Indispensabilidade e Conhecimento Matemático

Indispensabilidade e Conhecimento Matemático

(Parte 1 de 2)

Indispensabilidade e Conhecimento Matemático∗

Neste texto discute-se a consequência do argumento da indispensabilidade – o conhecimento matemático é a posteriori – relativamente às concepções que o conhecimento matemático é a priori ou que o conhecimento matemático é “autoevidente” ou “óbvio”.

O argumento da indispensabilidade matemática é tido como único bom argumento a favor do platonismo tradicional como doutrina que defende a existência de entidades matemáticas abstractas. A existência das entidades matemáticas justifica-se apenas pela sua indispensabilidade em teorias científicas. Entidades matemáticas que não são indispensáveis em nenhuma teoria científica, são entidades sem direitos ontológicos. Uma versão do argumento da indispensabilidade de Quine/Putnam, discutido por Colyvan (2001), é a seguinte:1

(1) Devemos comprometermo-nos ontologicamente apenas com as entidades que são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas; (2) As entidades matemáticas são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas;

(∴) Devemos comprometermo-nos ontologicamente com as entidades matemáticas.

Considera-se que o argumento da indispensabilidade tem a seguinte consequência epistémica relativamente à natureza do conhecimento matemático: o conhecimento matemático é a posteriori. Esta consequência estabelece-se do seguinte modo:

1) O argumento da indispensabilidade coloca o conhecimento matemático epistemicamente a par do conhecimento científico. 2) O conhecimento científico é a posteriori.

(∴) O conhecimento matemático é a posteriori.

∗ Castro, Eduardo, Seminário de Orientação I, (FLUL: Março 2005). 1

O argumento da indispensabilidade é um argumento ontológico sobre a existência de entidades que são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas. O argumento anterior é um argumento epistémico sobre o conhecimento científico, em particular, sobre a natureza do conhecimento matemático e científico. Se se considera que há uma relação entre o argumento da indispensabilidade e o argumento anterior, então haverá uma passagem do domínio ontológico para o domínio epistémico. Será que a indispensabilidade das entidades matemáticas nas teorias científicas implica que as entidades matemáticas apenas podem ser justificadas por métodos empíricos, isto é, que o conhecimento matemático é conhecimento a posteriori?

Dado que apenas nos devemos comprometer com as entidades que são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas, então apenas devem existir, ontologicamente, as entidades que são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas. Como são estabelecidas as entidades que são indispensáveis às nossas melhores teorias científicas? As entidades que são indispensáveis às teorias científicas são estabelecidas por métodos empíricos. Logo, as entidades matemáticas são estabelecidas por métodos empíricos. Isto é, o conhecimento matemático é conhecimento a posteriori.

Antes de avançar, esclarece-se duas coisas. Primeiro, este texto adopta a concepção epistemológica tradicional do conhecimento que define o conhecimento como crenças verdadeiras justificadas. Considerando um sujeito A e uma proposição p, dizemos que A conhece p sse 1) p; 2) A crê que p; 3) a crença de A de que p é justificada. Segundo, este texto adopta a concepção que a natureza do conhecimento é o modo como determinado conhecimento é alcançado, ou seja, o tipo de justificação que é dado para uma dada proposição. Por exemplo, a consequência do argumento da indispensabilidade diz-nos que o conhecimento matemático é alcançado por métodos empíricos, isto é, o valor de verdade de determinadas proposições matemáticas justificase por métodos empíricos e, portanto, a natureza do conhecimento matemático é a posteriori.

Esta consequência do argumento da indispensabilidade – o conhecimento matemático é a posteriori – é altamente disputável, pois, pelo menos ao nível do senso comum, o conhecimento matemático é considerado como sendo um tipo de conhecimento diferente do conhecimento científico. O conhecimento científico é um conhecimento alcançado por métodos empíricos, isto é, por experiência. Por sua vez, os matemáticos não parecem estabelecer experiências ou fazer observações na prossecução das suas investigações. E, portanto, o conhecimento matemático será um conhecimento alcançado por processos que não apelam à experiência. O jargão filosófico habitual é o conhecimento matemático é a priori.

O carácter a priori do conhecimento matemático Classificar o conhecimento matemático como conhecimento a priori pode ser uma classificação vaga uma vez que o termo a priori pode ter significados diferentes. Por exemplo: 1) o conhecimento a priori é conhecimento que não depende da experiência (Kant); 2) o conhecimento a priori é racionalmente irrevísivel; 3) o conhecimento a priori é necessário; 4) o conhecimento a priori é analítico (Frege).2 De acordo com a consequência do argumento da indispensabilidade que considera o conhecimento matemático como conhecimento a posteriori, i.e. conhecimento que depende da experiência, discutamos o conhecimento a priori no primeiro sentido – conhecimento que não depende da experiência.

