Aula 5 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

Aula 5 - CEDERJ - Eletromagnetismo e Ótica

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Aula 5 { Energia eletrost atica e o potencial el etrico

Metas da aula

• de nir o potencial eletrost atico; discutir o potencial gerado por uma distribui c~ao de cargas; estudar as rela c~oes entre o campo el etrico e o potencial el etrico.

Objetivos Ao terminar esta aula voce dever a ser capaz de:

calcular o potencial el etrico a partir de uma distribui c~ao discreta ou cont nua de cargas; determinar o campo el etrico a partir do potencial el etrico; esbo car corretamente linhas de campo el etrico na presen ca de condutores.

Sabemos que para se elevar um livro de massa m de uma altura h e necess ario trabalhar contra o campo gravitacional. O trabalho mecanico W que se deve realizar independe do caminho que se percorreu com o livro, durante o processo de eleva c~ao. De fato, teremos sempre W = mgh. Recordamos aqui que W nos d a precisamente a varia c~ao de energia potencial gravitacional do livro ao elev a-lo de uma altura h (observe que a energia que voce, como \entidade biol ogica", despenderia, nesta experiencia, seria sempre maior ou igual a W. Por que?).

Podemos estender a discuss~ao acima para o contexto el etrico e de nir, ent~ao, o que seria a energia potencial eletrost atica de uma carga el etrica. Este e o ponto de partida de nossa aula.

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Energia eletrost atica e o potencial el etrico

Energia potencial eletrost atica

Consideremos uma carga pontual q situada na posi c~ao ~r0 do espa co e sujeita a presen ca de um campo el etrico est atico ~E = ~E(~r). Suponha que a carga seja transportada ao longo de um caminho at e uma nova posi c~ao ~r1, como representado na Figura 5.1.

onde ~F(~r) = q ~E(~r) e a for ca eletrost atica que atua sobre a carga q. Estamos a rmando, com a Equa c~ao (5.1) que U e igual ao trabalho realizado contra o campo el etrico ao longo do caminho , em perfeita analogia com o que se faz no caso gravitacional. O problema que se coloca imediatamente e mostrar que a Equa c~ao (5.1) e, de fato, consistente no contexto eletrost atico, uma vez que o lado esquerdo dessa equa c~ao depende apenas das vari aveis de posi c~ao inicial e nal, enquanto o lado direito poderia depender, adicionalmente, do caminho ao longo do qual a carga foi transportada. Em outras palavras, devemos veri car se o campo el etrico pertence a classe dos campos conservativos, para os quais a integral de linha n~ao depende do caminho arbitr ario ; podendo-se de nir uma energia potencial e, portanto, formular a lei de conserva c~ao da

CEDERJ 78 energia mecanica. Ser a que isso e verdade? Discutiremos parte da prova. A conclus~ao da prova ser a a sua primeira atividade desta aula.

Se a integral em (5.1) n~ao depende do caminho escolhido, isto signi ca

onde a e b s~ao dois caminhos completamente arbitr arios, ambos com o mesmo ponto de partida (posi c~ao ~r0) e mesmo ponto de chegada (posi c~ao ~r1). A constru c~ao est a ilustrada na Figura 5.2.

Figura 5.2: Caminhos a e b percorridos pela carga q. Substituindo ~F por q ~E na Equa c~ao (5.2) e agrupando as duas integrais em um mesmo lado da equa c~ao, obtemosZ ~r1

onde b e o caminho b invertido, isto e, percorrido de tr as para frente, como mostrado na Figura 5.3.

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O lado esquerdo de (5.3) pode ser escrito, conseq uentemente, como∫ ~r1

onde e o caminho fechado orientado, de nido pela uni~ao dos caminhos a

O teorema de Stokes (con ra a Aula 2) nos permite escrever a Equa c~ao

(5.5), equivalentemente, em termos do uxo do rotacional de ~E:Z

onde S e uma superf cie qualquer limitada e orientada pelo caminho e d~A = ndA e o vetor elemento de superf cie. Uma vez que os caminhos fechados s~ao arbitr arios, assim ser~ao as superf cies S. A unica maneira de garantir que a integral, na Equa c~ao (5.6), se anule sempre e exigir que o integrando tamb em seja nulo, isto e,

A prova da consistencia da de ni c~ao de energia potencial estar a nalizada ao mostrar que a Equa c~ao (5.7) e v alida. Esta e a parte da discuss~ao que ser a completada por voce, na atividade a seguir. A id eia central da prova e a de que campos el etricos est aticos s~ao gerados por distribui c~oes est aticas

CEDERJ 80 de carga, como foi discutido na Aula 3. Lan cando m~ao da Equa c~ao (5.8), a express~ao mais geral de um campo el etrico est atico produzido por uma distribui c~ao de cargas de densidade ρ(~r),

somos levados a

Atividade Mostre que

e que, portanto, a Express~ao (5.9) se anula.

