Matematica Ensino Médio

O Telecurso 2000

Telecurso 2000 uma proposta de educa o a dist ncia para dar atendimento, prioritariamente a jovens e adultos que prioritariamente, desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade at o n vel de 2 Grau, bem como adquirir compet ncias b sicas para o exerc cio de uma profiss o. No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao ensino de 3 8 s ries do 1 Grau, s tr s s ries do 2 Grau e, ainda, conhecimentos espec ficos relativos aos Cursos Profissionalizantes. Constitui-se, tamb m, numa possibilidade de reciclagem para os professores e num refor o aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educa o.

O

Quais s o as disciplinas

No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura:

1 FASE 2 FASE 3 FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1 FASE 2 FASE 3 FASE 1

GRAU

-

L NGUA PORTUGUESA, MATEM TICA E HIST RIA L NGUA PORTUGUESA, MATEM TICA E CI NCIAS INGL S, MATEM TICA, CI NCIAS E GEOGRAFIA

2

GRAU

L NGUA PORTUGUESA, MATEM TICA, F SICA E BIOLOGIA L NGUA PORTUGUESA, MATEM TICA, F SICA E QU MICA QU MICA, HIST RIA, INGL S E GEOGRAFIA CURSOS PROFISSIONALIZANTES UNIVERSO MEC NICO, ORGANIZA O DO TRABALHO, NORMALIZA O, MATERIAIS, LEITURA E INTERPRETA O DE DESENHO MEC NICO, ELEMENTOS DE M QUINAS, C LCULO T CNICO LEITURA E INTERPRETA O DE DESENHO MEC NICO, METROLOGIA, HIGIENE E SEGURAN A DO TRABALHO, QUALIDADE, PROCESSOS DE FABRICA O, ENSAIOS DE MATERIAIS QUALIDADE AMBIENTAL, TRATAMENTO T RMICO, MANUTEN O, PROCESSOS DE FABRICA O, TRATAMENTO DE SUPERF CIES, AUTOMATIZA O/ AUTOMA O

Cada fase tem a dura o m dia de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades.

Recursos de aprendizagem

O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos pr prios, referentes a cada disciplina, permitindo - al m da aprendizagem dos conte dos - a constru o de novos conhecimentos e sua aplica o. - Cada aula na TV tem dura o de 15 minutos. - Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exerc cios. - importante o uso de dicion rios e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enrique am a aprendizagem.

Como participar

O Telecurso 2000 aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de v rias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste sua possibilidade de participa o. Alternativa 1 Freq entando a telessala instalada numa institui o privada ou p blica. Neste caso, o participante: q faz sua inscri o; q freq enta o curso no local e nos hor rios estipulados pela institui o. Trata-se da recep o organizada na qual os alunos se re nem com a organizada, presen a do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo. Alternativa 2 Assistindo s teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV dispon vel: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e at no trabalho, sem necessitar da presen a do Orientador de Aprendizagem durante a veicula o dos programas. Essa alternativa atende aos que t m dificuldade de freq entar diariamente uma sala de aula. Neste caso, o participante: q faz sua inscri o num centro controlador; q freq enta o curso pelo menos uma vez por semana. Trata-se da recep o controlada com a presen a do Orientador de Aprencontrolada, dizagem para tirar d vidas, orientar, analisar exerc cios, trocar id ias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno. Alternativa 3 Assistindo s teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orienta o anterior ou posterior e, portanto, sem freq entar a telessala ou o centro controlador. Trata-se da recep o livre ou isolada destinada aos participantes que isolada, tenham total impossibilidade de freq entar uma telessala ou centro controlador.

Como obter certificado de conclus o

O participante poder prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Estado. Secretarias de Educa o de cada Estado Os procedimentos s o os seguintes: q informar-se sobre datas de inscri o, local e documentos necess rios; q inscrever-se; q prestar os exames das mat rias que desejar, n o necessitando aguardar a conclus o de todo o telecurso; q pedir, no local em que realizou as provas, o atestado da mat ria em que foi aprovado - quem aprovado em determinada mat ria n o precisa mais prestar exame dessa disciplina; q solicitar Secretaria de Educa o o certificado de conclus o quando tiver conclus o, sido aprovado em todas as mat rias do curr culo do Telecurso 2000.

A UA U L A L A

1 1

Recordando opera es

V

Introdu o

amos iniciar nosso curso de matem tica do 2 grau recordando as quatro opera es:

l

adi o subtra o multiplica o divis o

l

l

l

Vamos lembrar como essas opera es s o feitas e, principalmente, quando devemos utiliz -las na solu o de um problema. Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez bom em matem tica. engano! Fazer contas rapidamente uma habilidade que se adquire com a pr tica. Muito mais importante que fazer contas com rapidez descobrir quais s o as opera es que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matem tica, o mais importante o racioc nio . Para come ar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais s o as contas que devem ser feitas.

l

Um motorista de t xi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias?

l

Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. De quanto foi o troco?

l

Uma caixa de leite tipo "longa vida" possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?

l

Devo repartir 24 balas igualmente entre meus tr s filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas n meros inteiros. Eles s o os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3, . e tamb m os negativos - 1, - 2, - 3, . .

Nossa aula A U L A

A adi o

Podemos pensar na opera o de adi o quando queremos juntar as coisas que est o separadas. EXEMPLO 1 Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A opera o que devemos fazer : 27 + 31 + 18 = 76 Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos n meros de uma soma chama-se parcela . Na opera o de adi o, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 tamb m d 76 76. Devemos ainda lembrar que n meros negativos tamb m podem ser soma17. dos. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 d - 17 Para escrever essa opera o fazemos assim: (- 12 + (- 5) = - 17 Observe que colocamos - 5 entre par nteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma opera o. Veja: - 12 - 5 = - 17

1

A subtra o

Podemos pensar na opera o de subtra o quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo. EXEMPLO 2 Uma secret ria recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspond ncia. At a hora do almo o, ela j tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de opera o de subtra o. A opera o que devemos fazer : 90 - 52 = 38

Assim, depois do almo o, a secret ria dever preparar ainda 38 envelopes envelopes.

