Tanformações Lineares

Tanformações Lineares

(Parte 2 de 3)

)]3,2[(A

Por exemplo, . 1

As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R2 em relação à base canônica.

Dilatação ou Contração de fator k na direção do

− yxsen sen θθ θθ cos θθ θθ coscos yxsen ysenx

Operações com Transformações Lineares 1. Adição

Sejam WVTWVT→→: e :21 transformações lineares. Define-se a adição de 21 com T como sendo a transformação linear:

3R→+TTtal que)2,2,(),,)(( 21zyxzyxTT=+

do R3.

2. Multiplicação por Escalar

Sejam WVT→: uma transformação linear e R∈k um escalar. Define-se a transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo: :)(WVTk→⋅

Matricialmente, ABABTkTk][][⋅=⋅ , onde A é uma base de V e B é uma base de W.

3. Composição

Sejam WUTUVT→→: e :21 transformações lineares. Define-se a composta de 21 com T como sendo a transformação linear:

Matricialmente, ABBCACTTTT][][][1212⋅=o, onde A é uma base de V , B é uma base de U e C é uma base de W.

Propriedades de Transformações Invertíveis

Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares:

2 zyxzyxTzyxT +=→a

: yxzyxTzyxT =→a 23 R

}0{, ),,(),(),(

babyaxyxTyxT a

+−=→ yxzyxTzyxT a e)

),(),(

xyxTyxT =→ : a

3) Seja )(RnnMat× o espaço vetorial das matrizes quadradas nn× sobre R e )(RnnMatM×∈ uma matriz arbitrária qualquer.

x yxT

6) Encontre a lei que define a transformação linear 2R→:T que faz associar

9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:

zyxzyxzyxTzyxT ++++=→a

)3,2,(),(),(

b) :

12) Indique a lei de 1−T para cada uma das transformações lineares:

xyyxTyxT −=→a b)

)(

vvIv VI V =→ : a

),,,()(

xyzt tz yx T tz

MatT

a) ABT][ considerando A e B bases canônicas.

Determine:

c) TSo d) SSo

17) Escolha alguns vetores de R2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.

18) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador T.

a) Ache uma base para )(TN. b) Ache uma base para )Im(T.

2) Seja 32RR→:T a transformação linear definida por )0,,2(),(xyxyxT−+=

a) Qual a lei que define T? b) Determine o núcleo de T e uma base para )(TN.

c) Determine a imagem de T e uma base para )Im(T.

encontre []ABT.

coordenadas de BvT)]([ sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R2 são

27) Sabendo que a transformação linear 2R→:θT, cuja matriz em relação à base canônica é θθ cossen sencos x v][ indica a rotação do vetor v de um ângulo θ.

Assim, ][ cossen sencos

Determine a lei de T.

Respostas

1) b) Sim 2) 0=k 3) Sim yx yxT

b) )4,8,4()1,2(−−−=−T
b)
2R=)Im(T
d) 
c) 
base )}0,3,1{(:)(TN
d) Não, pois T não é injetora.
}0653|),,{()Im(=−+∈=zyxzyxT3R
b)
b) 
c) 
)]([BvT

Teo34. Seja WVT→: uma transformação linear.

dem.: (indução em n)
)()(...)()( 121 ++ ⋅+⋅++⋅+⋅ n vTkvTkvTkvTk
Logo, vale a igualdade para todo 2,≥∈nnN

Corolário34: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT→:.

i) )()()(uTvTuvT−=−, para quaisquer Vuv∈,

Teo36. Seja WVT→: uma transformação linear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial V então })( que tal existe |{)(wsTSsWwST=∈∈= é um subespaço vetorial do espaço W.

dem.: (Sub1) Por hipótese, VS≤.

Então, existem Svv∈21, tais que 1)(wvT= e 2)(wvT=

(Sub3) Sejam R∈∈kSTw e )(.

Como, VS≤. Pelo fechamento para operação de multiplicação por escalar em S, Svk∈⋅. Então, )(STwk∈⋅.

(Parte 2 de 3)

Comentários