Baixe Complementos Resistencia dos Materiais Parte 1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS PRIMEIRA PARTE e Tensões e Deformações e Teoria da Elasticidade JOSÉ ELIAS LAIER JOÃO CARLOS BARREIRO 2", edição São Carlos, Março de 2001 PREFÁCIO O presente texto vem dar continuidade nas publicações referentes às disciplinas de Resistência dos Materiais ministradas na Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo. Constitui pretensão dos autores manter os assuntos aqui abordados conforme os preceitos da escola posta em prática pelo nosso grande mestre Prof. Dr. Frederico Schiel, autor dos textos dos cursos básicos. A primeira parte da exposição é constituída de dois capítulos, e apresenta em seguência o estudo das tensões e deformações, e uma introdução à Teoria da Elasticidade. A Segunda parte, composta de três capítulos, sendo os dois primeiros dedicados ao estudo introdutório dos clássicos métodos de integração numérica; começando-se pelo método da energia, ou de Ritz-Rayleigh, e completando-se com o pioneiro método das diferenças finitas na sua versão formulada mediante operadores denominados centrais. O último capítulo é voltado para o estudo elementar do chamado método plástico, ou método das rótulas plásticas, de análise de estruturas aporticadas. Tendo-se em vista a pretensão colocada de início, os assuntos são tratados conforme o grau de dificuldade, partindo-se de casos mais simples, para, no final, apresentar os casos mais gerais, de natureza mais complicada. Os autores expressam aqui os seus agradecimentos ao Sr. Rui Roberto Casale e ao Sr. João Paulo Moretti pelo zeloso trabalho de datilografia e desenho, respectivamente. José Elias Laier João Carlos Barreiro São Carlos, Agosto de 1982 4,9 — 4,10- 4,11- SEXTO EXEMPLO DE APLICAÇÃO .. SÉTIMO EXEMPLO DE APLICAÇÃO . COMENTÁRIOS FINAIS ,.ciiceeee METODO PLÁSTICO —EIODO PLÁSTICO va gw a cars wrnãam 1 am q 5.9 — 5.10- 5.l1- 5,12- INTRODUÇÃO ..cccsccrrreerecra MOMENTO DE PLASTIFICAÇÃO .... PRIMEIRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO SEGUNDO EXEMPLO DE APLICAÇÃO TERCEIRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO QUARTO EXEMPLO DE APLICAÇÃO . QUINTO EXEMPLO DE APLICAÇÃO . SEXTO EXEMPLO DE APLICAÇÃO .. SÉTIMO EXEMPLO DE APLICAÇÃO . CITAVO EXEMPLO DE APLICAÇÃO . COMENTÁRIOS FINAIS ..,.cccsos ANÁLISE PLÁSTICA DE UM CASO SIMPLES 162 167 176 177 180 185 189 190 195 197 199 200 202 205 208 CAPÍTULO I TENSÃO E DEFORMAÇÃO 1.1 - INTRODUÇÃO O estudo das tensões e deformações &, no presente texto, apresentado por meio de formulação matricial, a qual constitui um procedimento típico na analise tensorial. Uma outra maneira mais requintada, porêm pouco comum no nosso meio têcnico, consiste na formulação indicial, a qual apre- senta grande flexibilidade (uma das razões de se abandonar a notação indicial reside no fato de ser pouco familiar no meio têcnico). A exposição dos assuntos atem-se apenas ao lado prático da questão, e, por essa razão, negligenciam-se pormenores da Teoria Matemática dos Tensores. Contudo, no que interessa, tais omissões não prejudicam a compreensão, principalmente, no que respeita aos alunos de cursos de gra duação em Engenharia. O tratamento das tensões isolado do das deforma- ções & proposital, e tem em vista deixar evidente o caráter tensorial dessas grandezas, independentemente da relação e- xistente entre elas, expressa pela clássica lei de HOOKE (a lei de HOOKE permite obter as deformações como causa das tensões, e vice-versa, e com isso o carâter tensorial de u- ma grandeza ê, por assim dizer, transferido para a outra), A clássica lei de HOOKE, último assunto deste ca- pítulo, É tambêm colocada segundo a formulação matricial. Sem tecer maiores considerações, são discutidas algumas im- plicações da lei de HOOKE no que diz respeito aos parâme- tros do comportamento elástico linear dos materiais, 1,2 - TENSÃO O conceito de tensão origina-se do conceito ele- mentar de pressão, como, por exemplo, a hidrostãtica, que consiste numa força normal por unidade de àrea. Por tensão entende-se uma extensão dessa idéia para os casos onde a for ça por unidade de área pode não ser normal. Como ilustração do conceito de tensão, considere-se um corpo sólido, em e- quilibrio, sujeito a um certo número de ações externas, con forme exibe-se na figura I.la), Pois bem, isolando-se uma parte desse sólido, conforme ilustra-se na figura I.lb), sabe-se que o equilíbrio da mesma & garantido pelo princi- pio da ação e reação, por tratar-se de uma parte de um soli do em equilíbrio. De uma maneira geral, pode-se dizer que u ma ârea AS é responsável por uma parcela AF daquelas forças transmitidas (ação ou reação). Na figura I.lc) a parcela AF é representada pelas suas componentes segundo os eixos coor denados Oxyz, com origem no "centro" da área elementar Às, sendo o eixo Oz normal à área AS no ponto O. Dividindo-se as componentes da força pela área AS definem-se as seguin- tes grandezas (1.1) As tensões como indicadas na figura 1,2 são consi deradas positivas. A convenção É muito simples. A tensão nor mal de tração & considerada positiva, e a tensão de cisalha mento tem o sinal dado de acordo com a seguinte regra mnemo nica: se na face em que atua, a tensão normal de tração tem o sentido do eixo coordenado correspondente, a tensão cisa- lhante positiva tem o sentido do seu correspondente eixo.Em outras palavras, o sentido positivo & dado pelo sentido do sistema de referência dextrorso levado na face corresponden te, fazendo coincidir o sentido de um dos eixos com a da ten são normal de tração. O número de parâmetros ou componentes necessários para caracterizar o estado de tensão num ponto pode ser re- duzido de nove para seis, porquanto o equilíbrio de momento segundo os eixos coordenados permite estabelecer três rela- ções entre as seis componentes cisalhantes, ou seja, o equi librio do momento segundo os eixos Oz, Ox e Oy, respectiva- mente, permite exprimir-se! Caytydz)dx = CG ygdxdz)dy (rypdzda)dy Coyiyda)da (1.2) (Cydxdy)dz Tapdydz)dx ou ainda, cancelando os termos comuns: T = xy yxX t =T (1.3) yz Zzy T = zx xz Essa igualdade entre tensões de cisalhamento atuantes em Planos perpendiculares, expressa nas equações (1.3), cons- titui a afirmativa do clássico teorema de CAUCHY, É oportu no assinalar que a consideração de eventuais forças volumê tricas não altera o resultado expresso em (1.3), pois even tuais contribuições sao infinitêsimos de ordem superior;to davia a consideração de binários por unidade de volume modi fica o resultado expresso (1.3). Cabe adiantar que a consi deração de binários por unidade de volume não serã, no pre sente texto, objeto de maiores comentários, mesmo porque trata-se de um caso incomum. 