10 15 c) 1 1 4 6 1 1 1 +2 3 5 b) d) A U L A 2 Exercício 4 Efetue: a) 2 3 5 7 2 3 5 3 4 3 c) 2 3 5 7 b) 1 d) +2 7 4 2 Exercício 5 Calcule as porcentagens: a) 10% de 120 b) 24% de 500 c) 5% de 60 d) 12,5% de 72 Exercício 6 Transforme as frações em números decimais aproximados. Dê as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa. Exemplo: 1 =0,142. 0,14 7 26 =1,368. 1,36 19 a) 2 3 3 7 c) 4 11 29 13 b) d) Exercício 7 Escreva as frações abaixo como porcentagens. Não dê respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necessário: a) 1 8 5 6 7 40 b) c) A UU AL A L 3 3 A amos falar um pouco sobre a aritmética ,a geometria .e a álgebra .Elas são áreas importantes da matemática. Cada uma delas inventa seus objetos de estudo e métodos de resolver problemas, e todas têm aplicações significativas em nosso cotidiano. Como você deve se lembrar, de seus estudos no curso do 1º grau, a aritmética estuda os números -especialmente os números inteiros e os fracionários. Quanto à geometria, seus objetos de estudo são as figuras geométricas -como o triângulo, o quadrado, o círculo, a esfera etc. Os conhecimentos de aritmética e de geometria surgiram possivelmente há mais de quatro milênios. Pelo que está registrado nos achados da arqueologia a ciência que estuda o nosso passado -devemos muitos aos babilônios e aos egípcios e, finalmente, aos gregos. Estes últimos foram os responsáveis pelo surgimento do pensamento científico e nos deixaram os trabalhos de Tales, de Pitágoras e, mais tarde, de Euclides. (Euclides, por volta de 300 a.C.,formalizou praticamente todo o conhecimento matemático de seu tempo em sua obra Os Elementos.) V Introdução E a álgebra? A álgebra já é bem mais recente. Considera-se que tenha surgido na Índia, nos primeiros séculos deste milênio. De lá passou aos árabes. Nosso Sistema de numeração é chamado indo-arábico devido a esses povos. E com os árabes, que lhe deram o nome, a álgebra penetrou na Europa, onde desenvolveu-se extraordinariamente a partir do século XVI. Da Europa, esta área da matemática que continua crescendo, chegou às Américas e até nós, neste Brasil do limiar do terceiro milênio. A matemática deve o que é não apenas à genialidade de homens e mulheres como Tales, Pitágoras, Hipátia (uma matemática grega), Newton, Gauss etc.,mas também aos talentos "incógnitos" que em instantes magníficos criaram e continuarão criando a matemática. Quem teria inventado o zero? E as noções de ponto e de reta? E os nossos algarismos? Jamais saberemos responder. Só sabemos que o conhecimento se espalha, como é comum na natureza: cada nova planta que brota traz esperança de muitas outras plantas que brotarão. Sendo assim, aqui vão nossas sementes algébricas! E que você as multiplique -é o nosso desejo. Nossa aula A U L A 3 Para começar esta aula, pense no seguinte problema: uma mulher de 25 anos é casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades desse casal? Pense e responda. Não é difícil responder. O marido tem: 25 +7 =32 anos Portanto, a soma das idades do casal é: 25 +32 =57 anos Agora vamos ver outro problema semelhante: o marido de certa mulher é 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira criança do casal, as idades dos dois somam 70 anos. Qual a idade da mulher? Podemos perceber que essa resposta não virá tão facilmente quanto a do problema anterior. É interessante, por isso, que você pegue papel e lápis, e tente responder à pergunta. Será isso o que também faremos na próxima aula, quando mostraremos que alguns problemas tanto podem ser resolvidos pelo raciocínio aritmético quanto pelo algébrico. Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela álgebra, pois cremos que você saberá reconhecer o valor dessa nova forma de raciocínio. O nascimento do x Para resolver esse problema, poderíamos pensar assim: já que não sabemos a idade da mulher, nós escrevemos ?em seu lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a soma das idades da mulher e de seu marido é 79. Assim: idade da mulher Continuando, encontraremos: 7 2? 