Calculo - física - curso de fisica matematica - usp

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(Parte 1 de 9)

Universidade de S~ao Paulo

Vers~ao de 29 de setembro de 2005

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Pref acio 15 Nota c~ao e Advertencias 17

Indice

1.1 Conjuntos, Relac~oes e Func~oes2
1.1.1 Relac~oes e Func~oes23
1.1.2 Relac~oes de Ordem30
1.1.3 Cardinalidade37
1.1.4 In mos e Supremos de Famlias de Conjuntos43
1.2 Estruturas Algebricas Basicas45
1.2.1 Semi-grupos, Monoides e Grupos46
1.2.2 Corpos51
1.2.3 Espacos Vetoriais5
1.2.4 Aneis, Algebras e Modulos56
1.2.5 Mais sobre Aneis60
1.2.6 Ac~oes e Representac~oes62
domor smos e Automor smos65
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo67
1.3.1 Cosets67
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente69
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores71
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos73
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais76
1.5.1 Discuss~ao Informal Preliminar76
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac~oes79
1.5.3 Somas Diretas80
1.5.4 Produtos Tensoriais81
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrarios83
1.5.6 Modulos e Derivac~oes84

1.2.7 Mor smos, Homomor smos, Epimor smos, Isomor smos, Monomor smos, En- 2

1.6 Topicos Especiais84
1.6.1 O Grupo de Grothendieck85
1.6.2 Grupoides87
1.6.3 Quaternions8
2.1 Espacos Vetoriais94
2.1.1 Sub-Espacos e Espacos Quocientes94
2.1.2 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial95
2.1.3 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial101
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espacos Vetoriais108
2.2.1 Formas Multilineares108
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski113
2.2.3 Produtos Escalares117
2.2.4 Exemplos119
2.3 Normas em Espacos Vetoriais121
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espacos de Dimens~ao Finita128
2.5 Estruturas Complexas sobre Espacos Vetoriais Reais132

2 Espa cos Vetoriais 94

3.1 Rudimentos143
3.2 Noc~oes Basicas sobre o Espectro de uma Matriz147
3.2.1 O Traco de uma Matriz153
3.3 Polinomios de Matrizes155
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley157
3.4 Matrizes Diagonalizaveis e o Teorema Espectral162
3.4.1 Diagonalizac~ao Simultanea de Matrizes176
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unitarias180
3.5.1 Matrizes Positivas187
3.6 Matrizes Triangulares190
3.7 O Teorema de Decomposic~ao de Jordan e a Forma Canonica de Matrizes191
3.7.2 O Teorema da Decomposic~ao de Jordan198
3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representac~ao Canonica201
3.7.4 A Forma Canonica de Matrizes205
3.8 Algumas Representac~oes Especiais de Matrizes207
3.8.1 A Decomposic~ao Polar de Matrizes207
3.8.2 O Teorema da Triangularizac~ao de Schur210
3.8.3 A Decomposic~ao QR e a Decomposic~ao de Iwasawa (\KAN")212
3.9 Propriedades Especiais de Determinantes215
3.9.1 Expans~ao do Polinomio Caracterstico215
3.9.2 A Desigualdade de Hadamard216
3.10 Exerccios Adicionais219
; n)223
4.2 Exponenciais, Logaritmos e Func~oes Analticas de Matrizes228

4.1 Uma Topologia M etrica em Mat(

; n) e GL( ; n)236
4.3 A Formula de Lie-Trotter e a Formula do Comutador239

4.2.1 A Exponencia c~ao de Matrizes e os Grupos GL(

; n)242
4.5 A Formula de Baker, Campbell e Hausdor248
4.6 A Formula de Duhamel e Algumas de suas Consequencias254