A U L A

1

Observe agora que, em uma subtra o, quando o segundo n mero maior que o primeiro, o resultado negativo. Veja: 9 -5 = 4 5-9 =-4 Para visualizar as opera es de adi o e subtra o, representamos os n meros inteiros como pontos de uma reta.

-5 +5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Na opera o 9 + 5 = 14 partimos do n mero 9, andamos 5 unidades para a 14, direita e chegamos ao n mero 14. Na opera o 9 - 5 = 4 partimos do n mero 9, andamos 5 unidades para a 4, esquerda e chegamos ao n mero 4.

-9 +9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Na opera o 5 + 9 = 14 partimos do n mero 5, andamos 9 unidades para a 14, direita e chegamos ao n mero 14. Na opera o 5 - 9 = - 4 partimos do n mero 5, andamos 9 unidades para 4, a esquerda e chegamos ao n mero - 4.

Para resumir, as regras s o as seguintes:

l l

Escrever 5 ou + 5 a mesma coisa. Quando sinais de n meros e sinais de opera es aparecerem juntos, ent o: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+)

Por exemplo: 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situa o em que h soma e subtra o de diversos n meros.

EXEMPLO 3 Jo o abriu uma conta banc ria. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

DIA SALDO INICIAL DEP SITO RETIRADA

A U L A

1

10 10 12 15 18 21

00,00 53,00 25,00 65,00 30,00 18,00

Qual ser o saldo de Jo o ap s essas opera es? Vamos representar os dep sitos por n meros positivos e as retiradas por n meros negativos. Devemos ent o fazer a seguinte conta: 53 - 25 + 65 - 30 - 18 O resultado dessa opera o ser a quantia que Jo o ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse c lculo somar os n meros positivos (os dep sitos), somar os n meros negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim: 0 53 - 25 + 65 - 30 - 18 = = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = = 118 - 73 = = 45 Portanto, Jo o ainda tem R$ 45,00 em sua conta banc ria.

A multiplica o

A multiplica o nada mais que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 = 35 O n mero 7 apareceu 5 vezes. Ent o, 7 vezes 5 d 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 = 35 Agora, o n mero 5 apareceu 7 vezes. Ent o 5 vezes 7 d 35. Voc j sabe que, em uma multiplica o cada n mero chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplica o.

A U L A

1

1. Na multiplica o, a ordem dos fatores n o altera o resultado. Por isso: 5 7=7 5 2. Quando temos v rias multiplica es seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 3 5 = (2 3) 5 = 6 5 = 30 2 3 5 = 2 (3 5) = 2 15 = 30 2 3 5 = (2 5) 3 = 10 3 = 30 3. Quando um n mero multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo: 2 (3 + 4 + 5) = 2 12 = 24 Ou, ainda: 2 (3 + 4 + 5) = 2 3 + 2 4 + 2 5 = 6 + 8 + 10 = 24 Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplica es com n meros negativos. As regras s o as seguintes: (+) ( -) = ( -) ( -) (+) = ( -) ( -) ( -) = (+) Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.

l

Para calcular 4 (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3. Da : ((((4 (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3) 4 (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3 4 (- 3) = - 12 Para entender que o produto de dois n meros negativos positivo vamos lembrar que o produto de qualquer n mero por zero d zero. Portanto: (- 3) 0 = 0 Vamos ent o escrever essa igualdade assim: (- 3) (- 2 + 2) = 0

l

a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplica o, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: (( - 3) ( - 2) + (- 3) 2 = 0

Ora, sabemos que (- 3) 2 d - 6. Logo, devemos ter (- 3) (- 2) = 6 para que a soma seja zero.

{ {

? -6

A divis o

Podemos pensar na divis o quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um n mero cabe no outro.

A U L A

1

EXEMPLO 4 Desejamos colocar 80 l pis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo n mero de l pis. Quantos l pis devemos p r em cada caixa? A resposta f cil. Basta dividir 80 por 5. 80 5 = 16 Logo, cada caixa deve conter 16 l pis. No exemplo que acabamos de ver, a divis o foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de l pis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tiv ssemos 82 l pis para p r nas 5 caixas? resposta f cil. Cada caixa continuaria com 16 l pis, mas sobrariam 2. Veja a opera o:

dividendo

082 5 -5 16 032 0-30 02

divisor quociente

resto

Na opera o acima, 82 o dividendo , 5 o divisor , 16 o quociente e 2 o resto . Esses quatro n meros se relacionam da seguinte forma: 82 = 5 16 + 2 (dividendo) = (divisor) (quociente) + (resto)

Aten o! O resto sempre positivo e menor que o divisor.

Ao fazer uma divis o, estaremos sempre encontrando dois novos n meros: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa opera o em um problema.

A U L A

EXEMPLO 5 Certo elevador pode transportar no m ximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador dever fazer para transportar todas essas pessoas? Devemos dividir 46 por 6. Observe a opera o: 46 - 42 0 .4 6 7

1

O quociente igual a 7 indica que o elevador far 7 viagens com lota o completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobrar o ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador dever fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador far 8 viagens para transportar todas as pessoas.

Exerc cios

Exerc cio 1 Efetue as opera es indicadas: a) 37 + 43 = b) 55 - 18 = c) 18 - 55 = d) 12 + (- 7) = e) 12 - (- 7) = f) - 9 - 6 = g) - 9 + (- 6) = h) - 9 - (- 6 ) = i) 13 7 = j) (- 8) 9 = l) (7 - 3) 4 = m) (3 - 8) (- 4) = Exerc cio 2 Efetue as opera es indicadas. Lembre que, se v rias opera es aparecem em uma mesma express o, as multiplica es e divis es s o feitas primeiro e depois as somas e subtra es. a) 4 + 2 3 = b) 20 - 3 + 12 - 30 6 = c) 13 112 - 11 10 = Exerc cio 3 Um revendedor entrou numa confec o e fez a seguinte compra.

MERCADORIA QUANTIDADE PRE O UNIT RIO

(R$)

camisetas camisas bermudas cal as

30 15 25 20

06 12 09 18

Quanto ele pagou por essa compra?

Exerc cio 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratifica o de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador dever ter recebido ap s 4 semanas?

