Aula 2 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

Aula 2 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

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Metas da aula

• rever o conceito de vetores no espa co tridimensional, e as no c~oes de produto escalar e vetorial; de nir as principais opera c~oes do c alculo vetorial: gradiente, divergencia e rotacional; estabelecer os teoremas de Gauss e Stokes; discutir os sistemas de coordenadas cil ndricas e esf ericas.

Objetivos Ao terminar esta aula, voce dever a ser capaz de:

utilizar o produto escalar para decidir se dois vetores s~ao perpendiculares; usar o produto vetorial para construir um vetor ortogonal a dois vetores dados; calcular o gradiente de uma fun c~ao escalar e a divergencia e o rotacional de um campo vetorial; saber estimar qualitativamente o gradiente, divergencia e rotacional; usar os sistemas de coordenadas cil ndricas e esf ericas.

Na descri c~ao da Natureza, usamos grandezas matem aticas para especi car as caracter sticas do problema que estamos tratando. Algumas dessas grandezas tem apenas magnitude, como por exemplo a massa de uma part cula ou a temperatura em um ponto no espa co. Essas grandezas s~ao chamadas grandezas escalares, porque os seus valores n~ao dependem de como nos orientamos no espa co: a massa de uma part cula e a mesma independentemente de voce estar em p e, de lado ou de cabe ca para baixo. Isso n~ao e verdade para outras grandezas, como por exemplo a velocidade de um objeto

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C alculo Vetorial ou a for ca que atua em uma part cula. No caso de velocidade, por exemplo, se voce ve um carro passando da esquerda para a direita, uma pessoa que est a ao seu lado plantando bananeira dir a que, segundo ela, o carro passou da direita para a esquerda! O fenomeno f sico descrito pelos dois { um carro que passa { e o mesmo, por em, as descri c~oes dos dois observadores parecem ser con itantes. Isso se deve ao fato de a velocidade ser uma grandeza vetorial, ou seja, para descrevermos completamente a velocidade, devemos saber qual e a sua magnitude, dire c~ao e sentido.

No estudo do Eletromagnetismo, as quantidades f sicas fundamentais s~ao grandezas vetoriais: o campo el etrico e o campo magn etico. Ao contr ario do caso de velocidade e for ca, por em, os campos el etrico e magn etico devem ser de nidos em todos os pontos do espa co, e n~ao apenas no ponto de contato entre uma for ca e um corpo material. No caso de uma bolinha que tem uma certa velocidade, usamos o vetor velocidade para descrever o movimento desta bolinha, e, de certa maneira, este vetor s o est a de nido no ponto em que a bolinha se encontra. Mas, como veremos nas aulas seguintes, uma das id eias mais importantes na teoria eletromagn etica e a id eia de campo: em cada ponto do espa co, teremos o vetor campo el etrico e o vetor campo magn etico. Estas grandezas variam de um ponto a outro no espa co, e portanto deveremos utilizar os m etodos do c alculo vetorial. Nesse sentido, antes de iniciarmos nosso estudo, faremos uma pequena revis~ao de vetores e c alculo vetorial. Esta aula ser a um pouco mais extensa do que as outras, porque queremos fazer um sum ario de todas as id eias matem aticas que ser~ao utilizadas posteriormente. Assim, sinta-se a vontade em retornar a esta aula de referencia sempre que achar necess ario.

Vetores

Como voce viu no exemplo anterior do carro que passa por dois observadores, um mesmo fenomeno f sico parece ter duas descri c~oes con itantes, mas isto e apenas a aparencia. Na verdade, podemos \traduzir" as observa c~oes de um para o outro com facilidade, precisamente porque estamos tratando de uma grandeza vetorial. Neste caso, por exemplo, um observador diz que o carro se move para a direita, enquanto o outro diz que ele se move para a esquerda. As duas observa c~oes est~ao relacionadas entre si por uma transforma c~ao linear, que neste caso e uma rota c~ao.

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Freq uentemente representaremos um vetor pelas suas componentes em alguma base. Por exemplo, se dissermos algo como \considere o vetor ~a =

(ax;ay;az)", isto signi ca que, em uma certa base, o vetor ~a tem a compo- nente x igual a ax, a y igual a ay e a z igual a az. Deve car claro para voce que em outra base este mesmo vetor pode ter outras componentes.

