Algebra linear

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ÁLGEBRA LINEAR – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 1

SALVADOR – BA 2009.2

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Este material didático resume notas de aulas produzidas para a disciplina Álgebra

Linear para os alunos dos cursos de Engenharia Industrial. A intenção é que tenhamos um material para acompanhar as aulas, e assim, adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas.

Consta dos seguintes tópicos que formam a ementa da disciplina Álgebra Linear Matrizes

Determinantes

Sistemas de equações lineares

Desde já, assumimos total responsabilidade por todos os erros que possam conter estas notas, ainda incompletas, e agradecemos a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias. No final das notas há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material, você deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido. Observamos também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e livros citados na bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no momento em que se realizam a aulas.

Salvador, julho de 2009. Professores: Eron e Isabel.

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Conteúdos

MATRIZES Tipos de matrizes

Operações com matrizes

Matriz escalonada e operações elementares

Desenvolvimento de Laplace

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Conceitos preliminares, classificação, soluções

Operações elementares sobre linhas de uma matriz e sistemas equivalentes

Escalonamento de sistemas lineares e método de Gauss-Jordan

Sistema linear homogêneo

Resolução pelo método da matriz inversa

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A análise vetorial e o desenvolvimento dos números complexos

A princípio é preciso ressaltar que até pelo menos o final do século XIX, não havia teoria ou conjunto de regras bem definidas a que se pudesse dar o nome de álgebra linear. Havia alguma intuição por parte de certos matemáticos, especialmente nos séculos XVII e XVIII, que perceberam que deveria existir alguma forma de conexão da álgebra com a geometria e que o conjunto dos números complexos deveria ser encarado como uma entidade matemática legítima. Foi para legitimar estes números que os matemáticos, começaram a desenvolver ao longo do século XVII um sistema representação geométrica para eles e foi isso que os levou a perceberem determinadas propriedades nesses números e também a perceberem que estes objetos de estudo possuíam inúmeras aplicações em outros campos científicos. Esta percepção aliada ao desenvolvimento da representação geométrica os levou a desenvolver métodos de análise vetorial no plano e tentar estendê-los ao espaço.

Este processo não foi simples, mas foi somente sua apresentação, com grande propriedade por Gauss em 1831, que permitiu que os números complexos fossem aceitos. A generalização desta representação ao espaço foi ainda mais difícil, mas foram justamente as sucessivas tentativas que levaram Hamilton a descobrir os quatérnios (nos quais o produto não é comutativo). Essa descoberta aliada a não existência de ordem usual nos números complexos fez com que os matemáticos percebessem que as operações usuais quando aplicadas a determinados conjuntos numéricos perdiam determinadas propriedades e foi o conseqüente estudo dessas operações aplicadas aos vetores que culminou numa série de regras que formaram as bases da análise vetorial, que é a base do que atualmente conhecemos como álgebra linear.

Um dos conceitos mais fundamentais de álgebra linear é a soma e subtração de vetores que, aparentemente, já se encontravam sugestões do uso deste conceito na antiga Grécia. Sabe-se que ao longo dos séculos XVI e XVII era usado na física como soma de forças e no século XIX seu uso era bastante comum e isto teve alguma influência na criação de um sistema vetorial.

A Geometria de Leibniz e o desenvolvimento da análise vetorial

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) numa carta datada de 8 de setembro de 1679 para Christian Huygens (1629-1695), discutiu a possibilidade de criar um sistema que servisse como um método direto para análise espacial. Mesmo não trabalhando essa idéia detalhadamente, ele conseguiu realizar os primeiros avanços nessa direção, o que o torna um

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Leibniz em sua carta afirma: “precisamos de outra análise, que seja distinta da

dos precursores conceituais nessa área, mas, apesar disso, sua memória contendo estes avanços só foi publicada em 1833. geométrica e que expresse posição (situs) diretamente da mesma forma que a álgebra expressa magnitudes...”. Em seu ensaio, Leibniz descreve sua descoberta como

uma nova característica inteiramente diferente da álgebra e onde teremos grandes
vantagens em representar exatamente qual é a direção natural, mesmo sem figuras

Álgebra é a característica de números indeterminados ou magnitudes somente, mas, não expressa posição, ângulos ou direção de movimento. Também é muito difícil analisar as propriedades de uma figura com o Cálculo, e é ainda mais difícil conseguir construções e demonstrações geométricas convenientes, mesmo quando o cálculo algébrico está completo. Mas, esta nova característica, na qual seguem as figuras visuais, não pode falhar em dar a solução, a demonstração e a construção geométrica, tudo ao mesmo tempo, e de um modo natural em uma análise. Mas seu valor está no raciocínio que pode ser feito e nas conclusões que podem ser tiradas das operações com seus caracteres, os quais não podem ser representados por figuras e ainda menos por modelos...”

Leibniz estava procurando com este sistema um método que fosse aplicado à física para obter as melhores representações geométricas dentro da mecânica, o que limitou sua teoria e o impediu de realizar demais avanços.

