Transferência de Calor

INTRODU O TRANSFER NCIA DE CALOR

Eduardo Emery Cunha Quites Luiz Renato Bastos Lia APRESENTA O Este trabalho fornece aos alunos de transfer ncia de calor os conceitos fundamentais b sicos da mesma forma que s o ministrados em sala de aula. Esta abordagem tem por objetivo permitir que os alunos se concentrem nas explana es dadas em aula, livrando-os da tarefa de reproduzir o que for escrito no quadro negro. Tamb m est o inclu dos diversos exerc cios resolvidos e propostos cujas respostas encontram-se em ap ndice ao final deste trabalho. Os exerc cios aqui apresentados, em sua grande maioria, fizeram partes das provas ministradas durante os ltimos anos. Nesta primeira edi o desta apostila certamente estar o presentes erros e imperfei es. Entretanto, estamos certos de que os alunos nos auxiliar o apontado os erros, comentado e sugerindo, de forma que nas pr ximas edi es este trabalho possa ser aperfei oado. Aproveitamos tamb m para agradecer a todas as pessoas que de alguma forma contribu ram para a realiza o deste trabalho.

Eduardo Emery Cunha Quites Engenheiro Metal rgico, M.Sc. Luiz Renato Bastos Lia Engenheiro Qu mico, M. Sc.

TRANSFER NCIA DE CALOR

Eduardo Emery Cunha Quites.1 1. INTRODU O.4 1.1. O QUE e COMO SE PROCESSA? .4 1.2. RELA O ENTRE A TRANSFER NCIA DE CALOR E A TERMODIN MICA.5 1.3. RELEV NCIA DA TRANSFER NCIA DE CALOR.6 1.4. METODOLOGIA DE RESOLU O DE PROBLEMAS EM TRANSFER NCIA DE CALOR .7 2. MECANISMOS DE TRANSFER NCIA DE CALOR.7 2.1. CONDU O.7 2.2. CONVEC O.8 2.3. RADIA O.9 2.4. MECANISMOS COMBINADOS.10 2.5. REGIMES DE TRANSFER NCIA DE CALOR.11 2.6. SISTEMAS DE UNIDADES.11 . .13 . 3. CONDU O DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 14 3.1. LEI DE FOURIER.14 3.2. CONDU O DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA.16 3.3. ANALOGIA ENTRE RESIST NCIA T RMICA E RESIST NCIA EL TRICA.20 3.4. ASSOCIA O DE PAREDES PLANAS EM S RIE.21 3.5. ASSOCIA O DE PAREDES PLANAS EM PARALELO.23 3.6. CONDU O DE CALOR ATRAV S DE CONFIGURA ES CIL NDRICAS. 28 3.7. CONDU O DE CALOR ATRAV S DE UMA CONFIGURA O ESF RICA31 4. FUNDAMENTOS DA CONVEC O.42 4.1. LEI B SICA PARA CONVEC O.42 4.2. CAMADA LIMITE.43 4.3. DETERMINA O DO COEFICIENTE DE PEL CULA (h).45 4.4. RESIST NCIA T RMICA NA CONVEC O.47 4.5. MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFER NCIA DE CALOR (CONDU O E CONVEC O).47 5. PRINC PIOS DA RADIA O T RMICA.67 5.1. CORPO NEGRO e CORPO CINZENTO.68 5.2. LEI DE STEFAN-BOLTZMANN.69 5.3. FATOR FORMA.70 5.5. EFEITO COMBINADO CONDU O - CONVEC O - RADIA O72 6.1. DEFINI O.80 6.2. C LCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SE O UNIFORME.81 6.3. TIPOS DE ALETAS.84 6.4. EFICI NCIA DE UMA ALETA.87 7- TROCADORES DE CALOR.104 7.1 TIPO DE TROCADORES.104 7.2. M DIA LOGAR TMICA DAS DIFEREN AS DE TEMPERATURAS106 7.3. BALAN O T RMICO EM TROCADORES DE CALOR.109 7.4. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFER NCIA DE CALOR.109 7.5. FATOR DE FULIGEM (INCRUSTA O).111 7.6. FLUXO DE CALOR PARA TROCADORES COM MAIS DE UM PASSE .114 8.- ISOLAMENTO T RMICO.129 8.1. DEFINI O.129 8.2. CARACTER STICAS DE UM BOM ISOLANTE.129 2

8.3. MATERIAIS ISOLANTES B SICOS .130 8.4. FORMAS DOS ISOLANTES.131 8.5. APLICA O DE ISOLANTES.132 8.6. C LCULO DE ESPESSURAS DE ISOLANTES.132 8.7. ISOLAMENTO DE TUBOS - CONCEITO DE RAIO CR TICO.135

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1. INTRODU O 1.1. O QUE e COMO SE PROCESSA? Transfer ncia de Calor (ou Calor) energia em tr nsito devido a uma diferen a de temperatura. Sempre que existir uma diferen a de temperatura em um meio ou entre meios ocorrer transfer ncia de calor. Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas s o colocados em contato direto, como mostra a figura 1.1, ocorrera uma transfer ncia de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura at que haja equival ncia de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equil brio t rmico.

T1 T2

T T

Se T1 T2 T1 T T2 [ figura 1.1 ] Est impl cito na defini o acima que um corpo nunca cont m calor, mas calor indentificado com tal quando cruza a fronteira de um sistema. O calor portanto um fen meno transit rio, que cessa quando n o existe mais uma diferen a de temperatura. Os diferentes processos de transfer ncia de calor s o referidos como mecanismos de transfer ncia de calor. Existem tr s mecanismos, que podem ser reconhecidos assim :

Quando a transfer ncia de energia ocorrer em um meio estacion rio, que pode ser um s lido ou um fluido, em virtude de um gradiente de temperatura, usamos o termo transfer ncia de calor por condu o. A figura 1.2 ilustra a transfer ncia de calor por condu o atrav s de uma parede s lida submetida uma diferen a de temperatura entre suas faces.

[ figura 1.2 ]

Quando a transfer ncia de energia ocorrer entre uma superf cie e um fluido em movimento em virtude da diferen a de temperatura entre eles, usamos o termo transfer ncia de calor por convec o. A figura 1.3 ilustra a transfer ncia de calor de calor por convec o quando um fluido escoa sobre uma placa aquecida.

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Quando, na aus ncia de um meio interveniente, existe uma troca l quida de energia (emitida na forma de ondas eletromagn ticas) entre duas superf cies a diferentes temperaturas, usamos o termo radia o. A figura 1.4 ilustra a transfer ncia de calor por radia o entre duas superf cies a diferentes temperaturas.