4.4 Aplica c~oes Lineares em Mat(

I Equa c~oes Diferenciais 259

5.1 De nic~ao e Alguns Exemplos261
5.1.1 Equac~oes Diferenciais Ordinarias Lineares263
5.1.2 Equac~oes Ordinarias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse267
5.2 Sistemas de Equac~oes Diferenciais Ordinarias269
5.3 Discuss~ao sobre Problemas de Valor Inicial274
5.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente276
5.3.2 Teoremas de Existencia e Unicidade de Soluc~oes280
5.3.3 Soluc~oes Globais282

5 Equa c~oes Diferenciais Ordin arias. Uma Introdu c~ao 260 5.3.4 Dependencia Cont nua de Condi c~oes Iniciais e de Parametros . . . . . . . . . . . 284

6.1 Soluc~ao de Equac~oes Ordinarias Lineares de Primeira Ordem286
6.2 As Equac~oes de Bernoulli e de Riccati287
6.3 Integrac~ao de Equac~oes Separaveis290
6.4 O Metodo de Variac~ao de Constantes291
6.5 O Metodo de Substituic~ao de Prufer293
6.6 O Metodo de Invers~ao295
6.7 Soluc~ao de Equac~oes Exatas e o Metodo dos Fatores Integrantes296
6.8 Soluc~oes das Equac~oes de D’Alembert-Lagrange e Clairaut301

6 Alguns M etodos de Resolu c~ao de Equa c~oes Diferenciais Ordin arias 286

7.1 Introduc~ao307
7.2 Unicidade e Existencia de Soluc~oes308
7.2.1 Unicidade308
7.2.2 Existencia. A Serie de Dyson311
7.2.3 Propriedades de D(s; t)316
7.3 Equac~oes com Coe cientes Constantes320
7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicac~oes322
7.4 Teoria de Perturbac~oes de Sistemas Lineares327
7.5 Mais sobre a Serie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado330
7.6 Sistemas de Equac~oes Diferenciais Lineares no Plano Complexo3
7.6.1 O Caso Analtico334
7.6.2 Resoluc~ao por Series de Potencias340
7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia342
7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples352
7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m357
7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m358
7.7.2 Singularidades no In nito362
7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse364
7.8 Equac~oes Fuchsianas. Smbolos de Riemann370
7.8.1 Equac~oes Fuchsianas de Primeira Ordem370
7.8.2 Equac~oes Fuchsianas de Segunda Ordem375
7.8.3 Smbolos de Riemann. Simetrias de Equac~oes Fuchsianas de Segunda Ordem382
8.1 Soluc~oes em Series de Potencias para Equac~oes Regulares395
8.1.1 A Equac~ao do Oscilador Harmonico Simples396
8.1.2 A Equac~ao de Legendre398
8.1.3 A Equac~ao de Hermite401
8.1.4 A Equac~ao de Airy404
8.1.5 A Equac~ao de Chebyshev406
8.1.6 O Caso de Equac~oes Regulares Gerais409
8.2 Soluc~ao de Equac~oes Singulares Regulares. O Metodo de Frobenius411
8.2.1 Equac~oes Singulares Regulares. O Caso Geral415
8.2.2 A Equac~ao de Euler Revisitada424
8.2.3 A Equac~ao de Bessel427
8.2.4 Equac~oes Relacionadas a de Bessel. A Equac~ao de Bessel Esferica438
8.2.5 A Equac~ao de Laguerre441
8.2.6 A Equac~ao Hipergeometrica443
8.3 Algumas Equac~oes Associadas450
8.3.1 A Equac~ao de Legendre Associada450
8.3.2 A Equac~ao de Laguerre Associada452
8.4 A Func~ao Gama. De nic~ao e Propriedades453
8.A Prova da Proposic~ao 8.1. Justi cando os Polinomios de Legendre470
8.B Provando (8.14)472
8.C Justi cando os Polinomios de Hermite474
8.D Provando (8.20)476
8.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equac~ao de Laguerre477
8.6 Exerccios Adicionais480
9.1 Discuss~ao Preliminar483
9.1.1 De nic~oes e Considerac~oes Preliminares484
9.1.2 Relac~oes de Ortogonalidade486
9.1.3 Formulas de Rodrigues488
9.1.4 Func~oes Geratrizes491
9.2.1 Propriedades dos Polinomios de Legendre495
9.2.2 Propriedades dos Polinomios de Legendre Associados. Harmonicos Esfericos501
9.2.3 Propriedades dos Polinomios de Hermite511
9.2.4 Propriedades dos Polinomios de Laguerre515
9.2.5 Propriedades dos Polinomios de Laguerre Associados519
9.2.6 Propriedades das Func~oes de Bessel522
9.2.7 Propriedades das Func~oes de Bessel Esfericas537
9.A Provando (9.4) a Forca Bruta541
9.2 Exerccios Adicionais543
10.1 As Equac~oes de Helmholtz e de Laplace544
10.1.1 Problemas em Duas Dimens~oes em Coordenadas Polares546
10.1.2 Problemas em Tres Dimens~oes em Coordenadas Esfericas549
10.2 O Problema da Corda Vibrante553
10.2.1 Corda Vibrante Homogenea553
10.2.2 O Problema da Corda Homogenea Pendurada556
10.2.3 Corda Vibrante N~ao-Homogenea560
10.3 O Problema da Membrana Circular564
10.4 O Oscilador Harmonico na Mecanica Quantica e a Equac~ao de Hermite567
10.5 O Atomo de Hidrogenio e a Equac~ao de Laguerre Associada568
10.6 Propagac~ao de Ondas em Tanques Cilndricos571
10.7 Exerccios Adicionais582