O sistema de Leibniz era completamente dependente da geometria, pois sua idéia principal era a idéia de congruência de conjuntos de pontos (no sentido usual da geometria). Ele usava as primeiras letras do alfabeto para representar pontos conhecidos e as últimas para representar pontos desconhecidos e a relação de congruência era representada pelo símbolo . Dessa forma, “ABC DEF” quer dizer que dois conjuntos de três pontos cada são congruentes entre si (ou seja pode-se aplicar uma isometria em ABC para que este coincida com DEF).

O crédito de Leibniz está em perceber que era necessária uma nova álgebra e que a principal característica dessa álgebra devia ser que se possa representar as entidades geométricas simbolicamente e se pode operar diretamente com estes símbolos. No entanto ele não conseguiu desenvolver um sistema onde as quatro operações (adição subtração, divisão e multiplicação) pudessem ser aplicadas a estas entidades, o que fez com que ele não percebesse, por exemplo, que AB e BA podem ser interpretadas como grandezas distintas, e também que –AB pode ter algum significado.

As origens, a representação geométrica dos números complexos e os quaternios

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Os números complexos são uma entidade matemática que geraram problemas desde a antiguidade, pois Heron de Alexandria e Diofanto já haviam se deparado com a questão do significado da raiz quadrada de um número negativo.

Giordano Cardano (1501-1576) em 1554 publicou seu livro intitulado “Ars Magna”, que fez com que fosse considerado o primeiro matemático a apresentar os números complexos em um cálculo, pois ao tentar resolver uma equação cúbica em particular ele descreveu sua solução:

Mas, Cardano não compreendeu nem aceitou seu resultado, pois nesse mesmo parágrafo ele acrescentou: “...e assim como esse resultado aparece, como eu havia dito, tal resultado é inútil...”

Rafael Bombelli (1526-1572) em uma de suas visitas a Roma entrou em contato com

Antonnio Maria Pazzi que era professor na Universidade de Roma e juntos decidiram traduzir um manuscrito de Diofanto, o “Arithmetica”, então em 1572, Bombelli escreveu um trabalho de cinco volumes intitulado “Álgebra”, cujo conteúdo ele creditou integralmente a Diofanto, mas só os primeiros três livros foram publicados, devido a sua morte. Alguns manuscritos seus foram encontrados em 1929 na biblioteca de Bolonha e os últimos dois livros foram publicados mesmo estando incompletos. Dessa forma, Bombelli foi o primeiro matemático a descrever as regras modernas para a multiplicação e adição de números complexos. Além disso, ele também usou seu cálculo de números complexos para obter, a partir da fórmula de Cardano-Tartaglia, as soluções reais para qualquer equação cúbica, mesmo quando esta apresenta uma expressão envolvendo a raiz quadrada de números negativos.

Os números complexos não foram aceitos como entidades matemáticas legítimas pela maioria dos matemáticos até o século XIX, quando o esforço de pelo menos seis homens, trabalhando independentemente para legitimar esses números através de uma representação geométrica, fizeram com que fossem aceitos por toda a comunidade científica, mais ainda, foram as sucessivas tentativas de estender esta representação a três dimensões que levou Hamilton a descobrir os quatérnios. Estes seis homens são: Wessel, Gauss, Argand, Bueé, Mourey e Warren.

Sir Willian Rowan Hamilton (1805-1865) estava interessado na generalização da representação geométrica dos números complexos para três dimensões desde pelo menos 1835, mas foi somente em 1843 que ele descobriu os quatérnios. Isto se deve a ele acreditar que era necessário que este sistema de ternas fosse semelhante ao dos números complexos e suas operações deveriam possuir um conjunto de propriedades que fossem equivalentes ao que se

ÁLGEBRA LINEAR – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 7 conhece hoje como estrutura de corpo. Depois de muitas tentativas falhas, ele mudou ligeiramente seu ponto de vista focalizando a natureza geométrica do produto em duas dimensões, o que o levou a criar um sistema onde a multiplicação é não-comutativa.

Sistemas lineares e os primeiros conceitos de espaço vetorial

A teoria axiomática dos espaços vetoriais é um desenvolvimento recente na matemática e teve uma de suas origens na resolução de sistemas lineares.

Giuseppe Peano (1858-1952) deu a primeira definição axiomática de espaço vetorial em 1888, mas, a teoria de espaços vetoriais não foi desenvolvida antes de 1920.

Até a metade do século XVIII nada de substancial ocorreu com a álgebra linear.Um assunto relevante cujas questões levaram ao desenvolvimento da teoria de sistemas lineares que por sua vez levaram ao desenvolvimento da teoria de espaços vetoriais é o estudo das curvas algébricas.

Duas proposições referentes às curvas algébricas eram bem conhecidas, embora tenham sido provadas somente parcialmente até o começo do século XVIII: (1) “Duas curvas algébricas distintas de ordens m e n respectivamente têm mn pontos em comum”. Sabe-se que estes pontos podem ser múltiplos, complexos ou infinitos, mas, os matemáticos da época também conheciam exemplos em que estes pontos eram todos simples e reais.

pontos”. Esta segunda proposição leva a um paradoxo, pois quando 2n>, comum do que é suficiente para determinar cada uma delas. Colin Mclaurin (1698- 1746) em 1720 foi o primeiro a identificar este paradoxo e Cramer o reformulou em 1750.

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