79 72 72 2 36 +( ?7 ) =79 idade do marido { Portanto, a idade da mulher é 36 anos. Para conferir, basta ver qual é a idade do marido e qual é a soma das idades. Não é fácil? Pois esta é a essência do chamado raciocínio algébrico -e daqui a pouco nós o recordaremos para você. Por enquanto, repare que o raciocínio é exatamente igual ao de uma outra pessoa que, no lugar de ?usasse um outro símbolo qualquer para representar um número. { Por exemplo, alguém poderia pensar assim: Como não sei a idade procurada, deixo um espaço para ela dentro deste quadradinho, e então escrevo o que sei."Ficaria assim: ( +7 ) =79 A U L A 3 Resolvendo esta equação (que é como chamamos em álgebra o procedimento de encontrar o número procurado), chegamos a: 36, 36 como antes. Ou seja, o símbolo que cada pessoa escolhe para ajudá-la a resolver o problema não é importante. Observe que o raciocínio é o mesmo. Sendo assim, podemos usar qualquer símbolo (lembre-se disso, pois às vezes os símbolos escolhidos podem ajudar bastante na resolução de problemas que encontramos na vida -e até nos motivar mais a enfrentar esses problemas). É comum, em Matemática, usarmos a letra "x" para designar o número que x estamos procurando -a incógnita ,como se diz. Também em outras ciências e na literatura em geral a letra "x" tem sido usada para designar algo desconhecido x ou misterioso. Como exemplos, temos: o "raio x que assim foi chamado porque descoraio x",nhecia-se o que ele era; uma certa "faculdade x relacionada com o desenvolfaculdade x",vimento da consciência do homem (segundo o escritor britânico Colin Wilson); o "cavalheiro x" personagem misterioso de algum romance ou novela etc. x",No caso do problema anterior, então, sua equação fica assim, usando x :x +( x +7) =79 Compare com as outras duas formas de escrevê-la. Não é a mesma coisa? E resolvendo a equação, obtemos x =36 para a idade da mulher, como antes. Seguindo a tradição matemática, também adotaremos o x quando o símbolo for indiferente. Resumindo o raciocínio algébrico: outro problema João avalia que, de sua caixa d'água de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para enchê-la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia d'água. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a água na lata? As etapas importante do nosso raciocínio acima são as seguintes. Procure compreender a idéia geral do raciocínio: como vimos, ele é fruto do bom senso. ETAPA 1 -Dando nome aos "bois" O que precisamos saber para resolver o problema: isto será x .Neste exemplo, x =capacidade da lata. Em seguida, usamos x para escrever o que sabemos; quer dizer, montamos a equação do problema. A U L A ETAPA 2 -Montando a equação Basta interpretar o que está escrito na nossa linguagem comum em termos matemáticos. Ou seja, escrever a equação. Reveja como fazemos: Capacidade da lata =x Capacidade de 45 latas =45x O que sabemos: 45x +100 =1000 (litros) 3 ETAPA 3 -Resolvendo a equação Esta etapa é mais automática: são as regras do cálculo. Aqui: 45x +100 =1000 45x =900 x =900 45 x =20 (litros) E a lata pesa 20 kg, pois 1 litro de água pesa 1 kg. Não estamos considerando o peso da lata vazia, neste problema. ETAPA 4 -Conferindo o resultado "Tudo isso?"alguém poderia perguntar, espantado com o peso carregado por João em tantas viagens. Para não termos dúvida de que chegamos ao resultado certo, checamos" se o número encontrado satisfaz de fato o que sabemos dos dados do problema. Quer dizer, se x for mesmo igual a 20, então deveremos ter 45x +100 =1000. Vejamos: 45 (20) +100 =900 +100 =1000 (Confere !) x São só estas etapas? Não. É preciso ter o cuidado final de verificar se já respondemos à pergunta do problema. ETAPA 5 -Respondendo o que foi perguntado Por exemplo, poderia ter sido perguntado não quanto era a capacidade da lata, mas sim qual o seu peso em água. (A resposta não seria, é claro, 20 litros!) Ou seja: para completar a solução, você tem de responder exatamente o que o problema pede. Foi uma boa aula. Concorda? O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo muito atual em termos de pensamento matemático. Useo nos próximos exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que estamos estudando. A U L A 3 Exercícios Exercício 1 Para cercar todo o perímetro de seu terreno quadrado e ainda gastar 26 m no caminho que leva à estrada, Procópio precisou comprar 94 m de cerca. Qual a área de seu terreno? Exercício 2 Quando seu primogênito nasceu, Gustavo tinha 24 anos. Depois de quantos anos ele terá exatamente o dobro da idade de seu filho? E o triplo? Exercício 3 a) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de seu triplo? b) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de 21? c) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de 42? Exercício 