1.4 - ESTADO PLANO DE TENSÃO Um estado de tensão E considerado plano quando numa das faces do volume elementar dxdydz as componentes de tensão correspondentes são nulas; por via de conseguên- cia o mesmo acontece na face oposta. No que se segue, as componentes de tensão não nulas são tomadas como sendo Ss v etT . y xy 1.4.1 - Transformação de Coordenadas Admitindo-se que o estado de tensão num determi- nado ponto "p' de um corpo sôlido apresenta componentes Se 4 e Tay? segundo o sistema de referência Oxy, é de grande interesse saber as relações existentes entre essas compo- nentes e aquelas referidas a um outro sistema de referên- cia 0xY, ou seja, 073 g e Thy? conforme ilustra-se na fi- gura 1.3, Vale dizer-se que Sp, g e Tay sao componentes do mesmo estado de tensão dado pelas componentes Ss Ss e Tey? sendo que a única diferença diz respeito ao sistema de re- ferência adotado, a) Componentes de tensão b) Componentes de tensão segundo eixos segundo eixos coordenados coordenados 0X%. oxy FIG. 1.3 - COMPONENTES DE UM MESMO ESTADO DE TENSÃO SEGUNDO DOIS SISTEMA DE COORDENADAS. Pois bem, as coordenadas do ponto “"p! no sistema de referência dextrorso Oxy, *p e Jp? estão relacionadas com as coordenadas desse mesmo ponto no sistema de referência dextrorso O0xy, x, e 7p> por meio da seguinte expressão ma- tricial (vide fig. I.4a)): Pp 1 2 ? - - (1.4) 'p my To 'p onde Y = cosa mn, = sen (1.5) 1, = cos(5 + 0) = - 2 3 +04) = sena mo º sen(Z + 0) = cosa -10- Sr Ty 4 my x Tay ”» 1 mm - : . + (1.11) Ts g t To Tay 4 mom e, com isso, tem-se, na expressão (1.11), a lei de transfor mação de componentes do estado plano de tensão, Algumas constatações de grande interesse prático são examinadas no que segue. Em primeiro lugar, é fácil per ceber-se que existe um sistema de referência, no qual as componentes de tensão tangenciais se anulam,. Com efeito,nes sa circunstância tem-se, por exemplo, de (1.9) a seguinte relação: = . (1.12) ou seja(premultiplicando pela inversa da matriz dos cose- nos diretores ambos os menbros e arranjando os termos)! “x Txy “ 0 = (1.13) Tay yo m 0 cuja solução não trivial implica em xy det =0 (1.14) T xy ou seja: (1,15) -11- Pois bem, a expressão (1.15) aponta dois valores, ou auto- -valores da equação (1.13), que, em verdade, são as compo- nentes nao nulas do estado de tensão segundo um sistema de referência, cujos eixos são ditos principais. Com efeito de (1.13) tem-se (vide exp. (1,5)): nm Te te(a) = (1.16) 1 Por outro lado, chamado de 9 e0,08 valores dados em (1.15), de tal sorte que 0, > 09, tem-se, então: teta) = (1.17) - X tela) = os (1.18) 2 sy onde, &| e à, são os ângulos correspondentes às tensões Principais 9, € 84. Cabe assinalar, finalmente, que os ân- gulos 4 ed, são defasados de 1/2, De fato, das proprieda des da trigonometria tem-se: S/07 te(ap+n/2) = - —— (1,19) xy e, por sua vez o “4 Tay + = te(u,) = (1.20) xy 2 y conforme verifica-se, facilmente, com a expressão (1,15), A ortogonalidade constatada corrobora, no fundo, o clássi- co teorema de CAUCHY, objeto de comentários anteriores, -12- Uma outra constatação de interesse diz respeito ao fato de que a tensao normal atinge valores extremos nas direções principais (máximo valendo 5 mínimo valendo S9)5 todavia omite-se, aqui, a comprovação; lembrando, em tempo, que essa constatação E imediata, recorrendo-se à re presentação gráfica (paramétrica em q) do círculo de MOBR. 1.5 - ESTADO TRIDIMENSIONAL DE TENSÃO O estado tridimensional de tensão & o caso ge- ral, onde eventualmente algumas das seis componentes podem ser nulas. Seguem-se, aqui, a exemplo do caso anterior, as convenções já estabelecidas no item 1,3 (vide fig. 1.2). 1,5,1 - Transformação de Coordenadas De modo anãlogo ao que se fez no caso do estado plano de tensão, sendo dado um estado tridimensional de ten são, mediante as componentes segundo um sistema de referên- cia Oxyz, procura-se a relação existente entre tais compo- nentes e aquelas desse mesmo estado de tensão, dadas segun do um outro sistema de referência Oxyz. De início tem-se o seguinte. As coordenadas de um certo ponto "P”, onde o estado de tensão & considerado, no sistema de referência O0xyz estão relacionadas com as co ordenadas desse mesmo ponto no sistema de referência Oxyz por meio da seguinte expressão matricial (vide fig. 1.5a)): *p + E 13 E - y 1.21 'p mo Mm mM Yp ( ) Z n n n z “o 5 -15- No sistema de referência Oxyz as componentes da força atuante na área elementar dS são, conforme mostra-se na figura I.6b), o-dS, T--dS e t--dS, e estão assim rela- x xy xz cionadas com as componentes dessa mesma força t,d5, tds e tds: z Na t ds M nm, Ry 0çds tds = to no Ro Taçós (1.23) t,ds 3 ny n5 Tazds As equações (1.22) e (1.23) permitem, finalmente, escrever- -se: S% “o mM a Cx Try Tyz & Ty a E mo Do) xy Sy Tyal tim (1.24) [ZZ ta man [Txe Tyz Oz R Cabe assinalar que, de onde o termo dS, comum, foi suprimido, nas expressões (1,22) e (1,23) o termo dS foi mantido sorte a deixar evidente o fato de tais equações exprimirem relações entre componentes de forças. Procedendo-se de maneira análoga na procura das tensões atuantes nos planos normais aos eixos Oy e OZ en- contram-se expressões similares à (1.24). Reunindo-se tais expressões numa só expressão matricial, tem-se: - = -=— n nd Ts “kz “4 Pa 1 x Tay xz ty 22 ts —— - -= = L n . T nm mo m ey 's Tz 2 Po 2 xy %y yzj.|1 203 = -— — n, n Taz Tr % ta ma na Taz Tye Po nm Do 83 -16- que constitui, por assim dizer, a lei de transformação de coordenadas das componentes do estado de tensão tridimensio nal, Em verdade, trata-se de uma extensão do expresso em Gil). Verifica-se, facilmente, de (1.24) que existem di reções, onde as componentes cisalhantes anulam-se, De fato, nessa circunstância tem-se, por exemplo, de (1.24): e “& Ph “ x xy Tyz “4 o = ts no nal. xy 4 Tya my (1.25) 0 ts ng By Taz Tya S, ny ou seja (prenultinlicando ambos os membros pela inversa da matriz dos cosenos diretores e arrumando es termos todos no primeiro membro): G.-0- T T 8 o x x xy xz 1 xy Tye mb = 0 (1.27) T T 0,-07 n o xz yz z x 1 cuja solução não trivial ímplica em: q.-0- T T x x xy x2 det T 0,-0- T = 0 (1.28) xy y x yz Tyz Tyz Ig” x Pois bem, a expressão (1.28) conduz a uma equação do tercei ro grau em 07, cujas raizes são reais, em face da simetria da matriz em pauta. Todavia, tal fato pode ser facilmente entendido, sabendo-se que pelo menos uma das raizes E real. Assim, tomando-se por base um sistema de referência com um -17- dos eixos segundo a direção Cj me ny) relativa a essa raiz real, a procura das outras raizes implica em: S. mos 0 0 x x det 0 9,10ç Tt! =0 (1.29) 0 Tuta! 104 onde o sistema de referência Ox'y'z' tem o eixo coordenado 0x" segundo a direção relativa à raiz real Se Assim, da ex pressão (1,29) verifica-se que as outras raizes são também reais (vide (1.14) e (1,15)). Resta verificar, agora, a ortogonalidade entre as direções correspondentes as raizes de (1.28), De fato, cha- mando-se de e “3 duas das raizes, de (1.26) tem-se: 2 o T 1 -1/4 x xy xz m = 0 T g T m 1 xy y yZz n T T o n i Ez yz z í (1.30) 2 9 T T E) x xy xz 1 = 0 — 9 m q. Tay y “ya m J n 5 xz Tyz z pe 3 ou, ainda, em face da simetria da matriz, a transposição da primeira das (1.30) implica em: -20- gar um novo estado denominado estado de deformação, cujas Componentes quantificam a nova configuração, Vale lembrar- -se que, em virtude do estado de deslocamento descrever os movimentos dos pontos, não é dificil atentar-se para o fa- to de haver uma relação entre as componentes do estado de deslocamento e as componentes do estado de deformação, que quantificam a mudança relativa de forma (movimentos relati vos). Antes, porém, de se abordarem as relações exis- tentes entre as componentes do estado de deslocamentos e do estado de deformação, & oportuno acrescentar algumas considerações a respeito da magnitude das grandezas, ago- ra, em jogo. Em primeiro lugar, nos casos da prática, as