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Guias e Dicas
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Aula 2 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica, Notas de aula de Física

Aulas do CEDERJ sobre Eletromagnetismo e Ótica. Aula 2: rever o conceito de vetores no espaco tridimensional, e as nocoes de produto escalar e vetorial; definir as principais operacoes do calculo vetorial: gradiente, divergencia e rotacional; estabelecer os teoremas de Gauss e Stokes; discutir os sistemas de coordenadas cilındricas e esfericas.

Tipologia: Notas de aula

2010

Compartilhado em 29/05/2010

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Baixe Aula 2 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 Aula 2 – Cálculo Vetorial Metas da aula • rever o conceito de vetores no espaço tridimensional, e as noções de produto escalar e vetorial; • definir as principais operações do cálculo vetorial: gradiente, divergência e rotacional; • estabelecer os teoremas de Gauss e Stokes; • discutir os sistemas de coordenadas ciĺındricas e esféricas. Objetivos Ao terminar esta aula, você deverá ser capaz de: • utilizar o produto escalar para decidir se dois vetores são perpendicu- lares; • usar o produto vetorial para construir um vetor ortogonal a dois vetores dados; • calcular o gradiente de uma função escalar e a divergência e o rotacional de um campo vetorial; • saber estimar qualitativamente o gradiente, divergência e rotacional; • usar os sistemas de coordenadas ciĺındricas e esféricas. Introdução Na descrição da Natureza, usamos grandezas matemáticas para es- pecificar as caracteŕısticas do problema que estamos tratando. Algumas dessas grandezas têm apenas magnitude, como por exemplo a massa de uma part́ıcula ou a temperatura em um ponto no espaço. Essas grandezas são chamadas grandezas escalares, porque os seus valores não dependem de como nos orientamos no espaço: a massa de uma part́ıcula é a mesma independen- temente de você estar em pé, de lado ou de cabeça para baixo. Isso não é verdade para outras grandezas, como por exemplo a velocidade de um objeto 15 CEDERJ Cálculo Vetorial ou a força que atua em uma part́ıcula. No caso de velocidade, por exemplo, se você vê um carro passando da esquerda para a direita, uma pessoa que está ao seu lado plantando bananeira dirá que, segundo ela, o carro passou da direita para a esquerda! O fênomeno f́ısico descrito pelos dois – um carro que passa – é o mesmo, porém, as descrições dos dois observadores parecem ser conflitantes. Isso se deve ao fato de a velocidade ser uma grandeza vetorial, ou seja, para descrevermos completamente a velocidade, devemos saber qual é a sua magnitude, direção e sentido. No estudo do Eletromagnetismo, as quantidades f́ısicas fundamentais são grandezas vetoriais: o campo elétrico e o campo magnético. Ao contrário do caso de velocidade e força, porém, os campos elétrico e magnético devem ser definidos em todos os pontos do espaço, e não apenas no ponto de contato entre uma força e um corpo material. No caso de uma bolinha que tem uma certa velocidade, usamos o vetor velocidade para descrever o movimento des- ta bolinha, e, de certa maneira, este vetor só está definido no ponto em que a bolinha se encontra. Mas, como veremos nas aulas seguintes, uma das idéias mais importantes na teoria eletromagnética é a idéia de campo: em cada ponto do espaço, teremos o vetor campo elétrico e o vetor campo magnético. Estas grandezas variam de um ponto a outro no espaço, e portanto deveremos utilizar os métodos do cálculo vetorial. Nesse sentido, antes de iniciarmos nosso estudo, faremos uma pequena revisão de vetores e cálculo vetorial. Esta aula será um pouco mais