probabilidade - marcelo rubens

probabilidade - marcelo rubens

(Parte 1 de 4)

Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Curso: Engenharia

Disciplina: Probabilidade e Estatística I Professor: Marcelo Rubens

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES 1 - PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

1.1 - CONCEITOS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES Experimento aleatório e suas características:

a) É um tipo de experimento no qual não é possível prever um resultado particular com certeza absoluta, portanto, sujeito às leis do acaso; b) Pode-se descrever ou definir a lista de todos os seus resultados possíveis; c) Pode ser repetido indefinidamente sob condições inalteradas.

População ou espaço amostral - Conjunto ou lista de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O espaço amostral é usualmente denotado por Ω. Exemplos: Lançamento de uma moeda: Ω={cara, coroa} Lançamento de um dado: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Renda média familiar anual: Ω=ℜ+ (conjunto dos números reais positivos) Tempo que um trabalhador leva da sua casa para o trabalho.

Ponto amostral - Cada membro ou elemento indivisível pertencente a população ou espaço amostral.

Evento - Qualquer subconjunto do espaço amostral.

Eventos mutuamente exclusivos - Eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um desses eventos exclui a possibilidade de ocorrência dos outros.

Eventos exaustivos - Eventos são (coletivamente) exaustivos quando a união desses eventos eqüivale à população ou espaço amostral.

1.2 - PROBABILIDADE DE UM EVENTO NUM ESPAÇO EQUIPROVÁVEL

O conceito preliminar de probabilidade que iremos adotar refere-se a um número atribuído a um evento com valor no intervalo entre zero e um (∈ [0,1]), de tal forma que se tivermos um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, então a soma da probabilidade desses eventos deve ter o valor de um. Se A é um evento de um espaço amostral Ω, denotamos probabilidade desse evento por P(A).

Nesta definição devemos observar que P(A) é uma função de valor real com as seguintes propriedades:

• Se A, B, C,constituem uma coleção exaustiva de eventos, ou seja, Ω={A, B, C, ...}
então: P(A ou B ou C ou)=1;
• Se A, B, C,são eventos mutuamente exclusivos, então: P(A ou B
ou C ou)=P(A)+P(B)+P(C)+...;
• Se A, B, C,são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, então: P(A ou B
ou C ou)=P(A)+P(B)+P(C)+...=1
Seja Ω={a1, a2,, an}, onde ai, i=1, 2, ..., n são pontos amostrais. Ω é um espaço

equiprovável se P(a1)=P(a2)=...=P(an)=p, ou seja, se todos os pontos amostrais de Ω tiverem mesma probabilidade. Como a soma das probabilidades deve ser um, então:

P(a1) + P(a2) ++ P(an) = p + p + ... + p = np = 1 ⇒ p = P(ai) = 1 / n.

Se tivermos um total de N(Ω) resultados possíveis igualmente prováveis (não tendenciosos) de um experimento aleatório, e se N(A) dentre eles forem os resultados favoráveis à ocorrência do evento A, então a probabilidade de um evento num espaço equiprovável sera:

P(A) = N(A) / N(Ω) = (# casos favoráveis ao evento A) / (# casos possíveis do experimento)

Exemplo: Considere o experimento que consiste de lançar um dado numerado de 1 a 6.

O espaço amostral consiste nos resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Estes seis pontos amostrais, portanto, esgotam todo o espaço amostral. A probabilidade de ocorrer qualquer um desses números é de 1/6 (supondo que cada ponto seja igualmente provável de ocorrer, ou seja, que o dado não seja viciado), já que, para cada evento existe somente um caso favorável dentre seis possíveis. Como 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formam um conjunto mutuamente exclusivo e exaustivo de eventos, então:

P(1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6)=P(1)+P(2)+...+P(6)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1

1.3 - DEFINIÇÃO FREQUENTISTA OU CLÁSSICA DE PROBABILIDADE

Seja A um evento de um espaço amostral. A probabilidade do evento A, P(A), é a proporção de vezes que o evento A ocorrerá se o experimento for repetido infinitas vezes. Se realizarmos uma amostra de tamanho n do experimento, e nesta amostra for observada nA (nA ≤ n) ocorrências do evento A, então a freqüência relativa do evento A será a razão nA / n. Para valores grandes de n, essa freqüência relativa fornecerá uma aproximação boa da probabilidade de A:

n lim)A(P A

1.4 - DEFINIÇÃO BAYESIANA DE PROBABILIDADE

Diferentemente do conceito clássico e freqüentista de probabilidade, o ponto de vista Bayesiano ou subjetivo "mapeia" a probabilidade em uma região de valores [0,1] que refletem a crença pessoal. Com respeito a crença pessoal na ocorrência de um evento A, sendo ele uma afirmação, podemos ter:

P(A)=1 - Crença na verdade absoluta de uma afirmação; P(A)=0 - Crença na negação absoluta de uma afirmação; Valores Intermediários de P(A) - crenças parciais sobre afirmações.

1.5 - OPERADOR SOMATÓRIO

A letra grega maiúscula Σ é usada para indicar somatório da seguinte forma:

X X Xi i

12

Algumas propriedades:

1. knk

2. kXkXi i

, em que k é uma constante.

3. ()aXbYaXbYaXbYii i i i i i i i i i

, em que a e b são constantes

Seja o somatório duplo:

Propriedades do somatório duplo:

j,iXX, ou seja, podemos trocar a ordem do somatório.

2. XYXYij jmi

ji ji ij 1j

iXX2XXX2XXXX)X(

1.6 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável cujo valor seja determinado pelo resultado de um experimento aleatório chamase variável aleatória (va). As variáveis aleatórias são geralmente indicadas pelas letras maiúsculas X, Y, Z, etc..., e os valores assumidos por elas são indicados por letras minúsculas x, y, z, etc.

Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Uma va discreta assume um conjunto de valores enumeráveis podendo ser finito ou infinito. Por exemplo, no experimento de lançamento de dois dados, cada um numerado de 1 a 6, se definirmos a variável aleatória X como a soma dos números que aparecem no lado superior dos dados, então X poderá assumir um dos seguintes valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, ou 12. Portanto X é uma variável aleatória discreta.

Uma va continua, por outro lado, é a que pode assumir qualquer valor em algum intervalo de valores. Assim, a altura de uma pessoa é uma variável aleatória contínua, já que na faixa de, digamos, 1,60m a 2,00m ela pode assumir qualquer valor dependendo da precisão da medida, p.ex.: 1,876m.

Definindo matematicamente: uma V.A. é uma função que atribui um valor real a cada ponto pertencente ao espaço amostral (ou estados da natureza). Por exemplo:

:Xé V.A. se o evento (X ≤ x) tiver probabilidade definida ℜ∈∀x.

x Dado o espaço amostral Ω, a função

é uma V. A. n-dimensional se o evento ()nn11x;...;x≤Χ≤Χ tiver probabilidade definida nxℜ∈∀.

Mostra-se que cada Xi ∈X é uma V.A. unidimensional e qualquer subconjunto de m < n variáveis ∈X é uma V.A. m-dimensional (Meyer, pg.110).

Define-se função de distribuição de uma V.A. n-dimensional X à função:

(Parte 1 de 4)

Comentários