10 Alguns Problemas Selecionados de Interesse F sico 544

1.1 De nic~ao e Alguns Exemplos586
1.2 O Metodo de Separac~ao de Variaveis587
1.3 Unicidade de Soluc~oes de Equac~oes Diferenciais Parciais590
1.3.1 Casos Simples. Discuss~ao Preliminar590
1.3.2 Unicidade de Soluc~oes. Generalizac~oes597

1 Rudimentos da Teoria das Equa c~oes Diferenciais Parciais 586

12.1 Introduc~ao607
12.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Func~ao de Green612
12.2.2 O Teorema de Green615
12.3 O Problema de Sturm-Liouville617
12.4.1 Realidade dos Autovalores. Ortogonalidade de Autofunc~oes619
12.4.2 A Simplicidade dos Autovalores622
12.4.3 Condic~oes Su cientes para a Positividade dos Autovalores623
12.5 A Equac~ao Integral de Fredholm627
12.6 Uma Aplicac~ao do Problema de Sturm-Liouville630
12.7 O Metodo dos Determinantes de Fredholm634
12.7.1 A Equac~ao Integral de Fredholm Linear N~ao-Homogenea634
12.7.2 A Equac~ao Integral de Fredholm Linear Homogenea638
12.8 Comentarios Finais640
12.8.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular640
12.A Prova do Teorema 12.1. Existencia e Unicidade643
12.B Prova da Proposic~ao 12.1644
12.C Comentario Sobre o Determinante Wronskiano646
12.D Ausencia de Autovalores em um Problema Singular647
12.E Demonstrac~ao do Teorema 12.3648
12.F Prova da Desigualdade (12.E.2)652
12.G Obtendo os Determinantes de Fredholm654
12.8 Exerccios Adicionais661

8/1304 12.4 Propriedades B asicas dos Autovalores e das Autofun c~oes de Problemas de Sturm-Liouville619

IV Grupos 665

13.1 O Grupo de Permutac~oes667
13.1.1 Ciclos, Transposic~oes e Transposic~oes Elementares668
13.2 Alguns Grupos Matriciais673
13.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n)673
13.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg676
13.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares682
13.2.5 Os Grupos Unitarios685
, 2)686
13.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1)686
13.3.2 O Grupo SO(3)690
13.3.3 O Grupo SU(2)698
13.3.4 A Relac~ao entre SO(3) e SU(2)701