[ figura 1.3 ]

[ figura 1.4 ] 1.2. RELA O ENTRE A TRANSFER NCIA DE CALOR E A TERMODIN MICA Termodin mica trata da rela o entre o calor e as outras formas de energia. A energia pode ser transferida atrav s de intera es entre o sistema e suas vizinhan as. Estas intera es s o denominadas calor e trabalho.

A 1 Lei da Termodin mica governa quantitativamente estas intera es

E 2 - 1 = Q 2 -W 2 E 1 1

A 1 Lei da Termodin mica pode ser enunciada assim : "A varia o l quida de energia de um sistema sempre igual a transfer ncia l quida de energia na forma de calor e trabalho".

A 2 Lei da Termodin mica aponta a dire o destas intera es

A 2 Lei da Termodin mica pode ser enunciada assim : " imposs vel o processo cujo nico resultado seja a transfer ncia l quida de calor de um regi o fria para uma regi o quente".

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Por m existe uma diferen a fundamental entre a transfer ncia de calor e a termodin mica. Embora a termodin mica trate das intera es do calor e o papel que ele desempenha na primeira e na segunda leis, ela n o leva em conta nem o mecanismo de transfer ncia nem os m todos de c lculo da taxa de transfer ncia de calor. A termodin mica trata com estados de equil brio da mat ria onde inexiste gradientes de temperatura. Embora a termodin mica possa ser usada para determinar a quantidade de energia requerida na forma de calor para um sistema passar de um estado de equil brio para outro, ela n o pode quantificar a taxa (velocidade) na qual a transfer ncia do calor ocorre. A disciplina de transfer ncia de calor procura fazer aquilo o que a termodin mica inerentemente incapaz de fazer. 1.3. RELEV NCIA DA TRANSFER NCIA DE CALOR A transfer ncia de calor fundamental para todos os ramos da engenharia. Assim como o engenheiro mec nico enfrenta problemas de refrigera o de motores, de ventila o, ar condicionado, etc., o engenheiro metal rgico n o pode dispensar a transfer ncia de calor nos problemas relacionados aos processos pirometal rgicos e hidrometal rgicos, ou no projeto de fornos, regeneradores, conversores, etc. Em n vel id ntico, o engenheiro qu mico ou nuclear necessita da mesma ci ncia em estudos sobre evapora o , condensa o ou em trabalhos em refinarias e reatores, enquanto o eletricista e o eletr nico a utiliza no c lculo de transformadores e geradores e dissipadores de calor em microeletr nica e o engenheiro naval aplica em profundidade a transfer ncia de calor em caldeiras, m quinas t rmicas, etc. At mesmo o engenheiro civil e o arquiteto sentem a import ncia de, em seus projetos, preverem o isolamento t rmico adequado que garanta o conforto dos ambientes. Como visto, a transfer ncia de calor importante para a maioria de problemas industriais e ambientais. Como exemplo de aplica o, consideremos a vital rea de produ o e convers o de energia :

na gera o de eletricidade (hidr ulica, fus o nuclear, f ssil, geot rmica, etc) existem

numerosos problemas que envolvem condu o, convec o e radia o e est o relacionados com o projeto de caldeiras, condensadores e turbinas. existe tamb m a necessidade de maximizar a transfer ncia de calor e manter a integridade dos materiais em altas temperaturas necess rio minimizar a descarga de calor no meio ambiente, evitando a polui o t rmica atrav s de torres de refrigera o e recircula o. Os processos de transfer ncia de calor afetam tamb m a performance de sistemas de propuls o (motores a combust o e foguetes). Outros campos que necessitam de uma an lise de transfer ncia de calor s o sistemas de aquecimento, incineradores, armazenamento de produtos criog nicos, refrigera o de equipamentos eletr nicos, sistemas de refrigera o e ar condicionado e muitos outros.

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1.4. METODOLOGIA DE RESOLU O DE PROBLEMAS EM TRANSFER NCIA DE CALOR De modo a se obter maior produtividade, a resolu o de problemas de transfer ncia de calor deve seguir um procedimento sistem tico que evite a "tentativa-e-erro". Este procedimento pode ser resumido em 5 itens : 1. Saber : Leia cuidadosamente o problema 2. Achar : Descubra o que pedido 3. Esquematizar : Desenhe um esquema do sistema. Anote o valor das propriedades 4. Resolver : Desenvolver a resolu o mais completa poss vel antes de substituir os valores num ricos. Realizar os c lculos necess rios para obten o dos resultados. 5. Analisar : Analise seus resultados. S o coerentes? Comente se necess rio 2. MECANISMOS DE TRANSFER NCIA DE CALOR A transfer ncia de calor pode ser definida como a transfer ncia de energia de uma regi o para outra como resultado de uma diferen a de temperatura entre elas. necess rio o entendimento dos mecanismos f sicos que permitem a transfer ncia de calor de modo a poder quantificar a quantidade de energia transferida na unidade de tempo (taxa). Os mecanismos s o:

Condu o Radia o Convec o

}

dependem somente de um T

depende de um T e transporte de massa

2.1. CONDU O A condu o pode se definida como o processo pelo qual a energia transferida de uma regi o de alta temperatura para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (s lido, l quido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contato direto. Este mecanismo pode ser visualizado como a transfer ncia de energia de part culas mais energ ticas para part culas menos energ ticas de uma subst ncia devido a intera es entre elas.

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O mecanismo da condu o pode ser mais facilmente entendido considerando, como exemplo, um g s submetido a uma diferen a de temperatura. A figura 2.1 mostra um g s entre duas placas a diferentes temperaturas :

[ figura 2.1 ] 1. O g s ocupa o espa o entre 2 superf cies (1) e (2) mantidas a diferentes temperaturas de modo que T1 T2 (o g s n o tem movimento macrosc pico); 2. Como altas temperaturas est o associadas com energias moleculares mais elevadas, as mol culas pr ximas superf cie s o mais energ ticas (movimentam-se mais r pido); 3. O plano hipot tico X constantemente atravessado por mol culas de cima e de baixo. Entretanto, as mol culas de cima est o associadas com mais energia que as de baixo. Portanto existe uma transfer ncia l quida de energia de (1) para (2) por condu o Para os l quidos o processo basicamente o mesmo, embora as mol culas estejam menos espa adas e as intera es sejam mais fortes e mais freq entes. Para os s lidos existem basicamente dois processos ( ambos bastante complexos ) :

s lido mau condutor de calor : ondas de vibra o da estrutura cristalina s lido bom condutor de calor: movimento dos eletrons livres e vibra o da estrutura

cristalina. 2.2. CONVEC O A convec o pode ser definida como o processo pelo qual energia transferida das por es quentes para as por es frias de um fluido atrav s da a o combinada de : condu o de calor, armazenamento de energia e movimento de mistura. O mecanismo da convec o pode ser mais facilmente entendido considerando, por exemplo, um circuito impresso (chip) sendo refrigerado (ar ventilado), como mostra a figura 2.2 :

[ figura 2.2 ] 1. A velocidade da camada de ar pr xima superf cie muito baixa em raz o das for as viscosas ( atrito ).