A U L A

1

Exerc cio 5 Descubra que n meros est o faltando nas opera es abaixo: a) 12 . =180 b) . 8 5 26 c) 148 = 6 . + 4 Exerc cio 6 Certo autom vel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o propriet rio colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combust vel ser suficiente?

Exerc cio 7 Em uma festa, as mesas do sal o s o quadradas e acomodam, no m ximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas ser o necess rias?

Exerc cio 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?

Exerc cio 9 Jo o tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cerc -lo com uma cerca de arame com 5 fios.

Quantos metros de arame ele dever comprar?

A UA U L A L A

2 2

Fra es e n meros decimais

nicialmente, as fra es s o apresentadas como 2 partes de um todo. Por exemplo, teremos 5 de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituir2 mos o "bolo" por uma unidade qualquer, a fra o 5 um n mero e, como tal, possui seu lugar na reta num rica. Para fazer a marca o na reta num rica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas

0 2 5 1 2

Introdu o

I

Por outro lado, a fra o tamb m o resultado da divis o de dois n meros; 2 por exemplo, a fra o 5 , que o resultado da divis o de 2 por 5. Observe o desenho a seguir:

2 5 2 5 2 5

2

2 5

2 5

Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais.

Nossa aula

Nesta aula vamos estudar as fra es, suas propriedades e a forma de represent -las por n meros decimais.

A divis o prolongada

Imagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma dever receber? Sabemos que 25 n o m ltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber n o ser um n mero inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos ent o lembrar como fazemos a divis o de 25 por 4. //25 //25 4 - 24 6 0.l 0.l

At agora, nossa conta indica que cada pessoa receber 6 reais; mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um zero ao resto e uma v rgula ao quociente. -.25 4 25 - 24 6,25 - 10 - -8 -20 -20 - 20 -0 -0 O resultado da divis o de 25 por 4 6,25 ou seja, cada pessoa receber 6 reais e 25 centavos. Utilizando uma fra o para indicar a divis o, podemos representar a opera o que fizemos da seguinte forma: 25 = 6,25 4 Todas as fra es podem ser representadas por n meros decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador prolongando a opera o. A m quina de calcular faz muito bem esse trabalho. Observe os exemplos.

A U L A

2

25 4

2

5

4

=

126 15

1

2

6

1

5

=

2 3

2

3

=

O que aconteceu no ltimo exemplo? 2 A representa o decimal da fra o 3 tem infinitas casas decimais, ou seja, a quantidade de algarismos n o acaba nunca. Esses n meros decimais que possuem algarismos (ou grupos de algarismos) que se repetem eternamente s o as d zimas peri dicas . As d zimas peri dicas s o inc modas. Com elas, em geral n o conseguimos fazer contas de somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Por isso, preferimos representar esses n meros na forma de fra es. Vamos ent o recordar as opera es com fra es.

A U L A

Fra es iguais:

Sabemos que a fra o 2 igual ao n mero decimal 0,5. Entretanto, as 2 3 4 fra es 4 , 6 , 8 , . s o tamb m iguais a 0,5. Temos aqui um primeiro exemplo de fra es iguais:

1

2

1 2 3 4 = = = = . 2 4 6 8

Como fazemos para obter fra es iguais? A propriedade que enunciamos a seguir responde a essa pergunta.

Uma fra o n o se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerado e o denominador pelo mesmo n mero.

Observe os exemplos:

1 1 7 7 = = 2 2 7 14 2 2 3 6 = = 5 5 3 15 12 12 4 3 = = 32 32 4 8 50 50 10 5 = = 60 60 + 10 6

Os dois ltimos exemplos s o importantes porque mostram como simplifi12 car fra es. Se em algum problema aparece a fra o 32 , podemos, em seu lu3 gar, usar a fra o 8 , que representa o mesmo n mero e mais simples. A propriedade que vimos fundamental para as opera es de adi o e subtra o de fra es.

Opera es com fra es

Sabemos que muito f cil somar ou subtrair fra es que tenham o mesmo denominador. Neste caso, basta somar ou subtrair os numeradores. Assim:

3 4 3+4 7 + = = 10 10 10 10

Observe outro exemplo e a simplifica o do resultado.

3 7 3 + 7 10 5 + = = = 8 8 8 8 4

Como faremos, ent o, para somar ou subtrair fra es com denominadores diferentes? N o dif cil. Vamos tentar representar as fra es dadas por outras, iguais s que temos, mas com denominadores iguais. o que veremos a seguir. Adi o e subtra o de fra es Tomemos como exemplo, a soma 4 + 6 . Os denominadores s o diferentes. Ent o, buscamos um n mero que seja m ltiplo de ambos. Encontramos 12, que m ltiplo de 4 e tamb m de 6. Vamos ent o representar as duas fra es dadas com esse mesmo denominador. Observe:

1 1

A U L A

2

1 1 3 3 = = 4 4 3 12 1 1 2 2 = = 6 6 2 12

Ent o,

1 1 3 2 3+2 5 + = + = = 4 6 12 12 12 12

Acabamos de somar duas fra es com denominadores diferentes. A subtra o feita da mesma forma. Devemos tamb m igualar os denominadores. 4 3 Consideremos ent o a diferen a 5 - 8 . Qual ser o novo denominador que devemos escolher? Pense um pouco e observe a solu o.

4 4 8 32 = = 5 5 8 40 3 3 5 15 = = 8 8 5 40

Ent o,

4 3 32 15 17 - = = 5 8 40 40 40

Multiplica o de fra es Se na solu o de algum problema devemos calcular, por exemplo a ter a parte de dois quintos , estamos frente a uma situa o em que devemos multiplicar duas fra es. A regra a seguinte:

Para multiplicar duas fra es, multiplique os numeradores e os denominadores

Assim:

1 2 1 2 2 = = 3 5 3 5 15

A U L A

O inverso de um n mero O inverso de um n mero um outro que, multiplicado pelo primeiro, d 1. Por exemplo: o inverso de o inverso de 2

3 5 1 2 5 3

2

porque porque

2

3 5

1 2 5 3

= =

2 2

=1 =1

15 15

O zero o nico n mero que n o possui inverso . Observe agora a igualdade abaixo:

2 3

=2

1 3

Ela est correta, claro. Mas, o que est mostrando? Que, do lado esquerdo, estamos dividindo 2 por 3 e, do lado direito, estamos multiplicando 2 pelo inverso de 3. Isso vale para qualquer n mero. A regra a seguinte.

