Indispensabilidade e Conhecimento Matemático

Indispensabilidade e Conhecimento Matemático

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Segundo, independentemente dos aspectos psicológicos e subjectivos anteriormente referidos, a eventual elementaridade de uma proposição matemática parece também depender objectivamente do conhecimento do significado dos conceitos e noções da proposição. Em particular, uma proposição matemática será elementar para determinado sujeito se o sujeito conhecer o significado de alguns conceitos e noções da teoria matemática que suporta a proposição. Por exemplo, alguém que desconheça o significado das noções matemáticas par e primo, não considera que a proposição existe um número par primo seja uma proposição elementar.

Segundo Colyvan, a doutrina indispensabilista responde à objecção do carácter óbvio das proposições elementares da seguinte maneira. A proposição matemática

(A) existe um número par primo, apenas pode ter um valor de verdade no contexto da teoria de números. Isto é, (B) Se a teoria de números é verdadeira, então existe um número par primo.

Portanto, a reclamação de que o conhecimento das proposições matemáticas elementares se justifica pelo carácter óbvio dessas proposições estabelece uma confusão entre o carácter óbvio de (B) e o carácter aparentemente óbvio de (A). A proposição (A) não é obviamente verdadeira uma vez que remete para um debate metafísico sobre a existência dos números.

Em geral, os debates metafísicos sobre a existência ou não dos objectos não são debates óbvios: pensar que é possível alcançar um consenso sobre o que existe é uma utopia. Em particular, o debate metafísico sobre a existência ou não dos objectos matemáticos é um debate que tem ocupado os filósofos da matemática desde que há filosofia. O debate actual entre ficcionistas e platonistas é a versão contemporânea desse debate antigo. Portanto, o problema metafísico sobre a existência ou não de números é um problema que não tem uma resposta óbvia e, deste modo, a proposição (A) apenas é aparentemente óbvia.

Contudo, há uma diferença entre (A) e (B) relativamente ao conhecimento matemático: (A) pretende ser um exemplo que ilustra porque o conhecimento matemático elementar seria um conhecimento óbvio; enquanto, (B) é um exemplo consistente com diferentes visões da natureza do conhecimento matemático. Um ficcionista e um platonista estariam de acordo sobre a verdade de (B), mas ambos têm diferentes concepções sobre a natureza do conhecimento matemático – um ficcionista considera que a matemática é uma ficção criada pelos matemáticos e o conhecimento matemático é o conhecimento dessa ficção e dos objectos ficcionais correspondentes; um platonista considera que a matemática é sobre objectos que existem objectiva e independentemente de qualquer sujeito e o conhecimento matemático é o conhecimento das teorias e objectos matemáticos.

Segundo a doutrina indispensabilista, qual é a natureza do conhecimento matemático associada com (B)? Isto é, segundo a doutrina indispensabilista, como determinamos se a teoria de números é verdadeira? A doutrina indispensabilista considera que a teoria de números é verdadeira apenas se existirem os objectos que a teoria refere, isto é, a teoria de números é verdadeira apenas se os números existirem. A única maneira de determinarmos se os números existem é averiguar se os números são indispensáveis numa teoria científica bem sucedida. Dado que os números são indispensáveis em várias teorias científicas bem sucedidas, segue-se que os números existem e, portanto, a teoria de números é verdadeira.

Em suma, uma tentativa para objectar o carácter óbvio de proposições matemáticas elementares é considerar que as proposições elementares apenas aparentemente são óbvias, na realidade escondem um debate metafísico que não é óbvio. O carácter óbvio da matemática apenas se verifica em implicações da forma (B): se determinada teoria matemática é verdadeira (i.e. um conjunto de axiomas consistente), então seguem-se determinadas proposições elementares. Porém, esta resposta de Colyvan colide com a concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo. Esta concepção é também uma visão a priorista da matemática mas que objecta que o conhecimento de proposições matemáticas elementares ou não seja um conhecimento “óbvio” ou “auto-evidente”. Para constatarmos porque isso acontece precisamos esclarecer o que se entende por concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo e o que se entende por teoria de números.

A concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo considera que a validade da matemática deriva de estipulações que determinam o significado dos conceitos matemáticos envolvidos nas proposições matemáticas. Assim, os axiomas da matemática de uma teoria matemática são um conjunto de proposições constituídas por termos primitivos e que não são demonstráveis a partir da teoria matemática. Estes termos primitivos também não se definem a partir da teoria.