Quando se afirma que o conhecimento matemático não depende da experiência, isso não significa que todo o conhecimento matemático não depende da experiência, mas que podemos alcançar conhecimento matemático sem ser através da experiência. O modo como aprendemos as figuras geométricas pode ser instrutivo. Enquanto crianças aprendemos que há objectos na natureza com formas particulares como “quadrado” ou “redondo”. Depois, provavelmente, aprendemos a noção de simetria e reparamos que há uns objectos que são mais simétricos que outros. Isto é, reparamos que há uns objectos que tem uma forma mais quadrada ou redonda do que outros objectos. Mais tarde, após termos desenhado muitos quadrados e circunferências e após um treino vasto com noções de geometria adquirimos os conceitos de quadrado, circunferência e outros, isto é, conceitos sob figuras abstractas que não existem no mundo natural. Por intermédio da reflexão sobre estes conceitos podemos estabelecer que os quadrados têm 4 lados, têm 4 ângulos, cada ângulo interno tem 90º, etc. Esta reflexão conceptual não depende de alguma experiência, ou seja, para conhecermos a amplitude dos ângulos de um quadrado não utilizamos transferidores em objectos da natureza – este é um conhecimento a priori. É um conhecimento que se alcança apenas por insight do conteúdo do conceito. Portanto, ainda que todo o conhecimento comece na experiência, nem todo o conhecimento deriva da experiência (Kant).

A intuição que o conhecimento matemático é conhecimento a priori que não depende da experiência é uma intuição forte e não parece ser uma intuição conciliável com a alegada indispensabilidade da matemática nas teorias científicas. Vejamos porquê.

Uma teoria científica apenas é considerava como sendo uma teoria científica quando passa algum teste experimental que esteja de acordo com as condições por ela estipuladas. Assim, um procedimento científico comum é a formulação de experiências para testar a eventual validade das teorias científicas. Considerações teóricas que nunca foram sujeitas a qualquer teste experimental são especulações científicas cujo grau de crença não se sujeita a uma avaliação objectiva nem intersubjectiva, mas é matéria de opinião que depende das inclinações dos cientistas.

Se o conhecimento matemático é conhecimento a posteriori, então o conhecimento matemático fundamenta-se na experiência. Ora, isto significa que as teorias matemáticas também têm de se sujeitar a testes experimentais. Porém, no ponto de vista da prática matemática isto não parece ser o caso. Jamais algum matemático propôs uma experiência para avaliar o valor de verdade de um teorema ou de um axioma da matemática. Aliás, a própria ideia de conceber uma experiência particular para testar um teorema matemático particular parece ser uma ideia absurda. Por exemplo, qual seria a experiência para testar o valor de verdade do teorema do valor intermédio? Mas, se na matemática não há prática experimental e se é um facto que há conhecimento matemático, então o conhecimento matemático não depende da experiência.

Como conciliar que o conhecimento matemático é conhecimento a priori que não depende da experiência com a alegada indispensabilidade da matemática nas teorias científicas?

Carl Hempel (1945) já tinha reparado que não parecia ser possível acomodar proposições verdadeiras justificadas a priori, i.e. empiricamente vazias, com a sua evidente aplicabilidade em matérias empíricas para a formulação de teorias científicas. Adoptando uma visão simplista da relação entre a ciência e a matemática Hempel avança a seguinte solução. A matemática é uma técnica conceptual que torna explícito o que está implícito nas premissas empíricas em que a matemática é aplicada, ou seja, a matemática quando aplicada à ciência tem um carácter explicativo e não um carácter de previsão como é o caso das teorias científicas; as proposições matemáticas servem como um extractor de sumo para a formulação do conhecimento empírico. Portanto, estabelece-se uma assimetria entre as proposições matemáticas e as proposições científicas: as proposições científicas, isto é, as teorias científicas, têm um carácter de previsão enquanto as proposições matemáticas têm um carácter explicativo.3

Todavia, a resposta de Hempel, como parte de uma visão simplista da relação entre a matemática e a ciência, não serve como resposta ao problema da natureza do conhecimento matemático que toma em consideração o argumento da indispensabilidade. O holismo da confirmação coloca as teorias científicas e as proposições matemáticas interligadas numa rede; proposições matemáticas e teorias científicas fazem parte de uma rede onde entidades matemáticas e entidades científicas têm o mesmo estatuto epistémico. Logo, a visão que a matemática é aplicada nas teorias científicas como “extractor de sumo” das premissas empíricas4 parte de uma separação entre teorias científicas e proposições matemáticas que não é legítima no âmbito do argumento da indispensabilidade.

Portanto, a visão que o conhecimento matemático é conhecimento a priori que não depende da experiência não é uma visão conciliável com a alegada indispensabilidade das entidades matemáticas nas ciências empíricas, pois uma consequência desta alegada indispensabilidade é precisamente contrária à primeira visão – o conhecimento matemático é conhecimento a posteriori.