Dividir um n mero por outro o mesmo que multiplicar esse n mero pelo inverso do outro.

Por exemplo, quanto d a solu o.

4 5

divididos por 3 ? Pense um pouco e acompanhe

2

4 2 4 3 12 6 = = = 5 3 5 2 10 5

As porcentagens Uma porcentagem uma fra o de denominador 100. Por exemplo, 32% 32 igual fra o 100 que tamb m igual ao n mero decimal 0,32 Quando queremos 0,32. calcular uma porcentagem de algum valor, multiplicamos a fra o por esse valor. Veja: 32% de 650 laranjas = 0,32 650 = 208 laranjas 08% de R$140,00 = 0,08 140 = R$11,20 O que fazer para transformar uma fra o qualquer em uma porcentagem? Se o denominador s possui m ltiplos de 2 e de 5, f cil encontrar uma fra o equivalente com denominador 100. Por exemplo:

2 2 20 40 = = = 40% 5 5 20 100

Mas como far amos com a fra o 7 ? O mais pr tico, em qualquer caso, usar a m quina para dividir o numerador pelo denominador e depois deslocar a v rgula duas casas para a direita. Observe os exemplos:

4

8 25 5 8 4 7

= 8 25 = 0,32 = 32% = 5 8 = 0,625 = 62,5% = 4 7 @ 0,5714 = 57,14%

A U L A

2

Repare que nesse ltimo exemplo fizemos uma aproxima o. Na pr tica, usamos duas ou, no m ximo, tr s casas decimais em nossas aproxima es.

Exerc cio 1 Simplifique as fra es abaixo. Exemplo:

18 18 2 9 9 3 3 = = = = 42 42 2 21 21 3 7

a)

20 32 24 36

c)

320 400 10 100

b)

d)

Exerc cio 2 Complete os espa os abaixo com os sinais de (menor), (maior) ou = (igual). Exemplo: 2 . 5 3 8 Solu o:

Exerc cios

2 2 8 16 = = 3 3 8 24 5 5 3 15 = = 8 8 3 24

a)

}

c) d)

16 15 2 5 24 24 3 8

5 . 3 8 5 2 . 5 3 9

5 . 23 6 24 8 . 20 10 25

b)

Exerc cio 3 Efetue: a)

3 1 + 8 6 3 4 10 15

c)

1 1 4 6 1 1 1 + + 2 3 5

b)

d)

A U L A

2

Exerc cio 4 Efetue: a)

2 3 5 7 2 3 5 3 4 3

c)

2 3 5 7

b)

1 d) +

2 7 4 2

Exerc cio 5 Calcule as porcentagens: a) 10% de 120 b) 24% de 500 c) 5% de 60 d) 12,5% de 72 Exerc cio 6 Transforme as fra es em n meros decimais aproximados. D as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa. Exemplo:

1 = 0,142. @ 0,14 7 26 = 1,368. @ 1,36 19

a)

2 3 3 7

c)

4 11 29 13

b)

d)

Exerc cio 7 Escreva as fra es abaixo como porcentagens. N o d respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necess rio: a)

1 8 5 6 7 40

b)

c)

A UU AL A L

3 3

A

amos falar um pouco sobre a aritm tica , a geometria . e a lgebra . Elas s o reas importantes da matem tica. Cada uma delas inventa seus objetos de estudo e m todos de resolver problemas, e todas t m aplica es significativas em nosso cotidiano. Como voc deve se lembrar, de seus estudos no curso do 1 grau, a aritm tica estuda os n meros - especialmente os n meros inteiros e os fracion rios. Quanto geometria, seus objetos de estudo s o as figuras geom tricas - como o tri ngulo, o quadrado, o c rculo, a esfera etc. Os conhecimentos de aritm tica e de geometria surgiram possivelmente h mais de quatro mil nios. Pelo que est registrado nos achados da arqueologia a ci ncia que estuda o nosso passado - devemos muitos aos babil nios e aos eg pcios e, finalmente, aos gregos. Estes ltimos foram os respons veis pelo surgimento do pensamento cient fico e nos deixaram os trabalhos de Tales, de Pit goras e, mais tarde, de Euclides. (Euclides, por volta de 300 a.C., formalizou praticamente todo o conhecimento matem tico de seu tempo em sua obra Os Elementos.)

V

Introdu o

E a lgebra?

A lgebra j bem mais recente. Considera-se que tenha surgido na ndia, nos primeiros s culos deste mil nio. De l passou aos rabes. Nosso Sistema de numera o chamado indo-ar bico devido a esses povos. E com os rabes, que lhe deram o nome, a lgebra penetrou na Europa, onde desenvolveu-se extraordinariamente a partir do s culo XVI. Da Europa, esta rea da matem tica que continua crescendo, chegou s Am ricas e at n s, neste Brasil do limiar do terceiro mil nio. A matem tica deve o que n o apenas genialidade de homens e mulheres como Tales, Pit goras, Hip tia (uma matem tica grega), Newton, Gauss etc., mas tamb m aos talentos "inc gnitos" que em instantes magn ficos criaram e continuar o criando a matem tica. Quem teria inventado o zero? E as no es de ponto e de reta? E os nossos algarismos? Jamais saberemos responder. S sabemos que o conhecimento se espalha, como comum na natureza: cada nova planta que brota traz esperan a de muitas outras plantas que brotar o. Sendo assim, aqui v o nossas sementes alg bricas! E que voc as multiplique - o nosso desejo.