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2. Nesta regi o o calor transferido por condu o. Ocorre portanto um armazenamento de energia pelas part culas presentes nesta regi o. 3. Na medida que estas part culas passam para a regi o de alta velocidade, elas s o carreadas pelo fluxo transferindo calor para as part culas mais frias. No caso acima dizemos que a convec o foi for ada, pois o movimento de mistura foi induzido por um agente externo, no caso um ventilador. Suponhamos que o ventilador seja retirado. Neste caso, as part culas que est o pr ximas superf cie continuam recebendo calor por condu o e armazenando a energia. Estas part culas tem sua temperatura elevada e, portanto a densidade reduzida. J que s o mais leves elas sobem trocando calor com as part culas mais frias (e mais pesadas) que descem. Neste caso dizemos que a convec o natural ( bvio que no primeiro caso a quantidade de calor transferido maior). Um exemplo bastante conhecido de convec o natural o aquecimento de gua em uma panela dom stica como mostrado na figura 2.3. Para este caso, o movimento das mol culas de gua pode ser observado visualmente.

[ figura 2.3 ] 2.3. RADIA O A radia o pode se definida como o processo pelo qual calor transferido de um superf cie em alta temperatura para um superf cie em temperatura mais baixa quando tais superf cies est o separados no espa o, ainda que exista v cuo entre elas. A energia assim transferida chamada radia o t rmica e feita sob a forma de ondas eletromagn ticas. O exemplo mais evidente que podemos dar o pr prio calor que recebemos do sol. Neste caso, mesmo havendo v cuo entre a superf cie do sol ( cuja temperatura aproximadamente 5500 oC ) e a superf cie da terra, a vida na terra depende desta energia recebida. Esta energia chega at n s na forma de ondas eletromagn ticas. As ondas eletromagn ticas s o comuns a muitos outros fen menos: raio-X, ondas de r dio e TV, microondas e outros tipos de radia es. As emiss es de ondas eletromagn ticas podem ser atribu das a varia es das configura es eletr nicas dos constituintes de tomos e mol culas, e ocorrem devido a v rios fen menos, por m, para a transfer ncia de calor interessa apenas as ondas eletromagn ticas

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resultantes de uma diferen a de temperatura ( radia es t rmicas ). As suas caracter sticas s o:

Todos corpos em temperatura acima do zero absoluto emitem continuamente radia o t rmica As intensidades das emiss es dependem somente da temperatura e da natureza da superf cie emitente A radia o t rmica viaja na velocidade da luz (300.000 Km/s)

2.4. MECANISMOS COMBINADOS Na maioria das situa es pr ticas ocorrem ao mesmo tempo dois ou mais mecanismos de transfer ncia de calor atuando ao mesmo tempo. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente, solu es aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar entendido que varia es nas condi es do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne importante. Como exemplo de um sistema onde ocorrem ao mesmo tempo v rios mecanismo de transfer ncia de calor consideremos uma garrafa t rmica. Neste caso, podemos ter a atua o conjunta dos seguintes mecanismos esquematizados na figura 2.4 :

[ figura 2.4 ] q1 : convec o natural entre o caf e a parede do frasco pl stico q2 : condu o atrav s da parede do frasco pl stico q3 : convec o natural do frasco para o ar q4 : convec o natural do ar para a capa pl stica q5 : radia o entre as superf cies externa do frasco e interna da capa pl stica q6 : condu o atrav s da capa pl stica q7 : convec o natural da capa pl stica para o ar ambiente q8 : radia o entre a superf cie externa da capa e as vizinhan as

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Melhorias est o associadas com (1) uso de superf cies aluminizadas ( baixa emissividade ) para o frasco e a capa de modo a reduzir a radia o e (2) evacua o do espa o com ar para reduzir a convec o natural. 2.5. REGIMES DE TRANSFER NCIA DE CALOR O conceito de regime de transfer ncia de calor pode ser melhor entendido atrav s de exemplos. Analisemos, por exemplo, a transfer ncia de calor atrav s da parede de uma estufa qualquer. Consideremos duas situa es : opera o normal e desligamento ou religamento. Durante a opera o normal, enquanto a estufa estiver ligada a temperatura na superf cie interna da parede n o varia. Se a temperatura ambiente externa n o varia significativamente, a temperatura da superf cie externa tamb m constante. Sob estas condi es a quantidade de calor transferida para fora constante e o perfil de temperatura ao longo da parede, mostrado na figura 2.5.(a), n o varia. Neste caso, dizemos que estamos no regime permanente.

[ figura 2.5 ] Na outra situa o consideremos, por exemplo, o desligamento. Quando a estufa desligada a temperatura na superf cie interna diminui gradativamente, de modo que o perfil de temperatura varia com o tempo, como pode ser visto da figura 2.5.(b). Como consequ ncia, a quantidade de calor transferida para fora cada vez menor. Portanto, a temperatura em cada ponto da parede varia. Neste caso, dizemos que estamos no regime transiente. Os problemas de fluxo de calor em regime transiente s o mais complexos. Entretanto, a maioria dos problemas de transfer ncia de calor s o ou podem ser tratados como regime permanente. 2.6. SISTEMAS DE UNIDADES As dimens es fundamentais s o quatro : tempo, comprimento, massa e temperatura. Unidades s o meios de expressar numericamente as dimens es. Apesar de ter sido adotado internacionalmente o sistema m trico de unidades denominado sistema internacional (S.I.), o sistema ingl s e o sistema pr tico m trico ainda s o amplamente utilizados em todo o mundo. Na tabela 2.1 est o as unidades fundamentais para os tr s sistemas citados : Tabela 2.1 - Unidades fundamentais dos sistemas de unidades mais comuns

