Baixe Equações Diferenciais Parciais I - Apostilas - Matemática Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Equações Diferenciais Parciais Prof. Ulysses Sodré 6 de Maio de 2003; Arquivo: edp.tex Conteúdo 1 Introdução às Equações Diferenciais Parciais 1 2 Conceitos fundamentais em EDP 2 2.1 Equação Diferencial Ordinária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Equação Diferencial Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial . . . . . . . . . . . . 3 2.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP . . . . . . . . . 3 3 Equações Diferenciais Parciais Lineares 3 3.1 Equação diferencial parcial quase-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma região . . . . . . . . . . . . . 3 3.3 Equação diferencial parcial Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.4 Exemplos de equações parciais lineares e não-lineares . . . . . . . . . . 4 3.5 As EDP mais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.6 EDP homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Soluções de Equações Diferenciais Parciais 5 4.1 Solução de uma equação diferencial parcial . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2 Solução geral e soluções particulares de uma EDP . . . . . . . . . . . . 5 4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.6 Relação entre ordem e número de constantes (EDO) . . . . . . . . . . . 6 4.7 Relação entre ordem e número de funções (EDP) . . . . . . . . . . . . 6 5 Problemas com Condições Iniciais/de Contorno 7 5.1 Problema de Valor Inicial - EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.2 Problema com Condições Iniciais ou de Contorno . . . . . . . . . . . . 7 5.3 Exemplo de PVI com condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . 7 CONTEÚDO ii 6 Equação Característica e Mudanças de variáveis 8 6.1 Equação Característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6.2 Exemplo de equações características de uma EDP . . . . . . . . . . . . 8 6.3 Exemplo com mudança de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 Classificação das EDP Lineares 9 7.1 Classificação de uma curva cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.2 Discriminante de uma EDP linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Tipos de EDP lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7.5 Movimento rígido no plano e mudança de variáveis . . . . . . . . . . . 10 7.6 Lema sobre o sinal do discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.7 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8 A Equação Diferencial Parcial de Euler 13 8.1 A equação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 8.2 Exemplo com mudanças de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8.3 Forma alternativa para obter mudanças de variáveis . . . . . . . . . . . 16 8.4 Observação sobre as equações características . . . . . . . . . . . . . . 17 8.5 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 Equação Diferencial Parcial da Onda 18 9.1 Equação unidimensional da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9.2 Solução geral da Equação Unidimensional da Onda . . . . . . . . . . . 20 9.3 Interpretação física da solução da equação da onda . . . . . . . . . . . 20 9.4 Primeiro problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9.5 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9.6 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9.7 Exercício Piano versus cravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10 O segundo Problema de Cauchy 23 10.1 O segundo Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10.2 Exercício para descansar um pouco as equações . . . . . . . . . . . . . 25 11 O Problema Misto 26 11.1 O Problema Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11.2 Unicidade de solução para o problema misto . . . . . . . . . . . . . . . 27 12 O Método de Fourier das variáveis separáveis 28 12.1 O método de Fourier e o problema misto . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 12.2 Receita para usar o Método de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12.3 Aplicação do método de Fourier à Equação da Onda . . . . . . . . . . . 