Nossa aula A U L A

3

Para come ar esta aula, pense no seguinte problema: uma mulher de 25 anos casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Qual a soma das idades desse casal? Pense e responda. N o dif cil responder. O marido tem: 25 + 7 = 32 anos Portanto, a soma das idades do casal : 25 + 32 = 57 anos

Agora vamos ver outro problema semelhante: o marido de certa mulher 7 anos mais velho que ela. Quando nasce a primeira crian a do casal, as idades dos dois somam 70 anos. Qual a idade da mulher? Podemos perceber que essa resposta n o vir t o facilmente quanto a do problema anterior. interessante, por isso, que voc pegue papel e l pis, e tente responder pergunta. Ser isso o que tamb m faremos na pr xima aula, quando mostraremos que alguns problemas tanto podem ser resolvidos pelo racioc nio aritm tico quanto pelo alg brico. Agora, queremos mostrar-lhe como resolver este problema pela lgebra, pois cremos que voc saber reconhecer o valor dessa nova forma de racioc nio.

O nascimento do x

Para resolver esse problema, poder amos pensar assim: j que n o sabemos a idade da mulher, n s escrevemos ? em seu lugar. Com isso, podemos escrever o que sabemos do problema: que a soma das idades da mulher e de seu marido 79. Assim: ? idade da mulher Continuando, encontraremos: ? + ? + 7 2? ? ? = = = = 79 72 72 2 36 + ( ? + 7 ) = 79 idade do marido

{

Portanto, a idade da mulher 36 anos. Para conferir, basta ver qual a idade do marido e qual a soma das idades. N o f cil? Pois esta a ess ncia do chamado racioc nio alg brico - e daqui a pouco n s o recordaremos para voc . Por enquanto, repare que o racioc nio exatamente igual ao de uma outra pessoa que, no lugar de ? , usasse um outro s mbolo qualquer para representar um n mero.

{

Por exemplo, algu m poderia pensar assim: "Como n o sei a idade procurada, deixo um espa o para ela dentro deste quadradinho, e ent o escrevo o que sei." Ficaria assim: + ( + 7 ) = 79

A U L A

3

Resolvendo esta equa o (que como chamamos em lgebra o procedimento de encontrar o n mero procurado), chegamos a:

36, = 36 como antes.

Ou seja, o s mbolo que cada pessoa escolhe para ajud -la a resolver o problema n o importante. Observe que o racioc nio o mesmo. Sendo assim, podemos usar qualquer s mbolo (lembre-se disso, pois s vezes os s mbolos escolhidos podem ajudar bastante na resolu o de problemas que encontramos na vida - e at nos motivar mais a enfrentar esses problemas). comum, em Matem tica, usarmos a letra "x" para designar o n mero que x estamos procurando - a inc gnita , como se diz. Tamb m em outras ci ncias e na literatura em geral a letra "x" tem sido usada para designar algo desconhecido x ou misterioso. Como exemplos, temos: o "raio x que assim foi chamado porque descoraio x", nhecia-se o que ele era; uma certa "faculdade x relacionada com o desenvolfaculdade x", vimento da consci ncia do homem (segundo o escritor brit nico Colin Wilson); o "cavalheiro x" personagem misterioso de algum romance ou novela etc. x", No caso do problema anterior, ent o, sua equa o fica assim, usando x : x + ( x + 7) = 79 Compare com as outras duas formas de escrev -la. N o a mesma coisa? E resolvendo a equa o, obtemos x = 36 para a idade da mulher, como antes. Seguindo a tradi o matem tica, tamb m adotaremos o x quando o s mbolo for indiferente.

Resumindo o racioc nio alg brico: outro problema

Jo o avalia que, de sua caixa d' gua de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para ench -la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia d' gua. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a gua na lata? As etapas importante do nosso racioc nio acima s o as seguintes. Procure compreender a id ia geral do racioc nio: como vimos, ele fruto do bom senso. ETAPA 1 - Dando nome aos "bois" O que precisamos saber para resolver o problema: isto ser x . Neste exemplo, x = capacidade da lata. Em seguida, usamos x para escrever o que sabemos; quer dizer, montamos a equa o do problema.

A U L A

ETAPA 2 - Montando a equa o Basta interpretar o que est escrito na nossa linguagem comum em termos matem ticos. Ou seja, escrever a equa o. Reveja como fazemos: Capacidade da lata = x Capacidade de 45 latas = 45x O que sabemos: 45x + 100 = 1000 (litros)

3

ETAPA 3 - Resolvendo a equa o Esta etapa mais autom tica: s o as regras do c lculo. Aqui: 45x + 100 = 1000 45x = 900 x = 900 45 x = 20 (litros) E a lata pesa 20 kg, pois 1 litro de gua pesa 1 kg. N o estamos considerando o peso da lata vazia, neste problema.

ETAPA 4 - Conferindo o resultado "Tudo isso?", algu m poderia perguntar, espantado com o peso carregado por Jo o em tantas viagens. Para n o termos d vida de que chegamos ao resultado certo, "checamos" se o n mero encontrado satisfaz de fato o que sabemos dos dados do problema. Quer dizer, se x for mesmo igual a 20, ent o deveremos ter 45x + 100 = 1000. Vejamos: 45 (20) + 100 = 900 + 100 = 1000 (Confere !) x

S o s estas etapas? N o. preciso ter o cuidado final de verificar se j respondemos pergunta do problema.

ETAPA 5 - Respondendo o que foi perguntado Por exemplo, poderia ter sido perguntado n o quanto era a capacidade da lata, mas sim qual o seu peso em gua. (A resposta n o seria, claro, 20 litros!) Ou seja: para completar a solu o, voc tem de responder exatamente o que o problema pede.

Foi uma boa aula. Concorda? O racioc nio alg brico mesmo muito til, poderoso e at mesmo muito atual em termos de pensamento matem tico. Useo nos pr ximos exerc cios, n o esquecendo de que o importante a compreens o do que estamos estudando.

A U L A

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Exerc cios

Exerc cio 1 Para cercar todo o per metro de seu terreno quadrado e ainda gastar 26 m no caminho que leva estrada, Proc pio precisou comprar 94 m de cerca. Qual a rea de seu terreno?

Exerc cio 2 Quando seu primog nito nasceu, Gustavo tinha 24 anos. Depois de quantos anos ele ter exatamente o dobro da idade de seu filho? E o triplo?

Exerc cio 3 a) Qual o n mero cuja metade igual sexta parte de seu triplo? b) Qual o n mero cuja metade igual sexta parte de 21? c) Qual o n mero cuja metade igual sexta parte de 42?

