Aula 3 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

Aula 3 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

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Metas da aula • formular a lei de Coulomb; discutir a aproxima c~ao de dipolo el etrico para o campo el etrico produzido em regi~oes distantes; analisar os campos el etricos gerados por distribui c~oes cont nuas de carga.

Objetivos Ao terminar esta aula voce dever a ser capaz de:

determinar as for cas de intera c~ao entre cargas el etricas, pelo uso da lei de Coulomb; calcular o campo el etrico gerado por uma distribui c~ao de cargas; interpretar as linhas de campo el etrico geradas por um sistema de cargas; compreender a expans~ao do campo el etrico, at e a ordem de dipolo.

A lei de Coulomb

O ponto de partida da nossa viagem pelo mundo dos fenomenos eletromagn eticos e a de ni c~ao de carga el etrica e da maneira pela qual elas interagem entre si em situa c~oes simples. Existem dois tipos de cargas el etricas, representadas como quantidades \positivas" ou \negativas". Duas propriedades fundamentais est~ao associadas as cargas el etricas:

(a) a carga el etrica total de um sistema isolado e conservada; (b) a carga el etrica e quantizada.

E interessante comentarmos que a propriedade (a) de conserva c~ao da carga, descoberta por Benjamin Franklin por volta de 1750, est a intimamente relacionada a princ pios fundamentais de simetria que guiam a constru c~ao de

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O campo el etrico teorias modernas de part culas. J a o entendimento da propriedade (b), onde a rmamos que a carga de um sistema qualquer sempre ser a um m ultiplo inteiro de uma unidade fundamental de carga, permanece sendo um problema aberto da F sica atual. Considera-se, costumeiramente, a carga fundamental como sendo a carga e do el etron. Entretanto, para sermos mais exatos, os \quarks", part culas que entram na composi c~ao de pr otons e neutrons, por exemplo, possuem cargas iguais a ±e=3 ou 2e=3. De qualquer maneira, a propriedade (b) continuaria sendo v alida se consider assemos, alternativamente, a carga e=3 como sendo a unidade fundamental de carga.

Cargas de sinais opostos atraem-se mutuamente, enquanto cargas de sinais identicos repelem-se. Quanto mais distantes estiverem as cargas umas das outras, tanto mais fraca ser a a for ca de intera c~ao entre elas. Inspirado na lei de Newton da atra c~ao gravitacional, Charles Augustin de Coulomb foi capaz de formular em 1785 uma lei matem atica precisa que descreve a intera c~ao entre cargas el etricas est aticas. E uma lei muito simples. A for ca de intera c~ao entre cargas pontuais e proporcional as cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia de separa c~ao. Ademais, as for cas satisfazem ao princ pio da a c~ao e rea c~ao e est~ao dirigidas paralelamente a linha que une as duas cargas.

Para re etir: o que signi ca, na pr atica, a palavra \pontual"?

Figura 3.1: Intera c~ao eletrost atica entre as cargas q1 e q2. CEDERJ 42

A lei de Coulomb, ilustrada na Figura 3.1, estabelece que a for ca que a part cula 2, de carga q2, exerce sobre a part cula 1, de carga q1, e dada por

Coulombs(C) e

e a chamada \constante de permissividade do v acuo". Na Equa c~ao 3.1), N indica a unidade de for ca (Newton) e m e a unidade de comprimento (metro). Observe que e com a lei de Coulomb que um sistema de unidades para a carga el etrica se torna vi avel (na realidade, unidades de medida est~ao sempre associadas a leis f sicas. At e mesmo a de ni c~ao de metro como unidade de comprimento fundamenta-se em uma lei: a de que transla c~oes ou rota c~oes de uma barra escolhida como padr~ao n~ao afetam o seu comprimento. Modernamente, de ne-se o metro como o comprimento percorrido pela luz em um segundo, fazendo-se apelo a lei da constancia da velocidade da luz). A carga do el etron, negativa por conven c~ao (Franklin supos, erroneamente, que as cargas que transportam corrente el etrica em metais seriam positivas), possui o diminuto valor de -e, onde

Queremos estender o exemplo anterior, envolvendo t~ao-somente duas cargas el etricas, para a situa c~ao mais geral de um sistema de N cargas determinar a for ca el etrica que atua sobre uma carga qualquer qi do sistema? A resposta nos e dada pelo \princ pio da superposi c~ao": basta somar os ve- tores de for ca el etrica devidos as a c~oes de todas as outras cargas do sistema. Em outras palavras, as cargas el etricas interagem aos pares e de maneira independente. Dessa forma, de nindo ~Fij como sendo a for ca que a carga qj

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O campo el etrico exerce sobre a carga qi, podemos escrever que a for ca total sobre a carga qi ser a dada por

Observe que na soma acima o termo j = i n~ao e considerado, pois con- sistiria na for ca que a carga qi exerce sobre si pr opria, supostamente nula. Se n~ao fosse assim, cargas el etricas isoladas e inicialmente em repouso iriam movimentar-se espontaneamente, levando a um agrante desacato ao princ pio da in ercia!

Figura 3.2: Con gura c~ao geral de N cargas pontuais.

O campo el etrico

Considere um certo sistema S de cargas el etricas q1, q2,..., qN, xadas em posi c~oes bem de nidas do espa co ~r1, ~r2,..., ~rN, respectivamente. Considere tamb em uma carga especial fora de S, que chamaremos \carga de

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Figura 3.3: O sistema de cargas S (con gura c~ao geral de N cargas pontuais) e a carga de teste q0.

