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Apostila de fenomenos de transporte, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

FENÔMENOS DOS TRANSPORTES O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição onde não ocorre nenhuma variação. Os fatos comuns a todos processos de transporte são : A Força Motriz O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de potencial O Transporte Alguma quantidade física é transferida O Meio A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e a direção do processo Como exemplos podemos citar : ?

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 23/05/2010

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Baixe Apostila de fenomenos de transporte e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! FENÔMENOS DOS TRANSPORTES Distribuição de Velocidade Distribuição de Temp. To) 7 vty) Ear ;) Superfície E— ve Aduscida E—— To Eduardo Emery Cunha Quites 2 FENÔMENOS DOS TRANSPORTES O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição onde não ocorre nenhuma variação. Os fatos comuns a todos processos de transporte são : A Força Motriz O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de potencial O Transporte Alguma quantidade física é transferida O Meio A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e a direção do processo Como exemplos podemos citar : • Os raios solares aquecem a superfície externa de uma parede e o processo de transferência de calor faz com que energia seja transferida através da parede, tendendo a um estado de equilíbrio onde a superfície interna será tão quente quanto à externa. • Quando um fluido está entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo de transferência de quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes à placa se movimentem com velocidade próxima à da placa, tendendo a um estado de equilíbrio onde a velocidade do fluido varia de V na superfície da placa em movimente até 0 na superfície da placa estacionária. • Uma gota de corante é colocada em recipiente com água e o processo de transferência de massa faz com que o corante se difunda através da água, atingindo um estado de equilíbrio, facilmente detectado visualmente. 1. TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1.1. INTRODUÇÃO 1.1.1. O QUE É e COMO SE PROCESSA? Transferência de Calor (ou Calor) é energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato direto, como mostra a figura 1.1, ocorrera uma transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico. T1 T2 T T Se T1 > T2 T1 > T > T2 [ figura 1.1 ] Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor, mas calor é indentificado com tal quando cruza a fronteira de um sistema. O calor é portanto um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais uma diferença de temperatura. Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor. Existem três mecanismos, que podem ser reconhecidos assim : • Quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido, em virtude de um gradiente de temperatura, usamos o termo transferência de calor por condução. A figura 1.2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma parede sólida submetida à uma diferença de temperatura entre suas faces. [ figura 1.2 ] 5 1.2. CONDUÇÃO 1.2.1. LEI DE FOURIER A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a figura 1.6 : [ figura 1.6 ] Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade: x TAq ∆ ∆.α& A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim: A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual ao produto das seguintes quantidades: & . .q k A dT dx = − ( eq. 1.1 ) onde, &q , fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico); k, condutividade térmica do material; A, área da seção através da qual o calor flui, medida perpendicularmente à direção do fluxo ( m2); dT dx , razão de variação da temperatura T com a distância, na direção x do fluxo de calor ( oC/h ) A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser a direção do fluxo de calor positivo. Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1). O fator de proporcionalidade k ( condutividade térmica ) que surge da equação de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir maior ou menor facilidade que um material apresenta à condução de calor. Sua unidade é facilmente obtida da própria equação de Fourier, por exemplo, no sistema prático métrico temos :             =−=⇒−= Cmh Kcal m Cm hKcal dx dTA qk dx dTAkq oo ... .. 