13.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(

, 2)704
13.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n)705
13.4.1 Os Grupos SU(n)706
13.4.2 O Grupo SU(3)709
13.4.3 Os Grupos SO(n)710
13.5 O Grupo A m e o Grupo Euclidiano715
13.6 O Grupo de Lorentz719
13.6.1 O Espaco-Tempo, a Noc~ao de Intervalo e a Estrutura Causal720
13.6.2 A Invariancia do Intervalo726
13.6.3 O Grupo de Lorentz729
13.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz730
13.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz734
13.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz738
13.7 O Grupo de Poincare742

13.3.5 O Grupo SL(

, 2) e o Grupo de Lorentz745
13.A Prova do Teorema 13.8754

13.8 SL(

13.B Um Isomor smo entre SL( , 2)/{ ;

g e L↑+764
14.1 Variedades e Grupos de Lie773
14.2 Breves Considerac~oes sobre Grupos Topologicos775
14.3 Grupos de Lie Matriciais778

14 Grupos de Lie e Algebras de Lie. Uma Breve Introdu c~ao 772

; n)778

14.3.1 Uma Topologia M etrica em GL(

; n)779
14.3.3 Sub-Grupos Uniparametricos e seus Geradores782
14.3.4 Sub-Grupos Uniparametricos e Algebras de Lie785

14.3.2 O Grupo de Lie GL(

; n)790

14.3.5 Subgrupos Fechados de GL( 14.4 A Rela c~ao entre Grupos de Lie Matriciais e suas Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 794

14.4.1 Algebras de Lie Nilpotentes, Soluveis, Simples e Semi-Simples795
14.4.2 Quest~oes sobre a Exponenciac~ao de Algebras de Lie799
14.4.3 Alguns Exemplos Especiais802
15.1 Representac~oes de Grupos808
15.2 Representac~oes Irredutveis de SO(3)815
15.3 A Medida de Haar819
15.4 Representac~oes de Grupos Compactos821
15.5 O Teorema de Peter-Weyl822

15 Uma Breve Introdu c~ao a Teoria das Representa c~oes de Grupos 808

V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integra c~ao 828

16.1 Metricas e Espacos Metricos831
16.2 Topologia de Espacos Metricos845
16.3 Pseudo-Metricas848
16.4 Espacos de Banach e de Hilbert850
16.4.1 Espacos de Sequencias852
16.A Algumas Desigualdades Basicas866
16.B Numeros reais e p-adicos868
16.C Aproximac~oes para pi875
17.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach882
17.1.1 Aplicac~ao a Equac~oes Numericas. O Metodo de Newton884
17.1.2 Uma Generalizac~ao do Teorema de Ponto Fixo de Banach8
17.2 As Equac~oes Integrais de Fredholm e de Volterra889
17.3 Aplicac~oes a Teoria das Equac~oes Diferenciais Ordinarias897
17.3.1 O Teorema de Picard-Lindelof897
17.3.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Soluc~oes Globais902
17.3.3 Um Teorema de Comparac~ao de Soluc~oes de EDO’s903
17.4 O Teorema da Func~ao Implcita e o Teorema da Func~ao Inversa907
17.4.2 O Teorema da Func~ao Inversa912
17.A O Lema de Gronwall913
18.1 De nic~oes, Propriedades Elementares e Exemplos915
18.2 Algumas Construc~oes Especiais e Exemplos920
18.2.1 Topologias e σ-algebras Geradas920
18.2.2 Bases de Espacos Topologicos924
18.2.3 Topologias e -algebras Induzidas930
18.2.4 Topologias e -algebras Produto932
18.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espacos Topologicos932
18.3.1 Fecho de Conjuntos em Espacos Metricos936
19.1 O Problema da Teoria da Medida938
19.2 Medidas de Conjuntos. De nic~ao, Exemplos e Propriedades Basicas941
19.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory945
20.1 A Construc~ao da Medida de Lebesgue954
20.1.1 A -algebra de Borel em e a Medida de Borel-Lebesgue957

20 A Medida de Lebesgue 954

n960
20.2 Conjuntos de Cantor961
20.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue973