extensa do que as outras, porque queremos fazer um sumário de todas as idéias matemáticas que serão utilizadas posteriormente. Assim, sinta-se à vontade em retornar a esta aula de referência sempre que achar necessário. Vetores Como você viu no exemplo anterior do carro que passa por dois obser- vadores, um mesmo fenômeno f́ısico parece ter duas descrições conflitantes, mas isto é apenas a aparência. Na verdade, podemos “traduzir” as ob- servações de um para o outro com facilidade, precisamente porque estamos tratando de uma grandeza vetorial. Neste caso, por exemplo, um observador diz que o carro se move para a direita, enquanto o outro diz que ele se move para a esquerda. As duas observações estão relacionadas entre si por uma transformação linear, que neste caso é uma rotação. CEDERJ 16 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 Você pode verificar que a Equação (2.7) é automaticamente satisfeita. Apli- cando o mesmo argumento para o vetor ~b, obtemos Mijk = −Mikj (2.9) As Equações (2.8),(2.9) mostram que Mijk se anula se dois ı́ndices forem iguais, o que quer dizer que os únicos elementos não-nulos são M123 = M312 = M231 = −M132 = −M213 = −M321 (2.10) Se denominarmos M123 = κ, então podemos escrever as componentes do vetor ~c facilmente c1 = κ(a2b3 −a3b2) c2 = −κ(a1b3−a3b1) ec3 = κ(a1b2−a2b1) (2.11) Podemos escolher κ = 1, e assim obtemos a definição do produto vetorial ~c = ~a ×~b (2.12) e as componentes de ~c são (a2b3 − a3b2,−a1b3 + a3b1, a1b2 − a2b1). Atividade Verifique que, de fato, o vetor ~c é perpendicular aos vetores ~a e ~b. Resposta Comentada Para provarmos que ~c é perpendicular ao vetor ~a, por exemplo, basta cal- cularmos o produto escalar dos dois vetores e verificar que é igual a zero. Calculando o produto escalar, temos ~c · ~a = (a2b3 − a3b2,−a1b3 + a3b1, a1b2 − a2b1) · (a1, a2, a3) = a1(a2b3 − a3b2) + a2(−a1b3 + a3b1) + a3(a1b2 − a2b1) = 0 (2.13) e, portanto, ~c é perpendicular a ~a. Campos vetoriais Agora que você já fez uma rápida revisão sobre o conceito de ve- tores, vamos introduzir o conceito de um campo vetorial. Iniciemos com um exemplo simples que o ajudará a ter uma intuição sobre eles. O exemplo que trataremos é o de campo de velocidades de um fluido. 19 CEDERJ Cálculo Vetorial Imagine um fluido qualquer, água, por exemplo, que se move em um duto que pode ser um cano ou mesmo um rio. Há duas maneiras diferentes de analisarmos este fluido. Na primeira, que é talvez considerada a mais natural, você escolhe um pequeno elemento de fluido e o acompanha em seu movimento, como uma pequena folha que se desloca na superf́ıcie do fluido. Esta é a chamada descrição de Lagrange da dinâmica de fluidos. Uma outra maneira, que na verdade é em geral mais útil, e que você estudou em seu curso de F́ısica 2, é a chamada descrição de Euler: você se fixa em um ponto no espaço e analisa a velocidade naquele ponto como uma função do ponto e do tempo. Desta forma, para cada ponto do espaço você define um vetor velocidade. Este conjunto total de vetores é chamado campo vetorial. Como veremos no decorrer do curso, essa analogia com fluidos é muito útil, e freqüentemente recorreremos a ela. Você verá que até mesmo muitos dos termos utilizados na descrição dos campos elétrico e magnético são inspirados nessa analogia, como a noção de fluxo e circulação. Vamos agora estudar algumas das propriedades matemáticas dos campos vetoriais. Derivada e gradiente A derivada de uma função de uma variável dá uma informação muito valiosa sobre o comportamento desta função. Ela diz, basicamente, o quanto o valor da função muda quando variamos o seu argumento de uma quanti- dade infinitesimal. Se a derivada é positiva, significa que, ao