29 12.4 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Seção 2 Conceitos fundamentais em EDP 2 2 Conceitos fundamentais em EDP 2.1 Equação Diferencial Ordinária Uma equação diferencial ordinária (EDO) na variável dependente y e na variável independente x, é uma equação que pode ser posta na forma F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 onde F é uma função das variáveis indicadas e pelo menos uma derivada (ordinária) aparece nessa expressão. 2.2 Equação Diferencial Parcial Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) na variável dependente u e nas variáveis independentes x e y, é uma equação que pode ser posta na forma F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0 onde F é uma função das variáveis indicadas e pelo menos uma derivada parcial aparece nessa expressão. 2.3 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais (1) Equação do calor : ut = a2uxx (2) Equação do calor : ut = a2(uxx + uyy) (3) Equação da Onda : utt = a2uxx (4) Equação da Onda : utt = a2(uxx + uyy) (5) Equação de Laplace : uxx + uyy = 0 (6) Equação de Laplace : uxx + uyy + uzz = 0 (7) ux = x + y (8) uxxx + 2 y uxx + x ux uy + (ux) 2 = sin(xy) 2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial 3 2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da mais alta deri- vada que ocorre na equação e o grau é o expoente da derivada mais alta quando a equação está escrita em uma forma semelhante a uma função polinomial em que as potências fazem o papel das derivadas da ordem respectiva. 2.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP No exemplo anterior, as equações dos ítens 1, 2, 3, 4 e 5 são de segunda ordem, a do ítem 6 é de primeira ordem e a do ítem 7 é de terceira ordem. 3 Equações Diferenciais Parciais Lineares 3.1 Equação diferencial parcial quase-linear Uma Equação Diferencial Parcial nas variáveis independentes x, y e na variável dependente u = u(x, y) é dita quase-linear de segunda ordem sobre um conjunto M ⊂ R2, se pode ser posta na forma: A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + G(x, y, u, ux, uy) = 0 onde os coeficientes A, B e C das derivadas duplas de u, somente de- pendem das variáveis independentes x e y, isto é: A = A(x, y) B = B(x, y) C = C(x, y) e para todo (x, y) ∈ M pelo menos um dos coeficientes A, B e C é não nulo, isto é: A2(x, y) + B2(x, y) + C2(x, y) 6= 0 3.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma região A equação parcial uxx = √ 1− x2 − y2 uyy é quase-linear sobre o con- junto M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}. 3.3 Equação diferencial parcial Linear 4 3.3 Equação diferencial parcial Linear Uma equação diferencial parcial quase-linear de 2a. ordem nas variáveis independentes x, y e na variável dependente u = u(x, y) é dita linear sobre M ⊂ R2, se pode ser posta na forma: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis independentes x e y e para todo (x, y) ∈ M : A2(x, y) + B2(x, y) + C2(x, y) 6= 0 3.4 Exemplos de equações parciais lineares e não-lineares (1) Equações lineares (a) uxx + uyy + u = 0 (b) uxx + sin(x) uyy + cos(x) = 0 (c) uxx + ex uyy + 6 = 0 (2) Equações não lineares (a) u uxx + uyy = 0 (b) x uxx + y uyy + u2 = 0 (c) u ux + uyy = 0 3.5 As EDP mais importantes Dentre todas as Equações Diferenciais Parciais (EDP), talvez as mais im- portantes sejam as EDP lineares de segunda ordem. 3.6 EDP homogênea Uma Equação Diferencial Parcial de segunda ordem é dita não homogê- nea, se pode ser posta na forma: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 Seção 5 Problemas com Condições Iniciais/de Contorno 7 5 Problemas com Condições Iniciais/de Contorno 5.1 Problema de Valor Inicial - EDO Para uma equação diferencial ordinária de 2a. ordem F (x, y, y′, y′′) = 0 um Problema de Valor Inicial (PVI) é aquele que dado x0 fixo e as cons- tantes fixadas a0 e a1, devemos obter uma função y = u(x) que satisfaz à equação dada e as condições pré-fixadas, isto é: F (x, u(x), u′(x), u′′(x)) = 0 u(x0) = a0, u ′(x0) = a1 5.2 Problema com Condições Iniciais ou de Contorno Um Problema com Condições Iniciais ou de Contorno para uma EDP de 2a. ordem da forma: A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + G(x, y, u, ux, uy) = 0 é aquele que visa obter uma solução u = u(x, y) para a equação dada sobre um conjunto M ⊂ R2 de modo que a função u = u(x, y) deva satisfazer a algumas condições iniciais ou condições de contorno dadas por funções conhecidas. 