20.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em

21.1 Primeiras De nic~oes978
21.2 Espacos Hausdor980
21.3 O Limite do In mo e o Limite do Supremo981
21.4 Redes e o Caso de Espacos Topologicos Gerais986
21.4.1 Redes em Espacos Metricos988

21 Convergencia, Pontos Limite e Pontos de Acumula c~ao em Espa cos Topol ogicos 978

2.1 Func~oes Contnuas990

2 Continuidade de Fun c~oes em Espa cos Topol ogicos 990 2.2 Outras Caracteriza c~oes do Conceito de Continuidade em Espa cos Topol ogicos . . . . . . 993

2.2.1 Continuidade e Convergencia994
23.1 Comentarios Preliminares998
23.2 A Integrac~ao no Sentido de Riemann1000
23.2.1 A Integral de Riemann Impropria1009
23.2.2 Diferenciac~ao e Integrac~ao em Espacos de Banach1011
23.3 A Integrac~ao no Sentido de Lebesgue1016
23.3.1 Func~oes Mensuraveis e Func~oes Simples1017
23.3.2 A Integral de Lebesgue. Integrac~ao em Espacos Mensuraveis1023
23.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relac~ao com a de Riemann1032
23.3.4 Teoremas Basicos sobre Integrac~ao e Convergencia1035
23.3.5 Alguns Resultados de Interesse1038
23.4 Os Espacos Lp e Lp1040
23.4.1 As Desigualdades de Holder e de Minkowski1043
23.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza1047
23.A Demonstrac~ao da Proposic~ao 23.31048
23.B Caracterizac~oes e Propriedades de Func~oes Mensuraveis1049
23.C Prova do Lema 23.31055
23.D Demonstrac~ao de (23.2)1056
23.E A Equivalencia das De nic~oes (23.23) e (23.24)1057
23.F Prova do Teorema da Convergencia Monotona1059
23.G Prova do Lema de Fatou1060
23.H Prova do Teorema da Convergencia Dominada1061
23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.31062
23.J Prova das Desigualdades de Holder e Minkowski1065
23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer1067

23 Elementos da Teoria da Integra c~ao 997

24.1 Uma Coletanea de De nic~oes1070
24.2 A Noc~ao de Topologia Fraca1076
24.3 A Topologia Produto de Espacos Topologicos1077
24.4 O Teorema da Categoria de Baire1079
24.5.1 Aproximac~ao de Func~oes Contnuas por Polinomios1080

VI An alise Funcional 1087

25.1 Aspectos Topologicos Basicos de Espacos de Hilbert1088
25.2 Aspectos Geometricos Basicos de Espacos de Hilbert1090
25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espacos de Hilbert1095
25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topologico de um Espaco de Hilbert1109
25.3.1 O Teorema da Representac~ao de Riesz1110

25 No c~oes B asicas Sobre Espa cos de Hilbert 1088

26.1 Operadores Lineares em Espacos Vetoriais Normados1115
26.1.1 Espacos de Banach de Operadores1119
26.1.2 O Dual Topologico de um Espaco de Banach1123
26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequencias do Mesmo1127
26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princpio de Limitac~ao Uniforme13
26.1.5 O Teorema da Aplicac~ao Aberta e o Teorema do Gra co Fechado1134
26.2 Operadores Limitados em Espacos de Hilbert1142
26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espaco de Hilbert14
26.3 Algebras de Banach e Algebras C∗1152
26.3.1 Algebras de Banach1152
26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados15
26.3.3 O Espectro de Operadores em Algebras de Banach1161
26.3.4 O Homomor smo de Gelfand em Algebras C1171
26.3.5 Razes Quadradas de Operadores em Algebras de Banach1174
26.3.6 Elementos Positivos de Algebras C1175
26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espacos de Hilbert. A Decomposic~ao Polar1179
26.4 Um Pouco sobre Estados e Representac~oes de Algebras C1183
26.5 O Espectro de Operadores em Espacos de Banach1193
26.6 Operadores Compactos em Espacos de Banach e de Hilbert1202
26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos1215