2 & & m.K W m K.m W : assim fica (SI), nalinternacio sistema No 2 = Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura.. 6 1.2.2. CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida a uma diferença de temperatura. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno, como pode ser visto na figura 1.7, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com material de condutividade térmica k. Do lado de dentro do forno uma fonte de calor mantém a temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 enquanto que a temperatura da superfície externa permaneça igual a T2. [ figura 1.7 ] Aplicado a equação de Fourier, tem-se: dx dTAkq ..−=& Fazendo a separação de variáveis, obtemos : dTAkdxq ... −=& ( eq. 1.2 ) Na figura 1.7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura é T1 e na face externa ( x=L ) a temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o calor transferido não varia com o tempo. Para a área transversal da parede “A” e a condutividade “k” constantes, a integração da equação 1.2, fica assim: ∫ ∫−= L T T dTAkdxq 0 2 1 ...& ( ) ( )12..0. TTAkLq −−=−& ( )21... TTAkLq −=& Considerando que ( T1 - T2 ) é a diferença de temperatura entre as faces da parede (∆T ), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é : T L Akq ∆= ..& ( eq. 1.3 ) Para melhor entender o significado da equação 1.3 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela operação de um forno necessita reduzir as perdas térmicas pela parede de um forno por razões econômicas. Considerando a equação 1.3, o engenheiro tem as opções listadas na tabela 1.3 : Tabela 1.3- Possibilidades para redução de fluxo de calor em uma parede plana. OBJETIVO VARIÁVEL AÇÃO Reduzir k trocar a parede por outra de menor condutividade térmica Reduzir q& Reduzir A reduzir a área superficial do forno Aumentar L aumentar a espessura da parede Reduzir ∆T reduzir a temperatura interna do forno OBS : Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem ser ações de difícil implementação; porém, a colocação de isolamento térmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as ações de redução da condutividade térmica e aumento de espessura da parede. Exercício R.1.2.1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a área das janelas são consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em HP ). Dado: 1HP = 641,2 Kcal/h 7 Desconsiderando a influência de janelas, a área lateral das paredes, desprezando o piso e o teto, é : ( ) ( ) 21263152362 mA =××+××= Utilizando a equação 1.3, temos : ( ) ( ) ( ) hKcalC m mCmhKcalTT L Akq o o 12702240 25,0 126..14,0.. 2 21 =−× × =−=& & , ,q Kcal h HP Kcal h HP= × =1270 1 641 2 1 979 Portanto a potência requerida para o condicionador de ar manter a sala refrigerada é : &q HP≅ 2 1.2.3. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Por exemplo, a equação 1.3 que fornece o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma: Ak L Tq . ∆ =& ( eq. 1.4 ) O denominador e o numerador da equação 1.4 podem ser entendidos assim : • ( ∆T ) , a diferença entre a temperatura é o potencial que causa a transferência de calor • ( L / k.A ) é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência de calor Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : parede da térmicaaresistênci a é e térmicopotencial o é onde, R T R Tq ∆∆=& ( eq. 1.5 ) Se substituirmos na equação 1.5 o símbolo do potencial de temperatura ∆T pelo de potencial elétrico, isto é, a diferença de tensão ∆U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da resistência elétrica Re, obtemos a equação 1.6 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente elétrica : eR Ui ∆= ( eq. 1.6 ) Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante à usada em circuitos elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma parede. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial ∆T e atravessada por um fluxo de calor &q , pode ser representada como na figura 1.8 : [ figura 1.8 ] T C T C k Kcal h m C L cm m m o o o 1 240 22 0 14 25 0 25 6 15 3 = = = = = × × , . . , sala : 3m 6m 15m T1 T2 k L q 10 Cálculo das resistências térmicas ( para uma área unitária ) : ( ) KcalChAk L R KcalCh Ak L R o ar rug o aço aço .08791,0 17,0013,0 0008,0 . .00014,0 145 0063,0 . 