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SISTEMA S.I. INGL S M TRICO

TEMPO, COMPRIMENT MASSA ,m TEMPERATUR t O,L A segundo,s metro,m quilograma,k Kelvin,k g segundo,s p ,ft libraFarenheit,oF massa,lb segundo,s metro,m quilograma,k celsius,oC g

Unidades derivadas mais importantes para a transfer ncia de calor, mostradas na tabela 2.2, s o obtidas por meio de defini es relacionadas a leis ou fen menos f sicos :

Lei de Newton : For a igual ao produto de massa por acelera o ( F = m.a ), ent o : 1 Newton ( N ) a for a que acelera a massa de 1 Kg a 1 m/s2 Trabalho ( Energia ) tem as dimens es do produto da for a pela dist ncia ( = F.x ), ent o : 1 Joule ( J ) a energia dispendida por uma for a de 1 N em 1 m

Pot ncia tem dimens o de trabalho na unidade de tempo ( P = / t ), ent o : 1 Watt ( W ) a pot ncia dissipada por uma for a de 1 J em 1 s

Tabela 2.2 - Unidades derivadas dos sistemas de unidades mais comuns SISTEMA FOR A,F ENEGIA,E POT NCIA,P S.I. Newton,N Joule,J Watt,W INGL S libra-for a,lbf lbf-ft (Btu) Btu/h M TRICO kilogramakgfm (kcal) kcal/h for a,kgf As unidades mais usuais de energia ( Btu e Kcal ) s o baseadas em fen menos t rmicos, e definidas como :

Btu a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de gua de 67,5 oF a 68,5 oF Kcal a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1kg de gua de 14,5 oF a 15,5 oF

Em rela o ao calor transferido, as seguintes unidades que s o, em geral, utilizadas :

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& q - fluxo de calor transferido (pot ncia) : W, Btu/h, Kcal/h

Q- quantidade de calor transferido (energia) : J, Btu, Kcal

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3. CONDU O DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE No tratamento unidimensional a temperatura fun o de apenas uma coordenada. Este tipo de tratamento pode ser aplicado em muitos dos problemas industriais. Por exemplo, no caso da transfer ncia de calor em um sistema que consiste de um fluido que escoa ao longo de um tubo ( figura 3.1 ), a temperatura da parede do tubo pode ser considerada fun o apenas do raio do tubo. Esta suposi o v lida se o fluido escoa uniformemente ao longo de toda a superf cie interna e se o tubo n o for longo o suficiente para que ocorram grandes varia es de temperatura do fluido devido transfer ncia de calor.

[ figura 3.1 ] 3.1. LEI DE FOURIER A lei de Fourier fenomenol gica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observa o dos fen menos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante medido ap s a varia o das condi es experimentais. Consideremos, por exemplo, a transfer ncia de calor atrav s de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a rea lateral isolada termicamente, como mostra a figura 3.2 :

[ figura 3.2 ] Com base em experi ncias, variando a rea da se o da barra, a diferen a de temperatura e a dist ncia entre as extremidades, chega-se a seguinte rela o de proporcionalidade:

q A.

T x

(3.1)

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A proporcionalidade pode se convertida para igualdade atrav s de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim: "A quantidade de calor transferida por condu o, na unidade de tempo, em um material, igual ao produto das seguintes quantidades:

q = -k . A . dT dx

( 3.2 )

onde, q , fluxo de calor por condu o ( Kcal/h no sistema m trico); k, condutividade t rmica do material; A, rea da se o atrav s da qual o calor flui por condu o, medida perpendicularmente dire o do fluxo ( m2); dT dx , gradiente de temperatura na se o, isto , a raz o de varia o da temperatura T com a dist ncia, na dire o x do fluxo de calor ( oC/h ) ." A raz o do sinal menos na equa o de Fourier que a dire o do aumento da dist ncia x deve ser a dire o do fluxo de calor positivo ( figura 3.3 ). Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo s ser positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1).

[ figura 3.3 ] O fator de proporcionalidade k ( condutividade t rmica ) que surge da equa o de Fourier uma propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que um material apresenta condu o de calor. Sua unidade facilmente obtida da pr pria equa o de Fourier ( equa o 3.2 ), por exemplo no sistema pr tico m trico temos :

dT q Kcal h Kcal q = -k . A. k = - = dT 2 o C h.m.o C dx A. m dx m

(3.3 )

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No sistema ingl s fica assim :

Btu h. ft .o F W m.K

No sistema internacional (SI), fica assim :

Os valores num ricos de k variam em extensa faixa dependendo da constitui o qu mica, estado f sico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k elevado o material considerado condutor t rmico e, caso contr rio, isolante t rmico. Com rela o temperatura, em alguns materiais como o alum nio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, por m em outros, como alguns a os, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solu o de engenharia um valor m dio de k em um intervalo de temperatura. A varia o da condutividade t rmica ( no S.I. ) com a temperatura mostrada na figura 3.4 para algumas subst ncias.

[ figura 3.4 ] 3.2. CONDU O DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA Consideremos a transfer ncia de calor por condu o atrav s de uma parede plana submetida a uma diferen a de temperatura. Ou seja, submetida a uma fonte de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de calor do outro lado, tamb m de temperatura constante e conhecida. Um bom exemplo disto a transfer ncia de calor atrav s da parede de um forno, como pode ser visto na figura 3.5, que tem espessura L, rea transversal A e foi constru do com material de condutividade t rmica k. Do lado de dentro a fonte de calor mant m a temperatura na superf cie interna da parede constante e igual a T1 e externamente o sorvedouro de calor ( meio ambiente ) faz com que a superf cie externa permane a igual a T2.

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[ figura 3.5 ] Aplicado a equa o de Fourier, tem-se:

q = -k . A.