4 Quinze anos depois do nascimento das trigêmeas Lia, Lina e Liana, quantos anos tem cada uma delas? Exercício 5 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que pretendo vender para que, descontados 10%,eu fique ainda com R$100,00? (Verifique!) Exercício 6 Relacione cada número à esquerda com aquela expressão à direita que se torna verdadeira quando x é substituído pelo número: VALORES DE x EXPRESSÕES -2 -0 -3 -3 -1 a) 5x =6 -x2 b) c) 18 +5=2+x x x +x=0 d) x3 +2x =12 e) x +2x -9 =0 A UA U L A L A 4 4 O método aritmético e o método algébrico e você esteve bem atento na aula passada, na qual conhecemos os "problemas com x",deve ter percebido que aquele problema das idades do casal poderia ter sido resolvido sem que fosse preciso usar x. Vejamos como. O problema dizia: Introdução S Certa mulher é casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Quando a primeira criança do casal nasceu, a soma das duas idades era 79. Qual era a idade da mulher? Podemos raciocinar da seguinte maneira. Se o homem e a mulher tivessem a mesma idade, a idade dela (ou dele) seria, é claro, metade da soma; e a soma seria o dobro da idade da mulher. Como o marido é 7 anos mais velho, o dobro da idade da mulher foi aumentado de 7 anos, somando 79 anos. Logo, o dobro da idade da mulher é: 79 -7 =72 E a idade da mulher é: 72 2 =36 C.Q.D.!Isto é, Como queríamos demonstrar ,pois foi este o resultado que encontramos na outra aula. A aula de hoje traz outros problemas, que podem ser resolvidos tanto pelo método aritmético (como fizemos agora), como pelo método algébrico, ou método do x" Qual é o melhor para cada problema? A matemática não decide isso por nós: ela apenas enriquece nosso conhecimento com vários métodos para resolver problemas, e deixa a escolha para nós. Pois cabe a cada pessoa escolher por si mesma, já que a Matemática também é parte da vida. Sendo assim, papel e lápis! Porque também não existe "matemática de cabeça",e vamos à aula de hoje! Vamos ver como resolver um mesmo problema por métodos diferentes. No exemplo seguinte, temos mais uma questão sobre idades. Compare a solução pelo método aritmético e a solução pelo método algébrico. Você verá que chegaremos ao mesmo resultado. Sou cinqüentão",afirmou Paulo (querendo dizer que tinha cinqüenta e poucos anos). E hoje é um dia cabalístico" (isto é, mágico). Pois não apenas a idade da minha mulher, Jurema, mais jovem do que eu, se escreve ao contrário da minha, como a diferença entre as nossas idades é igual à idade que nossa filha comemora hoje: 9 anos!"Quantos anos tem Paulo? Uma tal data "cabalística" como essa se repetirá algum dia? Tente descobrir a idade de Paulo, raciocinando apenas com números, sem utilizar x ,ou seja, raciocinando aritmeticamente. Resolvendo pelo método aritmético O caminho mais simples para resolver o problema pelo método aritmético, neste caso, parece ser pelo raciocínio das tentativas. Assim, vamos fazer diretamente as contas em cada uma das possibilidades para a idade de Paulo cinqüenta e poucos anos: IDADE DE PAULO IDADE DE JUREMA DIFERENÇA Nossa aula A U L A 4 (= 9?) 51 52 53 54 55 15 25 35 45 55 36 27 18 09 00 (não) (não) (não) (sim) (já não serve: Jurema é mais jovem) Portanto, Paulo tem 54 anos, e sua mulher, 45. Quanto à segunda pergunta, fica para você responder. Continue usando o método das tentativas. No próximo ano, Paulo terá 55 anos, e Jurema, 46 (cujo contrário é 64, e não 55 -o que Paulo não consideraria "cabalístico"), e assim por diante. Procure! Resolvendo pelo método algébrico A pergunta é: qual a idade de Paulo "cinqüentão"?Vamo chamar a idade de Paulo de: 5 x ,isto é, (50 +x) anos 50 dezenas unidades E a idade de Jurema de: x5, isto é, (10x +5 anos 5 10x 5) dezenas unidades A U L A Sabemos que a diferença entre as idades é de 9 anos. Logo, (50 +x) -(10x +5) 50 +x -10x -5 -9x +45 -9x x =9 9 9 9 -45 4 -36 =4 -9 A idade de Paulo, então, é 54 anos (como encontramos antes). Que método é mais fácil? E mais rápido? No exemplo relativo à idade de Paulo, talvez você ache mais fácil aplicar o método aritmético. Basta organizar um pouco o raciocínio, fazendo uma tabela, e procurar o par de números "contrários" que satisfaça o que se pede. Já o método algébrico é mais rápido, e também mais geral: adapta-se imediatamente a vários problemas. (Veja os exercícios, depois.) Mas isso foi nesse exemplo. Em outros problemas, pode ser diferente. É isso