5.3 Exemplo de PVI com condições de contorno Um típico Problema com condições iniciais e de contorno para uma Equa- ção Diferencial Parcial do calor é: ut = a 2uxx u(x, 0) = T0, ut(x, 0) = sin(x) u(0, t) = T1, u(a, t) = T2 Seção 6 Equação Característica e Mudanças de variáveis 8 6 Equação Característica e Mudanças de variáveis 6.1 Equação Característica Para a EDP linear A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + G(x, y, u, ux, uy) = 0 definimos a equação diferencial característica associada, como: A(x, y)(dy)2 −B(x, y)(dx)(dy) + C(x, y)(dx)2 = 0 As curvas características associadas são as soluções da equação diferen- cial (ordinária) característica. 6.2 Exemplo de equações características de uma EDP A equação uxx−uyy = 0, definida sobre R2, tem a equação característica (dy)2 − (dx)2 = 0 A solução desta EDO característica fornece duas curvas características: x + y = C1 x− y = C2 É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objetivo de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que oferece mudanças de variáveis para simplificar uma EDP é a equação diferencial característica associada. 6.3 Exemplo com mudança de variáveis A equação uxx− uyy = 0 com (x, y) ∈ R2, tem as curvas características: x + y = C1 e x − y = C2. Tomando novas variáveis m = x + y e n = x−y, podemos transformar a EDP dada na equação parcial umn = 0 cuja solução é u(m,n) = f(m)+g(n). Retornando às variáveis originais obtemos a solução para a EDP dada: u(x, y) = f(x + y) + g(x− y) Seção 7 Classificação das EDP Lineares 9 7 Classificação das EDP Lineares 7.1 Classificação de uma curva cônica Consideremos a equação geral de uma curva cônica no plano: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sendo A, B, C, D, E e F são números reais. Quando A2 + B2 + C2 6= 0 podemos classificar a cônica como uma elipse, parábola ou hipérbole, ou outras curvas degeneradas destas e isto depende do discriminante ∆ = B2 − 4AC A cônica será uma Hipérbole se ∆ = B2 − 4AC > 0 Elípse se ∆ = B2 − 4AC < 0 Parábola se ∆ = B2 − 4AC = 0 Em Geometria Analítica, estudamos algumas situações degeneradas: a hipérbole pode se transformar em duas retas concorrentes, a elipse pode se transformar em um ponto ou em uma circunferência e a parábola pode representar única reta ou duas retas paralelas. Esses casos adicionais são entendidos através da decomposição da equação em fatores do primeiro grau. 7.2 Discriminante de uma EDP linear Consideremos a EDP linear Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 onde os coeficientes são as funções A, B, C, D, E e F tal que A2(x, y) + B2(x, y) + C2(x, y) 6= 0 e G = G(x, y) é uma função real definida sobre M ⊂ R2. Associada a esta EDP, construímos a equação diferencial ordinária característica: A(x, y)(dy)2 −B(x, y)(dx)(dy) + C(x, y)(dx)2 = 0 Observar que o coeficiente de B = B(x, y) é negativo. O discriminante desta EDP é definido como: ∆ = ∆(x, y) = B(x, y)2 − 4 A(x, y) C(x, y) 7.7 Teorema 12 7.7 Teorema Seja a EDP linear com os coeficientes constantes reais A, B, C, D, E e F , dada por: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G(x, y) = 0 tal que A2 + B2 + C2 6= 0 e G = G(x, y) uma função real definida sobre um conjunto M ⊂ R2. Se esta equação é, respectivamente, hiperbólica, elíptica ou parabólica, então existe uma transformação T da forma: x1 = α1x + β1y y1 = α2x + β2y de modo que nessas novas coordenadas, a equação: 1. será hiperbólica e terá a forma: ux1y1 = D1ux1 + E1uy1 + F1u + G1(x1, y1) ou ux1x1 − uy1y1 = D1ux1 + E1uy1 + F1u + G1(x1, y1) 2. será elíptica e terá a forma: ux1x1 + uy1y1 = D1ux1 + E1uy1 + F1u + G1(x1, y1) 3. será parabólica e terá a forma: ux1x1 = D1ux1 + E1uy1 + F1u + G1(x1, y1) ou uy1y1 = D1ux1 + E1uy1 + F1u + G1(x1, y1) Em todos os casos as funções G1 = G1(x1, y1) estão definidas sobre a imagem M1 = T (M) de uma transformação afim T definida sobre M ⊂ R2. A solução do problema proposto está ligada ao fato de podermos impor condições a A1, B1 e C1 nas mudanças de variáveis realizadas para simplificar a obtenção da solução da EDP dada. Seção 8 A Equação Diferencial Parcial de Euler 13 8 A Equação Diferencial Parcial de Euler 8.1 A