Lista de exercícios de Geometria Analítica

Lista de exercícios de Geometria Analítica

Universidade Federal Rural do Semi-Arido-UFERSA. Departamento de Ciencias Ambientais. Bacharelado em Ciencias e Tecnologia.

Disciplina de Geometria Analıtica. Lista 1

1. Verifique se e verdadeira ou falsa cada afirmacao e justifique sua resposta.

um vetor e n ∈ N, entao n · v = v + v + v ++ v (n parcelas).

2. Use as propriedades das operacoes com vetores para provar que se −→v e

4. Prove que:

5. Quais sao a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo?

6. Sendo M o ponto medio de AC, N o ponto medio de BD e o vetor −→x dado

7. Prove que:

8. Sendo r a razao em que um ponto P divide um segmento orientado nao-

a razao em que o ponto P divide o segmento orientado nao-nulo (A,B).

9. Prove que o segmento que une os pontos medios dos lados nao paralelos de um trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases.

10. Prove que:

1. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.

14. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio.

16. Seja ABC um triangulo qualquer com medianas AD, BE e CF. Demons-

17. Demonstre que se, −→a e −→ b sao vetores quaisquer, entao:

18. Demonstre que, se −→a e −→ b sao vetores quaisquer, entao:

19. Mostre que valem, na soma de vetores, as propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso.

Verifique se sao verdadeiras ou falsas as afirmacoes seguintes e justifique sua resposta.

a) MEF =MEG ⇒F =G b) MEF =MFE ⇒E =F c) MEF =MGF ⇒E =G d) MEF = I3 ⇒ E = F

Escreva todas as matrizes de mudancas de base envolvendo E, F e G. 29. Determine x de modo que −→u e −→v sejam ortogonais.

31. Verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.

3. Em relacao a uma base ortonormal, sabe-se que −−→

a) Verifique que A, B, C sao vertices de um triangulo.

b) Calcule o comprimento da altura relativa as vertice A e a area do triangulo ABC.

35. Em cada caso, decomponha −→v como soma de dois vetores −→p e q, de modo que −→p seja paralelo e −→q seja ortogonal a −→u .

Ortonormalizacao de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal B =( −→ i , −→ j ,

39. Verifique se sao verdadeiras ou falsas as afirmacoes seguintes e justifique a sua resposta.

41. O produto misto [−→u ,−→v ,−→w] e α. Mudando-se a orientacao de V3, ele passa a ser β. Qual a relacao entre α e β.

42. Sejam A, B e C pontos nao-colineares. Exprima a distancia de um ponto

4. Sejam OABC um tetraedro e X um ponto definido por −−→ BX = m −−→ BC.

45. Sejam A, B e C pontos quaisquer, com A 6= B. Prove que:

a) X pertence a reta AB se, e somente se, existem α e β tais que −−→

b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem α e β tais que−−→

AX =λ −−→ AB) se, e somente se, −−→ XA e −−→ XB sao de sentido contrario.

46. O ponto X divide (A,B) na razao α, Y divide (B,C) na razao β e Z

47. Como voce pode reconhecer, pelas coordenadas, que um ponto pertence a um dos eixos coordenados? E a um dos planos coordenados?

48. Se o sistema e ortogonal, quais sao as coordenadas dos pontos simetricos de P = (x,y,z) em relacao a cada plano coordenado? E em relacao a cada eixo coordenado?

49. Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P1, P2, P3, P4,

P5 e P6 sejam, respectivamente, as projecoes ortogonais de P = (x,y,z) sobre Oxy, Oxz, Oyz, Ox, Oy e Oz.

b) Se P e um dos vertices de um cubo de centro O e faces paralelas aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros sete vertices.

51. Dados A = (2,5,3) e B = (1,1,0), calcule as coordenadas dos pontos C e D, que determinam em AB tres segmentos congruentes.

52. Determine as coordenadas do ponto Q, simetrico de P = (x,y,z) em relacao a M = (x0,y0,z0).

Mostre que esses pontos sao vertices de um trapezio e diga quais sao as bases, os lados nao-paralelos e as diagonais.

quais sao suas diagonais e quais sao seus lados.

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