26 Operadores Lineares Limitados em Espa cos de Banach e de Hilbert 1113 26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espa cos de Hilbert 1223 26.7.1 O C alculo Funcional Cont nuo e o Homomor smo de Gelfand . . . . . . . . . . 1223

26.7.2 Generalizando o Calculo Funcional Contnuo. As Medidas Espectrais1225
26.7.3 Medidas com Valores em Projec~oes Ortogonais1235
26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral1240
nalmente)1244
26.A Prova do Teorema 26.181253

26.7.5 A Relevancia do Teorema Espectral para a F sica Quantica (um pouco de F sica,

27.1 Algebras Universais1258
27.2 Ac~ao de Uma Algebra Universal sobre uma Outra Algebra Universal (*)1265

27 No c~oes de Estruturas Alg ebricas 1257 28 O Limite Indutivo de Algebras 1270

15/1304 Pref acio inten c~ao b asica destas Notas e fornecer a estudantes de F sica no c~oes matem aticas importantes para uma melhor compreens~ao de desenvolvimentos modernos da F sica Te orica e da Matem atica.

De modo geral o texto e de leitura auto-su ciente, mas vez por outra algum estudo complementar e sugerido. Estas Notas, por em, n~ao s~ao substituto a leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerc cios!) o maior n umero poss vel de exemplos e contra-exemplos para as v arias situa c~oes tratadas de modo a motivar melhor de ni c~oes e resultados, o que e menos comum em textos com tratamentos mais sistem aticos. Parte do material pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliogra a, mas a apresenta c~ao e sua ordem s~ao pr oprias. H a tamb em nestas Notas demonstra c~oes do pr oprio autor de resultados conhecidos que s~ao, por alguma raz~ao, di cilmente encontradas na literatura.

Fazemos notar que estas notas est~ao ainda sendo trabalhadas e alguns cap tulos e se c~oes podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Al em disso, novos cap tulos ser~ao escritos. O material j a presente e, por em, util a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos. Vers~oes atualizadas ser~ao colocadas na \rede" (no endere co acima indicado) sempre que poss vel.

O autor agradece a todos os que apresentarem sugest~oes. Fabulosas somas em dinheiro s~ao oferecidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os j a aquinhoados encontram-se os Srs. Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C. Patr~ao, Cl eber de Mico Muramoto, Kati uscia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Fran ca Junior, Gustavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jos e de Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Assencio, Fleury Jos e de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fab ola Diacenco Xavier e M arcio Andr e Prieto Apar cio Lopez aos quais somos muito gratos por corre c~oes e sugest~oes.

As Se c~oes 13.B, p agina 764, e 17.3.1, p agina 897, foram originalmente escritas por Daniel Augusto

Cortez. A Se c~ao 10.6, p agina 571, foi originalmente escrita por Andr e M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais.

Jo~ao Carlos Alves Barata S~ao Paulo, 29 de setembro de 2005. Departamento de F sica Matem atica do IFUSP

“O comportamento de um f sico em rela c~ao a Matem atica e similar a de um ladr~ao inteligente em rela c~ao ao c odigo penal: ele estuda apenas o su ciente para evitar puni c~oes". I. M. Gelfand (1913-).

\A mente n~ao e um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa". Plutarco (46?-120).

\Talvez eu n~ao tenha tido exito em fazer as coisas dif ceis tornarem-se f aceis, mas pelo menos eu nunca z um assunto f acil tornar-se dif cil". F. G. Tricomi (1897-1978).

\In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind that nourish science". Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.

\N~ao existe nenhuma categoria da Ciencia a qual se possa dar o nome de Ciencia Aplicada. O que existe s~ao a Ciencia e as aplica c~oes da Ciencia, intimamente ligadas, como frutos a arvore que os gerou".

Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouv e d’hommes sup erieurs au moment du p eril", Revue Scienti que (Paris, 1871).

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