Baixe Cônicas e Quádricas e suas aplicações e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity! Centro Universitário Newton Paiva Campus Buritis Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Rodrigo Rodrigues Retório Engenharia de Produção RA: 11013271 Sala 104 Noite Trabalho sobre Cônicas e Quádricas Geometria Analítica Belo Horizonte 2010. 1º Cônicas As cônicas são curvas planas que se originam da interseção de cone circular por um plano. As diversas posições desse plano em relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos a seguir. Cônicas como seções planas do cone Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone. Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos para a interseção do cone com o plano: A. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice V, então a seção é uma circunferência. Logo, uma circunferência é uma cônica. B. Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V, então a curva de interseção é uma parábola. C. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, a interseção é uma elipse. Um caso extremo é quando o ângulo é π/2, e a elipse se torna uma circunferência. D. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, então a interseção contém pontos nos dois lados do cone em relação ao vértice e a curva resultante é chamada de hipérbole. E. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ˆangulo entre π e o eixo é igual a θ, a interseção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz. F. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é menor que θ, a interseção resulta em um par de retas concorrentes. G. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é maior que θ, a interseção resulta em um ponto, mais precisamente, o vértice V. As cônicas obtidas como interseção do cone por planos passando pelo vértice V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas. Existem mais dois outros casos de cônicas (degeneradas) que não comparecem na interseção do cone circular com o plano, que são: para de retas paralelas e vazio. Estas cônicas podem ser obtidas como interseção do cilindro com um plano. Na Geometria Projetiva, o cilindro é um cone, com vértice “no infinito”. A Parábola Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2A) onde 2A > d(F1, F2). Assim: d(P, F1) + d(P, F2) = 2A e d(Q, F1) + d(Q, F2) = 2A Denominamos: F1 e F2 : Focos. A distância entre os focos é 2C e se denomina distância focal. O: Centro da elipse é o ponto médio dos focos. A1, A2, B1 e B2: Vértices da elipse. Eixo maior: É o segmento A1A2 cujo comprimento é 2ª. Eixo menor: É o segmento B1B2 cujo comprimento é 2B. Do triangulo retângulo B2O F2 da figura acima obtemos a relação notável: A² = B² + C² Excentricidade A excentricidade da elipse e definida por: e = c/a onde 0 < e < 1 Quanto mais próximo de zero for o valor de e, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. E quanto mais próximo de 1 for o valor de e, mais achatada será a elipse. Conclui-se quanto aos valores extremos de e: Se e = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F1 e F2 coincidem com o centro da circunferência. Se e = 1 tem-se um segmento retilíneo F1 F2. Equações canônicas da elipse de centro na origem A: O eixo maior coincide com o eixo x. Se para P(x, y). Por definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2ª substituindo esses termos por valores chega-se a seguinte equação: X² + y² = 1 A² B² (eixo maior = eixo x) Que é chamada de equação canônica ou reduzida da elipse de centro na origem e focos sobre os eixo x. B: O eixo maior coincide com o eixo y. Analogamente tem-se que para um ponto P(x, y) pertencente a elipse tem-se a equação : X² + y² = 1 A² B² (eixo maior = eixo y) Na equação canônica A é a medida do semi-eixo maior e A² representa o maior dos denominadores. Se o numero A² é o denominador de: X² então os focos são sobre o eixo x. Y² então os focos são sobre o eixo y. Identificação de elipse Uma equação do tipo Ax² + By² = F representa uma elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos se: - A e B concordam em sinal. - A for diferente de B As elipses também podem ser: A: Real: Se A, B e F concordarem em sinal. B: Imaginaria: (Não há lugar geométrico ou é um conjunto vazio.) Se F tem sinal contrario de A e B. C: Puntiforme: (A elipse se reduz a um ponto em O) Se F = 0. A Hipérbole Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos), do mesmo plano, é uma constante (2A), onde 2A < d(F1, F2), assim: | dist (P, F1) − dist (P, F2)| = 2A A hipérbole é uma curva em que seu valor pode ser obtido através da diferença da maior