que é bom, pois a própria escolha inicial do método a ser empregado já desenvolve nosso raciocínio e nossa criatividade. Veremos agora um problema que pode ser resolvido por, pelo menos, três métodos: um aritmético, um algébrico e um gráfico. Deixamos para você opinar, neste caso, sobre qual deles é o mais fácil, ou o mais rápido, ou o mais geral etc. Outro problema. e três métodos de resolução Estou com uns amigos numa mesa de bar. Tenho na carteira R$15,70. Quanto posso deixar minha despesa alcançar, se também pretendo deixar como gorjeta para o garçom 10% sobre essa despesa? Resolvendo pelo método aritmético Fazendo algumas tentativas com o valor da despesa, observo que, para cada 10 reais de despesa, deixarei mais 1 real para o garçom, totalizando esse gasto 11 reais, ou R$11,00. Para cada 1 real de despesa, deixarei 10 centavos, gastando assim R$1,10. Vamos, então, acrescentando novos gastos como esses, até a soma se aproximar do que tenho (R$15,70). Veja a tabela, com valores em R$:DESPESA GORJETA GASTO REAL SOMA 10 01 01 01 01 00,10 00,10 00,10 1 0,10 0,10 0,10 0,10 0,01 0,01 0,01 11 01,10 01,10 01,10 01,10 00,11 00,11 00,11 11 12,10 13,20 14,30 15,40 15,51 15,62 15,73 (mais do que tenho) Observe que, após a quinta linha de despesa, não valeria a pena continuar somando 1 real, pois isso levaria o total do gasto a mais de 16 reais -quantia de que não disponho. Por isso, continuamos com valores simples menores, de R$0,10 de despesa. Sendo assim, a tabela mostra que, nesse caso, posso deixar minha despesa alcançar apenas o que consta da última linha. Ou seja: 10 +4 +0,20 =14,20 reais A U L A 4 Exercícios Resolvendo pelo método algébrico Vamos dar nomes (ou símbolos) aos componentes do problema: l l l x -para o valor que a despesa pode alcançar 0,1x -para a gorjeta =10% de x =(10/100) x 1,1x -para o gasto =x +0,1x Então, eu quero saber qual o valor de x para que o meu gasto no bar não ultrapasse R$15,70. 1,1x =15,70 (ou menor que isso) x =14,27 -um pouco mais que 14,20. Como antes. De fato, se a minha despesa for R$14,20, a gorjeta será de R$1,42 ao todo, e terei gasto R$14,20 +R$1,42 =R$15,62 como encontramos na solução aritmética. R$15,62, Resolvendo pelo método gráfico Podemos também nos assegurar dessa resposta visualizando o problema num gráfico. Por exemplo, marca-se no eixo horizontal a despesa e, no vertical, a despesa aumentada de 10%,quer dizer, o gasto real. E marcando neste gráfico alguns valores conhecidos, como aqueles da tabela do item Resolvendo pelo aritmético. método aritmético Gasto real (y) 11 DESPESA GASTO REAL 10 01 04 11,00 11,10 04,40 4,40 4.40 1,10 1.10 1 4 10 Despesa (x) A U L A 4 É fácil notar que esses três pontos do tipo (x,y) =(despesa, gasto) que encontramos na tabela, bem como quaisquer outros que calculemos, formam uma reta que passa pela origem dos eixos. De fato, isso acontece porque o gasto é proporcional à despesa: ou seja, se a despesa for, por exemplo, 10 vezes maior, o gasto também será 10 vezes maior. Realmente, vimos que, de fato, um deles é múltiplo do outro: gasto =(1,1) despesa. Aqui é bom fazer uma pequena pausa para tratarmos de sinais matemáticos. É que, em álgebra, convém trocar o sinal de vezes ( ) pelo ponto ( ), para não confundir com a letra x .Tradicionalmente, a matemática utiliza os seguintes sinais: e para a multiplicação e e :para a divisão. Por isso, se você encontrar: gasto =(1,1) despesa é a mesma coisa que gasto =(1,1) despesa Algumas vezes, você também vê uma multiplicação na qual o sinal não aparece. Podemos escrever, por exemplo, o produto de a por b de três formas: b, a b a b ou simplesmente ab Assim, para sabermos que a despesa corresponde ao gasto de, no máximo, R$15,70, marcamos este número no eixo vertical e procuramos pela despesa no eixo horizontal: Gasto real (y) 15,70 15.70 y=1,1x 11 4,4 4.4 4 10 14,20 Despesa (x) 14.20 Despesa (x) Fazendo isto com cuidado, vimos que a despesa pode ser de até R$14,20, ou um pouco mais alta -como concluímos pelos outros dois métodos. Aqui estão alguns exercícios para você praticar. A lição mais importante desta aula, entretanto, não foi dita até aqui. É esta: Resolver um mesmo problema por dois métodos diferentes pode lhe dar uma grande segurança quanto às respostas. Se elas forem iguais, é bem possível que suas respostas estejam certas. E se forem diferentes?"você perguntaria. Neste caso, é claro que uma das respostas