Cinematica Rotacional

Cinematica Rotacional

Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 21/07/2005 15:50 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 1 - Cinemática Rotacional

Problemas

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos

04. Uma roda gira com aceleração angular α dada por 3243at btα =− onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda possui velocidade angular inicial ω0, escreva as equações para (a) a velocidade angular da roda e (b) o ângulo descrito, como função do

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tempo.

Solução. (a) Vamos partir da equação dada:

tdt () 43

[Início]

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05. Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro de segundos, (b) do ponteiro de minutos e (c) do ponteiro de horas de um relógio?

Solução. (a)

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[Início]

09. Uma roda de 30 cm de raio possui oito raios. Ela está montada em um eixo fixo e gira à razão de 2,5 rev/s. Você deseja atirar uma flecha de 24 cm de comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem tocar seus raios. Admita que tanto a flecha como os raios são muito finos; veja a Fig. 14. (a) Qual é a velocidade mínima que a flecha pode ter? (b) É importante o ponto, entre o eixo e a borda da roda, que você mira? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?

(Pág. 225)

Solução.

(a) A condição mínima para que a flecha consiga passar pela roda é que o tempo para a flecha percorrer seu próprio comprimento (l), tf, deve ser igual ao tempo requerido para a roda percorrer 1/8 de sua circunferência, tr:

frtt=

(b) A distância que a flecha passa pela roda medida a partir do centro não é importante. Embora o espaço disponível para a flecha passar próxima ao centro seja menor, a velocidade tangencial da roda nessa região também é proporcionalmente menor.

[Início]

14. Como parte de uma inspeção de manutenção, a turbina de um motor a jato é posta a girar de acordo com o gráfico mostrado na Fig. 15. Quantas revoluções esta turbina realizou durante o teste?

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Solução.

Vamos dividir o intervalo total de 5 s em três subintervalos: A (0 s – 1 s), B (1 s – 3,5 s) e C (3,5 s – 5 s). Em A e C o movimento é acelerado e em B o movimento é com velocidade angular constante.

O número de revoluções pode ser calculado diretamente pela variável Δφ, uma vez que se use ω em rev/s e α em rev/s2. O número total de revoluções será:

ABCφφφφΔ=Δ+Δ+Δ Cálculo de ΔφA:

1.500revA φΔ=

Cálculo de ΔφB: 0tφφω=+

1.250revB φΔ= Cálculo de ΔφC:

2.250revC φΔ= Logo:

1.250 revφΔ=

É evidente que esta mesma resposta pode ser obtida de maneira mais confortável a partir do gráfico ω(t) × t, que foi dado. Vejamos:

()() t ddt φω=

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t t dtφωΔ= ∫

Portanto, a área compreendida no gráfico ω(t) × t, no intervalo entre t0 e t corresponde ao deslocamento angular Δφ. Como o gráfico apresentado é um trapézio, sua área será:

Onde B é a base maior e b é a base menor do trapézio.

1.250 revφΔ=

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29. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a Fig. 17. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?

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Solução. A velocidade (v) com que a barra avança no pino é dada por:

lvtωλ==

Nesta equação ω é a velocidade angular da barra, λ é a densidade linear de voltas da rosca e l é a distância que a barra avança num tempo t. Logo:

[Início]

34. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na Fig. 18, propaga-se até um espelho distante e retorna à roda no tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0

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× 105 km/s. (a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda? (b) Qual era o módulo da velocidade linear de um ponto em sua borda?

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Solução.

(a) O tempo de ida e volta da luz é igual ao tempo que a roda leva para girar Δφ = 2π/500 rad. Para a luz:

2luz sLvc t Δ===Δ

=(1)

2luz Lt c

Para a roda: 2

500. rodatt φπωΔ==Δ

500rodatπω=(2)

2 Igualando-se (1) e (2):

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35. Uma roda A de raio rA = 10,0 cm está acoplada por uma correia B à roda C de raio rC = 25,0 cm, como mostra a Fig. 19. A roda A aumenta sua velocidade angular à razão uniforme de 1,60 rad/s2. Determine o tempo necessário para que a roda C atinja uma velocidade rotacional de 100 rev/min; suponha que não haja deslizamento da correia. (Dica: Se a correia não desliza, os

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES módulos das velocidades lineares na borda das duas rodas são iguais.)

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Solução. O tempo procurado pode ser obtido a partir da equação de movimento acelerado da roda C:

0tωωα=+ 0CCCtωωα=+

tωα=(1)

Embora as acelerações angulares das rodas C (αC) e A (αA) sejam diferentes, suas acelerações tangenciais (aC e aA) são iguais, pois é a mesma aceleração da correia B.

ACrαα=

Crr

αα=(2)

Substituindo-se (1) em (2):

[Início]

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36. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com aceleração angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa até que um ponto da lâmina assuma os mesmos valores para os módulos da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial?

Solução. A condição para que a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial sejam iguais é:

ωα= O tempo para atingir essa velocidade partindo do repouso é:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 0tαα=+

[Início]

41. Um objeto se move no plano de xy de forma que x = R cos ωt e y = R sen ωt, sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes. (a) Elimine t entre estas equações para encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante ω? (b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o módulo, a direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relação ao tempo para obter o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante.

(Pág. 227)

Solução. (a) Vamos elevar ao quadrado a equação de x. cosxRtω=

ω=−(1)

Agora vamos fazer o mesmo com a equação de y: senyRtω=

222senyRtω=(2)

Substituindo-se (1) em (2): 222yRx=−

222xyR+=(3)

A Eq. (3) corresponde à equação de uma circunferência. A constante ω ajusta a freqüência dos ciclos das funções trigonométricas seno e cosseno. Em termos físicos, ω é a freqüência ou velocidade angular do objeto que se move ao longo da trajetória circular. Veja o esquema a seguir:

y r θ x

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (b) senxdx vRdt tωω==− cosydy vRdt tωω==

Logo, o vetor velocidade vale:

sen cosxyvv R t R tω ωω ω=+ = − +vi j i j)

O módulo de v vale: () (22sen cosvR t Rωω ω ω=− + t

2 2 2 2sen cosvR t R tω ωω ω=+

22sencosvRttωωω=+ vRω= Sabendo-se que:

cos senx yR t R tω ωω=+ = +ri j i j )

O produto escalar entre r e v vale: () (cos sen sen cosR t Rt Rt R tω ωω ω ω ω⋅= + ⋅ − +rv i j i j

cos sen cos cos sen sen sen cos )

R tR t R t R t R tR t R t R t ωω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ⋅= ⋅ − + ⋅ + +⋅ − +⋅ rv i i i j j ij j

Como: cos0Rvφ⋅==rv

Onde φ é o ângulo entre os vetores r e v. Como cos φ = 0, isso implica em φ = 90o. Logo, r e v são ortogonais. Portanto, como r é radial, v deve ser tangencial à trajetória circular. Veja o esquema a seguir:

y r θ x vx vy

(c)

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2 seny ydv aR tdt

Logo:

Esta equação mostra que a tem a mesma direção de r, porém com o sentido contrário. Ou seja, a aponta no sentido radial. O módulo de a vale:

2arω= Veja o esquema a seguir:

y r θ x a ax ay

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