Produto escalar

Ao estudarmos o efeito de uma for ca, freq uentemente temos de calcular o trabalho realizado por ela. Voce j a estudou no curso de F sica I como se calcula o trabalho realizado por uma for ca arbitr aria ~F ao longo de um percurso, tamb em arbitr ario, C, em termos de quantidades in nitesimais. Denotando o trabalho realizado pela for ca ~F ao longo do trecho d~x por dW, temos dW = j~Fjjd~xjcos (2.1)

A quantidade do lado direito desta equa c~ao e um escalar, pois o trabalho realizado n~ao pode depender da orienta c~ao do sistema de coordenadas. Al em disso, gostar amos de poder calcular este escalar de uma forma pr atica, diretamente a partir das componentes dos vetores em quest~ao, neste caso ~F e d~x. No caso de vetores arbitr arios ~a e~b, queremos calcular j~ajj~bjcos a partir das componentes destes vetores.

Para isso vamos usar a famosa \lei dos co-senos": em um triangulo de lados a, b e c, e angulo entre os lados a e b, temos

Usando a Equa c~ao (2.2) podemos expressar j~ajj~bjcos em termos dos comprimentos de tres vetores

Desta forma, o que estamos buscando e uma express~ao para o lado direito da Equa c~ao (2.3) em termos das componentes dos vetores ~a e ~b. Mas como

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C alculo Vetorial quadrado da norma de um vetor (teorema de Pit agoras!), podemos reescrever o lado direito da Equa c~ao (2.3) da seguinte maneira:

Esta e a express~ao que estavamos buscando! Ela e t~ao importante que vamos introduzir uma nota c~ao para ela: chamaremos de produto escalar de dois vetores ~a e ~b a quantidade

Nesta express~ao o \pontinho" indica o produto escalar, e e o angulo entre os dois vetores. Como o produto escalar e proporcional ao co-seno do angulo entre os dois vetores, uma maneira simples de saber se dois vetores s~ao perpendiculares e calcular o produto escalar entre eles e veri car que e igual a zero.

Produto vetorial

Uma outra opera c~ao fundamental no c alculo vetorial e o produto vetorial, que resolve o seguinte problema: encontrar um vetor perpendicular ao plano gerado por dois vetores dados. Em F sica 1, voce j a se deparou com o produto vetorial no estudo do momento angular. Assim, estamos buscando um vetor que depende linearmente de dois vetores dados, e que e perpendicular a eles, ou seja, dados ~a e ~b, queremos ~c perpendicular a ~a e ~b. Mas j a sabemos como impor a condi c~ao de ortogonalidade! Basta utilizar o produto escalar. Como ~c depende linearmente dos dois vetores, suas componentes podem ser escritas assim:

k=1 Mijkajbk (2.6) onde Mijk e uma cole c~ao de n umeros que ainda n~ao determinamos. Impondo que o vetor ~c e perpendicular a ~a, temos

i=1 aici = k=1 aiMijkajbk (2.7)

Olhe para esta equa c~ao com aten c~ao. Como o vetor ~a e arbitr ario, temos de impor a seguinte condi c~ao em Mijk:

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Voce pode veri car que a Equa c~ao (2.7) e automaticamente satisfeita. Aplicando o mesmo argumento para o vetor ~b, obtemos

As Equa c~oes (2.8),(2.9) mostram que Mijk se anula se dois ndices forem iguais, o que quer dizer que os unicos elementos n~ao-nulos s~ao

Se denominarmos M123 = , ent~ao podemos escrever as componentes do vetor ~c facilmente

Atividade Veri que que, de fato, o vetor ~c e perpendicular aos vetores ~a e ~b.

Resposta Comentada Para provarmos que ~c e perpendicular ao vetor ~a, por exemplo, basta calcularmos o produto escalar dos dois vetores e veri car que e igual a zero. Calculando o produto escalar, temos

e, portanto, ~c e perpendicular a ~a.