Pode tentar-se objectar que o argumento da indispensabilidade não implica que o conhecimento matemático é a posteriori, mas tal objecção não parece ser possível. Aceitar o argumento da indispensabilidade é também aceitar a sustentação das suas premissas, em particular o holismo da confirmação e o naturalismo quineano da rejeição de uma “filosofia primeira”, e, assim, não será possível separar o conhecimento matemático do conhecimento científico atribuindo valores epistémicos diferentes a cada um deles.

Se o argumento da indispensabilidade é irreconciliável com a visão que advoga que o conhecimento matemático não depende da experiência, então as posições platonistas que advogam a existência dos objectos matemáticos através do argumento da indispensabilidade e simultaneamente advogam que o conhecimento matemático não depende da experiência confrontam-se com um dificuldade intransponível: ou avançam outro argumento para sustentar a existência dos objectos matemáticos que não implique que o conhecimento matemático seja a posteriori, ou aceitam que o conhecimento matemático depende da experiência. Esta é uma opção difícil, dado que o argumento da indispensabilidade é considerado como o único bom argumento a favor da existência dos objectos matemáticos e a intuição de que o conhecimento matemático é a priori é uma intuição demasiado forte para poder ser descartada facilmente.

Uma vez que não vemos maneira de saber qual será a melhor opção, tentemos evidenciar eventuais fragilidades de cada uma das opções.

O carácter auto-evidente ou óbvio do conhecimento matemático Uma concepção tradicional dos procedimentos na matemática com inclinação a priorista relativamente ao conhecimento matemático costuma estabelecer a seguinte distinção. Há dois géneros de proposições matemáticas – teoremas e axiomas. Teoremas são proposições matemáticas que se deduzem dos axiomas através de princípios lógicos5; os axiomas são proposições matemáticas constituídas por termos primitivos. Esta distinção permite afirmar que todos os teoremas têm uma justificação dedutiva. Ou seja, é possível deduzir os teoremas a partir de um determinado conjunto de axiomas. E os axiomas? Como se justifica os axiomas da matemática?

Uma resposta à pergunta anterior é a seguinte: acede-se ao conhecimento dos axiomas da matemática por intermédio de um insight intelectual. Este género de conhecimento não-sensório é também usualmente denominado por “conhecimento intuitivo”, “conhecimento auto-evidente” ou “conhecimento óbvio”. Deste modo, os axiomas da matemática não podem ser estabelecidos por métodos empíricos dado que são proposições necessariamente verdadeiras, isto é, são proposições verdadeiras em todos os mundos possíveis. Ou seja, não se pode considerar que os axiomas da matemática são verdadeiros mas podiam ter sido falsos – os axiomas não são proposições contingentemente verdadeiras. A verdade dos axiomas da matemática é necessária e transcende a necessidade da experiência. Portanto, o conhecimento dos axiomas da matemática e, de uma forma geral, o conhecimento matemático é um conhecimento a priori.6

Da concepção anterior pode resultar a seguinte objecção à consequência epistemológica do argumento da indispensabilidade. As proposições matemáticas elementares, tais como existe um número par primo, são proposições que são verdadeiras, não porque sejam indispensáveis numa teoria científica bem sucedida, mas porque são obviamente verdadeiras. Ou seja, o conhecimento matemático elementar justifica-se pelo seu carácter óbvio.7 Já vimos que há outra terminologia para caracterizar este tipo de conhecimento como “conhecimento auto-evidente” ou “conhecimento intuitivo”.8 Antes de avançarmos a resposta da doutrina indispensabilista a esta objecção discutamos dois pontos sobre a noção de elementaridade.

Primeiro, a noção de proposição matemática elementar é uma noção que se sujeita a uma interpretação subjectiva e psicológica. Ou seja, é disputável se determinada proposição matemática é elementar ou não, dado que a eventual elementaridade de uma proposição parece depender de factores como estados de humor, contexto ou memória. Um exemplo da dependência da elementaridade de um estado de humor pode ser o seguinte: enquanto estudantes podemos considerar que o teorema de Pitágoras é uma proposição elementar porque temos uma paixão secreta pela professora de matemática que nos ensina o teorema de Pitágoras. Um exemplo sobre a dependência da elementaridade da memória e do contexto pode ser o seguinte: um estudante de Análise Matemática, pode considerar que o teorema do valor intermédio9 é uma proposição matemática elementar porque está familiarizado com esse teorema no seu dia-a-dia; porém, num período posterior, essa mesma pessoa pode considerar que o teorema do valor intermédio não é uma proposição elementar porque não é um objecto familiar no seu dia-a-dia.

(Parte 1 de 2)

Comentários