Prova P2 MAT2457 2010, Provas de Engenharia Elétrica

Baixe Prova P2 MAT2457 2010 e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Em todas as questões da prova considera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O,E) em E3, sendo E uma base ortonormal positiva de V3. Q1. Considere os pontos: A = (1, 2, 0), B = (3, 2, 1), C = (2, 1, 1), D = (0, 1, 3). O volume do tetraedro ABCD é igual a: (a) 3; (b) 6; (c) 2; (d) 12; (e) 1. Q2. Considere as retas: r : x− 1 2 = y − 1 3 = z − 2, s : { x + y − z = 0, 2x− y + z − 3 = 0. Pode-se afirmar que r e s são: (a) concorrentes e perpendiculares; (b) reversas; (c) concorrentes e não perpendiculares; (d) paralelas e distintas; (e) coincidentes. Q3. Seja π o plano de equação vetorial: X = (0,−1, 2) + s(1, 3, 1) + t(2, 2, 1), t, s ∈ R. Para cada α ∈ R, seja Aα o ponto ( α,−α, 1+α2 ) . Pode-se afirmar que: (a) d(A1, π) = 5 √ 2 6 e d(A3, π) 6= d(A4, π); (b) d(A1, π) = 5 √ 2 6 e d(A3, π) = d(A4, π); (c) d(A1, π) = 5 √ 2 3 e d(A3, π) = d(A4, π); (d) d(A1, π) = 5 √ 2 3 e d(A3, π) 6= d(A4, π); (e) d(A1, π) = 5 √ 2 2 e d(A3, π) 6= d(A4, π). Q4. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 vetores. Sabendo-se que: ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3, ‖~w‖ = 5, que ~w é ortogonal a ~u e a ~v e que o volume do paraleleṕıpedo determinado por ~u, ~v e ~w é igual a 15, pode-se afirmar que a medida do ângulo entre ~u e ~v é igual a: (a) π3 ; (b) π4 ; (c) π2 ; (d) 2π3 ; (e) π6 . Q5. Considere os pontos: A = (2, 3, 1), B = (0, 1,−1), C = (2, 3, 4), D = (3, 2, 1). Seja π o plano que contém A, B e C e seja π′ o plano que contém A, B e D. Considere as seguintes afirmações: (I) os planos π e π′ são ortogonais; (II) o plano π′ é ortogonal à reta X = (0, 1, 2) + t(1, 1,−2), t ∈ R; (III) qualquer vetor normal a π é paralelo à reta: X = (2, 1, 0) + t(−1, 1, 0), t ∈ R. Assinale a alternativa correta: (a) nenhuma das afirmações é verdadeira; (b) todas as afirmações são verdadeiras; (c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; (e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. Q6. A distância da reta: r : X = (1, 2,−1) + α(1, 0,−1), α ∈ R, ao plano π : x− 2y + z = 0 é igual a: (a) √ 6 3 ; (b) 2 √ 6 3 ; (c) √ 6; (d) 4 √ 6 3 ; (e) 5 √ 6 3 . Q12. Seja π o plano que passa pelo ponto A = (−3, 4, 0) e é paralelo às retas: r1 : X = (2, 3, 2)+ t(1, 2, 1), t ∈ R, r2 : X = (2,−1,−2)+ t(2, 1, 0), t ∈ R. Considere as seguintes afirmações: (I) o plano π é perpendicular à reta X = (2, 1, 0) + t ( −13 , 1,−1 ) , t ∈ R; (II) o plano π contém o ponto (−6, 1, 1); (III) o plano π é paralelo à reta X = (4,−2, 2) + t ( 3, 2, 13 ) , t ∈ R. Assinale a alternativa correta: (a) apenas a afirmação (III) é verdadeira; (b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (c) nenhuma das afirmações é verdadeira; (d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. Q13. Sejam a, b, m, n ∈ R escalares. Considere a reta: r : X = (1, 0, 1) + λ(a, 1, b), λ ∈ R, o plano π : x + my − nz + 2 = 0 e as seguintes afirmações: (I) se a + m− bn = 0 então r é paralela a π ou está contida em π; (II) se m = 0 e n = 1 então a projeção ortogonal do ponto R = (1, 0, 1) sobre o plano π é o ponto (0, 0, 1); (III) a distância do ponto R = (1, 0, 1) ao plano π é igual a |3− n|. Assinale a alternativa correta: (a) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira; (b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (e) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras. Q14. Assinale a alternativa contendo uma equação vetorial para a reta perpendicular comum às retas: r : X = (3, 2, 7) + λ(1, 2, 0), λ ∈ R, s : x− 1 2 = −y + 3 = z − 2 5 . (a) X = (3, 2, 7) + µ(2,−1,−1), µ ∈ R; (b) X = (3, 2, 7) + µ(2, 1,−1), µ ∈ R; (c) X = (3, 2, 7) + µ(2,−1, 5), µ ∈ R; (d) X = (1, 3, 2) + µ(2, 1,−1), µ ∈ R; (e) X = (1, 3, 2) + µ(2,−1,−1), µ ∈ R. Q15. Sejam α, β ∈ R e considere os planos π, π′ com equações gerais dadas por: π : αx + (α− 1)y + αz − α = 0, π′ : βx + (β + 1)y + (1− β)z − β − 2 = 0. Pode-se afirmar que: (a) π e π′ são paralelos (distintos ou coincidentes) se e somente se α = −12 e β = 32 ; (b) π e π′ são ortogonais se e somente se α = 2 e β = −3; (c) a interseção de π e π′ é uma reta se e somente se α 6= −12 ou β 6= 1 2 ; (d) π e π′ são ortogonais se e somente se αβ + β − 1 = 0; (e) a interseção de π e π′ é uma reta se e somente se α 6= 32 e β 6= 1 2 . Q16. Sejam α ∈ R um escalar, π o plano de equação geral: 2αx + (3− α)y − z + 1 = 0, e r a reta de equação simétrica: x + 1 2 = y − 1 = z 3 . Considere as seguintes afirmações: (I) r é paralela a π se e somente se α = 0; (II) r e π são concorrentes, para todo α ∈ R; (III) r e π são ortogonais se e somente se α = 23 . Assinale a alternativa correta: (a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (b) apenas a afirmação (I) é verdadeira; (c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (d) apenas a afirmação (III) é verdadeira; (e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.