estruturas experimentam deslocamentos muito pequenos,ou se ja, bem menores, em valor, que as dimensões característi- cas da estrutura. Alias, esta & uma das características bã sicas que se exige de uma estrutura, não só por razões de conforto dos usuários, mas, sobretudo, por razões de ordem psicológicas (pouquíssimas pessoas se sentem a vontade nu- ma corda bamba). Alêm disso, estruturas muito flexíveis, ou seja, passíveis de grandes movimentos, são muito sensi- veis aos efeitos dinâmicos. Em segundo lugar, por via de consequência, dos deslocamentos pequenos decorrem tambêm deformações pequenas. Cabe ressaltar, a propósito, que,nas estruturas de cabos, as deformações pequenas não implicam em deslocamentos pequenos, pois os movimentos, nesse caso, se devem às configurações diferentes de equilíbrio para di ferentes carregamentos. Deformações pequenas & também uma condição decorrente dos casos prâticos, conquanto os mate- riais geralmente empregados, nas condições de utilização normais, trabalham em regime de pequenas deformações; mais que isso, entram em'“ruptura”ainda com pequenas deformações. Em face das considerações levantadas, enormes sim plificações podem ser introduzidas na anãlise das relações entre as componentes do estado de deslocamento e as do es- tado de deformação, em decorrência da consideração de pe- -21- quenos deslocamentos. A primeira delas reside na considera- ção da geometria original como válida para a posição defor- mada, e uma segunda, sem contar as outras, consiste na con- Sideração das variações de deformação como infinitésimos de Segunda ordem, Uma outra simplificação de grande importãn- cia, que consiste na base da chamada teoria de primeira or- dem, E a consideração de que o estado de deslocamentos não altera o estado de carregamento, ou seja, a configuração de equilíbrio não sofre alteração na mudança de forma da estru tura. 1,7 - Relações entre as Componentes do Estado de Deslocamen to e as do Estado de Deformação - Caso Plano. A figura 1.8 exibe três pontos vizinhos, P, QeR, onde os pontos Q e R estão contidos em retas ortogonais con correntes no ponto P, e afastados de P, respectivamente,por distâncias elementares dx e dy. Os pontos PI, Q' e R! indi- cam, de maneira genérica, as novas posições ocupadas pelos pontos P, Q e R na situação deformada, Posto isso, e admi- tindo-se tratar de deslocamentos e deformações pequenos,com base na geometria dos pequenos deslocamentos tem-se as se- guintes relações 3u Adx Cut 3x dx)-u au dx dx 3% [ea p “ a e a (1.34) eu “s Pu tá a dy 3x dx 3 -22- EM dx H—— es t u+ dx ôx FIG. 1.8 - POSIÇÃO INICIAL E DESLOCADA DE TRES PONTOS PRÓXIMOS onde Adx e Ady são os alongamentos experimentados pelos com primentos elentares dx e dy, respectivamente; as rotações ex perimentadas são objeto da terceira das (1.34). É oportuno, nesse ponto, levantar algumas considerações. Em primeiro lu gar, a consideração du Adx = E dx (1.35) só tem sentido para dx >> E dx (1.36) ox ou seja sz << 1 (1.37) -25- Lo = 1 cosa m, > sena (1.41) 4, =-senG 2 Mm, = cosQ Em suma, a expressao (1,40) relaciona as componentes do ve tor deslocamento no sistema Oxy com as componentes desse mesmo vetor no sistema 0xy. As componentes de deformação no sistema de refe- rência 0%F, em face das condições aventadas em(1.39), por força das relações (1.40), são dadas por (vide exps. (1.39): . DU “x dx = 2 (1.42) e- = 7 dy - du, By ey dy 9x ou, ainda, tendo em vista (1.40): el = & 2u + my By x 3x 3x =, 2U sm, 2 (1.43) E- 24l 24T y 3y dy nenem le Dem *y ay ay 3x 3x Por outro lado, sabe-se, por exemplo, que: -26- a? E o» E a? » o» E az | | | ' + (1.44) o? xa od De 1 as sá 1 pois, dado um acréscimo dx, tudo se passa como se experi- mentassem acréscimos dx e dy, conforme condição expressa em (1.4); de onde se deduz: o x os ax | (1,45) 3x e ainda, 9x/dy = te dy/dy = mo* Assim, levando (1.45) na (1.44), e o resultado na primeira das (1.43) tem-se o E .. du 92,07 2, Bu, dv € “4 + mn + Gy + To tm (1.46) x os x o “ ou seja, tendo em vista (1.39): 2 2 - + + A . E em Yey 14 (1.47) Finalmente, reunindo-se numa única expressão matricial o resultado expresso em(1,47) juntamente com as expressões similares para Er e y--, tem-se: y xy e- 1 x mM) [Ex Tay) fi to - . . (1.48) 1 1 | 3 Vas Es 2 mn 3 Yxy E, mn mo que ê, em tudo, similar a expressão (1.11), a excessão do fator 1/2 aplicado na componente de deformação Yey* Perce- be-se, pois, que a lei de transformação de coordenadas do estado plano de deformação & a mesma dado estado plano de -27- tensao. Assim sendo, existe uma orientação de eixos coorde nados dadas por (vide exp. 1.16). 1 m 5Y 1. .2'ay T, tg (a) = Erê, (1.49) onde a componente “gy se anula; e as outras componentes são dadas por: (1.50) cujos valores, em conformidade com a notação €, > sao 1º 2» as deformações principais; as quais constituem valores ex- tremos, máximo e mínimo, da deformação normal £. Finalizam do, & oportuno salientar que o sinal da componente de de- formação normal & positivo no caso de slongamento, e, por via de consequência, negativo no caso de encurtamento; a- lêm disso a componente Yyy (distorção) ê considerada posi- tiva no caso de decréscimo do ângulo reto, conforme apon- ta-se na figura 1.8. 1.8 - Relação entre as Componentes do Estado de Deslocamen to e as do Estado de Deformação - Caso Tridimensio- nais Considere-se o caso de um corpo sólido, devida- mente vinculado, que experimenta um estado de deslocamen- tos, cujas componentes u, v e w são funções contínuas que descrevem os movimentos segundo, respectivamente, eixos co ordenados 0x, Oy e Oz de um sistema de referência dextror- so Oxyz. Tais funções, naturalmente, nas variáveis x, y € z, estão relacionadas, por meio de derivações, com as com- ponentes do estado de deformação da seguinte maneira: -30- Ex. eso q dx y dy z dz (1,54) “ey 3y dx y2 3z 3y 2x 3x az Por outro lado, a primeira, por exemplo, das (1,54), tendo em vista a relação (1.52), permite escrever-se: ELOS MD tm tm (1.55) Ora, no caso em questão tratam-se de funções de três variã veis; assim sendo tem-se, por exemplo eu. da dx + au o, qu Ze (1.56) ax 3x 7 ax 3x Contudo, sabe-se de (1,21) que 3x PY .mn e ca (1.57) Cu xa o Xe a xe e, com isso, de (1,56), juntamente com similares correspon- dentes à dv/9x e dw/9x, tem-se para (1.55) uma nova redação, ou seja: = = dE Êo (ôt, dy ctg nt! Gm + (1.58) av aw au aw = = — q) 2 * Got + Gt mo ou, ainda, tendo em vista (1.51) ex =ec tt +E nº + E n? +Y Lm ty ma +Yy. nf x x1 yl zl xy 11 yz 11 2x 11 (1.59) -31- Reunindo numa só expressao matricial a relação (1.59), juntamente com as similares relativas às outras com Ponentes do estado de deformação, tem-se: - Li Lo 1 1 e 2 “ay 7 kz “mm Ex 2 “ay 2 Yaz Bots 1 1 . 