Tanformações Lineares

Tanformações Lineares

(Parte 3 de 3)

Logo, vale o fechamento para operação de multiplicação por escalar em )(ST.

Teo37. )(TN é um subespaço vetorial de V.

Teo38. )Im(T é um subespaço vetorial de W.

Teo39. (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja WVT→: uma transformação linear . Então )Im(dim)(dimdimTTNV+=.

Considere o vetor vululuss−⋅++⋅=...1(3)
Mas, )(],...,[1TNvvt=
Então, existem R∈tkk,...,1 tais que ttvkvku⋅++⋅=...1(4)
De (3) e (4), ttssvkvkvulul⋅++⋅=−⋅++⋅1.
Assim, ttssvkvkululv⋅−−⋅−⋅++⋅=1.
Então, Vuuvvst=],...,,,...,[1(5)
Seja Vssttttukukvkvk0=⋅++⋅+⋅++⋅++1, com R∈+stkk,...,1. (6)
Assim, ) ()( 1 Vsstttt TukukvkvkT 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ .
Pelo Teo33, WssttttukukvkvkT0=⋅++⋅+⋅++⋅++)(1.
Então, WtWvTvT00==)(,...,)(1(7)
De (1) e (7), WssttWtWwkwkkk000=⋅++⋅+⋅++⋅++1.
Então, },...,,,...,{11stuuvv é linearmente independente(8)
De (5) e (8), },...,,,...,{11stuuvv é uma base de V
Logo, )Im(dim)(dimdimTTNstV+=+=

Teo40. Seja WVT→: é uma transformação linear. T é uma transformação linear injetora se e

Assim, Vuv0=−. Então, uv=. Logo, T é uma transformação linear injetora.

Teo42.Seja WVT→: é uma transformação linear injetora e WVdimdim=. Então a transformação linear T é sobrejetora.

Teo43.Seja WVT→: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se for invertível.

)Im()](),...,(),([21TvTvTvTn=

Teo47. Seja WVQ→:, WVR→:, UWS→: e UWT→: transformações lineares e R∈k.

Teo49. Seja ),(WVL(ou ),(WVHom) o conjunto de todas as transformações lineares de V em W e as seguintes operações:

)()())(( que tal),(
)())(( que tal),(
Então ],,),,([⋅+RWVL é um espaço vetorial

Teo50. Se nV=dim e mW=dim então nmWVL=),(dim.

O conjunto ),(RVL ou ),(RVHom ou *V de todos os funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V.

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