Exerc cio 4 Quinze anos depois do nascimento das trig meas Lia, Lina e Liana, quantos anos tem cada uma delas?

Exerc cio 5 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que pretendo vender para que, descontados 10%, eu fique ainda com R$100,00? (Verifique!)

Exerc cio 6 Relacione cada n mero esquerda com aquela express o direita que se torna verdadeira quando x substitu do pelo n mero:

VALORES DE

x

EXPRESS ES

-2 -0 -3 -3 -1

a) 5x = 6 - x2 b) c)

18 +5=2+x x x +x=0

d) x3 + 2x = 12 e) x + 2x - 9 = 0

A UA U L A L A

4

4

O m todo aritm tico e o m todo alg brico

e voc esteve bem atento na aula passada, na qual conhecemos os "problemas com x", deve ter percebido que aquele problema das idades do casal poderia ter sido resolvido sem que fosse preciso usar x. Vejamos como. O problema dizia:

Introdu o

S

Certa mulher casada com um homem 7 anos mais velho que ela. Quando a primeira crian a do casal nasceu, a soma das duas idades era 79. Qual era a idade da mulher?

Podemos raciocinar da seguinte maneira. Se o homem e a mulher tivessem a mesma idade, a idade dela (ou dele) seria, claro, metade da soma; e a soma seria o dobro da idade da mulher. Como o marido 7 anos mais velho, o dobro da idade da mulher foi aumentado de 7 anos, somando 79 anos. Logo, o dobro da idade da mulher : 79 - 7 = 72

E a idade da mulher : 72 2 = 36

C.Q.D.! Isto , Como quer amos demonstrar , pois foi este o resultado que encontramos na outra aula.

A aula de hoje traz outros problemas, que podem ser resolvidos tanto pelo m todo aritm tico (como fizemos agora), como pelo m todo alg brico, "ou m todo do x" . Qual o melhor para cada problema? A matem tica n o decide isso por n s: ela apenas enriquece nosso conhecimento com v rios m todos para resolver problemas, e deixa a escolha para n s. Pois cabe a cada pessoa escolher por si mesma, j que a Matem tica tamb m parte da vida. Sendo assim, papel e l pis! Porque tamb m n o existe "matem tica de cabe a", e vamos aula de hoje!

Vamos ver como resolver um mesmo problema por m todos diferentes. No exemplo seguinte, temos mais uma quest o sobre idades. Compare a solu o pelo m todo aritm tico e a solu o pelo m todo alg brico. Voc ver que chegaremos ao mesmo resultado. " Sou cinq ent o", afirmou Paulo (querendo dizer que tinha cinq enta e poucos anos). "E hoje um dia cabal stico" (isto , m gico). "Pois n o apenas a idade da minha mulher, Jurema, mais jovem do que eu, se escreve ao contr rio da minha, como a diferen a entre as nossas idades igual idade que nossa filha comemora hoje: 9 anos!" Quantos anos tem Paulo? Uma tal data "cabal stica" como essa se repetir algum dia? Tente descobrir a idade de Paulo, raciocinando apenas com n meros, sem utilizar x , ou seja, raciocinando aritmeticamente. Resolvendo pelo m todo aritm tico O caminho mais simples para resolver o problema pelo m todo aritm tico, neste caso, parece ser pelo racioc nio das tentativas. Assim, vamos fazer diretamente as contas em cada uma das possibilidades para a idade de Paulo cinq enta e poucos anos:

IDADE DE PAULO IDADE DE JUREMA DIFEREN A

Nossa aula A U L A

4

(= 9?)

51 52 53 54 55

15 25 35 45 55

36 27 18 09 00

(n o) (n o) (n o) (sim) (j n o serve: Jurema mais jovem)

Portanto, Paulo tem 54 anos, e sua mulher, 45. Quanto segunda pergunta, fica para voc responder. Continue usando o m todo das tentativas. No pr ximo ano, Paulo ter 55 anos, e Jurema, 46 (cujo contr rio 64, e n o 55 - o que Paulo n o consideraria "cabal stico"), e assim por diante. Procure! Resolvendo pelo m todo alg brico A pergunta : qual a idade de Paulo "cinq ent o"? Vamo chamar a idade de Paulo de: 5 x , isto , (50 + x) anos 50 dezenas unidades

E a idade de Jurema de: x5, isto , (10x + 5 anos 5 10x 5) dezenas unidades

A U L A

Sabemos que a diferen a entre as idades de 9 anos. Logo, (50 + x) - (10x +5) 50 + x - 10x - 5 - 9x + 45 - 9x x = = = = = 9 9 9 9 - 45

4

-36 =4 -9

A idade de Paulo, ent o, 54 anos (como encontramos antes).

Que m todo mais f cil? E mais r pido?

No exemplo relativo idade de Paulo, talvez voc ache mais f cil aplicar o m todo aritm tico. Basta organizar um pouco o racioc nio, fazendo uma tabela, e procurar o par de n meros "contr rios" que satisfa a o que se pede. J o m todo alg brico mais r pido, e tamb m mais geral: adapta-se imediatamente a v rios problemas. (Veja os exerc cios, depois.) Mas isso foi nesse exemplo. Em outros problemas, pode ser diferente. isso que bom, pois a pr pria escolha inicial do m todo a ser empregado j desenvolve nosso racioc nio e nossa criatividade. Veremos agora um problema que pode ser resolvido por, pelo menos, tr s m todos: um aritm tico, um alg brico e um gr fico. Deixamos para voc opinar, neste caso, sobre qual deles o mais f cil, ou o mais r pido, ou o mais geral etc.

Outro problema. e tr s m todos de resolu o

Estou com uns amigos numa mesa de bar. Tenho na carteira R$15,70. Quanto posso deixar minha despesa alcan ar, se tamb m pretendo deixar como gorjeta para o gar om 10% sobre essa despesa?