Uma teoria matemática é completamente determinada através dos axiomas e os termos primitivos que a constituem. Isto é, as proposições matemáticas da teoria são logicamente dedutíveis dos axiomas e cada termo da teoria é definível através dos termos primitivos.10 Esta concepção apesar de a priorista objecta o carácter óbvio (ou auto-evidente) das proposições matemáticas, isto é, objecta que o conhecimento matemático possa justificar-se pelo seu carácter óbvio (ou auto-evidente). As razões são as seguintes: 1) Geralmente, são possíveis diferentes demonstrações de um teorema. Por exemplo, um teorema da forma p→q pode ser demonstrado através de dois percursos: supõe-se p e infere-se q, ou supõe-se ¬q e infere-se ¬p. Nestas inferências utilizam-se princípios lógicos e definições ou axiomas e, provavelmente, utilizam-se outros resultados já estabelecidos como corolários ou lemas. Portanto, são possíveis diferentes demonstrações de um teorema e essa possibilidade não parece consistente com o carácter óbvio dos teoremas que em princípio apenas admitiria uma e uma só demonstração.

2) Se a demonstração de um teorema fosse óbvia, então, virtualmente, qualquer pessoa conseguiria demonstrar um teorema. Ora acontece que, em princípio, as demonstrações dos teoremas só estão ao alcance de alguns especialistas que utilizam processos psicologicamente ardilosos e não-intuitivos e, portanto, as demonstrações dos teoremas não serão óbvias. 3) Há proposições matemáticas que se desconhece qual seja o seu valor de verdade e, portanto, a matemática na totalidade não pode ser óbvia. Por exemplo, desconhece-se qual o valor de verdade da hipótese do contínuo e da conjectura de Goldbach. 4) Se os axiomas matemáticos como os axiomas da teoria de conjuntos fossem óbvios (ou auto-evidentes), então não haveria discussão sobre se esses axiomas são os axiomas mais apropriados para os fundamentos da matemática uma vez que os axiomas seriam evidentes para todos. Dado que a prática matemática evidencia uma discussão sobre os axiomas da teoria dos conjuntos, então os axiomas da matemática não são óbvios (ou auto-evidentes).1 5) Os axiomas da matemática parecem-nos óbvios porque, provavelmente, quando os aprendemos, geralmente, ao nível universitário, as nossas intuições já foram corrompidas por anos de cálculo matemático desde a primária.12

Pode discutir-se qual será o conjunto de proposições matemáticas que Colyvan incluiria na teoria de números. Porém, é sabido que qualquer teoria de números inclui necessariamente um conjunto de axiomas através dos quais se podem deduzir outras proposições matemáticas. Habitualmente, os axiomas de Peano são os axiomas da teoria de números dado que são os axiomas necessários para a formulação de teorias matemáticas sobre os números naturais. Noutros casos, a teoria de números pode incluir ainda os axiomas da teoria de conjuntos dos quais os axiomas de Peano se podem deduzir.

Estamos agora em condições de constatar porque a perspectiva do carácter óbvio da matemática elementar (avançada por Colyvan) colide com a concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo. Segundo esta concepção, (A) será um teorema, a antecedente de (B) um conjunto de axiomas (provavelmente, os axiomas de Peano) e (B) um teorema. Portanto, a concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo considera que implicações do género (B) são teoremas matemáticos e teoremas matemáticos não são “óbvios”.

Há algumas demonstrações de teoremas, corolários ou lemas que se caracterizam por serem demonstrações “triviais”, porém isso é outra coisa diferente da reclamação de que o conhecimento matemático é “óbvio”. Uma demonstração é considerada “trivial” quando de um dado conjunto de premissas segue-se trivialmente a conclusão. Mas isso não implica que os teoremas matemáticos sejam óbvios em si.

Consideremos a seguinte proposição matemática, conhecida por conjectura de

Goldbach, para mostrarmos que implicações do género (B), isto é teoremas, não são óbvios:

(A’) Qualquer número par maior que 2 é a soma de dois primos.