2 1 = ×× == = × == ( ) KcalCh Ak L R KcalCh Ak L R o ref ref o ref rug .0323,0 15,1 0484,0 . .0018,0 13,05,1 0008,0 . 1 3 = × == = ×× == A resistência equivalente à parede rugosa ( refratário em paralelo com o ar ) é : 1 1 1 1 0 08791 1 0 0018 0 00176 2 3 2 3 2 3R R R R h C Kcalo / / / /, , , .= + = + ⇒ = A resistência total, agora, é obtida por meio de uma associação em série : R R R R R R h C Kcalt o= + + + + =1 2 3 4 2 3 1 0 0361/ / / / , . Um fluxo de calor é sempre o (DT)total sobre a Rt , então : ( ) 0361,0 9043021 −= − = ∆ = tt total R TT R T q& &q Kcal h= 9418 1.2.6. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura 1.11. [ figura 1.11 ] O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja : & . .q k A dT dr dT dr = − onde é o gradiente de temperatura na direção radial Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : LrA ...2π= Substituindo na equação de Fourier, obtemos : ( ) dr dTLrkq ....2. . π−= Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a: ∫∫ −= 2 1 2 1 ....2. . T T r r dTLk r drq π [ ] ( )1212 . ...2.lnln. TTLkrrq −−=− π Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos : 11 ( )21 1 2 . ...2.ln. TTLk r r q −=      π O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então : ( )21 1 2 . ln ..2. TT r r Lkq −       = π & ( eq. 1.15 ) O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cilíndrica também pode ser representado como : onde, T R Tq ∆∆=& é o potencial térmico e R é a resistência térmica da parede cilíndrica Então para a parede cilíndrica, obtemos : R TT r r Lkq ∆=∆       = . ln ..2. 1 2 π & Lk r r R ..2. ln 1 2 π      = ( eq. 1.16 ) Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n cilíndricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por : ( ) n n i it t total RRRRR R T q +++== ∆ = ∑ = L& 21 1 onde, ( eq. 1.17 ) 1.2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE UMA CONFIGURAÇÃO ESFÉRICA Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura 3.12. [ figura 1.12 ] O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja : & . .q k A dT dr dT dr = − onde é o gradiente de temperatura na direção radial Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : 2..4 rA π= Substituindo na equação de Fourier, obtemos : ( ) dr dTrkq ...4. 2 . π−= Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a : ∫∫ −=− 2 1 2 1 ....4.2 . T T r r dTkdrrq π      −=        −− Tr T T r r kq 2 1 2 1 ...41. . π 12 ( )12 21 . ...411. TTk rr q −−=            −−− π ( )21 21 . ...411. TTk rr q −=      − π O fluxo de calor através de uma parede esférica será então : ( )21 21 . 11 ..4 TT rr kq −       − = π & ( eq. 1.18 ) O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede esférica: parede da térmicaaresistênci a é e térmico;potencial o é onde, RT R Tq ∆∆=& Então para a parede esférica, obtemos : R TT rr kq ∆=∆       − = . 11 ..4 21 π & π..4 11 21 k rr R       − = ( eq. 1.19 ) Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n esféricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por : ( ) n n i it t total RRRRR R T q +++== ∆ = ∑ = L& 21 1 onde, ( eq. 1.20 ) Exercício R.1.2.3. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule : a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; b) a temperatura da interface refratário/isolante. a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m2 ), temos : ( ) 115,0 13,0 12,1 20,0 1451675 .. 2 2 1 1 3131 × + × − = + − = + − = ∆ = Ak L Ak L TT RR TT R T q isoreft total& ( ) 6,1480 2mphKcalq = b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de refratário, obtemos : ( )21 1 1 1 1 2121 . . . TT L Ak Ak L TT R TT q ref −= − = − =& ( )2167520,0 12,16,1480 T−××= T C o 2 1428 2= , Exercício R.1.2.4. Um tanque de aço ( k = 40 Kcal/h.m.oC ), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha ( k = 0,04 Kcal/h.m.oC ). A temperatura da face interna do tanque é 220 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi parede de refratário : parede de isolante : L m k Kcal h m C L m k Kcal h m C T C T C o o o o 1 1 2 2 1 3 0 20 1 2 0 13 0 15 1675 145 = = = = = = , , . . , , . . 