Fazendo a separa o de vari veis, obtemos :

dT dx

q.dx = -k . A.dT

(3.4)

Na figura 3.5 vemos que na face interna ( x = 0 ) a temperatura T1 e na face externa ( x = L ) a temperatura T2. Para a transfer ncia em regime permanente o calor transferido n o varia com o tempo. Como a rea transversal da parede uniforme e a condutividade k um valor m dio, a integra o da equa o 3.4, entre os limites que podem ser verificados na figura 3.5, fica assim :

q.( L - 0 ) = - k . A.( T2 - T1 ) q.L = k . A.( T1 - T2 )

q. dx = -k . A. dT

0 T1

L

T2

(3.5)

Considerando que ( T1 - T2 ) a diferen a de temperatura entre as faces da parede ( D T ), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condu o :

q= k.A .T L

(3.6)

Para melhor entender o significado da equa o 3.6 consideremos um exemplo pr tico. Suponhamos que o engenheiro respons vel pela opera o de um forno necessita reduzir as

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perdas t rmicas pela parede de um forno por raz es econ micas. Considerando a equa o 3.6, o engenheiro tem, por exemplo, as op es listadas na tabela 3.1 : Tabela 3.1- Possibilidades para redu o de fluxo de calor em uma parede plana. OBJETIVO VARI VE A O L k trocar a parede por outra de menor condutividade t rmica A reduzir a rea superficial do forno L T aumentar a espessura da parede reduzir a temperatura interna do forno

q

Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem a es de dif cil implementa o; por m, a coloca o de isolamento t rmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as a es de redu o da condutividade t rmica e aumento de espessura da parede. Exerc cio 3.1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, s o feitas de tijolos com condutividade t rmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a rea das janelas podem ser consideradas desprez veis. A face externa das paredes pode estar at a 40 oC em um dia de ver o. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que est o bem isolados, pede-se o calor a ser extra do da sala pelo condicionador ( em HP ). OBS : 1 HP = 641,2 Kcal/h

T1 = 40 oC T2 = 22 oC k = 0,14Kcal h.m.o C L = 25cm = 0,25m sala : 6 15 3m

Para o c lculo da rea de transfer ncia de calor desprezamos as reas do teto e piso, onde a transfer ncia de calor desprez vel. Desconsiderando a influ ncia das janelas, a rea das paredes da sala :

A = 2 ( 6 3) + 2 (15 3) = 126m 2

Considerando que a rea das quinas das paredes, onde deve ser levada em conta a transfer ncia de calor bidimensional, pequena em rela o ao resto, podemos utilizar a equa o 3.6 :

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k.A 0,14 Kcal h.m.o C 126m 2 q= .( T1 - T2 ) = ( 40 - 22 ) oC = 1270 Kcal h L 0,25m 1 HP q = 1270 Kcal = 1, 979 HP h 641, 2 Kcal h

Portanto a pot ncia requerida para o condicionador de ar manter a sala refrigerada :

q 2 HP

(

)

Exerc cio 3.2. As superf cies internas de um grande edif cio s o mantidas a 20 oC, enquanto que a temperatura na superf cie externa -20 oC. As paredes medem 25 cm de espessura , e foram construidas com tijolos de condutividade t rmica de 0,6 kcal/h m oC. a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superf cie por hora. b) Sabendo-se que a rea total do edif cio 1000 m2 e que o poder calor fico do carv o de 5500 kcal/Kg, determinar a quantidade de carv o a ser utilizada em um sistema de aquecimento durante um per odo de 10 h. Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual a 50%.

T1 = 20oC T2 = -20oC k = 0,6 Kcal h.m.o C

L = 25cm = 0,25m

a) Desprezando o efeito do canto das paredes e a condutividade t rmica da argamassa entre os tijolos, aplica-se a equa o de Fourier para paredes planas

q=

k. A .( T1 - T2 ) L

2

0,6 ( Kcal h.m. o C ) 1m 2 Para A = 1m , temos : q = [ 20 - ( - 20 ) ] o C 0,25m

Portanto, o fluxo de calor transferido por cada metro quadrado de parede :

q =96 Kcal h p/ m 2 de rea

(

)

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b) Esta perda de calor deve ser reposta pelo sistema de aquecimento, de modo a manter o interior a 20 oC. A perda pela rea total do edif cio :

A = 1000m2

ent o,

O tempo de utiliza o do sistema de aquecimento 10 horas. Neste per odo a energia perdida para o exterior :

qt = 96 1000 = 96000 Kcal h

q=

Q Q = q.t = 96000 Kcal h 10h = 960000 Kcal t

Com o rendimento do sistema 50% a quantidade de calor a ser fornecida pelo carv o :

Qf =

Q 960000 = = 1920000 Kcal 0,5

Cada quilo de carv o pode fornecer 5500 Kcal, ent o a quantidade de carv o :

QTcarv o =

1920000 Kcal = 349 Kg 5500 Kcal Kg

3.3. ANALOGIA ENTRE RESIST NCIA T RMICA E RESIST NCIA EL TRICA Dois sistemas s o an logos quando eles obedecem a equa es semelhantes. Isto significa que a equa o de descri o de um sistema pode ser transformada em uma equa o para outro sistema pela simples troca dos s mbolos das vari veis. Por exemplo, a equa o 3.6 que fornece o fluxo de calor atrav s de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma :

q=

T L k.A

(3.7)

O denominador e o numerador da equa o 3.7 podem ser entendidos assim :

( T ) , a diferen a entre a temperatura da face quente e da face fria, consiste no potencial que causa a transfer ncia de calor ( L / k.A ) equivalente a uma resist ncia t rmica (R) que a parede oferece transfer ncia de calor

Portanto, o fluxo de calor atrav s da parede pode ser expresso da seguinte forma :

20

q=

T R

onde,

T o potencial t rmico e R a resist ncia t rmica da parede

(3.8)

Se substituirmos na equa o 3.8 o s mbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial el trico, isto , a diferen a de tens o U, e o s mbolo da resist ncia t rmica R pelo da resist ncia el trica Re, obtemos a equa o 3.9 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente el trica :

i=

U Re

(3.9)

Dada esta analogia, comum a utiliza o de uma nota o semelhante a usada em circuitos el tricos, quando representamos a resist ncia t rmica de uma parede ou associa es de paredes. Assim, uma parede de resist ncia R, submetida a um potencial T e atravessada por um fluxo de calor q , pode ser representada assim :

[ figura 3.6 ] 3.4. ASSOCIA O DE PAREDES PLANAS EM S RIE Consideremos um sistema de paredes planas associadas em s rie, submetidas a uma fonte de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, tamb m de temperatura constante e conhecida. Assim, haver a transfer ncia de um fluxo de calor cont nuo no regime permanente atrav s da parede composta. Como exemplo, analisemos a transfer ncia de calor atrav s da parede de um forno, que pode ser composta de uma camada interna de refrat rio ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermedi ria de isolante t rmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de a o ( condutividade k3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura da parede composta :

21

T1

k1

k2

k3

T 2

T 3 T4

. q

L1

L2

L3

[ figura 3.7 ] O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente :

q=

k 1 . A1 k .A k .A .( T1 - T2 ); q = 2 2 .( T2 - T3 ); q = 3 3 .( T3 - T4 ) L1 L2 L3

(3.10)