aumentarmos o valor do argumento, a função aumenta de valor. Se for negativa, acontece o contrário: ao aumentarmos o valor do argumento, a função diminui de valor. E, finalmente, se a derivada é zero, significa que a função não muda de valor, indicando que estamos em um extremo da função. Podemos escrever isso em equações, usando as noções de cálculo diferencial de uma variável, para uma função f(x) qualquer: f(x + ∆x) = f(x) + df dx ∆x (2.14) Qual é o equivalente no caso de uma função escalar, ou seja, como podemos estudar o comportamento de uma função escalar que depende de mais de uma variável? Consideremos, então, a função f(x, y, z). Um deslocamento infinitesimal qualquer do ponto (x, y, z) pode ser escrito como (x, y, z) + û, onde û é um vetor unitário arbitrário, cujas componentes são t̂ = (a, b, c), e CEDERJ 20 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2  é uma quantidade infinitesimal. Portanto, usando o análogo da expressão (2.14) para cada variável, temos f(x + a, y + b, z + c) = f(x, y, z) + ∂f ∂x a + ∂f ∂y b + ∂f ∂z c (2.15) Introduzindo o gradiente de uma função f(x, y, z), definido por O śımbolo ∇ se lê “nabla”. ∇f ≡ ∂f ∂x x̂ + ∂f ∂y ŷ + ∂f ∂z ẑ (2.16) podemos reescrever a Equação (2.15) da seguinte forma: f(x + a, y + b, z + c) = f(x, y, z) + ∇f · t̂ (2.17) Assim, vemos que o termo ∇f · t̂ tem o mesmo papel que o termo df/dx∆x no caso de uma variável. A diferença, porém, é que, quando temos apenas uma variável, não há escolha na direção que tomamos, pois só existe uma! No caso de mais de uma variável existe um número infinito de direções que podemos tomar, e é por isso que a variação da função depende da direção do vetor t̂, como mostra a Equação (2.15). Desta equação podemos extrair uma informação importante. Como o vetor t̂ é unitário, o termo ∇f · t̂ representa a projeção do vetor ∇f sobre o vetor t̂. Com esta visão geométrica, percebemos que o valor máximo que ∇f · t̂ pode ter é alcançado quando t̂ é paralelo a ∇f , ou seja, o gradiente de uma função aponta para a direção de crescimento máximo desta função! Atividade Calcule o gradiente da função f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)1/2, e interprete o resultado. Resposta Comentada Usando a definição de gradiente (2.16), obtemos ∇f = x (x2 + y2 + z2)1/2 x̂ + y (x2 + y2 + z2)1/2 ŷ + z (x2 + y2 + z2)1/2 ẑ (2.18) Como é um vetor proporcional a ~r = xx̂ + yŷ + zẑ, vemos que ele é normal à superf́ıcie da esfera de raio R = (x2 + y2 + z2)1/2, e, de fato, a direção na qual a função dada no exemplo cresce mais rapidamente é a direção radial. 21 CEDERJ Cálculo Vetorial Figura 2.3: Elemento infinitesimal de volume pelo qual calcularemos o fluxo. Calculemos agora o fluxo do campo vetorial por esse elemento de vol- ume. Esse elemento de volume é tão pequeno, que não precisamos nos pre- ocupar com o ponto exato em que estamos calculando o campo vetorial em cada uma de suas faces. Vamos denominar as faces do elemento de volume por ∆V = ∆x∆y∆z. Assim, temos: dΦ = (~v(x + ∆x, y, z) · x̂ + ~v(x, y, z) · (−x̂))∆y∆z + (~v(x, y + ∆y, z) · ŷ + ~v(x, y, z) · (−ŷ))∆x∆z + (~v(x, y, z + ∆z) · ẑ + ~v(x, y, z) · (−ẑ))∆x∆y (2.22) Os dois primeiros termos do lado direito desta equação podem ser combinados de uma forma simples, utilizando a definição de componente de um campo vetorial e a definição de derivada. Lembre-se de que estamos tratando de um elemento de volume muito pequeno, e que no fim tomaremos um limite em que ele vai a zero. Para estes dois primeiros termos, temos: (~v(x + ∆x, y, z) · x̂ + ~v(x, y, z) · (−x̂))∆y∆z = = (vx(x + ∆x, y, z) − vx(x, y, z))∆y∆z = ( vx(x + ∆x, y, z) − vx(x, y, z) ∆x ) ∆x∆y∆z = ∂vx ∂x ∆x∆y∆z (2.23) Fazendo o mesmo para cada um dos