15 c) Para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite de fluxo de calor. Respostas : 0,00897 h.oC/Kcal e 0,00375 h.oC/Kcal ; 6685,7 Kcal/h 15981,7 Kcal/h ; 8,9” Exercício P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 m é de tijolos refratários ( k=1,0 kcal/h.m.oC ). A camada intermediária de 0,30 m tem a metade inferior de tijolos especiais ( k=0,20 kcal/h.moC ) e a metade superior de tijolos comuns ( k=0,40 kcal/h.m.oC). A camada externa de 0,05m é de aço ( k=30 kcal/hm oC). Sabendo-se que a superfície interna está a 1700 oC e a superfície externa está a 60 oC . Pede-se : a) o fluxo de calor pela parede b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 % devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno. Respostas : 77222 Kcal/h ; 12,7 cm Exercício P.1.2.4. Um reservatório metálico ( k = 52 W/m.K ), de formato esférico, tem diâmetro interno 1,0 m , espessura de 5 mm, e é isolado com 20 mm de fibra de vidro ( k = 0,034 W/m.K ). A temperatura da face interna do reservatório é 200 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do isolamento, notou-se uma elevação de 15% na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 oC na temperatura da face externa do isolante. Determinar : a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura externa e fluxo voltassem a ser as mesmas de antes. Respostas : 871,6 W ; 0,042 W/m.K ; 29,4 mm Exercício P.1.2.5. Uma longa camada isolante de 9 mm de espessura é utilizada como isolante térmico de um equipamento. A camada isolante é composta de borracha e possui um grande número de vazios internos de seção quadrada e preenchidos com ar parado, conforme mostra o esquema na figura abaixo. A condutividade térmica da borracha é 0,097 W/m.K e a condutividade térmica do ar parado é 0,022 W/m.K. Considerando que a temperatura da face quente da camada é 120 °C e a da face fria é 45 °C, determine: a) a fluxo de calor transferido por unidade de área da camada isolante; b) a percentagem de variação do fluxo de calor caso a camada isolante seja substituída por outra de borracha maciça de mesma espessura. Respostas : 667,96 W ; +21% 3 mm 3 mm 3 mm Ar parado 3 mm Borracha 3 mm 16 1.3. CONVECÇÃO 1.3.1. LEI BÁSICA O calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície e um fluido, pode ser calculado através da relação proposta por Isaac Newton : TAhq ∆= ..& onde, ( eq. 1.21 ) . q = fluxo de calor transferido por convecção ( kcal/h); A = área de transferência de calor (m2); ∆T = diferença de temperatura entre a superfície (Ts) e a do fluido em um local longe da superfície (T∞ ) (oC); h = coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película. A figura 1.13 ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida. [ figura 1.13 ] A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as dificuldades envolvidas no estudo da convecção. O coeficiente de película é, na realidade, uma função complexa do escoamento do fluido, das propriedades físicas do meio fluido e da geometria do sistema. A partir da equação 1.21, podem ser obtidas as unidades do coeficiente de película. No sistema métrico, temos:       ⋅⋅∆⋅ = Cmh Kcal TA qh o2 & (eq. 1.22 ) Analogamente, nos sistemas Inglês e Internacional, temos : K.m WonalIinternaci Sistema 2→ 1.3.2. CAMADA LIMITE Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em regime laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido contida na região de variação substancial de velocidade, ilustrada na figura 1.14, é denominada de camada limite hidrodinâmica. [ figura 1.14 ] Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, O fluido contido na região de variação substancial de temperatura é chamado de camada limite térmica. Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de temperatura ( camada limite térmica ) em uma região de baixa velocidade ( camada limite hidrodinâmica ). 17 [ figura 1.15 ] O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação combinada de condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade. Portanto : ♦ região de baixa velocidade a condução é mais importante ♦ região de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio é mais importante 1.3.3. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA (h) Como visto anteriormente, o coeficiente h é uma função complexa de uma série de variáveis relacionadas com as seguintes características. Logo, h é uma função do tipo : ( )TgVkcDfh p ∆= ,,,,,,,, δρµ onde, ( eq. 1.23 ) D: é a dimensão que domina o fenômeno da convecção. Ex: diâmetro de um tubo, altura de uma placa, etc µ : viscosidade dinâmica do fluido; ρ : densidade do fluido; cp : calor específico do fluido; k : condutividade térmica do fluido; δ : coeficiente de expansão volumétrica V : velocidade do fluido; g : aceleração da gravidade; ∆T : diferença de temperatura entre a superfície e o fluido Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria extremamente complexa. O problema é, então, contornado dividindo-se o estudo em casos particulares. Para cada caso são obtidas equações empíricas através da técnica de análise dimensional combinada com experiências, onde os coeficientes de película são calculados a partir de equações empíricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxílio da análise dimensional. Os resultados são obtidos na forma de equações dimensionais conforme o regime de escoamento: • Para Convecção Forçada a equação é do tipo: ( ) ( ) ( ) ( ) k pcPrandtPrVDnoldsReyRe k DhNusseltNuonde PrRe,Nu µ µ ρ ...;., === Φ= ( eq. 1.24 ) • Para Convecção Natural a equação é do tipo: ( ) ( ) 2 3 ...Pr, µ δ TgDGrashofGronde, GrNu ∆=Φ= ( eq. 1.25 ) Exercício R.1.3.1. Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura, eletricamente aquecida, a máxima temperatura permissível no centro da placa é 135 °C. Para este caso específico o número de Grashof é 2,2 x 107 e o número de Prandt é 0,7. Sabendo que a equação empírica, obtida com o auxílio da análise dimensional, que descreve a convecção natural ( regime laminar ) em uma placa plana é dada pela equação abaixo: ( )placadaocomprimentL k Lh=Nu onde,Gr0,555 =Nu 4 1 :.Pr 4 1 ×× Calcular o fluxo de calor por transferido por convecção, por ambos lados da placa, para o ar atmosférico a 25 °C ( kar = 0,026 Kcal/h.m.°C ). 20 [ figura 1.16 ] Utilizando a equação de Newton ( equação 1.21 ) e a equação para o fluxo de calor em uma parede plana ( equação 1.3 ), podemos obter as seguintes equações para o fluxo de calor transferido pelo forno : ( ) .. 211 TTAhq −=& ( ) . 32 TTL Akq −=& ( ) .. 432 TTAhq −=& Colocando as diferenças de temperatura em evidência e somando membro a membro, obtemos :       ++=−+−+− =− =− =− AhAk L Ah qTTTTTT Ah qTT Ak LqTT Ah qTT . 1 .. 1. . )( . .)( . )( 21 433221 2 43 32 1 21 & & & & Substituindo as expressões para as resistências térmicas à convecção e à condução em parede plana na equação acima, obtemos fluxo de calor transferido pelo forno : ( ) tR totalTq RRR TT AhAk L Ah TT q ∆=⇒ ++ − = ++ − = && 321 41 .2 1 ..1 1 41 ( eq. 1.27 ) Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de condução e convecção, a analogia com a eletricidade continua válida; sendo que a resistência total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando se por convecção ou condução. Exercício R.1.3.3. A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um material de k = 1,31 W/m.K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas : temperatura do ar interior = 21,1 oC; temperatura do ar exterior = -9,4 oC; temperatura da face interna da parede = 13,3 oC; temperatura da face externa da parede = -6,9 oC. Calcular os coeficientes de película interno e externo à parede. 21 O fluxo de calor pode ser obtido considerando a condução através da parede : ( ) 131,1 305,0 9,63,13 . 32 2 . × −− = − = ∆ = Ak L TT R Tq & , /q W p m= 86 76 2 Considerando agora a convecção na película externa : q T T R T T h A hi . . , , , = − = − ⇒ = − × 1 2 1 1 2 1 1 86 76 21 1 13 3 1 1 h W m ki = 11 12 2, . Agora, na película externa : ( ) 1 1 4,99,676,86 × −−− = eh h W m Ke = 34 72 2, . Exercício R.1.3.4. Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600 oC e o coeficiente de película interno é 45 kcal/h.m2.oC. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com lã de rocha ( k= 0,05 kcal/h.m.oC) de modo a reduzir a transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar ambiente está a 20oC com coeficiente de película 5 kcal/h.m2.oC, calcular : a) O fluxo de calor antes da aplicação da isolamento; b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser igual a 62 oC; c) A redução ( em % ) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento. a) Desprezando a resistência do inox e a variação da área devido à espessura do isolante, o fluxo antes do isolamento é dado por : ( ) 24.5 1 24.45 1 20600 . 