Baixe Exercícios de Probabilidade (2) e outras Exercícios em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! EXERCÍCIOS GERAIS DE PROBABILIDADE - GABARITO 1) Considerando o lançamento de uma moeda e um dado construa: a) O espaço amostral. Solução. O espaço amostral é um conjunto de pares encontrados na construção da tabela de possibilidades. Moeda Dado Total Possibilidades 2 6 2 x 6 = 12 Ω = {(1,C); (1,K); (2,C); (2,K); (3,C); (3,K); (4,C); (4,K); (5,K); (5,C); (6,C); (6,K)} b) Se o evento A = {cara com número ímpar} e evento B = {coroa com um número par}, exiba o evento e o evento onde A e B ocorrem. Solução. Observando o espaço amostral o evento é o complementar de B. Isto é, elementos que sejam (coroa,ímpar), (cara,ímpar) ou (cara, par). Logo, = {{(1,C); (2,C); (2,K); (3,C); (4,C); (4,K); (5,C); (6,C); (6,K)} 2) Em determinado experimento constatou-se que e são mutuamente exclusivos. De acordo com essas informações, calcule: Solução. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então Aplicando as propriedades das probabilidades em cada caso, temos: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) 3) Um experimento constatou que , e . Calcule: Solução. Neste caso os eventos não são mutuamente exclusivos. a) b) c) a) b) c) Obs. Repare que nos casos (b) ou (c) poderíamos optar pelo mesmo procedimento do item (a). 4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de ser: a) Múltiplo de 5 b) Divisível por 6 ou 8 c) Número primo Solução. Em todos os casos o espaço amostral possui 50 elementos. a) b) c) 5) As probabilidades de três jogadores acertarem um pênalti são respectivamente , e . Se cada um chutar uma única vez, qual a probabilidade de: Solução. Nomeando os eventos de acerto respectivamente por A, B, C e aplicando as propriedades da união, interseção e complementar das probabilidades, vem: a) Todos acertem b) Só um acerte c) Todos errarem a) Se todos acertam há uma interseção: b) Há 3 possibilidades a considerar: Logo a possibilidade de que só um acerte é: c) Todos errarem é o complementar de todos acertarem: 6) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor? Solução. O evento pedido é uma união de {BB} ou {VV} ou {PP}. Em cada urna, temos: - Urna 1: ; ; - Urna 2: ; ; OBS: Repare que não há interseção entre os eventos. Isto é, ele são disjuntos e portanto a Probabilidade da união dos eventos será a soma das probabilidades de cada evento. Logo, Representando a situação em um diagrama de árvore, teríamos a seguinte situação. 7) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu marido é . Calcular a probabilidade de: Solução. Pela informação do problema, já sabemos que o complementar de cada probabilidade é a da situação onde há o falecimento de uma das partes. a) apenas o homem estar vivo b) somente a mulher estar viva c) pelo menos um estar vivo a) Se apenas o homem vive então a mulher morreu. Logo, b) Se apenas a mulher vive então o homem morreu. Logo, c) Se pelo menos um vive então não há morte conjunta. Logo, 8) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de cores diferentes destas são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que: a) a segunda bola seja vermelha b) ambas as bolas sejam da mesma cor. c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha. d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas. Solução. O diagrama ilustra a situação. Observe que as duas bolas colocadas após a 1ª retirada (aumentando para 9 o total de bolas) não são vermelhas, nem brancas. Repare ainda que após esta 1ª retirada a urna ficou com 1 bola a menos que pode ser vermelha ou branca. a) A segunda bola pode ser vermelha nas opções {VV} ou {BV}. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso: A probabilidade pedida é 16) A probabilidade de que João resolve esse problema é de , e a de que José o resolva é de . Se ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? Solução. Para que o problema seja resolvido é preciso que nenhum dos dois erre. Nomeando os eventos: José = {José acertar} e João = {João acertar}, calculamos a probabilidade pelo complementar da situação em ambos errem. Temos e . Logo a probabilidade pedida é: 17) Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual a probabilidade de que uma face seja 4? Solução. O espaço amostral do lançamento de dois dados já foi visto é composto de 36 pares ordenados. O número de pares mostrado faces diferentes são: 36 – n({(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)) = 30. O conjunto de pares que mostram uma face 4 é: F4 = {(1,4); (4,1); (2,4); (4,2); (3,4), (4,3); (4,4); (4,5); (5,4); (4,6); (6,4). Com 11 pares. Observe que o par (4,4) não é resultado de faces diferentes. Logo, 18) Em uma urna há duas moedas aparentemente iguais. Uma delas é uma moeda comum, com uma cara e uma coroa. A outra, no entanto, é uma moeda falsa, com duas caras. Suponhamos que uma dessas moedas seja sorteada e lançada. Qual a probabilidade de: a) A moeda lançada seja a comum? b) O resultado saia uma cara? Solução. Observe que nesse tipo de lançamento as possibilidades de resultado são diferentes se as moedas fossem comuns: uma face cara e outra coroa. Construindo a árvore de resultados, temos: a) A chance de escolher uma moeda falsa ou comum é a mesma. Logo b) A probabilidade de sair cara: 19) Sejam A1 e A2 dois acontecimentos tais que: ; e . Calcule o valor de Solução. Aplicando as propriedades das probabilidades, temos: a) b) c) 20) (UNICAMP) – Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é 0,10. Solução. calculando as quantidades e construindo uma tabela, temos: Tuberculose Sadio Homens 0,05 x 400 = 20 380 Mulheres 0,10 x 600 = 60 540 a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose? Há 80 pessoas tuberculosas de um universo de 1000. Logo, b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem? Há 20 homens dentre os 80 tuberculosos. Logo, Urna 1 EMBED Equation.3 18 6 )( =VP EMBED Equation.3 18 7 )( =PP Urna 2 EMBED Equation.3 8 5 )( =VP EMBED Equation.3 6 4 )( =VP EMBED Equation.3 8 3 )( =BP Urna EMBED Equation.3 6 2 )( =AP EMBED Equation.3 9 5 )( =VP EMBED Equation.3 9 4 )( =VP EMBED Equation.3 9 3 )( =BP EMBED Equation.3 9 2 )( =BP Urna EMBED Equation.3 5 4 )( =VP EMBED Equation.3 5 3 )( =VP EMBED Equation.3 5 2 )( =AP EMBED Equation.3 5 1 )( =AP EMBED Equation.3 14 8 )( =pBP EMBED Equation.3 14 6 )( =pAP Bola perdida EMBED Equation.3 13 8 )( =BP EMBED Equation.3 13 7 )( =BP EMBED Equation.3 13 6 )( =AP EMBED Equation.3 13 5 )( =AP EMBED Equation.3 2 1 )( =comumP EMBED Equation.3 2 1 )( =falsaP moeda EMBED Equation.3 1)( =CP EMBED Equation.3 2 1 )( =CP EMBED Equation.3 2 1 )( =KP EMBED Equation.3 0)( =KP