está errada! Saber que estamos errados também é uma forma de acertar. Concorda? O grande cientista Einstein teria dito, certa vez, que não se importava quando alguém apontava um erro em suas teorias; na verdade, até gostava. Por quê? Ele dizia que, tendo sido encontrado esse equívoco, isso o colocava mais perto da verdade, pois já não estava se enganando. Grande Einstein! São palavras que nos fazem pensar, não é mesmo? A U L A 4 Exercício 1 Use o gráfico do último problema desta aula para encontrar que despesa posso fazer para não ultrapassar os gastos abaixo, deixando ainda 10% para o garçom: a) R$ 8,80 b) R$ 9,02 c) R$ 19,80 Exercícios Exercício 2 Resolva o Exercício 1 aritmeticamente, completando a tabela dada na aula. Compare com as respostas encontradas naquele exercício. Exercício 3 Resolva o exercício 1 algebricamente, usando a equação que relaciona despesa e gasto no problema de gorjeta de 10%.Compare com as respostas dos exercícios anteriores. Exercício 4 Se eu decidisse deixar 20% de gorgeta para o garçom ,em vez de 10%,quanto poderia ter de despesa? a) Solução aritmética: b) Solução algébrica: c) Solução gráfica: A UA U L A L A 5 5 Equacionando os problemas ossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar -para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transformá-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Você pode fazer isso com palitos ou no desenho. Introdução N Nossa Aula Conseguiu resolver o quebra-cabeças? Não? Então, vamos resolvê-lo juntos, pelo caminho da matemática. Certos problemas não nos parecem, de início, problemas de matemática" mas, de repente, vemos que existe uma solução para eles que pode ser chamada de solução matemática. (Na realidade, o que existe na vida prática não são problemas de matemática -mas soluções matemáticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas práticos). O quebra-cabeça é um exemplo. A princípio, pode não estar bem claro qual matemática usar. Geometria? Aritmética? De fato, o quebra-cabeça envolve tanto figuras geométricas quanto números. Se você ainda não conseguir resolvê-lo, talvez seja porque não tenha percebido que o quebra-cabeça tem dois aspectos: o geométrico e o numérico .Talvez também tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto é: escolher quem será a incógnita -geralmente chamada de x -e escrever a equação satisfeita por essa incógnita. A partir daí -sempre deixando claro qual é a pergunta do problema -basta resolver a equação: quer dizer, encontrar o x do problema",como se costuma dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que é conhecido (pela equação) e o que se procura (a incógnita). Assim, o caminho da solução, que leva de uma coisa à outra, muitas vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no quebra-cabeça. Equacionando o quebra-cabeça O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles estão unidos e são feitos com palitos de fósforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, só com o movimento de 2 palitos. Que figura formarão, então, os 4 quadrados? Se soubermos isso, será bem mais fácil formar a tal figura. e o problema estará resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados não têm lado (palito) comum; ou b) os quadrados têm um lado comum. Qual a diferença importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense. A U L A 5 2 quadrados c o m lado comum 2 quadrados s e m l ado comum A diferença é numérica: em a) precisamos de 8 palitos; já em b) precisamos a), b), de apenas 7 -pois "economizamos" um palito quando os quadrados são vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual é a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta é: Quantos palitos temos?"É só contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados -desde que não permitamos que dois quadrados sejam vizinhos ("de parede",isto é, de lado comum) -usaremos: 4 4 =16 palitos. Exatamente o que temos! Algumas tentativas irão lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar é este: A U L A 5 Está resolvido. Não lhe parece mais fácil, agora? Pois então. Tudo teve uma seqüência muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o número de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido -neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados. Equacionando um problema algébrico Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução algébrica. EXEMPLO 1 Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x .Vimos que não importa a letra que usamos para designar a incógnita, isto é, o número procurado -mas é universal o uso do x .O fato importante é que: 2x +5 =17 A partir daí, acharíamos x .