Baixe Capítulo 2 FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS 2. I e outras Notas de estudo em PDF para Mecatrônica, somente na Docsity! Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br HP: www.dee.ufc.br/~rleao Capítulo 2 FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS 2. Introdução 2.1 Fasor 2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal 2.1.2 Diagramas Fasoriais 2.2 Sistema de Números Complexos 2.2.1 Plano Complexo 2.2.2 Operador j 2.3 Forma Retangular e Polar 2.3.1 Forma Retangular 2.3.2 Forma Polar 2.3.3 Identidade de Euler 2.4 Operação Matemática com Grandezas Complexas 2.4.1 Soma 2.4.2 Subtração 2.4.3 Produto 2.4.4 Divisão 2.4.5 Potenciação 2.4.6 Raiz N-ésima 2.4.7 Logaritmo Profa Ruth P.S. Leão Email: rleao@dee.ufc.br HP: www.dee.ufc.br/~rleao 2. Introdução Os fasores e os números complexos são duas importantes ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores e de operá-los matematicamente. 2.1. Fasor Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais. O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo horizontal tomado como referência. Os ângulos positivos são medidos no sentido anti- horário a partir da referência (0o) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência. Figura 2.1: Exemplo de fasores: magnitude e direção. A Figura 2.2 mostra um fasor de magnitude |A| que gira com velocidade angular ω. Figura 2.2: Fasor girante. θ 90º 180º 0º 270º magnitude -60º 90º 180º 0º 270º 2 ωt |A| 90º 0º 180º Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-4 conhecida o valor instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer tempo o valor da senóide pode ser determinado. (a) (b) Figura 2.6: Definição de uma onda senoidal. A onda senoidal mostrada na Figura 2.6 é definida matematicamente como: ν(t)= Vp.sen(ωt+45º) (2.2) Assim, o fasor da Figura 2.6 (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º. Um fasor em uma posição fixa é usado para representar uma onda senoidal completa porque uma vez estabelecido o ângulo de fase entre a onda senoidal e uma referência, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos demais ciclos. Um diagrama fasorial pode ser usado para mostrar a posição relativa de duas ou mais ondas senoidais de mesma freqüência, pois uma vez que o ângulo de fase entre duas ou mais ondas de mesma freqüência é estabelecida, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos ciclos. Na Figura 2.7 três ondas senoidais são representadas por um diagrama fasorial. A senóide A está adiantada das senóides B e C, a senóide B está adiantada em relação à senóide C, porém atrasada em relação à senóide A, e a senóide C está atrasada em relação às senóides A e B, como indicado no diagrama fasorial. Figura 2.7: Exemplo de diagrama fasorial. 45º 0º 90º 180º 270º 45º -60º A B C Vp Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-5 2.2. Sistema de Números Complexos Os números complexos permitem operações matemáticas com fasores e são úteis na análise de circuitos ca. A álgebra de números complexos é uma extensão da álgebra de números reais. Os números reais constituem um sub-conjunto dos números complexos. Os números complexos são formados pelos números reais e pelos números imaginários. {Conjunto dos Complexos} = {Reais} + {Imaginários} (2.3) Os números imaginários são distinguidos dos números reais pelo uso do operador j ou i. A representação de um número complexo é dada pela soma algébrica da componente real, ± a, e da componente imaginária, ± jb. y = ±a ± jb (2.4) Se a parte real de um número complexo é zero, o número complexo torna-se puramente imaginário: y = ± jb. Se a parte imaginária do número complexo é nula, o número torna-se puramente real: y = ±a. Na matemática o operador i é usado invés do j, mas em circuitos elétricos o i pode ser confundido com o valor instantâneo da corrente, por isso o j tem preferência. 