Colocando em evid ncia as diferen as de temperatura em cada uma das equa es 3.10 e somando membro a membro, obtemos:

q.L1 k1. A1 q.L2 (T2 - T3 ) = k 2 . A2 q.L3 (T3 - T4 ) = k3 . A3 q.L1 q.L2 q.L3 T1 - T2 + T2 - T3 + T3 - T4 = + + k1. A1 k 2 . A2 k3 . A3 q . L1 q . L2 q . L3 T1 - T4 = + + k 1 . A1 k 2 . A2 k 3 . A3 (T1 - T2 ) =

(3.11)

Colocando em evid ncia o fluxo de calor q e substituindo os valores das resist ncias t rmicas em cada parede na equa o 3.1 , obtemos o fluxo de calor pela parede do forno :

T1 - T4 = q .( R1 + R2 + R3 )

q=

T1 - T4 R1 + R2 + R3

( eq. 3.12 )

22

Portanto, para o caso geral em que temos uma associa o de paredes n planas associadas em s rie o fluxo de calor dado por :

q=

( T ) total

Rt

, onde Rt = Ri = R1 + R 2 + + R n

i =1

n

(3.13)

3.5. ASSOCIA O DE PAREDES PLANAS EM PARALELO Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, submetidas a uma fonte de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, tamb m de temperatura constante e conhecida, do outro lado. Assim, haver a transfer ncia de um fluxo de calor cont nuo no regime permanente atrav s da parede composta. Como exemplo, analisemos a transfer ncia de calor atrav s da parede de um forno, que pode ser composta de uma metade inferior de refrat rio especial ( condutividade k2 ) e uma metade superior de refrat rio comum ( condutividade k1 ), como mostra a figura 3.8. Faremos as seguintes considera es :

Todas as paredes est o sujeitas a mesma diferen a de temperatura; As paredes podem ser de materiais e/ou dimens es diferentes; O fluxo de calor total a soma dos fluxos por cada parede individual.

[ figura 3.8 ] O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente :

23

q1 =

k1 . A1 .( T1 - T2 ); L1

q2 =

k 2 . A2 .( T1 - T2 ) L2

(3.14)

O fluxo de calor total igual a soma dos fluxos da equa o 3.14 :

k .A k .A k .A k .A q = q1 + q2 = 1 1 .(T1 - T2 ) + 2 2 .(T1 - T2 ) = 1 1 + 2 2 .(T1 - T2 ) (3.15) L2 L1 L2 L1

A partir da defini o de resist ncia t rmica para parede plana ( equa o 3.7 ), temos que :

R=

L k. A

1 k. A = R L

(3.16)

Substituindo a equa o 3.16 na equa o 3.15, obtemos :

1 (T - T2 ) 1 q= + .(T1 - T2 ) = 1 Rt R1 R 2

onde,

1 1 1 = + Rt R1 R 2

Portanto, para o caso geral em que temos uma associa o de n paredes planas associadas em paralelo o fluxo de calor dado por :

q=

( T ) total

Rt

n 1 1 1 1 1 , onde = = + + + Rt R1 R2 Rn i = Ri 1

(3.17)

Em uma configura o em paralelo, embora se tenha transfer ncia de calor bidimensional, freq entemente razo vel adotar condi es unidimensionais. Nestas condi es, admite-se que as superf cies paralelas dire o x s o isot rmicas. Entretanto, a medida que a diferen a entre as condutividades t rmicas das paredes ( k1 - k2 ) aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-se cada vez mais importantes. Exerc cio 3.3. Calcular o fluxo de calor na parede composta abaixo :

24

onde,

material k (Btu/h.ft.oF)

a 100

b 40

c 10

d 60

e 30

f 40

g 20

Usando a analogia el trica, o circuito equivalente parede composta :

Para uma rea unit ria de transfer ncia de calor ( A = 1 ft2 ), as resist ncias t rmicas de cada parede individual s o :

3 ( ft ) 12 Ra = = 0,0025 h.o F Btu Btu 2 100 h. ft.o F 1 ft

( )

Rb =

12 = 1 h.o F Btu 40 40 2 12

2

12 = 1 h.o F Btu Rc = 40 10 8 12 3 Re = 12 = 0,00833 h.o F Btu 30 1

2

Rd =

12 = 1 h.o F Btu 60 60 2 12 4 12 = 1 h.o F Btu Rf = 60 40 6 12

25

2

Rg =

12 = 1 h.o F Btu 30 20 6 12

4

Para os circuitos paralelos :

1 1 1 1 = + + = 40 + 40 + 60 = 140 Rbcd = 0,00714 h.o F Btu Rbcd Rb Rc Rd 1 1 1 = + = 60 + 30 = 90 R fg = 0,01114 h.o F Btu R fg R f Rg

Para os circuitos em s rie :

Rt = Ra + Rbcd + Re + R fg = 0,0025 + 0,00714 + 0,00833 + 0,0111 = 0,02907 h.o F Btu

Portanto,

( T ) total q=

Rt

=

(1000 -100) o F

0,02907 h.o F Btu

= 30960 Btu h

Exerc cio 3.4. Uma parede de um forno constitu da de duas camadas : 0,20 m de tijolo refrat rio (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura da superf cie interna do refrat rio 1675 oC e a temperatura da superf cie externa do isolante 145 oC. Desprezando a resist ncia t rmica das juntas de argamassa, calcule : a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; b) a temperatura da interface refrat rio/isolante.

parede de refrat rio : L1 = 0,20m L2 = 0,13m T1 = 1675o C k1 = 1,2Kcal h.m.o C k 2 = 0,15Kcal h.m.o C T3 = 145o C parede de isolante :

a) Considerando uma rea unit ria da parede ( A=A1=A2=1 m2 ), temos :

26

q=

( T ) total

Rt

=

q =1480,6 Kcal h p m 2

(

)

T1 - T3 T1 - T3 1675 - 145 = = L1 L 0,20 0,13 Rref + Riso + 2 + k1. A k2 . A 1,2 1 0,15 1

b) O fluxo de calor tamb m pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de refrat rio, obtemos :

T1 - T2 T1 - T2 k1. A = = .( T1 - T2 ) L1 Rref L1 k1. A 1,2 1 1480,6 = (1675 - T2 ) 0,20 q=

T2 =1428,2 oC

Exerc cio 3.5. Obter a equa o para o fluxo de calor em uma parede plana na qual a condutividade t rmica ( k ) varia com a temperatura de acordo com a seguinte fun o : k = a + b.T Partindo da equa o de Fourier, temos :

dT dx q.dx = -k . A.dT q = -k . A.