1 1 3 YE z Ya = tomon, z Yay E, 3 Yya | mma E e- 2 ,mon 1 1 [a n 7 kz 7a 30903 | 47 Ya 7 ya “sr PR28s (1.60) cuja semelhança com (1.25) E evidente, Dessa forma todas as propriedades discutidas no final do parâgrafo 1.5.1 va- lem tambêm no caso do estado de deformação tridimensional (direções principais, deformações principais etc.),estando a única diferença no fator 1/2 aplicado às componentes Y, 1.9 - RELAÇÕES ENTRE AS COMPONENTES DO ESTADO DE TENSÃO E AS DO ESTADO DE DEFORMAÇÃO - LEI DE HOOKE Segundo os historiadores, por volta do distante ano de 1676, o grande pensador ROBERT HOOKE enunciou uma clássica lei, que leva o seu nome, de acordo com a qual as deformações acontecem na mesma proporção que as tensões,As sim sendo, assume-se entre as componentes desses dois esta dos uma relação linear do tipo: [e , o Ey y E, I, - le, * 1 (1.61) Te vã | xy Y com T y2 i=1,2,3...6 | ye Vox 3=1,2,3...6 | | Tex -32- onde os elementos da matriz let, de ordem 6x6, são constam tes que dependem, naturalmente, do material em considera- ção. Uma primeira constatação muito importante diz respeito à simetria da tel; e, com isso, o numero de ele- mentos independentes cai de 36 para 21, Sucede que o prin- cípio da Conservação da Energia, supondo-se que no proces- so de deformação não interfere manifestações estranhas de energia - sistema conservativo -, O trabalho, por exemplo, de o, na deformação e, causada por 5, ê igual ao trabalho de o, na deformação E, causada por O, (essa constatação & conhecida como Teorema de MAXWELL). Por outro lado, parece não fazer muito sentido a existência de materiais, nos quais nenhuma simetria de comportamento se verifica, ou se ja, em qualquer direção sempre tensão tangencial provoca deformação normal (não existe nunca coincidência entre as direções principais de deformação e tensão), Por via de consequência, o material dito do tipo GREEN, cujas constan tes elâsticas independentes são em número de 21, parece em xistir, tudo indica, apenas en considerações teóricas. Materiais ortôtropos E a denominação dada a cer- tos materiais, cujo número de constantes elâsticas indepen dentes são em número de 9, Nesse caso existe uma simetria de comportamento segundo três planos ortogonais entre si, A matriz de constantes elásticas assume, então, o seguin- te aspecto Sa 12 13 0 0 9 | Ca Co3 o o o ' Ca 0 0 0 (1.62) Cm o o sim. Ess 9 c 66 -35- Acrescentando, agora, termos nulos nas parcelas do segundo membro da expressão (1.69), ou seja, Veytorvbyto na pri- meira, Vmymo+Vmymo na segunda e nn,+Vn,n, na terceira, tem-se [em 0, ey O 2| Ela vO,temmem np] é Flaevmm,- o Z “Cytotmymp+nyaç)| + lata av t,emmpnn)]) (1.70) onde os termos com v em evidência são nulos, pois tratam- -se do produto escalar de versores ortogonais. Assim, tem- -se então: 2 DV) 2(1+v) 2X+v) Yzs = Tot = SgyMo+ o SoMyRo (1.71) e, com isso, tendo-se em vista a segunda das (1.67) verifi ca-se, facilmente, a razão da relação apontada em (1.66) e tambêm, por analogia, a expressa em (1.64). 1.10 — EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Apresentam-se, no que segue, dois exemplos de a- plicação, onde chama-se a atenção para aspectos ligados 3 utilização das expressões desenvolvidas. Contudo, & oportuno apresentar, antes, as chama- das fôrmulas de CARDAN, que consistem numa maneira exata e expedita de se expressar as raizes de uma equação do ter- ceiro grau. Como nos casos abordados as raizes são reais, dada a natureza do problema, grandes simplificações podem ser conseguidas, Dada uma equação do terceiro grau do tipo canôni co: x + ax? + bx + c=0 (1.72) -36- as raizes são expressas por: = )y,€ a/3 X9 * 90 a/3 (1.73) X3= 737 a/3 Por outro lado, sabendo-se que as três raizes são reais,têm- -se: 3 yj 5 2 cos(8/3) 3 y, = 2Vp cos((21-9)/3) (1.74) 3 y3 E 2Vp cos((27+0)/3) onde: A 2 p= + Q (1.75) 8 = are.tg. (Q/R) sendo: 3 = Loba 2a Rest e- So (1.76) o-V ima? 273. coma, be c tomados com sinal conforme (1.72) - & necessa- rio tomar cuidado com os sinais desses coeficientes. Cabe apontar, alêm disso, que o arco 8 pertence ao primeiro qua- drante no caso de R positivo e no segundo em caso contrário (essa observação diz respeito à posição do número complexo no plano de GAUSS). -37- 1,10,1 - PRIMEIRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num dado ponto de uma estrutura foram medidas as deformações em três direções, conforme ilustra-se na figu- ra I.ll, sendo encontrado tas 1072, e, 107? eEÇço -10"º, Pede-se determinar as deformações principais e as direções onde ocorrem, Trata-se, naturalmente, de um estado plano de deformação, FiG.1.11- DISPOSIÇÃO DE MEDIDAS DAS DEFORMAÇÕES Ko sistema de referência adotado (vide fig.I.11), das componentes do estado de deformação só se conhece uma, ou seja: desconhecem-se as componentes Ee Yay* Todavia, tendo-se em vista a expressão (1.47), tem-se: e =19"2-€ cos?n/6 + (-10")sen?n/6 + Y sent/6.cost/6 a x xy -3 2 -3 2 “4 10 = ecos 57/6+(-10 “)sen 51/6+y, psen5r/6.cos51/6 ou seja 3 Hm o " 0,75€, — 0,25.10 * + 0,433Y ey 3 H o n 0,75, - 0,25.10? — 0,43% -40- 3 - 0,227 - Au, = -0,0655 2 E q =) ati - 0,56)? - (-0,0655)? = 0,0303 Com esses valores, de (1,75) tem-se —— p = [(-0,0655)2+(0,0303)? = 0,0722 - 9,0303 . = o o tgô = TO,0655 9 = 155,2 (-24,8) = 1,0,56(-1,8) R=q(s Finalmente, de (1.74) têm-se: 3 + yj "2 V0,0722 cos(155,2/3) = 0,516 3 o y, = 2 V0,0722 cos(801552, . 9,308 2 3 » 3 — y4=2 Vo,0722 cos (350+155,2, À 9,824 3 e de (1.73) têm-se as três raizes (-a/3 = +0,6): a 1 1,116 tf/em? 1 09 = 0,908 93 = -0,224 que são, naturalmente, as componentes de tensão nas dire- ções principais. Por sua vez, a direção correspondente à - 2 tensao 0, = 1,116 tf/cm” pode ser dada, tomando-se n, = i em(1.27), com os valores em questão, por: -41- 0,3-1,116 -0,4 2 -0,5 -0,4 0,7-1,116| im -0,2 encontrando-se, pois: e " 0,713 B " -0,205 Todavia, em termos do versor dessa direção, tem-se we 0,713/V0,7132+0,2052412 my > -0,205/ (0,7132+0,2052412 1/ V0,7132,0,2052412 = 0,803 0,573 -0,165 a " De maneira similar, para as tensões 9 = 0,908 e 03 -0,224 encontram-se, respectivamente, as seguintes direções: &, = =0,271, m, = 0,885, n, = 0,378 2 2 2 43 = 0,773, m; = -0,435, n; = 0,462 Cabendo-se, todavia, comentar que os versores corresponden- tes às direções principais resultam, em termos numéricos, praticamente ortogonais. Chama-se a atenção para esse fato no sentido de alertar para a "sensibilidade" numérica veri- ficada na determinação dos auto-vetores (a precisão dispen- sada na determinação dos auto-valores - So 4 e 54 - sofre redução na determinação dos auto-vetores). -42- À segunda questão levantada tem resposta imedia- ta, porquanto a lei de Hocke permite escrever-se: 4 e” : = [1,116-0,3(0,908-0,224) | = 4,55,107 , = [ 0.908-0,3(1,116-0,224) ) 4 E) " 3,20,107 ess 1 5 [-0,224-0,3(1,116+0,908) | 2.10 4 -4,16.107 lembrando-se, outrossim, que, no caso do material em apre- ço, as direções principais de deformação são as mesmas de tensão, -45- tinuidade antes e depois da deformação pode-se afirmar que existem duas funções contínuas u(x,y) e v(x,y) que descre- vem os movimentos dos pontos da estrutura no caso plano, e u(x,y,2), v(x,y,z) e w(x,y,2) no caso tridimensional. Taís funções, u e v no caso plano e u, ve wno caso tridi mensional, são as componentes do denominado estado de des- locamento. = q x . s N al] dx y L$ A a) Estrutura em repouso b) Estrutura sob efeito de solicitações FIG.II.1- ESTRUTURA ORIGINAL E DEFORMADA + Um outro acontecimento nesse fenomeno da deforma ção que merece destaque diz respeito à medida da deforma- ção. Nesse propósito, convêm analizar de perto o que suce de com um retângulo elementar de lados dx e dy, Pois bem, na situação deformada, conforme exagera-se na figura ILIb), o retângulo elementar assume uma configuração de paralelo- grama (dx e dy são comprimentos elementares e, por conse- guinte (continuidade) dx+Adx e dy+Ady são tambêm elementa- res; dai a consideração de lados