e a menor distância. Denominamos: F1, F2: Focos. A distância entre os focos é igual a 2c, denomina-se distância focal. O: Centro da hipérbole; é o ponto médio do segmento F1, F2. A1, A2: Vértices da hipérbole. Eixo Real ou Transverso: É o segmento A1A2 e o seu comprimento é 2a. Eixo Imaginário ou Conjugado: É o segmento B1B2 e seu comprimento é 2b. Do triângulo B2OA2 na figura obtemos a relação notável: c² = a² + b² Excentricidade da hipérbole: É definida por: e = c e > 1 a Quanto maior a excentricidade da hipérbole maior será sua abertura e quanto menor for sua excentricidade menor será sua abertura. Equações A equação da hipérbole cujos focos são F1 = (-c; 0) e F2 = (c; 0) é X² - y² = 1 a² b² A equação assíntotas da hipérbole (retas onde a curva se aproxima de +infinito ou – infinito) é: y = b x ou y = - b x a a Quádricas Quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação de 2º grau de no máximo três variáveis. ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0; Em que a; b; c; d; e; f; g; h; i; j pertencem aos R, com a; b; c; d; e; f não simultaneamente nulos. Elipsóide Elipsóide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação x² + y² + z² = 1 a² b² Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide elíptico é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois, se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, y, z) e (x, -y, z) também satisfazem. Ele também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, -y, z) também satisfaz. A interseção do parabolóide elíptico com o plano z = k, para k tal que ck > 0, é a elipse: x² + y² = 1, z = k cka² ckb² A interseção do parabolóide elíptico com o plano x = k é a parábola: Z = k² + y² , x = k ca² cb² A interseção do parabolóide elíptico com plano y = k também é uma parábola. Parabolóide hiperbólico Um parabolóide hiperbólico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação: cz = x² - y² , a² b² Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (x, -y, z) e (-x, y, z) também satisfazem. Ele também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, -y, z) também satisfaz. A interseção do plano z = k com o parabolóide hiperbólico é dada por: x² - y² = k, z = k ca² cb² Que representa uma hipérbole, se k for diferente de 0 e um par de retas, se k=0 A interseção do plano x = k com o parabolóide hiperbólico é a parábola: Z = - y² + k² , x = k cb² ca² Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se c < 0. A interseção do plano y = k com o hiperbolóide hiperbólico é a parábola: Z = x² + k² , y = k ca² cb² Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se c < 0. O parabolóide hiperbólico é também chamado de sela. Cone elíptico Pontos de intersecção com os eixos coordenados: ; Seções paralelas ao plano XY: z =0 (0,0,0), caso contrário elipses; Seções paralelas ao plano XZ: y =0, duas retas concorrentes caso contrário hipérboles; Seções paralelas ao plano YZ: x =0, duas retas concorrentes caso contrário hipérboles; Se a = b obtemos um cone de revolução. Cilindros Pegua-se numa curva plana C. Todas as linhas que passam por C e são perpendiculares ao plano de C formam uma superfície (cilindro). As linhas perpendiculares são chamadas geratrizes do cilindro. Se a linha curva se encontra no plano XY (ou num plano paralelo ao plano XY) então as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo de Z e a equação do cilindro só envolve x e y. Cilindro parabólico Cilindro elíptico Se a=b obtemos um cilindro de revolução. Cilindro hiperbólico Quádricas Degeneradas Nenhum ponto: ; Um único ponto: ; Uma reta: Um plano: ; Dois planos: ; Aplicações das Cônicas e Quádricas na Engenharia O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas outras A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que prendem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola. As extremidades das asas do famoso avião britânico spitfire, usado com grande sucesso na I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo. O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (Long Range Navigation) faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses. Bibliografia BARBOSA, Marieliton Mendes, Álgebra Vetorial: Cônicas e Quádricas. Paraíba, 2009. UFMG – Departamento de matemática. http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/ sec19.html SANTOS, Reginaldo J. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Minas Gerais, 2006. VENTURINI, Joacir J. Cônicas e Quádricas. Curitiba, Unificado Artes Gráficas e Editora, 2005. WWW.yahoo.com.br Acessado em 08/05 às 13h56min. WWW.google.com Acessado em 06/05 às 12h49min.