equação de Euler Uma importante EDP linear de segunda ordem é a Equação de Euler αzxx + βzxy + γzyy = 0 onde α, β e γ são números reais. Usando as mudanças de variáveis: u = ax + by v = cx + dy e a regra da cadeia, poderemos escrever: ∂z ∂x = ∂z ∂u ∂u ∂x + ∂z ∂v ∂v ∂x e ∂z ∂y = ∂z ∂u ∂u ∂y + ∂z ∂v ∂v ∂y e assim temos: ∂z ∂x = a ∂z ∂u + c ∂z ∂v e ∂z ∂y = b ∂z ∂u + d ∂z ∂v De forma análoga, temos: ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂2z ∂x2 = ∂ ∂u (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂u ∂x + ∂ ∂v (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂v ∂x assim ∂2z ∂x2 = a(a ∂2z ∂u2 + c ∂2z ∂u∂v ) + c(a ∂2z ∂u∂v + c ∂2z ∂v2 ) ou seja ∂2z ∂x2 = a2 ∂2z ∂u2 + 2ac ∂2z ∂u∂v + c2 ∂2z ∂v2 ou em uma notação mais simples: zxx = a 2 zuu + 2ac zuv + c 2 zvv 8.1 A equação de Euler 14 Analogamente: ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂y ( ∂z ∂x ) = ∂ ∂y (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂u (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂u ∂y + ∂ ∂v (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂v ∂y assim ∂2z ∂x∂y = b(a ∂2z ∂u2 + c ∂2z ∂u∂v ) + d(a ∂2z ∂u∂v + c ∂2z ∂v2 ) ou seja ∂2z ∂x∂y = ab ∂2z ∂u2 + (bc + ad) ∂2z ∂u∂v + cd ∂2z ∂v2 ou mais simplesmente: zxy = ab zuu + (bc + ad) zuv + cd zvv Do mesmo modo: ∂2z ∂y2 = ∂ ∂y (b ∂z ∂u + d ∂z ∂v ) ∂2z ∂y2 = ∂ ∂u (b ∂z ∂u + d ∂z ∂v ) ∂u ∂y + ∂ ∂v (a ∂z ∂u + c ∂z ∂v ) ∂v ∂y assim ∂2z ∂x2 = b(b ∂2z ∂u2 + d ∂2z ∂u∂v ) + d(b ∂2z ∂u∂v + d ∂2z ∂v2 ) ou seja ∂2z ∂x2 = b2 ∂2z ∂u2 + 2bd ∂2z ∂u∂v + d2 ∂2z ∂v2 ou ainda: zyy = b 2 zuu + 2bd zuv + d 2 zvv Substituindo estas derivadas parciais na EDP original teremos: α(a2zuu + 2aczuv + c 2zvv) + β(abzuu + (bc + ad)zuv + cdzvv) + γ(b2zuu + 2bdzuv + d 2zvv) = 0 8.4 Observação sobre as equações características 17 assim 3a− 4b = 0 ou 2a + b = 0 Podemos realizar infinitas escolhas para a e b de modo que estas relações sejam satisfeitas. Na primeira relação, para evitar a presença de frações, tomaremos a = 4 e b = 3. Na segunda relação, tomaremos a = 1 e b = −2. Dessa forma, as nossas mudanças de variáveis serão indicadas por: m = 4x + 3y e n = 1x− 2y Com estas substituições na EDP, teremos simplesmente: zmn = 0 cuja solução é z(m,n) = f(m) + g(n) Retornando às variáveis originais, obtemos a solução: z(x, y) = f(4x + 3y) + g(x− 2y) 8.4 Observação sobre as equações características Pode parecer que estejamos fazendo alguma mágica para obter tais valo- res para a, b, c, d mas na verdade, basta trabalhar com a equação diferen- cial característica da EDP dada: 6(dy)2 + 5(dx)(dy)− 4(dx)2 = 0 que pode ser decomposta num produto de dois fatores: (3dy + 4dx)(2dy − dx) = 0 que são diferenciais exatas de 1a. ordem e cuja solução é: 3y + 4x = C1 2y − x = C2 Mostramos assim o procedimento utilizado para obter a mudança de va- riáveis e simplificar a Equação Diferencial Parcial. 8.5 Exercício 18 8.5 Exercício Mostrar que a solução geral da EDP: 1. uxx + uyy = 0 é dada por u(x, y) = f(x + iy) + g(x− iy) 2. utt = a2uxx é dada por u(x, t) = f(x + at) + g(x− at) 9 Equação Diferencial Parcial da Onda 9.1 Equação unidimensional da Onda Estudaremos agora as vibrações transversais de pequena grandeza que ocorrem num mesmo plano para um cordão que pode ser uma corda de violão, de piano, um fio metálico, etc. Consideremos um cordão flexível que na posição de repouso coincide com eixo OX. Seja u = u(x, t) a função que representa o desvio da partícula no instante t e na posição x. Consideremos também ρ = ρ(x) a densidade linear de massa de tal forma que no elemento de comprimento ∆x, a massa seja dada por: massa = ρ(x) ∆x Estudaremos o que ocorre com o sistema no segmento do cordão que está localizado acima do segmento [x, x + ∆x] e depois faremos com que o acréscimo ∆x tenda a 0. A força vertical que age para cima no elemento do cordão que está lo- calizado acima do segmento [x, x + ∆x] é a diferença entre as tensões verticais T sin(α′) agindo para cima em [x + ∆x] e T sin(α) agindo em x para baixo, dada por: Fvert = T sin(α ′)− T sin(α) Como o cordão é flexível, tomaremos a tensão constante e tangente em cada ponto x do cordão, então a inclinação da reta tangente à curva em x + ∆x será dada por tan(α′), será: ux(x + ∆x, t) = tan(α ′) ux(x, t) = tan(α)