Vamos imaginar que a carga q0 seja su cientemente pequena para que as for cas exercidas por ela sobre as cargas q1, q2,..., qN sejam desprez veis e, portanto, n~ao causem perturba c~oes na con gura c~ao de S. O princ pio da superposi c~ao nos diz que a for ca total que o sistema S exerce sobre a carga

onde, pela lei de Coulomb,

Como todos os termos da soma na Equa c~ao (3.5) s~ao proporcionais a q0, segue-se que a for ca sobre q0 pode ser escrita da seguinte maneira:

onde ~E(~r), denotado de \campo el etrico", e completamente independente de q0. Dizemos que a distribui c~ao de cargas em S \gera" o \campo el etrico" ~E no ponto ~r e que a presen ca deste campo em ~r e respons avel pela for ca el etrica que age sobre uma carga ali posicionada. O problema central da eletrost atica torna-se, portanto, determinar o campo el etrico em todo o espa co, tal como gerado por distribui c~oes arbitr arias de carga.

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O campo el etrico

A de ni c~ao de campo el etrico e motivada pela id eia de que a for ca el etrica que age sobre uma carga qualquer tem uma origem local: queremos dizer com isso que e o campo el etrico ~E na posi c~ao ~r do espa co que \produz" a for ca q ~E que atua sobre a carga q. Poderia-se a rmar, entretanto, que a no c~ao de campo el etrico e, de certa forma, arti cial na eletrost atica. A nal, para que introduzir o conceito de campo el etrico se o que interessa mesmo s~ao as for cas coulombianas de a c~ao a distancia entre as cargas? Essa cr tica e pertinente, na verdade. Para sermos absolutamente honestos, deve-se dizer que poder amos resolver todos os problemas eletrost aticos, de fato, sem fazer qualquer men c~ao ao campo el etrico ~E (e isto n~ao alteraria o grau de di culdade das solu c~oes!). O ponto crucial, entretanto, e que a lei de Coulomb refere-se a situa c~oes est aticas. A intera c~ao entre cargas el etricas n~ao e instantanea como poder amos crer pela lei de Coulomb; como car a mais claro posteriormente neste curso, a intera c~ao eletromagn etica propaga-se no v acuo com a velocidade da luz. Conseq uentemente, a descri c~ao local das intera c~oes, formulada por meio de campos, e extremamente apropriada, pois fornece a base correta para o tratamento matem atico dos fenomenos dinamicos do eletromagnetismo.

Claramente, o princ pio da superposi c~ao, v alido para for cas el etricas, tamb em e v alido para o campo el etrico. Podemos escrever, analogamente a Equa c~ao (3.5), que o campo el etrico gerado na posi c~ao ~r por um sistema S de N cargas e dado por

onde

e o campo el etrico gerado na posi c~ao ~r pela carga qi, cuja posi c~ao e ~ri.

E freq uentemente util produzir uma representa c~ao pict orica do campo el etrico gerado por alguma distribui c~ao de cargas, por meio de linhas de campo. O esbo co das linhas de campo segue essencialmente duas regras elementares:

(a) o campo el etrico deve ser tangente as linhas de campo; o sentido das linhas de campo e dado pelo sentido do campo el etrico;

(b) a densidade de linhas no esbo co deve ser maior onde a intensidade j~Ej do campo el etrico e maior. Mais rigorosamente, o per l das linhas de campo no espa co tridimensional deve ser tal que o uxo de linhas (isto e, o n umero de linhas por unidade de area que atravessam um determi-

CEDERJ 46 nado elemento de superf cie perpendicular as linhas) seja proporcional a | ~Ej2. Esta prescri c~ao, por enquanto um pouco obscura, ir a se tornar clara em um cap tulo posterior, quando discutiremos a lei de Gauss do eletromagnetismo.

Via de regra, como mostrado nos exemplos da Figura 3.4, linhas de campo saem de cargas positivas, enquanto terminam em cargas negativas. Nas regi~oes vizinhas as cargas pontuais, as linhas de campo s~ao aproximadamente radiais. E bastante natural pensarmos em uma analogia com o escoamento de uidos, considerando linhas de campo el etrico como \linhas de corrente" e cargas positivas e negativas como \fontes" e \sumidouros" de campo el etrico, respectivamente.

Figura 3.4: Linhas de campo associadas a con gura c~oes distintas de cargas.

O dipolo el etrico

Um dipolo el etrico e uma con gura c~ao de duas cargas el etricas pontuais q e q, afastadas de uma certa distancia xa d. Sem perda de generalidade, coloquemos a carga q na origem do sistema de coordenadas, e a carga q ao longo do eixo z, em um ponto de coordenadas (0;0;d). A con gura c~ao est a representada na Figura 3.5.

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O campo el etrico

Figura 3.5: Dipolo elementar de cargas −q e q.

Usando o princ pio da superposi c~ao, podemos escrever o campo el etrico gerado pelo dipolo em uma posi c~ao qualquer do espa co, ~r, da seguinte maneira:

onde

s~ao os campos el etricos gerados pelas cargas negativa e positiva do dipolo, respectivamente. E interessante obtermos express~oes para o campo gerado pelo dipolo para regi~oes muito afastadas do espa co. Como o unico parametro com dimens~ao de comprimento que e empregado na de ni c~ao do dipolo e a distancia d, regi~oes grandemente afastadas s~ao, por de ni c~ao, aquelas para as quais r d.

A distancia da carga q ao ponto ~r, pode ser escrita como

Assim, expandindo o fator j~r dzj 3 [que aparece na de ni c~ao de E+(~r)] em s erie de Taylor at e a primeira ordem em d=r, obtemos

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