Resolvendo pelo m todo aritm tico Fazendo algumas tentativas com o valor da despesa, observo que, para cada 10 reais de despesa, deixarei mais 1 real para o gar om, totalizando esse gasto 11 reais, ou R$11,00. Para cada 1 real de despesa, deixarei 10 centavos, gastando assim R$1,10. Vamos, ent o, acrescentando novos gastos como esses, at a soma se aproximar do que tenho (R$15,70). Veja a tabela, com valores em R$:

DESPESA GORJETA GASTO REAL SOMA

10 01 01 01 01 00,10 00,10 00,10

1 0,10 0,10 0,10 0,10 0,01 0,01 0,01

11 01,10 01,10 01,10 01,10 00,11 00,11 00,11

11 12,10 13,20 14,30 15,40 15,51 15,62 15,73

(mais do que tenho)

Observe que, ap s a quinta linha de despesa, n o valeria a pena continuar somando 1 real, pois isso levaria o total do gasto a mais de 16 reais - quantia de que n o disponho. Por isso, continuamos com valores simples menores, de R$0,10 de despesa. Sendo assim, a tabela mostra que, nesse caso, posso deixar minha despesa alcan ar apenas o que consta da ltima linha. Ou seja: 10 + 4 + 0,20 = 14,20 reais

A U L A

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Exerc cios

Resolvendo pelo m todo alg brico Vamos dar nomes (ou s mbolos) aos componentes do problema:

l l l

x - para o valor que a despesa pode alcan ar 0,1x - para a gorjeta = 10% de x = (10/100) x 1,1x - para o gasto = x + 0,1x

Ent o, eu quero saber qual o valor de x para que o meu gasto no bar n o ultrapasse R$15,70. 1,1x = 15,70 (ou menor que isso) x = 14,27 - um pouco mais que 14,20. Como antes. De fato, se a minha despesa for R$14,20, a gorjeta ser de R$1,42 ao todo, e terei gasto R$14,20 + R$1,42 = R$15,62 como encontramos na solu o aritm tica. R$15,62,

Resolvendo pelo m todo gr fico Podemos tamb m nos assegurar dessa resposta visualizando o problema num gr fico. Por exemplo, marca-se no eixo horizontal a despesa e, no vertical, a despesa aumentada de 10%, quer dizer, o gasto real. E marcando neste gr fico alguns valores conhecidos, como aqueles da tabela do item Resolvendo pelo aritm tico. m todo aritm tico

Gasto real (y) 11

DESPESA GASTO REAL

10 01 04

11,00 11,10 04,40 4,40 4.40

1,10 1.10

1

4

10

Despesa (x)

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4

f cil notar que esses tr s pontos do tipo (x,y) = (despesa, gasto) que encontramos na tabela, bem como quaisquer outros que calculemos, formam uma reta que passa pela origem dos eixos. De fato, isso acontece porque o gasto proporcional despesa: ou seja, se a despesa for, por exemplo, 10 vezes maior, o gasto tamb m ser 10 vezes maior. Realmente, vimos que, de fato, um deles m ltiplo do outro: gasto = (1,1) despesa. Aqui bom fazer uma pequena pausa para tratarmos de sinais matem ticos. que, em lgebra, conv m trocar o sinal de vezes ( ) pelo ponto ( ), para n o confundir com a letra x . Tradicionalmente, a matem tica utiliza os seguintes sinais: e para a multiplica o e e : para a divis o. Por isso, se voc encontrar: gasto = (1,1) despesa a mesma coisa que gasto = (1,1) despesa Algumas vezes, voc tamb m v uma multiplica o na qual o sinal n o aparece. Podemos escrever, por exemplo, o produto de a por b de tr s formas: b, a b a b ou simplesmente ab Assim, para sabermos que a despesa corresponde ao gasto de, no m ximo, R$15,70, marcamos este n mero no eixo vertical e procuramos pela despesa no eixo horizontal:

Gasto real (y) 15,70 15.70 y=1,1x

11

4,4 4.4

4

10

14,20 Despesa (x) 14.20 Despesa (x)

Fazendo isto com cuidado, vimos que a despesa pode ser de at R$14,20, ou um pouco mais alta - como conclu mos pelos outros dois m todos. Aqui est o alguns exerc cios para voc praticar. A li o mais importante desta aula, entretanto, n o foi dita at aqui. esta:

Resolver um mesmo problema por dois m todos diferentes pode lhe dar uma grande seguran a quanto s respostas. Se elas forem iguais, bem poss vel que suas respostas estejam certas. "E se forem diferentes?", voc perguntaria. Neste caso, claro que uma das respostas est errada! Saber que estamos errados tamb m uma forma de acertar. Concorda? O grande cientista Einstein teria dito, certa vez, que n o se importava quando algu m apontava um erro em suas teorias; na verdade, at gostava. Por qu ? Ele dizia que, tendo sido encontrado esse equ voco, isso o colocava mais perto da verdade, pois j n o estava se enganando. Grande Einstein! S o palavras que nos fazem pensar, n o mesmo?

A U L A

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Exerc cio 1 Use o gr fico do ltimo problema desta aula para encontrar que despesa posso fazer para n o ultrapassar os gastos abaixo, deixando ainda 10% para o gar om: a) R$ 8,80 b) R$ 9,02 c) R$ 19,80

Exerc cios

Exerc cio 2 Resolva o Exerc cio 1 aritmeticamente, completando a tabela dada na aula. Compare com as respostas encontradas naquele exerc cio.

Exerc cio 3 Resolva o exerc cio 1 algebricamente, usando a equa o que relaciona despesa e gasto no problema de gorjeta de 10%. Compare com as respostas dos exerc cios anteriores.

Exerc cio 4 Se eu decidisse deixar 20% de gorgeta para o gar om , em vez de 10%, quanto poderia ter de despesa? a) Solu o aritm tica: b) Solu o alg brica: c) Solu o gr fica:

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5

Equacionando os problemas

ossa aula come ar com um quebra- cabe a de mesa de bar - para voc tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de f sforo. Mova de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transform -la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Voc pode fazer isso com palitos ou no desenho.