outros elementos de (2.22), obtemos, finalmente, dΦ = ( ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z ) ∆x∆y∆z (2.24) Veja o que conseguimos fazer: fomos capazes de expressar o fluxo pelas faces do pequeno elemento de volume ∆V como o produto deste volume por uma CEDERJ 24 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 quantidade escalar! Como estamos interessados no fluxo por toda a superf́ıcie S, devemos somar sobre todos os elementos de volume que formam o interior de S, o que é expresso da seguinte forma: Φ = ∫ S ~v · n̂dA = ∫ V ( ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z ) dV (2.25) A quantidade ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z é tão importante que merece um nome e uma notação especial. Esta quantidade é chamada de divergência de um campo vetorial, e a notação que usaremos é: Muitos livros-texto usam, erroneamente, o termo divergente em vez de divergência.∇ · ~v ≡ ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z (2.26) Freqüentemente se encontra a expressão div~v para a divergência de um campo vetorial. Podemos reescrever o resultado (2.25) de forma mais compacta: ∫ S ~v · n̂dA = ∫ V ∇ · ~vdV (2.27) Este resultado é o célebre teorema de Gauss. Atividade Considere o campo vetorial ~v = xx̂ + yŷ + zẑ. Calcule o fluxo deste campo pela superf́ıcie S de uma esfera de raio R. Resposta Comentada Pelo teorema de Gauss, podemos calcular fluxo se soubermos a divergência deste campo vetorial. A divergência é dada por ∇ · ~v = ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z = 3. (2.28) Portanto, Φ = ∫ V ∇ · ~vdV = ∫ V 3dV = 4πR3 (2.29) Note que, na solução deste exemplo, não importa a localização exata da esfera. A partir da relação que estabelecemos entre o fluxo em um pequeno volume e a divergência do campo vetorial, podemos dar uma interpretação simples para a divergência de um campo vetorial. Como vimos que o fluxo pela superf́ıcie deste pequeno volume é igual à divergência do campo vetorial no centro deste elemento, multiplicado pelo seu volume, fica claro que a divergência é uma medida local da presença de fontes ou sumidouros. Por 25 CEDERJ Cálculo Vetorial exemplo, no caso do campo de velocidades de um fluido incompresśıvel, a divergência deste campo é igual a zero em todos os pontos fora das “fontes” e “ralos”. Em um ponto genérico do campo de velocidades deste fluido, a sua divergência é zero. Antes de passarmos para a próxima seção, devemos mencionar uma operação importante que envolve a divergência e o gradiente: como veremos, acontecerá de termos de considerar a divergência do gradiente de uma função escalar, que no caso do Eletromagnetismo será o potencial elétrico. Em coordenadas cartesianas, temos: ∇ · ∇f = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 (2.30) Esta operação é tão importante que merece um nome especial: é o Laplaciano, e se escreve de forma mais compacta assim: ∇2f ≡ ∇ · ∇f (2.31) Circulação e rotacional A próxima quantidade a ser estudada é a ciculação de um campo ve- torial. Novamente, considere um campo vetorial qualquer ~v. Você se lembra de que no curso de F́ısica 1 uma das quantidades calculadas muito úteis é o trabalho de uma força ao longo de um caminho qualquer? Neste caso, o que devemos fazer é somar os trabalhos infinitesimais ao longo de trechos de um percurso qualquer. Se denominarmos o percurso que vai de a a b por Ca→b, então o trabalho total é dado por: W = ∫ Ca→b ~F · d~r (2.32) No caso de um percurso fechado, escrevemos: W = ∮ Ca→a ~F · d~r (2.33) Note que o ponto final é o mesmo que o ponto inicial, uma vez que o circuito é fechado. A partir da Expressão (2.33), podemos definir a circulação de um campo vetorial ~v: Γ = ∮ Ca→a ~v · d~r (2.34) Da mesma forma que encontramos um operador diferencial relacionado ao fluxo na seção anterior, podemos aplicar o mesmo “truque” de subdividir o CEDERJ 26 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 feito, estamos apenas sendo breves para poupar a sua paciência... O resultado que você pode verificar é que a Expressão (2.37) é o mesmo que dΓ = ( ∂vy ∂z − ∂vz ∂y ) (uytz − tzuy) − ( ∂vx ∂z − ∂vz ∂x ) (uxtz − tzux) + ( ∂vx ∂y − ∂vy ∂x ) (uxty − tyux) (2.38) Os termos envolvendo as componentes de û e t̂ são simplesmente as compo- nentes do vetor û × t̂. Se introduzirmos o rotacional do campo vetorial ~v por ∇× ~v ≡ ( ∂vy ∂z − ∂vz ∂y ) x̂ − ( ∂vx ∂z − ∂vz ∂x ) ŷ + ( ∂vx ∂y − ∂vy ∂x ) ẑ (2.39) então dΓ é simplesmente dΓ = ∇~v · (û × t̂)∆a∆b (2.40) Espere! Ainda há mais uma simplificação a fazer! O vetor û× t̂ é perpendic- ular ao elemento de superf́ıcie que estamos considerando, e uma vez que û e t̂ são perpendiculares entre si, o vetor û × t̂ tem norma 1, ou seja, é o vetor unitário normal à superf́ıcie no centro do elemento de superf́ıcie. Além disso, ∆a∆b = dA, onde dA é a área deste elemento. Assim, temos, finalmente, dΓ = ∇× ~v · n̂dA . (2.41) Como estamos interessados na soma dessas circulações por todos os elementos que formam a superf́ıcie S, obtemos a seguinte expressão para a circulação: ∫ C ~v · d~r = ∫ S ∇× ~v · n̂dA (2.42) Este é o célebre teorema de Stokes. Há uma aplicação muito importante do teorema de Stokes. Suponha que o rotacional de um certo campo vetorial é nulo. O que isso significa? Da condição ∇×~v = 0, conclúımos que o lado direito do teorema de Stokes, como escrevemos acima, se anula, e, portanto, a circulação do campo vetorial ~v é zero para qualquer circuito C. Considere agora dois pontos quaisquer a e b, e um caminho C1 que vai de a a b, e um caminho C2 que vai de b a a. Se fizermos um caminho de a para a, composto por C1 e C2, teremos um caminho fechado C, para o qual ∮ C ~v · d~r = ∫ C1 ~v · d~r + ∫ C2 ~v · d~r (2.43) 29 CEDERJ Cálculo Vetorial e, portanto, ∫ C1 ~v · d~r = ∫ −C2 ~v · d~r (2.44) onde denotamos o caminho de volta de b para a por −C2. Esta equação mostra que a integral ∫ ~v · d~r não depende do caminho! Ou seja, no caso de uma força, isso é um teste para saber se uma força é conservativa ou não. Sistemas de coordenadas Todas as nossas considerações até agora foram feitas em coordenadas cartesianas. O sistema de coordenadas cartesianas é muito útil em um grande número de problemas, mas existem situações em que é mais conveniente uti- lizar outros sistemas de coordenadas. Por exemplo, no estudo de proble- mas com simetria esférica, as equações podem ficar desnecessariamente com- plicadas, ocultando o significado f́ısico delas. É, portanto, importante co- nhecermos outros sistemas de coordenadas mais comuns. Nesta seção, des- creveremos o sistema de coordenadas ciĺındricas e de coordenadas esféricas. Sistema de coordenadas ciĺındricas Suponha que você quer resolver um problema tratando de um fio muito longo ou de um tubo. Há uma simetria evidente neste sistema: se você girar ao redor do eixo do cilindro, nada muda. Dizemos que o sistema tem simetria axial. Um ponto no espaço tem coordenadas cartesianas (x, y, z). Em coor- denadas ciĺındricas descrevemos este mesmo ponto de outra maneira: conti- nuamos usando a coordenada z, mas em vez de x e y, utilizamos a distância deste ponto ao eixo z, que chamamos de ρ , e o ângulo θ que esta linha faz A letra grega ρ se lê “rô”. Ela é usada em geral para se descrever uma distância ou densidade, mas, dado o contexto, não deve existir nenhuma ambigüidade. com o eixo x, assim como mostra a Figura 2.7: CEDERJ 30 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 