2.2.1 Plano Complexo Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo. No plano complexo o eixo horizontal é denominado de eixo real, e o eixo vertical, de eixo imaginário. A Figura 2.8 mostra um conjunto de pontos no plano cartesiano complexo. O número +2 é um número complexo cuja parte imaginária é nula; o número –j2 é um número complexo negativo com parte real nula, e representado sobre o eixo imaginário. Quando um ponto não está situado sobre nenhum eixo, mas está localizado em um dos quatro quadrantes, o número é definido por suas coordenadas, a Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-6 exemplo do ponto 4+j2. Note que o número 4+j2 tem como conjugado 4-j2, pois diferem apenas no sinal da parte imaginária. O conjugado de um número complexo é representado pelo expoente ()*. Figura 2.8: Plano cartesiano complexo. Uma posição angular pode ser representada em um plano complexo como mostra a Figura 2.9. Figura 2.9: Ângulos no plano complexo. 2.2.2 Operador j O operador j é denominado operador complexo e é definido como: j= −1 (2.5) O operador +j ao multiplicar uma grandeza real move no sentido anti- horário a grandeza localizada no eixo real para o eixo imaginário, rotacionando-a de +90º. De modo semelhante, multiplicando a grandeza real por –j, a grandeza gira de -90º, sentido horário. Assim, j é considerado um operador rotacional. 4º quadrante -4-j2 j3 2 -j2 4 + j2 4 - j2 -5 + j1 Eixo Imaginário Eixo Real +j -j 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 0o/360º 90o +j 270º -j 180º 1º quadrante 4º quadrante 2º quadrante 3º quadrante Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-9 Figura 2.13: Coordenadas cartesianas de um fasor. ( ) θ θθ ±∠=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ± ± ∠+≡ ±=±±= − A x yyx jsencosAjyxA A A12 A 2 A AA tg (2.12) A conversão polar → retangular tem-se: ( ) AA jyxjsencosAA ±±=±⋅≡±∠ θθθ (2.13) 2.3.3 Identidade de Euler Seja o fasor A representado em sua forma retangular trigonométrica: A = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ) (2.14) As funções senθ e cosθ expandidas em série: A = ⏐A⏐[(1- θ 2 2! + θ 4 4! - θ 6 6! + ...) + j(θ - θ 3 3! + θ 5 5! - θ 7 7! + ...)] (2.15) O fasor A pode ser re-escrito como: A = ⏐A⏐(1 + jθ + ( )jθ 2 2! + ( )jθ 3 3! + ( )jθ 4 4! + ( )jθ 5 5! + ...) (2.16) Reconhecendo que: e jθ = 1 + jθ + ( )jθ 2 2! + ( )jθ 3 3! + ( )jθ 4 4! + ( )jθ 5 5! + ... (2.17) tem-se: A = ⏐A⏐.e jθ = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ) (2.18) com +j A +xA=|A|cosθ +jyA=j|A| senθ θ Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-10 e jθ = (cosθ + jsenθ) (2.19) que representa a identidade de Euler. De modo análogo tem-se que: e -jθ = (cosθ - jsenθ) (2.20) O fasor A quando representado como A = |A|.e±jθ diz-se estar na forma exponencial. A forma polar é a representação concisa da forma exponencial. A =|A|.e±jθ ≡|A|∠ ±θ (2.21) A Equação 2.22 apresenta as diferentes formas de representar uma onda senoidal variante no tempo por um fasor com magnitude definida pela amplitude da onda senoidal, que gira a uma velocidade angular ω, e cuja representação gráfica indica a condição no instante t=0, para um ângulo de fase que se mantém constante no tempo. A = ± xA ± j yA = |A|.e ±jθ ≡⏐A⏐ ∠ ±θ (2.22) Assim, ondas senoidais e co-senoidais, de amplitude e freqüência definidas, encontram representação através de fasores. |A|.cos(ωt±ϕ) = Re[|A|.ej(ωt±ϕ)] = |A|∠±ϕ (2.23) |A|.sen(ωt±ϕ) = Im[|A|.ej(ωt±ϕ)] = |A|∠±ϕ Uma outra maneira de apresentar a identidade de Euler consiste na definição do fasor como: A = (cosθ + jsenθ) (2.24) A derivada de A em relação a θ é dada por: dA dθ = -senθ + jcosθ = j(cosθ +jsenθ) = jA (2.25) Re-escrevendo a Equação 2.25, tem-se: Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br 2-11 dA A = jdθ (2.26) Integrando ambos os lados da Equação 2.26: LnA = jθ + C (2.27) A constante complexa de integração C é obtida fazendo-se θ=0 na Equação (2.27) onde obtém-se C=LnA. O valor de A para θ=0 é obtido da Equação 2.24; assim, para A = 1 + j0 implica em C=0. Portanto: LnA = jθ (2.28) ou A = ejθ (2.29) O ângulo θ pode ser expresso em função do tempo: θ =ωt + ϕ. 2.4. Operação Matemática com Grandezas Complexas Os fasores, representados por números complexos, podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, além das operações de potenciação, raiz, e logaritmo. 2.4.1 Soma Seja os fasores A e B definidos como: A = a + jb (2.30) B = c + jd (2.31) A soma de A e B é dada por: C = A + B = (a + c) + j(b + d) (2.32) A representação gráfica da soma de fasores é mostrada na Figura 2.13.