Resposta Comentada Devido a isotropia do espa co (n~ao existem dire c~oes previlegiadas), basta considerarmos apenas uma das componentes do rotacional em (5.10). Temos, para a componente z,

O potencial el etrico

Considerando ainda o caso de uma carga pontual, o campo de potencial el etrico, (~r), e de nido simplesmente como a energia potencial eletrost atica por unidade de carga, U(~r)=q. Dividindo a Equa c~ao (5.1) pela carga q, obtemos, portanto, a seguinte express~ao para a diferen ca de potenciais:

Nas unidades do SI, o potencial mede-se em volts. Um volt e o potencial de um Joule por Coulomb (1 V = 1 J/C). Uma unidade de energia muito util na f sica da mat eria condensada e o \el etron-volt" (eV). Um el etron-volt e o trabalho realizado pela for ca el etrica quando se leva um el etron at e uma posi c~ao cujo potencial e um volt maior do que o potencial na posi c~ao original. Isto e, a rela c~ao entre el etron-volts e joules e dada por

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Uma distribui c~ao qualquer de cargas produz campo el etrico e, portanto, potencial em todo o espa co. De acordo com a expans~ao multipolar discutida na Aula 3, uma distribui c~ao de cargas localizada, isto e, contida no interior de um volume nito, ir a produzir, em regi~oes muito distantes do espa co, campos que caem t~ao ou mais rapidamente do que um campo de per l coulombiano. Sob estas condi c~oes, e poss vel convencionar o \potencial no in nito" como e \~r0 = 1", isto e, estamos considerando ~r0 como uma posi c~ao qualquer, por em muito afastada da distribui c~ao de cargas.

Figura 5.4: Caminho percorrido desde o in nito at e a posi c~ao ~r. Escrevemos, para o caso em discuss~ao,

Como representado na Figura 5.4, o caminho e o caminho ao longo do qual a carga q e trazida do in nito at e a posi c~ao ~r.

A vantagem do uso da conven c~ao de potencial nulo no in nito e uma certa simpli ca c~ao da de ni c~ao de potencial el etrico, permitindo-nos escrever

Salvo em alguns casos espec cos, discutidos mais adiante, usaremos permanentemente (isto e, implicitamente) a conven c~ao de potencial nulo no in nito.

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Uma vez conhecido o campo el etrico, pode-se determinar, a princ pio, o potencial el etrico, pelo uso das Equa c~oes (5.12) ou (5.15). O procedimento inverso e poss vel tamb em: a partir do potencial el etrico pode-se computar o campo el etrico, o que fornece um m etodo extremamente util para se es- tudar problemas eletrost aticos. Observe que tomando ~r0 e ~r1 como posi c~oes in nitesimalmente pr oximas, a Equa c~ao (5.12) nos d a onde d~r = ~r1 ~r0. A Equa c~ao (5.16) tem conte udo f sico. Sob outro angulo, em termos puramente matem aticos, fazemos uso do gradiente do potencial

Comparando as Equa c~oes (5.16) e (5.17), v alidas para qualquer que seja o deslocamento in nitesimal d~r, obtemos

E o momento de fazermos duas observa c~oes importantes, partindo da Equa c~ao (5.18): (a) esta rela c~ao indica que as linhas de campo el etrico s~ao perpendiculares as superf cies equipotenciais (superf cies de n vel do campo de potencial, de nidas pela condi c~ao (~r) = constante); (b) o sinal negativo em (5.18) implica que as linhas de campo el etrico de nem percursos ao longo dos quais o potencial e decrescente. Os fatos (a) e (b) est~ao ambos relacionados as propriedades matem aticas bem conhecidas do operador gradiente e, tamb em, podem ser entendidos diretamente a partir da De ni c~ao (5.12).

Tomando como exemplo uma carga pontual q situada na origem, cujas linhas de campo s~ao radiais, as equipotenciais s~ao, portanto, dadas por superf cies esf ericas centradas na origem. Para cargas pontuais positivas (negativas), o potencial e menor (maior) para pontos mais afastados da carga. Mais precisamente, de acordo com a Equa c~ao (5.15), o potencial gerado por uma carga pontual q colocada na origem ser a

dr 1

onde, para se escrever (5.19), foi escolhido como o caminho radial que \parte" do in nito e nda na posi c~ao ~r. A Figura 5.5 sintetiza o problema da carga pontual.

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Figura 5.5: Linhas de campo (linhas s olidas) e equipotenciais (linhas tracejadas) associadas a uma carga pontual.

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