Introdu o

N

Nossa Aula

Conseguiu resolver o quebra-cabe as? N o? Ent o, vamos resolv -lo juntos, pelo caminho da matem tica. Certos problemas n o nos parecem, de in cio, "problemas de matem tica" - mas, de repente, vemos que existe uma solu o para eles que pode ser chamada de solu o matem tica. (Na realidade, o que existe na vida pr tica n o s o problemas de matem tica - mas solu es matem ticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas pr ticos). O quebra-cabe a um exemplo. A princ pio, pode n o estar bem claro qual matem tica usar. Geometria? Aritm tica? De fato, o quebra-cabe a envolve tanto figuras geom tricas quanto n meros. Se voc ainda n o conseguir resolv -lo, talvez seja porque n o tenha percebido que o quebra-cabe a tem dois aspectos: o geom trico e o num rico . Talvez tamb m tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto : escolher quem ser a inc gnita - geralmente chamada de x - e escrever a equa o satisfeita por essa inc gnita. A partir da - sempre deixando claro qual a pergunta do problema -, basta resolver a equa o: quer dizer, "encontrar o x do problema", como se costuma dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que conhecido (pela equa o) e o que se procura (a inc gnita). Assim, o caminho da solu o, que leva de uma coisa outra, muitas vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no quebra-cabe a.

Equacionando o quebra-cabe a

O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles est o unidos e s o feitos com palitos de f sforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, s com o movimento de 2 palitos. Que figura formar o, ent o, os 4 quadrados? Se soubermos isso, ser bem mais f cil formar a tal figura. e o problema estar resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados n o t m lado (palito) comum; ou b) os quadrados t m um lado comum. Qual a diferen a importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense.

A U L A

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2 quadrados c o m lado comum

2 quadrados s e m

l ado comum

A diferen a num rica: em a) precisamos de 8 palitos; j em b) precisamos a), b), de apenas 7 - pois "economizamos" um palito quando os quadrados s o vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta : "Quantos palitos temos?" s contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que n o permitamos que dois quadrados sejam vizinhos ("de parede", isto , de lado comum) - usaremos: 4 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos! Algumas tentativas ir o lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar este:

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Est resolvido. N o lhe parece mais f cil, agora? Pois ent o. Tudo teve uma seq ncia muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o n mero de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados.

Equacionando um problema alg brico

Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equa o (ou as equa es) de modo que ela expresse em linguagem matem tica o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, ent o, como fazer isso com problemas alg bricos, ou melhor, com problemas que admitem solu o alg brica. EXEMPLO 1 Qual o n mero cujo dobro, mais 5, igual a 17? Equacione o problema, chamando o n mero desconhecido de x . Vimos que n o importa a letra que usamos para designar a inc gnita, isto , o n mero procurado - mas universal o uso do x . O fato importante que: 2x + 5 = 17 A partir da , achar amos x . (Voc pode tentar, se quiser). S que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas - que a primeira etapa. Geralmente, essa a etapa mais importante na resolu o desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento.

l

Quando encaramos o tal n mero procurado como a inc gnita do problema, e o chamamos de x ; Quando traduzimos em "matematiqu s" o que est dado em portugu s, ou seja, quando escrevemos a equa o matem tica que satisfeita por essa inc gnita. Neste exemplo, far amos assim: x = n mero O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x , s resolver a equa o. Encontra-se x = 6 Verifique. 6.

l

Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. interessante que voc , em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que x , neste caso? (Qual a inc gnita?) b) O que sabemos sobre x ? (Qual a equa o?)

EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o n mero que vai expressar seu per metro (em km) seja o mesmo que o n mero que expressa sua rea (em km )? Procure a solu o! Em primeiro lugar, vamos responder s duas perguntas principais do equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x per metro rea

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Aqui, vamos lembrar que um n mero (ou inc gnita) ao quadrado esse n mero (ou inc gnita) multiplicado por ele mesmo. Ent o: 4x = x x E, logo, adivinhamos um n mero x que satisfaz esta equa o. Qual ? Ora at visualmente fica claro que a express o 4x = x , acima, verdadeira quando substitu mos x por 4, pois temos: 4 4=4 4 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quil metros, satisfar o que pedido. Uma observa o importante: a equa o 4 x = x uma equa o de 2 grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro n mero para substituir o x . A outra raiz zero, pois zero vezes qualquer n mero zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, n o existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 uma solu o degenerada ). EXEMPLO 3

l l

Qual o n mero cuja metade a sexta parte de 42? E de 21? E qual o n mero cuja metade a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta equacionada assim:

x = n mero 7 O que sabemos:

x 42 = 2 6

1

A partir da fica f cil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x = 14.

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A segunda pergunta equacionada assim:

5

x = n mero 7 O que sabemos:

x 21 = 2 6

2

Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x = 7. J a terceira pergunta bem diferente: x = n mero O que sabemos:

x 3x = 2 6

isto , x = x

Voc pode dar exemplo de um n mero que pode substituir x e fazer a senten a ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer n mero serve! Pois x = x verdadeiro para todo x , j que todo n mero igual a si mesmo. Assim, x = x n o propriamente uma equa o. Dizemos que uma identidade , pois verdadeira para todo x . EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do meu autom vel apresenta um erro e desejo conhec -lo. Assim, poderei compens -lo nas pr ximas leituras do marcador. H pouco ele marcava 3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para ench -lo completamente. A capacidade do tanque de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a inc gnita nesse problema: voc diria que o erro percentual procurado (quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do equacionamento a escolha da inc gnita, do x . S preciso bom-senso para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que saibamos logo us -lo para escrever a equa o do problema. Assim, mais razo vel fazer da seguinte maneira: x = Volume que havia no tanque (litros) O que sabemos: x + 10 = 50 Logo, x = 40. O que queremos saber:

l

erro = ? erro percentual = ?%

l

Mas o volume que o tanque marcava era:

A U L A

Assim:

3 50 = 37,5 4

erro = 40 - 37,5 = 2,5 (em 40 litros)

5

Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma regra de tr s , procurando o erro n o em 40, mas em 100 litros. 2,5 y 40 100

Da ,

2,5 40 = y 100

Ent o, multiplicando os dois lados por 100 y, temos: (2,5) (100) = 40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os lados, temos que

y=

250 = 6, 25 (em 100 litros) 40

Conclu mos que o erro percentual apresentado pelo marcador de 6,25 litros em 100 litros, ou s