O OBJETO MODELO MATEMÃ?TICO E SUAS DIVERSAS REPRESENTAÃ?Ã?ES SEMIÃ?TICAS: uma concepção de modelagem matemática

O OBJETO MODELO MATEMÃ?TICO E SUAS DIVERSAS REPRESENTAÃ?Ã?ES SEMIÃ?TICAS: uma...

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Ednilson Sergio Ramalho de Souza1 Universidade Federal do Pará-UFPA

Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI ednilson.souza@yahoo.com.br

Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo2

Universidade Federal do Pará-UFPA

Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI adilson@ufpa.br

Resumo Baseando-nos nos estudos do Filósofo e psicólogo Raymond Duval sobre as transformações de registros semióticos na área da educação matemática, temos por objetivo propor a incorporação dos estudos de Duval ao processo de modelagem matemática. Buscando responder à seguinte questão de pesquisa: como favorecer significado à diversidade de representações matemáticas aplicadas durante o processo de ensino-aprendizagem de Matemática? propomos que sejam privilegiadas as conversões e leituras das diversas representações matemáticas de um mesmo objeto matemático, o objeto modelo matemático. Por analogia ao conceito de número, argumentamos que um modelo matemático pode ser “visto” como um objeto matemático e, como tal, pode ser objetivado por diferentes representações matemáticas. Uma tabela, um gráfico ou uma equação algébrica obtidos a partir de um mesmo problema constituem, dessa forma, em diferentes representações matemáticas de um mesmo objeto modelo matemático. Cada uma dessas diversas representações matemáticas “carrega” um teor matemático que deve ser explorado em situações de aprendizagem. À medida que o sujeito faz as conversões e leituras das várias formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático aumenta sua compreensão sobre a situação ou problema, favorecendo, portanto, à ação sobre a realidade à sua volta.

Palavras-chave: Objeto modelo matemático, Representações matemáticas, Conversões semióticas.

1.0 Introdução

Observando-se um pouco a história da ciência é fácil notar que uma constante indiscutível no desenvolvimento do conhecimento é a crescente construção de representações matemáticas seja para descrever algum aspecto da natureza ou algum

1 Professor de Física e Mestrando em Educação em Ciências e Matemáticas pelo Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA. 2 Docente do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas do Instituto de Educação Matemática e Científica-IEMCI/UFPA.

fenômeno (social, físico, biológico, psicológico etc.). Nesse contexto, não podemos preterir a importância destas no processo de ensino e aprendizagem. Em algumas disciplinas – como Matemática ou Física –, é comum o uso de alguma equação matemática para dar sustentação à compreensão de conceitos ou fenômenos (seja para fazer previsão, inferência ou auxiliar na explicação do professor). Devido a essa generalização na aplicação de representações matemáticas durante o processo de ensino de tais disciplinas, as equações são apresentadas aos alunos apenas como ferramenta auxiliar na aprendizagem, muitas vezes de forma estanque ou estática, restando aos discentes somente memorizá-las, sem encontrar sentido3 ou dar significado em suas aplicações.

Nosso objetivo geral é propor a incorporação dos estudos de Duval sobre as transformações de registros semióticos ao processo de modelagem matemática. Almejamos com isso que seja favorecida a compreensão do significado das diversas formas de se representar o mesmo objeto modelo matemático, levando o discente a distinguir o objeto matemático de sua representação. Tal escopo pode ser efetivado pedagogicamente quando se privilegiam as conversões e tratamentos4 , bem como as leituras e interpretações das diversas representações matemáticas construídas a partir de um mesmo problema real.

Nesse panorama é que identificamos nossa questão de pesquisa: como favorecer significado à diversidade de representações matemáticas aplicadas no processo de ensino-aprendizagem de Matemática?

3 Vygotsky distingue dois componentes do significado da palavra: o significado propriamente dito e o sentido. O significado propriamente dito refere-se ao sistema de relações objetivas que se formou no processo de desenvolvimento da palavra, consistindo num núcleo relativamente estável de compreensão da palavra, compartilhado por todas as pessoas que a utiliza. O sentido, por sua vez, refere-se ao significado da palavra pra cada indivíduo, composto por relações que dizem respeito ao contexto de uso da palavra e às vivências afetivas do indivíduo (OLIVEIRA, 1999, p. 50) (grifos do autor). 4 Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria.

As conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica (DUVAL, 2008, p. 16).

2.0 Representações

Numa visão semiótica e cognitiva, pode-se entender que “uma representação é uma notação ou signo ou conjunto de símbolos que ‘re-presenta’ algo para nós, ou seja, ela representa alguma coisa na ausência dessa coisa” (EYSENCK e KEANE apud

FERNADES, 2000, p. 10)5 . Segundo Raymond Duval (2009), Piaget recorre à noção de representação como “evocação dos objetos ausentes” (grifos do autor).

Para Duval (idem), as representações podem ser classificadas de acordo com as oposições interna/externa e consciente/não-consciente. Ver quadro 1.

Quadro 1 - Tipos e funções de representações (Fonte: Duval, 2009).