(Você pode tentar, se quiser). Só que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas -que é a primeira etapa. Geralmente, essa é a etapa mais importante na resolução desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento. l Quando encaramos o tal número procurado como a incógnita do problema, e o chamamos de x ;Quando traduzimos em "matematiquês" o que está dado em português, ou seja, quando escrevemos a equação matemática que é satisfeita por essa incógnita. Neste exemplo, faríamos assim: x =número O que sabemos: 2x +5 =17 Para reconhecer x ,é só resolver a equação. Encontra-se x =6 Verifique. 6. l Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. É interessante que você, em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que é x ,neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x ?(Qual é a equação?) EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o número que vai expressar seu perímetro (em km) seja o mesmo que o número que expressa sua área (em km )? Procure a solução! Em primeiro lugar, vamos responder às duas perguntas principais do equacionamento: a) x =lado b) O que sabemos: 4x =x perímetro área A U L A 5 Aqui, vamos lembrar que um número (ou incógnita) ao quadrado é esse número (ou incógnita) multiplicado por ele mesmo. Então: 4x =x x E, logo, adivinhamos um número x que satisfaz esta equação. Qual é? Ora até visualmente fica claro que a expressão 4x =x ,acima, é verdadeira quando substituímos x por 4, pois temos: 4 4=4 4 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quilômetros, satisfará o que é pedido. Uma observação importante: a equação 4 x =x é uma equação de 2º grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro número para substituir o x .A outra raiz é zero, pois zero vezes qualquer número é zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, não existiria. (Dizemos que, neste caso, x =0 é uma solução degenerada ). EXEMPLO 3 l l Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? E de 21? E qual o número cuja metade é a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta é equacionada assim: x =número 7 O que sabemos: x 42 =2 6 1 A partir daí fica fácil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x =14. A U L A A segunda pergunta é equacionada assim: 5 x =número 7 O que sabemos: x 21 =2 6 2 Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x =7. Já a terceira pergunta é bem diferente: x =número O que sabemos: x 3x =2 6 isto é, x =x Você pode dar exemplo de um número que pode substituir x e fazer a sentença ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer número serve! Pois x =x é verdadeiro para todo x ,já que todo número é igual a si mesmo. Assim, x =x não é propriamente uma equação. Dizemos que é uma identidade ,pois é verdadeira para todo x .EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do meu automóvel apresenta um erro e desejo conhecê-lo. Assim, poderei compensá-lo nas próximas leituras do marcador. Há pouco ele marcava 3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para enchê-lo completamente. A capacidade do tanque é de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a incógnita nesse problema: você diria que é o erro percentual procurado (quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do equacionamento é a escolha da incógnita, do x .Só é preciso bom-senso para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que saibamos logo usá-lo para escrever a equação do problema. Assim, é mais razoável fazer da seguinte maneira: x =Volume que havia no tanque (litros) O que sabemos: x +10 =50 Logo, x =40. O que queremos saber: l erro =erro percentual =l Mas o volume que o tanque marcava era: A U L A Assim: 3 50 =37,5 4 erro =40 -37,5 =2,5 (em 40 litros) 5 Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma regra de três ,procurando o erro não em 40, mas em 100 litros. 2,5 y 40 100 Daí, 2,5 40 =y 100 Então, multiplicando os dois lados por 100 y, temos: (2,5) (100) =40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os lados, temos que y= 250 =6, 25 (em 100 litros) 40 Concluímos que o erro percentual apresentado pelo marcador é de 6,25 litros em 100 litros, ou s