Agora k uma fun o da temperatura, portanto n o pode ser retirada para fora da integral. A integra o da equa o acima, entre os limites que podem ser verificados na figura 3.5, fica assim :

q. dx = - A.

0

L

T2

T1

( a + b.T ) dT

L T2 T2 . dx = - A.a dT + b TdT q T1 0 T1 b q.( L - 0) = - A.a.( T2 - T1 ) + . T22 - T12 2 b q.L = A.a.( T1 - T2 ) + . T12 - T22 2

(

)

(

)

27

q=

a. A b. A .(T1 -T2 ) + . T12 -T22 L 2.L

(

)

3.6. CONDU O DE CALOR ATRAV S DE CONFIGURA ES CIL NDRICAS Consideremos um cilindro vazado submetido uma diferen a de temperatura entre a superf cie interna e a superf cie externa, como pode ser visto na figura 3.9. Se a temperatura da superf cie interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura da superf cie externa se mant m constante e igual a T2, teremos uma transfer ncia de calor por condu o no regime permanente. Como exemplo analisemos a transfer ncia de calor em um tubo de comprimento L que conduz um fluido em alta temperatura :

[ figura 3.9 ] O fluxo de calor que atravessa a parede cil ndrica poder ser obtido atrav s da equa o de Fourier, ou seja :

q = -k . A.

dT dT onde o gradiente de temperatura na dire o radial (3.18) dr dr

Para configura es cil ndricas a rea uma fun o do raio :

A = 2. .r.L

Levando a equa o 3.19 na equa o 3.18, obtemos :

(3.19)

q = -k .( 2. .r.L ).

.

dT dr

28

Fazendo a separa o de vari veis e integrando entre T1 em r1 e T2 em r2, conforme mostrado na figura 3.9, chega-se a :

T2 dr = - k .2. .L.dT r1 r T1 . r dr T2 2 q = - k .2. .L. .dT r1 r T1 . r2 q .ln r = - .2.L.T k r 1 r2

q.

T1

T2

q .[ ln r2 - ln r1 ] = -k .2.L.(T2 - T1 )

Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos :

.

r q .ln 2 = k .2. .L.( T1 - T2 ) r1

.

O fluxo de calor atrav s de uma parede cil ndrica ser ent o :

q=

k .2. .L .( T1 - T2 ) r2 ln r 1

(3.20)

Para melhor entender o significado da equa o 3.20 consideremos um exemplo pr tico. Suponhamos que o engenheiro respons vel pela opera o de uma caldeira necessita reduzir o consumo energ tico atrav s da redu o das perdas t rmicas na tubula o que conduz vapor at uma turbina. Considerando a equa o 3.20, o engenheiro tem as seguintes op es listadas na tabela 3.2 : Tabela 3.2 - Possibilidades para redu o de fluxo de calor em uma parede cil ndrica. OBJETIV VARI VE A O O L k trocar a parede cil ndrica por outra de menor condutividade t rmica L reduzir o comprimento da tubula o ( menor caminho ) ( r r ) aumentar a espessura da parede cil ndrica

q

2

1

T

reduzir a temperatura do vapor

29

Trocar a parede ou reduzir a temperatura do vapor podem a es de dif cil implementa o; por m, a coloca o de isolamento t rmico sobre a parede cil ndrica cumpre ao mesmo tempo as a es de redu o da condutividade t rmica e aumento de espessura da parede. Resist ncia t rmica na parede cil ndrica : O conceito de resist ncia t rmica tamb m pode ser aplicado parede cil ndrica. Devido analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cil ndrica tamb m pode ser representado como :

T onde, T o potencial t rmico; e R a resist ncia t rmica da parede R Ent o para a parede cil ndrica, obtemos : q=

q=

k .2. .L T .T = R r2 ln r 1

(3.21)

Eliminado o T na equa o 3.21, obtemos a resist ncia t rmica de uma parede cil ndrica :

r ln 2 r 1 R= k .2. .L

(3.22)

Para o caso geral em que temos uma associa o de paredes n cil ndricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor dado por :

q=

( T )total

Rt

onde, Rt = Ri = R1 + R2 + + Rn

i =1

n

(3.23)

Exerc cio 3.6. Um tubo de a o (k=22 Btu/h.ft.oF) de 1/2" de espessura e 10" de di metro externo utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo isolado com 2 camadas de materiais isolantes : a primeira de isolante de alta temperatura (k=0,051 Btu/h.ft.oF) com espessura de 1" e a segunda com isolante base de magn sia (k=0,032 Btu/h.ft.oF) tamb m com espessura de 1". Sabendo que estando a temperatura da superf cie interna do tubo a 1000 oF a temperatura da superf cie externa do segundo isolante fica em 32 oF, pede-se : a) Determine o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo b) Determine a temperatura da interface entre os dois isolantes c) Compare os fluxos de calor se houver uma troca de posicionamento dos dois isolantes

30

T1=1000 oF T4= 32 oF k1= 22 Btu/h.ft.oF k2= 0,051 Btu/h.ft.oF k3= 0,032 Btu/h.ft.oF L= 1 ft

r1= 5" - 1/2" = 4,5" = 4,5/12 ft r2 = 5" = 5/12 ft r3 = 5" + 1" = 6" = 6/12 ft r4 = 6" + 1" = 7" = 7/12 ft

a) q =

T1 - T4 1000 - 32 = ln ( r2 r1 ) ln ( r3 r2 ) ln ( r4 r3 ) ln ( 5 4,5) ln ( 6 5) ln ( 7 6) + + + + 2. .L.k1 2. .L.k2 2. .L.k3 2 1 22 2 1 0,051 2 1 0,0

(p

ft )

q =722,4Btu h

b) q =

T3 - T4 ln ( r4 r3 ) 2. .L.k3

724,5 =

T3 - 32 ln ( 7 6) 2 1 0,032

T3 = 587 , 46 oF

c ) q =

T1 - T4 1000 - 32 = ln ( r2 r1 ) ln ( r3 r2 ) ln ( r4 r3 ) ln ( 5 4,5) ln ( 6 5) ln ( 7 6 ) + + + + 2. .L.k1 2. .L.k3 2. .L.k2 2 1 22 2 1 0,032 2 1 0,0

( o fluxo diminui em rela o ao caso anterior )

q= 697 , 09 Btu h

3.7. CONDU O DE CALOR ATRAV S DE UMA CONFIGURA O ESF RICA Uma das utiliza es mais freq entes de configura es esf ricas na ind stria na armazenagem de fluidos em baixa temperatura. Devido a uma maior rela o volume/superf cie da esfera, os fluxos de calor s o minimizados. Consideremos uma esfera oca submetida uma diferen a de temperatura entre a superf cie interna e a superf cie externa, como pode ser visto na figura 3.10. Se a temperatura da superf cie interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura da superf cie externa se mant m constante e igual a T2, teremos uma transfer ncia de calor por condu o no regime permanente. Como exemplo analisemos a transfer ncia de calor em um reservat rio esf rico de raio r que cont m um fluido em alta temperatura :

31

[ figura 3.10 ] O fluxo de calor que atravessa a parede esf rica poder ser obtido atrav s da equa o de Fourier, ou seja :

q = - k . A.

dT dr

onde

dT o gradiente de temperatura na dire o radial (3.24) dr

Para configura es cil ndricas a rea uma fun o do raio :

A = 4. .r 2

Levando a equa o 3.25 na equa o 3.24, obtemos :

(3.25)

q = -k .( 4. .r 2 ).