Figura 2.7: Coordenadas ciĺındricas. Da figura, vemos qual é a relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto, e suas coordenadas ciĺındricas: se um ponto possui coordenadas carte- sianas (x, y, z) e coordenadas ciĺındricas (ρ, θ, z ′), então temos x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z′ (2.45) Estas equações podem ser facilmente invertidas, se quisermos partir das coordenadas cartesianas e chegar nas coordenadas ciĺındricas ρ = (x2 + y2)1/2 θ = arctan (y x ) z′ = z (2.46) Os vetores unitários são denotados por ρ̂, θ̂ e ẑ. Sistema de coordenadas esféricas Outra simetria freqüente no tratamento de problemas f́ısicos é a sime- tria esférica. Da mesma maneira que tratamos as coordenadas ciĺındricas, se um ponto possui coordenadas cartesianas (x, y, z), suas coordenadas esféricas são dadas por (r, θ, φ), onde r é a distância de P até a origem, θ é o ângulo que o vetor ~P faz com o eixo z e φ é o ângulo que a linha que vai do ponto P ao eixo z faz com o eixo x. Esta descrição fica mais clara na Figura 2.8: 31 CEDERJ Cálculo Vetorial Realizando o mesmo tipo de consideração para os outros vetores unitários, obtemos ŷ = sin θρ̂ + cos θθ̂ ẑ = ẑ (2.56) Substituindo as expressões dos vetores unitários 2.55 e 2.56 e das derivadas parciais (2.52) em (2.51), obtemos ∇f = ∂f ∂r ρ̂ + 1 ρ ∂f ∂θ θ̂ + ∂f ∂z ẑ (2.57) O mesmo procedimento pode ser feito para cada uma das outras operações. Vamos apenas listar os resultados, porém. Divergência e rotacional em coordenadas ciĺındricas Se denotarmos o campo vetorial por ~v, temos de, primeiro, reescrevê-lo em coordenadas ciĺındricas, ou seja, se em coordenadas cartesianas ele é dado por ~v = vxx̂ + vyŷ + vz ẑ (2.58) em coordenadas ciĺındricas ele será dado por ~v = vρρ̂ + vθθ̂ + vz ẑ (2.59) A relação entre vρ, vθ e vz e as componentes cartesianas de ~v podem ser obtidas da mesma forma que fizemos para expressar x̂ em termos dos vetores unitários das coordenadas ciĺındricas. Uma vez feita esta “tradução”, temos ∇ · ~v = 1 ρ ∂ ∂ρ (ρvρ) + 1 ρ ∂vθ ∂θ + ∂vz ∂z (2.60) e para o rotacional ∇× ~v = 1 ρ ( ∂vz ∂θ − ∂(ρvθ) ∂z ) ρ̂ + ( ∂vρ ∂z − ∂vz ∂ρ ) θ̂ + 1 ρ ( ∂ ∂ρ (ρvθ) − ∂vρ ∂θ ) ẑ (2.61) O gradiente em coordenadas esféricas de uma função escalar é dado por ∇f = ∂f ∂r r̂ + 1 r ∂f ∂θ θ̂ + 1 r sin θ ∂f ∂φ φ̂ (2.62) Em coordenadas esféricas o campo vetorial ~v se expressa assim: ~v = vr r̂ + vθ θ̂ + vφφ̂ (2.63) CEDERJ 34 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 A divergência de ~v é dada por ∇ · ~v = 1 r2 ∂ ∂r (r2vr) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θvθ) + 1 r sin θ ∂vφ ∂φ (2.64) O rotacional em coordenadas esféricas é dado por ∇× ~v = 1 r sin θ ( ∂ ∂θ (sin θvφ) − ∂vθ ∂φ ) r̂ + 1 r ( 1 sin θ ∂vr ∂φ − ∂ ∂r (rvφ) ) θ̂ + 1 r ( ∂ ∂r (rvθ) − ∂vr ∂θ ) φ̂ (2.65) Estas expressões são complicadas mesmo, mas você não deve se deixar in- timidar por elas. Retorne a esta aula sempre que achar necessário, e não se preocupe em memorizar estas fórmulas. Na verdade, quase ninguém sabe es- sas fórmulas de cor! Sempre que é necessário, consulta-se uma tabela, como a que fizemos aqui... Atividades Finais 1. Considere dois vetores ~a = (1, 2, 3) e ~b = (4, 5, x). Encontre x de tal forma que ~b seja perpendicular a ~a. 2. Considere um vetor ~u qualquer. Por qual fator devemos multiplicá-lo para que sua norma seja igual a 1? 3. Considere o vetor ~a = (1, 1, 1). Encontre todos os vetores perpendi- culares a ele. Qual é este lugar geométrico? 4. Produto Triplo. Considere três vetores ~a, ~b e ~c. Mostre que ~a · (~b × ~c) = ~c · (~a ×~b) (2.66) Qual é a interpretação geométrica do produto triplo? 