Será a conjectura de Goldbach uma proposição elementar? À primeira vista, a conjectura de Goldbach será uma proposição do mesmo grau de elementaridade da proposição (A) uma vez que na conjectura de Goldbach apenas ocorre uma noção matemática que não é ocorre em (A) – a noção de soma – e que em princípio será também uma noção elementar. Ou seja, se (A) é uma proposição elementar, então (A’) é também uma proposição elementar. Segundo a perspectiva de Colyvan, a proposição (A’), apesar de elementar, apenas aparentemente é uma proposição óbvia, dado que é confundida com o carácter óbvio da proposição seguinte

(B’) Se a teoria de números é verdadeira então qualquer número par maior que 2 é a soma de dois primos.

A conjectura de Goldbach é um dos mais famosos problemas em aberto da teoria de números. Se a perspectiva de Colyvan estivesse correcta, então a conjectura de Goldbach seria um problema resolvido e “óbvio” da teoria de números. Portanto, o exemplo (B’) mostra que proposições do género (B) também não são proposições matemáticas óbvias e assim neste ponto a perspectiva de Colyvan não é correcta.

Após este caminho, podemos estar inclinados a preferir concepção a priorista da matemática como um sistema axiomático dedutivo em detrimento da concepção indispensabilista, uma vez que aquela consegue objectar mais competentemente a reclamação de que o conhecimento matemático é óbvio ou auto-evidente. Porém, esta concepção a priorista enfrenta o seguinte problema. Os axiomas da matemática são constituídos por termos primitivos que podem ser interpretados de infinitas maneiras, mas os termos primitivos dos axiomas da matemática devem ser apenas interpretados segundo o seu significado usual. Por exemplo, os termos primitivos dos axiomas de Peano – “0”, “número natural” e “sucessor” – devem ser interpretados segundo a seu significado usual e, portanto, estes termos têm de ser definidos.

A definição dos termos primitivos de um sistema axiomático conduziu ao chamado projecto logicista de que toda a matemática podia ser derivada da lógica. São conhecidos os problemas do projecto logicista. Por exemplo, o paradoxo de Russell sobre o sistema de Frege; a natureza do axioma do infinito nos Principia Mathematica (Russell, Whitehead).

Referências: Colyvan, Mark (2001), The Indispensability of Mathematics, (Nova Iorque: OUP) Goodman, Quine (1947), “Steps Toward a Constructive Nominalism”, Journal of Symbolic Logic, 12, 105-2. Hempel, Carl (1945), “On the Nature of Mathematical Truth” in Benacerraf; Putnam (1983), Philosophy of Mathematics, (EUA: CUP), 377-393. Landesman, Charles (1997), An Introduction to Epistemology, (Grã-Bretanha, Blackwell). Parsons, Charles (1980) “Mathematical Intuition” in Hart (1998), The Philosophy of Mathematics, (EUA: OUP), 95-113. Maddy, Penelope (1997), Naturalism in Mathematics, (EUA: OUP).

1 Embora o argumento da indispensabilidade seja atribuído a Quine não existe nos seus escritos uma formulação detalhada desse argumento. Aliás, numa primeira fase, Quine (e Goodman) não era realista sobre as entidades abstractas.

Renunciamos completamente a elasPor que recusamos admitir os objectos abstractos que a

Não acreditamos em entidades abstractas. Ninguém supõe que entidades abstractas – classes, relações, propriedades, etc. – existem no espaço-tempo; mas queremos dizer mais que isto. matemática precisa? Fundamentalmente esta recusa é baseada numa intuição filosófica que não pode ser justificada por apelo a nada mais último. (Goodman, Quine (1947), p. 105, citado em Maddy (1997), p. 95).

O argumento da indispensabilidade que se segue e o grosso da análise das suas premissas resulta de Colyvan (2001). 2 1)-3). Colyvan (2001), p. 120. 3 Hempel (1945), p. 390-1. 4 Hempel (1945), p. 391.

5 Entende-se por princípios lógicos as regras de inferência (como o modus ponens) e os postulados primitivos da lógica (por exemplo, se p e q, então p) 6 Landesman (1997), p. 160-2. 7 Esta objecção decorre de Parsons (1980), p: 101. 8 Aqui seguiremos o termo “óbvio” por motivos de rigor exegético relativamente a Colyvan. 9 Teorema do valor intermédio:

Seja f uma função contínua de ℜ em ℜ: a < b, f(a) < y < f(b).

Então ∃c: a < c < b, f(c) = y.

10 Esta concepção da matemática como um sistema axiomático dedutivo resulta de Hempel (1945), p. 379-381. 1 Estas quatro objecções decorrem grosso modo de Hempel (1945), p. 377-8. 12 Colyvan (2001), p. 122.

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