Integrais Múltiplas

Integrais Múltiplas

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Integrais Múltiplas

1- Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1- Integral Indefinida

O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função f, usamos a notação:

o que nos diz que a integral indefinida de f é a família de funções dada por + , onde ′ = ( ).

1.2- Tabela de Algumas Integrais Indefinidas

+𝐶com 𝑎>0 𝑒 𝑎≠1

Exemplos:

Definição: Uma função F será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f num intervalo I se ′( )= ( ), para todo ∈ I.

1.3 – Principais Propriedades das Integrais

𝑥4+ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶=5𝐶1+ 2𝐶2
1) 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑘 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑘=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

1.4 – Técnicas de Integração – Método da Substituição

Exemplos:

2 → cos

𝑑𝑢
𝑓 𝑔(𝑥) .𝑔′(𝑥)𝑑𝑥=𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜:
𝑓 𝑢 𝑑𝑢=𝐹 𝑢 +𝐶.

1.5 – Técnicas de Integração – Integração por Partes

1) 𝑥.𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥→ 𝑢𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢

Exemplos:

2) 𝑟.5𝑟𝑑𝑟→ 𝑢𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢

ln 5

2𝑑𝑟→ 𝑢𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑣=𝑒𝑟2 𝑑𝑟→ 𝑑𝑣= 𝑒𝑟2 𝑑𝑟𝑤=
4) 𝑡.𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑑𝑡→ 𝑢𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑣=𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑑𝑡 →𝑑𝑣= 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑑𝑡 𝑤=4 𝑡 𝑑𝑤=4 𝑑𝑡
𝑓 𝑥 .𝑔′(𝑥)𝑑𝑥=𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

Integração por Partes

1.6- Integral Definida

Seja ( ) uma função a uma variável, definida no intervalo [ , ]. Suponha este intervalo [ , ] subdividido sub-intervalos de comprimento iguais a ∆ e seja ∗ um ponto de um sub-intervalo i, onde 1≤ ≤ . A soma de Riemann é dada por

Se for tomado o limite deste somatório quando →∞ obtemos a integral definida de de a até .

Se >0 em todo o intervalo [ , ], a integral definida representa a área abaixo da curva da função e acima do eixo dos . Se <0 em todo o intervalo [ , ], a integral definida terá valor negativo, o módulo deste valor representa a área abaixo do eixo dos e acima da curva da função.

A integral definida é a área líquida, ou seja, é a diferença entre a área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal x com a que está abaixo do eixo x. A integral definida é um número e não uma função.

a b y c

Exemplos:

= ln

5) Ache o área sob a curva cosseno de 0 até /2.

3−𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

Teorema Fundamental do Cálculo

2- Integrais de uma função em relação a uma de suas variáveis

Se é uma função a mais de uma variável, podemos calcular a integral indefinida de f em relação a uma das variáveis considerando as outras temporariamente constantes.

Suponha , uma função a duas variáveis e , então

, é a integral indefinida de em relação a

, é a integral indefinida de em relação a Exemplos:

+ 𝐶 𝑦( 𝐶 pode ser função de 𝑦)
+ 𝐶 𝑥( 𝐶 pode ser função de 𝑥)
+ 𝐶 𝑦
4) 𝑥cos 𝑦 𝑑𝑦 =𝑥 cos⁡(𝑦) 𝑑𝑦 =𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦)+ 𝐶 𝑥

Se para cada valor fixo de , , é uma função integrável de , podemos formar

𝑑𝑥Como os limites de

= integração podem ser dependentes do valor de , podemos generalizar:

Se para cada valor fixo de , , é uma função integrável de , podemos formar

integração podem ser dependentes do valor de , podemos generalizar:

𝑑𝑥𝑓 𝑥,𝑦

Exemplos:

3- Integrais Repetidas

Considere , uma função a duas variáveis e tal que as integrais em relação às suas variáveis existam.

em relação a , podemos ter

em relação a , podemos ter

𝑑𝑦 e𝑓 𝑥,𝑦

integrais repetidas.

Técnicas para o cálculo das integrais repetidas

As integrais são calculadas na ordem que as diferenciais aparecem, ou seja, da esquerda para a direita.

Exemplos:

𝑑𝑥=𝑥2 𝑦3
𝑑𝑦=𝑦cos 𝑥

4- Integral Dupla Seja uma função = ( , ) a duas variáveis definida numa região retangular onde

Suponha este domínio subdividido em . sub-retângulos de áreas iguais a ∆ =∆ ∆ , onde e são o número de subdivisões em e , respectivamente. Seja

A soma de Riemann é dada por

Se for tomado o limite deste somatório quando , →∞ obtemos a integral dupla de sobre a região .

Se , >0 para todo o domínio , a integral dupla representa o volume abaixo do gráfico da função e acima do domínio . Se , <0 em todo o domínio a integral dupla é negativa e seu módulo representa o volume acima do gráfico de e abaixo do domínio.

. Assim, a integral dupla representa

o volume de um cilindro de altura 1 e base que corresponde à área da região .

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