Campos vetoriais

Agora que voce j a fez uma r apida revis~ao sobre o conceito de vetores, vamos introduzir o conceito de um campo vetorial. Iniciemos com um exemplo simples que o ajudar a a ter uma intui c~ao sobre eles. O exemplo que trataremos e o de campo de velocidades de um uido.

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C alculo Vetorial

Imagine um uido qualquer, agua, por exemplo, que se move em um duto que pode ser um cano ou mesmo um rio. H a duas maneiras diferentes de analisarmos este uido. Na primeira, que e talvez considerada a mais natural, voce escolhe um pequeno elemento de uido e o acompanha em seu movimento, como uma pequena folha que se desloca na superf cie do uido. Esta e a chamada descri c~ao de Lagrange da dinamica de uidos. Uma outra maneira, que na verdade e em geral mais util, e que voce estudou em seu curso de F sica 2, e a chamada descri c~ao de Euler: voce se xa em um ponto no espa co e analisa a velocidade naquele ponto como uma fun c~ao do ponto e do tempo. Desta forma, para cada ponto do espa co voce de ne um vetor velocidade. Este conjunto total de vetores e chamado campo vetorial. Como veremos no decorrer do curso, essa analogia com uidos e muito util, e freq uentemente recorreremos a ela. Voce ver a que at e mesmo muitos dos termos utilizados na descri c~ao dos campos el etrico e magn etico s~ao inspirados nessa analogia, como a no c~ao de uxo e circula c~ao. Vamos agora estudar algumas das propriedades matem aticas dos campos vetoriais.

Derivada e gradiente

A derivada de uma fun c~ao de uma vari avel d a uma informa c~ao muito valiosa sobre o comportamento desta fun c~ao. Ela diz, basicamente, o quanto o valor da fun c~ao muda quando variamos o seu argumento de uma quantidade in nitesimal. Se a derivada e positiva, signi ca que, ao aumentarmos o valor do argumento, a fun c~ao aumenta de valor. Se for negativa, acontece o contr ario: ao aumentarmos o valor do argumento, a fun c~ao diminui de valor. E, nalmente, se a derivada e zero, signi ca que a fun c~ao n~ao muda de valor, indicando que estamos em um extremo da fun c~ao. Podemos escrever isso em equa c~oes, usando as no c~oes de c alculo diferencial de uma vari avel, para uma fun c~ao f(x) qualquer:

Qual e o equivalente no caso de uma fun c~ao escalar, ou seja, como podemos estudar o comportamento de uma fun c~ao escalar que depende de mais de uma vari avel? Consideremos, ent~ao, a fun c~ao f(x;y;z). Um deslocamento in nitesimal qualquer do ponto (x;y;z) pode ser escrito como (x;y;z) + u, onde u e um vetor unit ario arbitr ario, cujas componentes s~ao t = (a;b;c), e

CEDERJ 20 e uma quantidade in nitesimal. Portanto, usando o an alogo da express~ao (2.14) para cada vari avel, temos

Introduzindo o gradiente de uma fun c~ao f(x;y;z), de nido por O s mbolo ∇ se le \nabla".

Assim, vemos que o termo rf t tem o mesmo papel que o termo df=dx x no caso de uma vari avel. A diferen ca, por em, e que, quando temos apenas uma vari avel, n~ao h a escolha na dire c~ao que tomamos, pois s o existe uma! No caso de mais de uma vari avel existe um n umero in nito de dire c~oes que podemos tomar, e e por isso que a varia c~ao da fun c~ao depende da dire c~ao do vetor t, como mostra a Equa c~ao (2.15). Desta equa c~ao podemos extrair uma informa c~ao importante. Como o vetor t e unit ario, o termo rf t representa a proje c~ao do vetor rf sobre o vetor t. Com esta vis~ao geom etrica, percebemos que o valor m aximo que rf t pode ter e alcan cado quando t e paralelo a rf, ou seja, o gradiente de uma fun c~ao aponta para a dire c~ao de crescimento m aximo desta fun c~ao!

Resposta Comentada Usando a de ni c~ao de gradiente (2.16), obtemos rf = x

Como e um vetor proporcional a ~r = x + y + z, vemos que ele e normal a superf cie da esfera de raio R = (x2 + y2 + z2)1=2, e, de fato, a dire c~ao na qual a fun c~ao dada no exemplo cresce mais rapidamente e a dire c~ao radial.