retos eparalelos na situa ção deformada), cujos lados são diferentes dos do retângu- lo original, e os ângulos deixam de ser retos; isso num ca so genérico. Assim sendo, para se definir a configuração deformada torna-se necessário o conhecimento de três parar metros, ou seja, Y,., Adx e Ady, no caso plano, e seis no xy caso tridimensional. Por comodidade, adota-se no lugar de -46- Adx e Ady os parâmetros adimensionais ço Adx/dx e [a Ady/dy. Disso tudo percebe-se que entra em cena o denomina do estado de deformação, cujas componentes E E, e Yxy sao parametros que quantificam, de modo adimensional, a de formação ocorrida em cada pento, ou seja, Ex E, e Yay sao funções continuas das variáveis x e y no caso plano, con- forme jã oportunamente mencionado no capítulo anterior. Por último resta saber-se das interações, ações a reações, que aparecem na estrutura quando da solicitação Convêm relembrar-se das condições de equilíbrio, jã mencio nadas no capítulo prescedente, onde se evidencia a necessi dade de três parâmetros 1 Se Tay? no caso plano, para caracterizar as condições, sob as quais um cubo elementar fica em equilíbrio. Com isso verifica-se a existência de um estado denominado de tensão, cujas componentes são aque les parâmetros mencionados. Pelo exposto verifica-se, facilmente, que o pro- blema estrutural, ou estudo do comportamento da estrutura, consiste na busca das componentes de três estados, quais sejam, estado de deslocamento, deformação e tensão. Assim sendo, mo caso plano tem-se um total oito funções incôgni- tas, que são u, v £ Cs 0, e Toe No que se se q o E Eso Yao Cs Pp E Tay q e gue buscam-se as oito relações necessárias, de modo a se ter um sistema de equações compatíveis com tal número de incôgnitas. 2.3 - RELAÇÕES BÁSICAS DA ELASTICIDADE PLANA Pelo exposto no capítulo anterior têm-se jã, de início, seis relações entre as componentes dos estados en- volvidos no problema estrutural, ou seja, três relações en tre as componentes do estado de deslocamento e do de defor mação: o E a «q E E q 4 (2.1) o “ | a N | — h | + | x o x» 4 o “4 x “a o) ca -47- e mais três relações entre as componentes do estado de de- formação e do de tensão, expressas pela clâssica lei de Ho oke, que, no caso plano de tensão (g = T = T = 0) são z xz yz dadas por: E 1 =V 0 o x x E -l 1 o a (2.2) y E y + SIM 2(1+v T Tay (av) y e ques no caso plano de deformação E, = Yye = Yu = 0), sao dadas por: 2 £ l-vo <lav)v O a x x 1 2 € =— l-v 0 o 2.3 y E ; (2.3) SIM Yey 2(l+v) Tyy Assim, resta saber, agora, das duas relações que ainda fal tam para completar as oito necessárias. Para tanto convém ser observado a natureza das relações (2,1), onde as três componentes do estado de deformação (parâmetros indepen- dentes) são definidas em termos de apenas duas funções (com ponentes do estado de deslocamento); por conseguinte deve- -se esperar alguma relação ao nível de derivadas daquelas componentes (esse aspecto & explorado mais adiante). Pois bem, especulativamente deve-se esperar também relações des sa natureza entre as componentes do estado de tensão. A propósito, as condições de equilíbrio em forças não foram ainda utilizadas,pois ao nível das tensões constituem ex- pressões redundantes. -50- 2 ô Ex . a? (EB) =. Ju dy ay? 3x dy dx 32,3v aiy (2.6) ' o ed Mo [E « “o " 2 3 Tay 3 qu, dy; Blu, By 3xdy 3xdy dy Ox 32x 3x28y e, por via de consequência, tem-se 32e 32 a2y T+ ma (2.7) dy 3x que constitui a denominada equação de compatibilidade,pois exprime uma condição que se origina na suposta continuida- de dos deslocamentos (as derivadas mistas são idênticas in dependente da ordem de derivação). 2.4 - ESTADO PLANO DE TENSÃO Um grande número de peças estruturais, nas quais uma das dimensões & bem menor que as demais e, por outro lado, estas apresentam a mesma ordem de grandeza, possuem a função estrutural de resistir esforços contidos no plano das grandes dimensões. É o caso, por exemplo, das vigas pa redes. Nessa situação, o tratamento plano justifica-se ten do-se em vista que a dimensão menor pode ser considerada como um diferencial em relação às demais (dimensão menor E dz). Assim sendo, tudo se passa como se as componentes dos estados de deslocamento, tensão e deformação não variassem com a variável z. Todavia, cabe adiantar que tratamento pla -51- no conduz à discrepâncias nas regiões próximas do contorno, porêm esse assunto & objeto de comentários mais adiante (Princípio de Saint-Venant), Na integração das oito equações nas componentes dos três estados envolvidos no problema estrutural & clãs- sica a variante onde se procura colocar as expressões em deformação e deslocamentos em termos das componentes de tensão (Métodos esforços ou da flexibilidade). Para tanto, torna-se conveniente redigir a equação de compatibilidade (2.7), tirando-se partido, no caso do estado plano de ten- são, das relações (2,2), tendo-se em vista as (2.5), ou se ja: 8?o, 320, 32o ao 3X ar TIE E tm E UM Gt) (2.8) 3x dy dy dx y ou, ainda, em termos simbólicos: 2 2 5 3 3 3X 3Y ED O) O UGT (2,9) Com isso, do conjunto de oito equações, destaca-se um con- junto de apenas três equações nas componentes do estado de tensão, ou seja, as equações (2.5) juntamente com (2.9). 2.5 - ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO O estado plano de deformação caracteriza-se pelo fato de serem nulas três das componentes de deformação, ou ja: = = = 0, Dentre as estruturas, esse É o seja: E, Taz Yyz > caso, por exemplo, de algumas estruturas de barragens de gravidade e das estruturas de revestimento de túneis em ro cha (para a estrutura se alongar segundo o seu eixo longi- -52- tudinal carece que os grandes maciços de suporte também se alonguem; o que na prática não ocorre). Pois bem, a variante do Método dos Esforços im- plica, de mode analogo ao caso plano de tensão, na seguin- te equação de compatibilidade; expressa, agora, em termos das componentes de tensão: a2 EM . L (90X, 9Y a + 398 xt) 2-5 GG + Tp) (2.10) lembrando-se, em tempo, que essa nova redação deriva da e- quação (2.7), tendo-se em vista as relações (2,2) e (2.5). 2.6 - FUNÇÃO DE AIRY (FUNÇÃO DE TENSÃO) Uma notâvel contribuição à Teoria da Elasticida- de foi dada pelo inglês G.B. AIRY (1862) ao descobrir uma engenhosa manobra algébrica, segundo a qual aquele conjun- to de três equações nas componentes do estado de tensão po de ser reduzido a tão somente uma equação a uma incôgnita, às custas de um levantamento da ordem de derivação (na ma- temática, como no mundo, tudo tem o seu preço, mesmo com o concurso de procedimentos geniais). Antes porêm, de se abordar esse assunto, carece esclarecer certos pormenores referentes à natureza das for ças volumétricas. De acordo com as conceitos da Física clãs sica, as forças volumêtricas encontram razão de ser na e- xistência de campos de força, como, por exemplo o gravita- cional, que mais de perto interessa aos técnicos do ramo civil. Pois bem, tais forças podem ser expressas por meio da variação do potencial do campo correspondente, ou seja (2.11) -55- (2.17) Todavia, mesmo nos problemas onde o peso próprio & signifi cativo, a integração pode ser alcançada lançando-se mão da Propriedade da superposição de soluções, ou seja, nesse ca so 4 é dada pela soma de duas funções, onde a primeira con duz às tensões referentes & solicitação externa e a segun- da