Interna Externa

Consciente Mental

• Função de objetivação

Semiótica

• Função de objetivação

• Função de expressão

• Função de tratamento intencional Não-consciente Computacional

• Função de tratamento automático ou quase instantâneo.

Percebemos que este autor classifica as representações em três grandes tipos: mental, semiótica e computacional. As representações mentais são internas e conscientes, elas não necessitam de um significante para representar o objeto, são geralmente identificadas às “imagens mentais”. As representações semióticas também são conscientes, mas externas, necessitam de um significante (símbolo, reta, curva, sons...) para representar o objeto. As representações computacionais são internas e não conscientes, podem ser algoritmizáveis ou codificáveis. Os modelos mentais6 são exemplos desse tipo de representação.

Fernandes (2000) informa que as representações externas são utilizadas principalmente na comunicação entre os indivíduos. As internas são utilizadas no processamento mental (pensamento). Dentre as representações externas podemos

5 EYSENK, M. E; KEANE, M. T. Cognitive pisichology: a student’s hadbook. Hove: Lawrence Erlbaum, 1990. 6 Modelos mentais são representações internas análogas ao sistema representado, podem ser “rodados” ou “simulados” na mente do indivíduo para compreender ou explicar tal sistema (Moreira, 1996).

distinguir a pictórica (desenhos, figuras, diagramas) e as linguísticas (palavra escrita ou falada). As representações internas são utilizadas pela mente e podem ser divididas didaticamente em distribuídas (redes neurais artificiais) e simbólicas: proposicionais do “tipo-linguagem” e analógica (imagens mentais e modelos mentais). Ver figura 1.

Representações

Externas Internas Simbólicas Distribuídas

Analógicas

Imagens Modelos mentais ProposicionaisPictóricas Lingüísticas

Figura 1 - Diagrama das diferentes representações (Fonte: FERNANDES, 2000, p. 1).

As representações semióticas não são externas nem internas. Porém, toda representação externa é semiótica (DUVAL, 2009). De maneira geral são sistemas de expressão e representação para os números, notações simbólicas para os objetos, escrituras algébricas e lógica que contenham o estatuto de línguas paralelas à linguagem natural para exprimir as relações e as operações: figuras geométricas, representações em perspectiva, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas etc. As representações externas são, por natureza, representações semióticas. Isto porque a produção de uma representação externa efetua-se, necessariamente, por meio da operacionalização de um sistema semiótico (DUVAL, 2009).

Depreende-se do que foi visto acima que, numa concepção semio-cognitiva, o termo representação é usado principalmente com o apelo de proporcionar uma “visão” de um objeto ausente. Essa “visão” pode ser mediada por um significante, no caso das representações semióticas ou sem mediação de significantes, no caso das representações mentais e computacionais. Passemos a discutir sobre o termo modelo.

3.0 Modelos

Bassanezi (2004) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizálos através de um sistema artificial: o modelo.

Infere-se da citação acima que o termo modelo possui, necessariamente, a função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções, tomada de decisões. O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38). Borges (1997) contribui ressaltando que,

Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos. Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade. (BORGES, 1997, p. 207).

Esse autor argumenta também que quando uma coisa é análoga a outra, implica que uma comparação entre suas estruturas é feita e a analogia é o veículo que expressa os resultados de tal comparação. Analogias são, portanto, ferramentas para o raciocínio e para a explicação.

Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa que, necessariamente, possibilite explicações, inferências, predições, tomada de decisões por meio de analogias entre o modelo (representante) e a coisa modelada (representado). Enquanto que uma simples representação apenas evoca algo que está ausente, uma representação do tipo modelo, além de evocar o àquilo que está ausente, possibilita explicação e descrição.

Um modelo, por exemplo, de um motor de carro (planta, maquete, protótipo) deve permitir que o engenheiro explique o seu funcionamento e tome decisões a partir da “leitura” desse modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não possibilitará nenhuma explicação científica. Será apenas uma representação de um motor, apenas o representará em sua ausência.

Logo, podemos refletir que, de maneira geral, todo modelo é uma representação, mas nem toda representação constitui-se em um modelo. Para que uma representação “torne-se” um modelo, esta deve permitir algum tipo de “leitura” (explicação, inferência, predição, dedução, tomada de decisão). É certo afirmar que a leitura de uma representação depende, dentre outras coisas, do conhecimento prévio (do repertório cognitivo) do sujeito. Desta maneira, a distinção entre esses dois termos (representação e modelo) não é algo trivial, ocorre a nível mental, a nível cognitivo. Um modelo seria, então, uma representação com capacidade de possibilitar leitura sobre o representado.

Representação modelo (cognitivo)

Figura 2. A distinção entre representação e modelo ocorre a nível cognitivo, depende do conhecimento prévio do sujeito.

Talvez a dificuldade em distinguir uma simples representação de uma representação do tipo modelo ocorra devido haver um obstáculo epistemológico ocasionado pelo uso frequente do termo modelo como sinônimo de representação.

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