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C alculo Vetorial

Fluxo e divergencia

Consideremos agora um campo vetorial gen erico, descrito matematicamente por ~v(x;y;z;t). Por simplicidade de nota c~ao, denotaremos este campo simplesmente por ~v, mas voce deve ter em mente que, dentro do contexto em que estivermos discutindo, sempre estar a impl cito o ponto no espa co e no tempo.

A primeira quantidade que de niremos e o fluxo de um campo vetorial por uma superf cie. Considere uma superf cie qualquer S, xa no espa co, como mostra a Figura 2.1, e um pequeno elemento de area dA.

Figura 2.1: Uma superf cie qualquer, e um pequeno elemento de area dA.

O vetor unit ario a este elemento e denotado por n. Note que, mais uma vez, estamos poupando a nota c~ao e escrevendo apenas n e n~ao n(x;y;z). Al em disso, devemos de nir para onde o vetor unit ario aponta, uma vez que ele poderia apontar \para dentro" ou \para fora". Uma vez que tomamos uma decis~ao em um pequeno elemento de area, devemos escolher o vetor unit ario em outros elementos de area de tal forma que, se voce deslizar um deles continuamente pela superf cie at e o outro, ambos estar~ao apontando para o mesmo lado. O uxo do campo vetorial por este elemento de area e denotado d e e dado por

Esta e a de ni c~ao de uxo de um campo vetorial por uma superf cie S. E o an alogo do uxo de um uido por uma certa abertura, de nida pela superf cie S.

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No caso em que a superf cie e fechada, como uma esfera, por exemplo, escrevemos A unidade do uxo depende

do tipo de campo vetorial que estivermos considerando. Para um campo de velocidades, por exemplo, o uxo tem unidade de m3=s, que e a vaz~ao, ou volume por unidade de tempo.

No momento, n~ao se preocupe com os s mbolos R e H . Eles signi cam sim- plesmente a soma dos termos do tipo 2.19 sobre todos os elementos de area dA que formam a superf cie S. Voce pode estar se perguntando qual e o equivalente do teorema fundamental do c alculo neste contexto. Isso e o que veremos agora.

Considere uma superf cie fechada S, como mostra a da Figura 2.1. O uxo de um campo vetorial ~v pode ser calculado usando a receita 2.21.

Podemos reparti-la em dois peda cos, S1 e S2, e \completar" cada uma delas com uma \tampa", como mostra a Figura 2.2.

Figura 2.2: Subdvis~ao de uma superf cie S em duas partes.

Calculemos o uxo por essas duas superf cies fechadas. As partes que formam S d~ao o mesmo resultado que antes. Agora veja o que acontece com cada \tampa". Como o vetor unit ario em um certo elemento de area dA em uma das tampas e n, ele tem uma contrapartida na outra tampa, e que aponta exatamente na dire c~ao oposta. Assim, a soma dos uxos se cancela, e conclu mos que a soma dos uxos de um campo vetorial pelas superf cies fechadas S1 e S2 e igual ao uxo deste campo vetorial pela superf cie S. Isto e algo muito importante, porque podemos continuar o processo de subdivis~ao da superf cie original S at e chegarmos a um pequeno elemento V , como mostra a Figura 2.3.

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C alculo Vetorial

Figura 2.3: Elemento in nitesimal de volume pelo qual calcularemos o uxo.

Calculemos agora o uxo do campo vetorial por esse elemento de volume. Esse elemento de volume e t~ao pequeno, que n~ao precisamos nos preocupar com o ponto exato em que estamos calculando o campo vetorial em cada uma de suas faces. Vamos denominar as faces do elemento de volume por V = x y z. Assim, temos:

Os dois primeiros termos do lado direito desta equa c~ao podem ser combinados de uma forma simples, utilizando a de ni c~ao de componente de um campo vetorial e a de ni c~ao de derivada. Lembre-se de que estamos tratando de um elemento de volume muito pequeno, e que no m tomaremos um limite em que ele vai a zero. Para estes dois primeiros termos, temos:

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