às tensões referentes às forças volumêtricas, sendo que essas duas funções devem obedecer as equações (2.16) e (2.17) e as correspondentes condições de contorno (compa- tível no contorno com as solicitações ai existentes). Para finalizar, convêm esclarecer que, na Teoria da Elasticidade, os problemas têm sido tratados com um pro cedimento inverso, ou seja, dada uma solução da equação (2.16), por exemplo, procura-se o problema estrutural re- solvido com tal solução. Parece, a primeira vista, um pro- cedimento muito estranho, pois o normal ê& o contrário, ou seja, dado um problema procura-se a solução; e não dada u- ma solução procura-se o problema. Todavia, achar o proble- ma resolvido com uma dada solução constituí também um pro- blema. O procedimento normal, que consiste na analise do comportamento de uma estrutura dada, em geral só E viável mediante integração numérica, pois o caminho analítico (so luções de forma fechada) não parece, a não ser em casos muito particulares, meio eficiente (em geral a solução não ê nenhuma das funções conhecidas). A propósito dos métodos de integração numérica, dois deles são objeto dos próximos capítulos. -56- 2.7 - FUNÇÕES DE AIRY POLINOMIAIS Alguns problemas práticos podem ser resolvidos Satisfatoriamente por meio de polinômios. É o caso, por e- xemplo, da flexão de barras sob certas condições de carre gamento, No que se segue são expostos alguns casos, onde soluções polinomiais resolvem alguns problemas da prática. 2.7.1 - Casos Elementares Considere-se, em primeiro lugar, a função de AI- RYy (que obedece a relação (2.16)): é = ape + Agey + asy? (2.18) que consiste num polinômio, cujos termos são do segundo grau. Naturalmente, em face das relações (2.17), verifica- -se, facilmente, que a inclusão de termos de grau menor em nada altera o campo de tensão, Pois bem, a função expressa em (2.18) corresponde às seguintes componentes de tensão (vide (2.17)): x = 2h, o =2A (2.19) y 1 Tay) TA ou seja, um estado de tensão uniforme. Essa resposta pare- ce trivial, porêm deve-se atentar para o fato de que tal solução garante a existência de estados uniformes de ten- são mesmo em casos não a nível elementar, onde a uniformi- dade & garantida pela continuidade das funções em jogo. -57- É interessante constatar que, no caso de se ter 44 = Ao = 0, o problema resolvido trata-se do conhecido problema de solicitação de uma barra por força normal, com Ag valendo, naturalmente, P/2S, sendo P a força normal e S a ârea da seção transversal da barra. A figura IL.3 ilus- tra o problema em questão. p o + x —» 0: 24," -— — y a) Configuração dao solicitação x — o ——» b) Barra vinculada ESSES FIG. 1-3 - BARRA SOB TRAÇÃO UNIFORME Com relação ao estado de deformação tem-se,nesse caso de força normal, o seguinte eciit x E ES 2A -- 3. VE EV -tE (2.20) Yuyt 050 e, com relação ao estado de deslocamento, tem-se: -60- 9 q º x ] x M Do =—— = d ) 2 [ c Y seção to ot a) Configurações de solicitação b)Configuração de tensões nas bordos --A = 1 + c) Configuração de des!ocamentos FIG. I.4 - BARRA SOB FLEXÃO PURA sendo A uma constante. Com efeito, o estado de tensão corres Pondente (vide 2.17) E dado por 9, = 6Ay 0. =0 (2.29) y T.=0 xy e, por outro lado, a constante A estã relacionada com a mag nitude do momento fletor aplicado; porquanto, por conside- rações estáticas, tem-se: / S,dSy = M (2.29) ou seja al y?as =M (2.30) /s -6l- ou,ainda (2.31) als sendo J o momento de inércia da seção transversal. Com isso tem-se, finalmente o =-É x 7” 0, =0 2,32 y ( ) T.=0 xy º que confirma os resultados jã preconizados pela Resistên- cia dos Materiais, No que respeita às componentes do estado de deformação, supondo-se material obediente ã lei de Hooke, têm-se Cx Mm xD CE) cs, e - nm y (2.33) Yayo O Finalmente, as componentes do estado de deslocamen to podem ser encontradas mediante um procedimento análogo ao jã utilizado no caso anterior. De início tem-se 1 EJ uz yx + E, 6) + . (2.34) 2 "My vem T+ f,0) +00, Todavia, a terceira das (2,33) implica em: df, (x) d£ Cy) . Mx '—— * dy -0 (2.35) ou seja, com base nas mesmas considerações jã levantadas an- teriormente, tem-se: Mx dE o (x) -c EI dx 3 (2.36) dO dy 3 ou, ainda, por integração de (2,36): 2 = Mx Fo(8) = Cox = 7 (2.37) 40) - -C3y e, com isso, a (2.34) fica, agora, com a seguinte redação: M UE yXo Cay + ct (2.38) =M yº x v = FI 05 E + Cax + C, onde as constantes de integração Cp te c4 dependem do ti- po de vinculação. Por exemplo, no caso de viga em balanço, conforme exibe-se na figura Il.í4c), tem-se 4 o u(x=y=0) (2.39) u So víx=y=0) dvlx=y=0). q 3x -65- iG ndo He-y) (y+(c-)/2) (2.44) M = -Px Q=-p sendo J o momento de inércia da seção transversal, K, o mo mento estático da área correspondente ao nível onde se cal cula o cisalhamento, M e Q, respectivamente, o momento fle tor e a força cortante na seção em consideração. Exibem-se na figuraII.6as tensões que ocorrem no contorno, para es- sa solução apontada. diagrama de Os, | T | E- — e 3 PS | x = 3? 4 be a be 4 Ndlh É diagrama de 4 * diagrama 3 P To P— = = de Tyy 2 cê FIG.II-6- TENSÕES NO CONTORNO DA VIGA EM BALANÇO Cabe, nesse ponto, esclarecer um aspecto de gran de interesse prático, Na solução apresentada o carregamen- to externo & dado por uma distribuição parabôlica de cisa- lhamento na face da extremidade livre, cuja resultante e P; todavia outras maneiras de aplicação do carregamento co mo, por exemplo, cisalhamento uniforme num certo trecho da face da extremidade livre e de resultante P, Esse carregar mento promove em regiões afastadas tensões praticamente i- guais às do caso anterior. Tal constatação fundamenta-se no -66- Princípio de Saint-Venant, que garante a propagação limita- da das perturbações locais do estado de tensão, De um modo geral, sao duas as maneiras de se enunciar esse Princípio. la. Maneira: As tensões criadas por forças em equilíbrio- “resultante nula - aplicadas numa parte pequena de um corpo elástico desaparecem, praticamente, numa extensão que tem por ordem de grandeza a dimensão da zona de aplicação das forças. Como ilustração imediata dessa colocação tem-se o caso das tensões criadas por uma ferramenta de corte, co- mo mostra a figura I1I.7a). As tensões criadas por uma tur- quesa ao se cortar um arame ficam restritas à região do cor te (não faz muito sentido uma propagação ilimitada, pois,se assim fosse, os danos causados pelo corte se estenderiam por uma grande extensao). Cumpre, contudo, chamar a atenção par ra a necessidade de se definir bem o que seja parte peque- na, conforme colocado no Princípio. As tensões criadas por momentos opostos aplicados nas mesas de um perfil I, confor me ilustra-se na figura II.7b), propagam-se para dentro da peça, pois o perfil,nesse caso de seção delgada, comporta- -se como se fossem as mesas duas vigas independentes, e ca- da uma, isoladamente, sujeita à flexão (a alma por ser tam- bêm delgada apresenta pouca rigidez transversal), Assim sen do, a altura do perfil “h" não seria, nesse caso, uma dimen são pequena, todavia a espessura das mesas e a da alma "d" sim. 2a. MANEIRA: Substituindo-se um grupo deforças por outro es taticamente equivalente - de mesma resultante - as varia- ções criadas no estado de tensão desaparecem, praticamente, numa extensão, cuja ordem de grandeza & de ordem das da zo- na na qual foram aplicadas as