.

dT dr

Fazendo a separa o de vari veis e integrando entre T1 em r1 e T2 em r2, conforme mostrado na figura 3.10, chega-se a :

. .

r2 .

r1

q.

T2 dr = - k .4.dT T1 r2 T2

q r - 2 .dr = -4.k . . .dT

r1 T1 r2 T2 -1 -r = -4.k . .T q . T1 r1 . 1 1 q .- - - = -4.k . .( T2 - T1 ) r1 r2

r2

32

1 1 q . - = 4.k . .( T1 - T2 ) r1 r2

.

O fluxo de calor atrav s de uma parede esf rica ser ent o :

q=

4.k . 1 1 - r r 1 2

.( T1 - T2 )

(3.26)

Para melhor entender o significado da equa o 3.26 consideremos um exemplo pr tico. Suponhamos que o engenheiro respons vel por um reservat rio esf rico necessita reduzir as perdas t rmicas pela parede por raz es econ micas. Considerando a equa o 3.26, o engenheiro tem as seguintes op es listadas na tabela 3.3 :

Tabela 3.3 - Possibilidades para redu o de fluxo de calor em uma parede esf rica. OBJETIV O

q

VARI VE A O L k trocar a parede esf rica por outra de menor condutividade t rmica 1 - 1 ) aumentar a espessura da parede cil ndrica ( r1 r2 T reduzir a temperatura interna do reservat rio

Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna do reservat rio podem a es de dif cil implementa o; por m, a coloca o de isolamento t rmico sobre a parede esf rica cumpre ao mesmo tempo as a es de redu o da condutividade t rmica e aumento de espessura da parede. Resist ncia t rmica na parede esf rica : O conceito de resist ncia t rmica tamb m pode ser aplicado parede esf rica. Devido analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede esf rica tamb m pode ser representado como :

q= T R onde, T o poten cial t rmi o; e R a resi t ncia t c s rmica da parede

Ent o para a parede esf rica, obtemos :

33

q=

4.k . T .T = 1 1 R - r r 1 2

(3.27)

Eliminado o T na equa o 3.27, obtemos a resist ncia t rmica de uma parede esf rica :

1 1 - r r 1 2 R= 4.k .

(3.28)

Para o caso geral em que temos uma associa o de paredes n esf ricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor dado por :

q=

( T )total

Rt

onde, Rt = Ri = R1 + R2 + + Rn

i =1

n

(3.29)

Exerc cio 3.7. Um tanque de a o ( k = 40 Kcal/h.m.oC ), de formato esf rico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, isolado com 1 " de l de rocha ( k = 0,04 Kcal/h.m.oC ). A temperatura da face interna do tanque 220 oC e a da face externa do isolante 30 oC. Ap s alguns anos de utiliza o, a l de rocha foi substitu da por outro isolante, tamb m de 1 " de espessura, tendo sido notado ent o um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condi es ). Determinar : a) fluxo de calor pelo tanque isolado com l de rocha; b) o coeficiente de condutividade t rmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura ( em polegadas ) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a l de rocha.

r1 = 0,5 m r2 = 0,5 + 0,005 = 0,505 m r3 = 0,505 + 1,5 x 0,0254 = 0,5431 m k1 = 40 Kcal/h.m.o C k 2 = 0,04 Kcal/h.m.o C T1 = 220 oC T3 = 30 oC

a)

q=

( T ) total

Rt

34

1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - r r r r 0,5 0,505 0,505 0,5431 3 2 Rt = 1 + 2 = + = 0,000039 + 0,276364 = 0,2764 h.o C Kc k1.4 k2 .4 40 4 0,04 4

q=

( T ) total

Rt

=

220 - 30 = 687,41Kcal h 0,2764

b) Levando em conta a eleva o do fluxo de calor :

q = 1,1 q = 1,1 687, 41 = 756,15 Kcal h

Desprezando a resist ncia t rmica da parede de a o ( T2 = T1= 30 oC ), temos :

q = 756,15 =

T2 - T3 1 1 - r r 2 3 kiso .4

=

220 - 30 1 1 - 0,505 0,5431 kiso 4

kiso =0, 044 Kcal h. m .o C

c) Para manter o fluxo de calor deve ser usada uma maior espessura isolante :

q = 687,41=

T2 - T3 1 1 - r r 3 2 k iso .4

=

220 - 30 1 1 - 0,505 r 3 0,044 4

r3 = 0,5472m

e = r3 - r2 = 0, 5472 - 0, 505 = 0, 0422 m = 4, 22 cm

e =4 , 22 cm =1, 66

Exerc cio 3.8. Um tanque de oxig nio l quido tem di metro de 1,20 m, um comprimento de 6 m e as extremidades hemisf ricas. O ponto de ebuli o do oxig nio -182,8 oC. Procura-se um isolante t rmico que reduza a taxa de evapora o em regime permanente a n o mais que 10 Kg/h. O calor de vaporiza o do oxig nio 51,82 Kcal/Kg. Sabendo que a temperatura ambiente varia entre 15 oC (inverno) e 40 oC (ver o) e que a espessura do isolante n o deve ultrapassar 75 mm, qual dever ser a condutividade t rmica do isolante ? ( Obs : n o considerar as resist ncias devido convec o ).

35

r = 0,6m e = 75mm = 0,075m riso = r + e = 0,6 + 0,075 = 0,675m Ti = -182,8o C m = 10 Kg h

Te = 40o C( m ximoT )

H vap = 51,82 Kcal Kg

O m ximo fluxo de calor para o interior do tanque deve ser : q = m.H vap =