5. Mostre que ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a ·~b)~c. 6. Mostre que uma força central arbitrária ~F (~r) = f(r)r̂ é conservativa. [sugestão: use a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas]. 7. Considere uma função qualquer f(x, y, z). Mostre que ∇ × ∇f = 0. Este resultado mostra que o gradiente sempre tem rotacional nulo. Você saberia como mostrar isso sem usar as expressões para o rotacional 35 CEDERJ Cálculo Vetorial e gradiente? [sugestão: como se pode argumentar que a integral de um gradiente por um circuito fechado é sempre zero? Depois aplique o teorema de Stokes!]. 8. Considere um campo vetorial ~v qualquer. Mostre que ∇ ·∇×~v = 0 de duas maneiras diferentes: (a) diretamente, a partir das definições de divergência e rotacional de um campo vetorial (b) aplicando o teorema de Gauss e depois o de Stokes [sugestão: considere a integral ∮ ∆V ∇·∇×~v, onde ∆V é um pequeno volume qualquer]. Respostas Comentadas 1. Se ~a e ~b são perpendiculares, então o produto escalar dos dois é zero, ou seja, ~a ·~b = 0 ⇒ 1.4 + 5.2 + 3.x = 14 + 3x = 0 ⇒ x = −14 3 (2.67) 2. Se o vetor ~u é dado por (ux, uy, uz), então multiplicando por λ temos, para a norma de λ~u, ||λ~u|| = λ(u2x + u2y + u2z)1/2 = 1 ⇒ λ = 1 (u2x + u 2 y + u 2 z) 1/2 . (2.68) Note que podeŕıamos escolher −λ, que a norma do novo vetor con- tinuaria sendo 1, porém neste caso estaŕıamos mudando o sentido do vetor. 3. O lugar geométrico dos pontos perpendiculares ao vetor ~a é dado por ~v = (x, y, z) tal que ~v · ~a = 0 ⇒ x + y + z = 0 . (2.69) Esta é a equação de um plano. 4. Usando as definições de produto vetorial e produto escalar, e sabendo que ~a = (ax, ay, az), e que ~b×~c = (bycz − bzcy, czbx − cxbz, cxby − cybx), temos ~a · (~b×~c) = axbycz − axbzcy + ayczbx − aycxbz + azcxby − azcybx (2.70) Vemos que é o mesmo resultado que ~b · (~c × ~a). Fica mais fácil enten- der por que isso é verdade se soubermos interpretar o produto triplo CEDERJ 36 Cálculo Vetorial MÓDULO 1 - AULA 2 Resumo Os campos elétrico e magnético são descritos de forma natural por vetores, que são grandezas matemáticas que possuem direção e sentido. O produto escalar de dois vetores nos dá a projeção de um vetor sobre o outro. Em particular, o produto escalar de dois vetores é zero se, e somente se, eles são perpendiculares entre si. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular ao plano gerado por dois vetores, e é nulo se, e somente se, os dois vetores são colineares. O gradiente de uma função escalar nos diz o quanto a função muda quando nos deslocamos de uma quantidade infinitesimal ao longo de uma direção arbitrária. O gradiente aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. As noções de fluxo e circulação, comuns no estudo de mecânica dos flui- dos, levam à definição de operações diferenciais do cálculo vetorial: a divergência e o rotacional. A divergência de um campo vetorial nos diz se estamos em um ponto onde há uma fonte (∇ · ~v > 0) ou sumidouro (∇ · ~v < 0). Em um ponto onde ∇ · ~v = 0 não há nem fonte nem sumidouro e, portanto, o fluxo por uma pequena superf́ıcie ao redor deste ponto é zero, como no caso do escoamento incompresśıvel em mecânica dos fluidos. A cir- culação leva naturalmente ao conceito de rotacional, e da mesma maneira que no caso da divergência, sabendo ∇ × ~v podemos saber se há circulação ou não na vizinhança de um ponto. Além do sistema de coordenadas cartesianas existem outros sistemas de coordenadas muito úteis, como os sistemas de coordenadas ciĺındricas e esféricas, que descrevem sistemas que possuem simetria axial ou esférica. É importante conhecer as fórmulas para o gradiente, divergência e rotacional nestes sistemas de coordenadas. 39 CEDERJ
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