forças. Exemplifica-se essa segunda maneira de enunciar o Princípio com o caso do ensaio de peças à tração. As casta- nhas da máquina de ensaio introduzem a tração mediante pres sões locais e forças de atrito, criando localmente, nas re- -67- TORQUÊS., G REGIÃO TENSIONADA NO GORTE b) DEFINIÇÃO DE "PARTE PEQUENA” FIG.IL- 7- ILUSTRAÇÃO DO PRINCIPIO DE SAINT- VENANT (1º Enunciado) giões de engaste, tensões muito irregulares, conforme ilus- tra-se na figura II.8a), Na figura II,8b),a mesma tração é vista como uma solicitação aplicada segundo tensão uniforme; e nesse caso a tensão & uniforme também no interior da peça, conforme jã visto anteriormente. Assim sendo, o Princípio de Saint-Venant garante que em ambos os casos a tensão no inte rior da peça, conforme mostra a figura II.7c),& uniforme (se isso não ocorresse, os resultados obtidos em ensaios de tração não teriam nenhuma validade). Como se nota, o Princípio de Saint-Venant não per mite uma definição muito clara, e também não & possível pro vã-lo na sua generalidade, contudo sua veracidade & consta- tada em inúmeros casos especiais de cálculo mais requintado, Tais defeitos conceituais nao diminuem em nada a utilidade do princípio, pois o mesmo permite, por certas idealizações, tornar acessíveis ao cálculo problemas estruturais bastante complexos. +70- Cabe esclarecer que a primeira parcela da expres- são de 9, corresponde à jã conhecida da Resistência dos Ma- teriais. A segunda, conforme percebe-se facilmente » Corres Ponde a um carregamento auto-equilibrado e, mais que isso, nos casos onde &£ >> c a magnitude do valor correspondente & muito menor que o da primeiras o que indica a validade prá tica da teoria técnica da flexão, O mesmo fato ocorre com “4 segunda das expressões (2.46). Finalizando, a expressão de Tay coincide com a preconizada pela Resistência dos Mate riais. 2.8 - TORÇÃO LIVRE Para simplificar a exposição, considere-se, por exemplo, uma barra de seção qualquer, porêm constante ao ln go do comprimento, sujeita a uma solicitação por torção, con forme ilustra-se na figura II.10, Nessa situação, tudo indi ca ser plausível supor que, dentre as componentes do estado de tensão, apenas as componentes Tay e Tez? conforme siste- ma de referência apontado na figura, assumem valores; sendo as demais nulas em qualquer ponto da barra, Tal consideração faz sentido, pelo menos & primeira vista, pois o exame do e quilibrio de uma parte da barra mostra que a resultante das tensões atuantes na seção da barra consiste apenas num mo- mento torçor, igual e de sentido contrário ao do aplicado na extremidade, Pois bem, em se tratando de material elastico, li near, homogêneo e isôtropo, aquelas considerações implicam em algumas restrições no estado de deslocamentos. Em primei ro lugar, pelo fato de serem nulas as tensões normais S. = 9, = 0, = 0) tem-se a e e =0= (2.47) x o x “71- E =0= 3 y y (2.47) continuação e, =0= 84 z az FIG.H-|0- BARRA DE SEÇÃO QUALQUER SUBMETIDA A TORÇÃO Com isso se percebe que o movimento u não varia com x, vw com y e w com z, ou seja: u=u(y,z) v = v(x,z) (2.48) w = wlx,y) Por outro lado, as componentes de distorção ficam: . Iuly,z) 5 dv(x,z) . 5y ox xy = duly,z) | dw(x,y) Vw” z + ado (2.49) = 3v(x,2) Iwlx,y) Yyz 5z + ay -0 7) Tendo-se em vista que em toda as seções o momento torçor so licitante ê o mesmo, torna-se tambêm plausível supor que Ty e Ts não variam com x, ou seja Tay E não variam com x. Assim sendo, de (2.49) constata-se algo de grande in teresse. Com efeito, da primeira de (2,49) tira-se que dv(x,2)/9x & uma função sô de 2, pois Tay não varia com x; do mesmo modo, da segunda de (2.49) tira-se que dw(x,y)/9x ê uma função só de y. Com relação à terceira de (2.49) duas situações são possíveis, ou seja: ou dvlx,2)/d2 = ce dw(x,y)/dy = -c, onde c & uma constante; ou então Jdv(x,2)/ dz = f(x) e wlx,y)/dy = -f(x), onde f(x) & uma função ex- clusiva da variável x, O primeiro caso não faz sentido pois, por exemplo, dv(x,z)/3x &, por força de considerações ante- riores, uma função exclusiva de z, ou seja, v E do tipo v= x f(z) Assim sendo dv/dz = xf!'(z) e, por isso, não pode ser cons- tante, Dessa forma sô resta como situação possível o segun- do caso, e mesmo assim com f'(z) resultando constante. Es- clarecendo melhor: Ea = xf'(z) = Kx (2.50) E = xf'(y) = -Kx onde K é uma constante. Em resumo, o estado de deslocamento tem por componentes funções do tipo: G(y,2) E “ Kxz (2,51) q “ w = -Kxy -75- FIG. I-|2— CONFIGURAÇÃO DE TENSÃO NUM VOLUME ELEMENTAR ar aT - - XxZ xy — Tygdsdy Tuydudat(t + 3 dz)dxdy+(T (+ yo dy)dxdz = O (2.56) ou seja, cancelando os termos comuns tem-se: day Tur + -——D = 0 2.57 3y Jz ( , ou, ainda, tendo-se em vista (2.55), essa expressão ganha a seguinte redação: jo? e + o e K o (2.58) a q a nm dal u No contorno da seção transversal, a equação dife rencial (2.57), ou (2.58), deve obedecer as condições aí im postas ao estado de tensão, ou seja, a componente de cisa- lhamento normal ao contorno deve ser nula, por força do -76- teorema de CAUCHY, porquanto na face externa da barra su- põe-se não haver solicitação. A figura 11.13 exibe uma se ção transversal genérica, onde indica-se a configuração de tensão no contorno. Tomando, para o contorno, uma coordena da curvilínia s, a componente de cisalhamento normal ao dz costm)= 1 sen(m) = - SE A y í La vias 1 dy Lo Nm XT z Mm 2N tdz a) Configuração de tensão no contorno b) Configuração geométrico no contorno. FIG.I. 13- CONDIÇÃO DE CONTORNO contorno é dada por (transformação de coordenadas - do sis tema Oyz para um sistema O0yz com o eixo y normal ao contor no - vide (1.25)). dz dy t= = = - T =" = 0 2.59 * as “2 as é ? onde o sinal negativo do segundo termo indica, no caso em questão, o fato de y decrescer com o aumento da coordenada s, conforme ilustra-se na figuralI.l3b). A expressãao(2,59), tendo em vista (2,55), passa a escrever-se Bb 332 0 (3! By . rn Ghendeo (2.60) -77- 2,8,2 - Equação de Equilíbrio Externo Supondo-se a barra sujeita a uma solicitação por momento torçor Mp o equilíbrio de uma parte genérica da barra, tendo em vista a configuraçao de tensões apontada na figura I1.l4, implica em: FIG.U-14 - CONFIGURAÇÃO DE TENSÃO NA SEÇÃO K, = k Coua Tay IS ou, ainda, tendo-se em vista (2,55): 3 3 2,.2 HM, = co E y- se z+y“+z")dS Chamando º Bv. 2,2 1 [8 Jp My tz jds de (2,62) tira-se, pois (2.61) (2.62) (2.63) -80u e verifica-se que a expressão (2.70) exprime, em verdade, a condição o (2.71) ou seja, a condição de contorno, agora em termos da função $, exprime-se na forma de é constante no contorno(dbe/ds= O implica em é = constante no contorno s), Tendo-se em vista que as grandezas de interesse em jogo dependem de deriva- das da função $, é natural arbitrar-se um valor nulo no contorno para tal função; o que permite simplificar a par- te numérica do problema. As condições expressas em (2.64) ficam tambêm o- bedecidas, pois, por exemplo: 3 z [: ds [as (2.72) g Ez g *Y o u ou seja: o N 24 [y - [2 2 26 alas (2.73) z dy Zz 1 1 onde 2) 29» 9, € 79 são ordenadas genêricas do contorno; 72 3» - - Í, 5 dy = 00) 907) = 0 (2.74) nm pois, no contorno, é, conforme já mencionado, é constante. De modo similar verifica-se 8 = 0 (primeira das (2.64)). Para £ tem-se: Por outro lado Í porém, integrand E 3y f 34 ss » onde: y2 ty ” quando se consid fx s Y De modo similar Í e, assim sendo, que: dé dz -81- inalizar, levando, agora, (2.66) em (2.61) , 3y 9 * Jg 2)ds (2.75) z fy yds f || 2 ML vayjáz (2.76) z y y 1 “1 o por partes, ter-se: y y . ydy = 4y/ 2 - Í 2 dy (2.77) ” 1 -0 (2.78) era & = 0 no contorno. Com isso tem-se yds = - [ 4ds (2.79) s tem-se também zdS = - [eus (2.80) s tem-se finalmente -82- Mp =-2 das (2,81) [a Nessa nova formulação o problema da torção de bar ras de seção constante qualquer consiste na procura de uma solução da equação diferencial (2.69), cuja condição de Contorno expressa-se pela nulidade da função no contorno (equação de LAPLACE). 2.8.4 - Primeiro Exemplo de Aplicação Considere-se, por exemplo, o caso da torção de barra de seção circular, cuja solução jã se conhece da Re- sistência dos Materiais, Trata-se, aqui, apenas de consta- tar que aquela solução & correta sob todos os aspectos. De início, considere-se a seguinte função: 0 = K(y2ez2-r2) (2.82) a qual, como se percebe facilmente, anula-se no contorno do círculo de raio "Rº, conforme ilustra-se na figura 11.15 Levando (2.82) em (2.69) tem-se: y y a) Seção b) Configuração de tensão FIG I- 15- SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO “R”. -85- porquanto as primeiras parcelas são identicamente nulas (no te-se, a propósito, o expresso em (2.88)), Obviamente a G- , Pp , Pp nica solução viavel em face de (2.93) E a condição v=0 (2.94) ou, em outras palavras, no caso da seção circular a torção não promove distorção. Convêm esclarecer que as hipóteses da Resistência dos Materiais levaram à solução desse parti cular problema por causa dessa propriedade;nos demais uma imposição na distribuição das tensões não apresenta suces- so, dada a complexidade real de tal distribuição (de certa forma, a ocorrência de empenamento dificulta visualizar u- ma plausível distribuição de tensão). 2.8.5 - Analogia de Membrana O problema da torção ê, do ponto de vista pura- mente matemático, em tudo parecido com o problema do equi- líbrio de uma membrana sujeita à pressão; e por essa razão existe uma analogia entre tais problemas. A figura II.16 mostra uma configuração genérica de equilíbrio de uma membrana sujeita a uma pressão inter- na “p", onde h é a ordenada da superfície assumida pela membrana. No contorno a membrana encontra-se vinculada, ou Seja, no contorno tem-se h nulo. Pois bem, dentro da consi deração de pequenos deslocamentos (h pequeno em face das dimensões da membrana) o equilíbrio da membrana assim se expressa (vide fig. II.l6b) e c)X p dedy = 2sdysengê + 2sdusenth” (2.95) -86- o CONTORNO 4 “PRESSÃO p o) Membrono b) Elemento de c) Vista lateral membrona FIG. .I6- CONFIGURAÇÃO DE EQUILÍBRIO DE MEMBRANA onde s & a força por unidade de comprimento da membrana, su posta constante, dO e d9! são os ângulos contidos entre os raios de curvatura segundo os planos xz e xy. Em se tratan- do de pequenos deslocamentos têm-se ainda: - 9h Rr er= 2h ay 3 (2.96) send6/2 = ao/2 = -1/2 2 az 3z , vo = 32h send6/2 = de6'/2 =-1/2 = dy 3y e, com isso a expressao (2.95) passa a escrever-se 2 2 2h, 92h... 2 (2.97) ay az Cabe esclarecer que, nas deduções aqui apresentadas, as sim plificações decorrentes da consideração de pequenos desloca -87- mentos são as seguintes, Em primeiro lugar, da consideração de h pequeno decorre pequenas inclinações na membrana,e com isso tem-se 8 z senê = tg0 =dh/dz, ou dh/dy = tgb'=send! 2 6', Por outro lado em sendo 6 e 8! ângulos pequenos tem-se tambêm cosô 2 cos8! 21,0, e, com isso, a projeção horizon tal da ârea do elemento infinitesimal de membrana dydz coin cide com a ârea desse elemento. Para finalizar, cabe ainda ressaltar que o sinal negativo nas duas últimas das (2.96) provêm do fato de 0 e 6! decrescerem, respectivamente, com z ey, ou seja, as segundas derivadas de h são negativas; lembrando-se de terem sido os ângulos considerados em pri- meira determinação na equação de equilíbrio (2.95). Além dis so resta ainda chamar a atenção para o fato de se considera rem verticais os raios de curvatura. A equação (2,97) & co- nhecida como Equação de Laplace, Tendo-se em vista a mesma natureza matemática das equações (2,97) e (2.69), inclusive no que diz respeito 3s condições de contorno (h=0 e $=0 no contorno), pode-se di- zer que, a menos de um fator, as duas funções, h e são q , , , , idênticas, ou seja: h = -Ké (2.98) - : : e a all : onde K e um fator constante, cuja dimensão & F L (bh tem di mensão de comprimento e à tem dimensão de força por unidade de comprimento - a derivada de 6 tem dimensão de tensão). Essa analogia permite, mediante a experimentação com membrana de bolha de sabão, cujas propriedades satisfa- zem a condições estabelecidas (s constante e no contorno não ocorre perturbações de molhamento), obter os parâmetros de torção Je W, que constituem os parâmetros geométricas da seção de interesse no caso. Comefeito, de (2,81) e (2.98) 2 My = a f gds = 2 feas (2.99) tem-se: -90- onde f & a inclinação da membrana segundo à direção 2, ou, tendo-se em vista (2.101) e (2.103): 1 M,8 T= 268 PTE B = = (2.109) ou seja: 2V up = (2.110) max onde emax & a maior inclinação verificada na superfície as sumida pela membrana (Cãx = MW. 2.8,6 - Segundo Exemplo de Apiicação Considere-se por exemplo a função: 2 6 = u(y2-+2/4) (2.211) que assume para y = £t/2 valor nulo, Trata-se, por conse guinte, da solução de um problema de torção de uma barra, cuja seção transversal & um retângulo de comprimento, a ri gor, infinito (vide fig. II.i8a)). Todavia, cabe ressaltar que tal solução constitui uma boa aproximação para os ca- sos de retângulosmuito delgados (fig.II.18b)), visto que o volume deslocado pela membrana correspondente & prâticamen te o mesmo, tendo ou não c retângulo comprimento infinito. Em verdade, as perturbações existentes nas extremidades do retângulo comprido pouco alteram o resultado final e, mais que isso, as grandes inclinações da membrana não ocorrem nas extremidades e sim ao longo das bordas mais longas. Pois bem, levando (2.111) em (2.69) tem-se K = c8 (2.112) -91- Y + ES 7 tu a) Retangulo de comprimento infinito b) Retangulo muito delgado Ut <c<oe) FIG. .|B- SEÇÃO RETANGULAR DELGADA Por outro lado, levando (2,112)em (2.81) tem-se: +c/2 +t/2 23 Hj = of Í coty"-tê/4)dyjdz (2.113) -e/2 »t/2 . ou seja: o tie HM = 6 =— (2.114) e, com isso, tendo-se em vista (2.63); tem-se: . tie Je (2.115) Com relação à inclinação, ou tensão de cisalhamento tem-se - 36 1 Tea TT 288y (2.116) sendo que o maximo cisalhamento ocorre, naturalmente, para y = tt/2, ou seja: T = GOt (2.117) max -92- e, com isso, tem-se, tendo em vista (2.116): 3M Tmax * Ot (2.118) ] ou seja e o a = (2,119) A solução aqui apresentada serve de base para re solver também os casos de secção transversal formada por re tângulos alongados, a exemplo do ilustrado na figura 11.19, Nesses casos, onde as perturbações criadas nas regiões de conexão dos retângulos não introduzem alterações apreciã- veis, os parâmetros podem ser assim estimados: Lt + == - | 1 I I I l Pot L=D""D— FIG .19- SEÇÃO ABERTA DE PAREDE DELGADA( b<<h) 1 23 J,=3 2 LT i=l (2.120) 1 23 gro dote; max i=l onde n é o número de retângulos na seção. Cumpre esclare- cer que, na regiao de maior espessura, o cisalhamento E mã ximo, porquanto nessa região a inclinação da membrana & ma ior, daí a presença de tagx PO denominador da segunda das (2.120).