1 . 1 + − = + − = ∆ = AhAh TT R q ari ari t total& & ,q Kcal h= 62640 4 b) Após o isolamento o fluxo pode ser calculado na camada limite externa : ′ = − = − =& . . q T T h A Kcal hs ar ar 1 62 20 1 5 24 5040 A espessura do isolamento é calculada levando em conta as resistências da película interna e do isolante : & . . . , . q T T h A L k A L i s i iso = − + ⇒ = − + 1 5040 600 62 1 45 24 0 05 24 L m cm= =0 1273 12 73, , ( ) CTCTCT mACmhKcalk CmhKcalhCmhKcalh o s o ar o i o iso o i o ar 62 20 600 24226 ..05,0 ..45 ..5 2 22 === =××== == CT mLCT mACT KmWkCT 0 4 0 3 20 2 0 1 4,9 305,09,6 13,13 .31,11,21 −= =−= == == 22 c) % & & & ,Redução = − ′ × = − ×q q q 100 62640 4 5040 62640 100 Þ % , %Redução = 91 95 Exercício R.1.3.5. Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto químico a 210 oC, com coeficiente de película de 80 W/m2.°C. A parede do tanque é constituída de uma camada interna à base de carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k = 0,212 W/m.K ) e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C. Considerando que a temperatura ambiente é 30 °C, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine: a) a espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança; b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante ( k = 0,0289 W/m.K) de mesma espessura. a) Para uma área unitária de parede ( A = 1 m2 ), o fluxo de calor poder ser calculado na película externa : ( )& . q T T h A W p m= − = − × =4 5 21 60 30 1 20 1 600 De posse do fluxo, e considerando as resistências térmicas entre 210 e 60 °C, podemos fazer : & . . . . , , ,q T T h A L k A L k A L k A L i = − + + + ⇒ = − × + × + × + × 1 5 1 1 2 2 3 3 21 600 210 601 80 1 0 04 22 1 0 212 1 0 01 60 1 L m mm2 0 05 50= =, b) O novo fluxo de calor, menor devido ao uso do isolante de baixa condutividade ( k = 0,0289 W/m.K ), é obtido considerando as duas únicas temperaturas que não variam : & . . . . . , , , ,′ = − + + ′ + + = − × + × + × + × + × q T T h A L k A L k A L k A h Ai e 1 6 1 1 2 2 3 3 1 1 210 30 1 80 1 0 04 22 1 0 05 0 0289 1 0 01 60 1 1 20 1 ( )& ,3q W p m= 100 2 Novamente, na película externa, podemos obter a temperatura da superfície do aço : & . ,′ = ′− ⇒ = ′− × ⇒q T T h A T e 5 6 5 1 100 3 30 1 20 1 ′ =T C o 5 35 Exercício R.1.3.6. Um recipiente esférico é usado para armazenar nitrogênio líquido a 77 K (ponto de ebulição). O recipiente tem 0,5m de diâmetro interno e é isolado com uma camada de pó de sílica (k = 0,0017 W/m.K). A isolação tem 25 mm de espessura e sua superfície externa está exposta ao ar a 300 K. O coeficiente de película externo é 20 W/m2.K. O calor latente de vaporização e a densidade do nitrogênio são 2x105 J/Kg e 804 Kg/m3, respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das paredes metálicas do recipiente, calcular : a) Fluxo de calor transferido para o nitrogênio L mm m L mm m k W m K k W m K k W m K k W m K h W m K h W m K T C T C T C i e o o o 1 2 1 2 2 3 2 2 1 5 6 40 0 04 10 0 01 22 0 212 0 0289 60 80 20 210 60 30 = = = = = = ′ = = = = = = = , , . , . , . . . . T1 K3 K2 L3 L2 L1 K1 T3 T2 T5 T6 T4 25 c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30 oC na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária? Respostas : 0,359 m e 0,0405 m ; 420 oC ; 0,337 m Exercício P.1.3.3. Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradável à tripulação não inferior a 20 oC. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de diâmetro e 70 m de comprimento. O coeficiente de película interno é cerca de 12 kcal/h.m2.°C, enquanto que, no exterior, estima- se que varie entre 70 kcal/h.m2.°C (submarino parado) e 600 kcal/h.m2.°C (velocidade máxima). A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada externa de 19 mm de aço inoxidável ( k=14 Kcal/h.m.°C ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( k=0,034 Kcal/h.m.°C ) e uma camada de 6 mm de alumínio ( k=175 Kcal/h.m.°C) no interior. Determine a potência necessária ( em kW ) da unidade de aquecimento requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7 °C e 12 °C. DADO : 1 KW = 860 Kcal/h Resposta : 40,2 KW ; 50 mm ; 35 °C Exercício P.1.3.4. Um reservatório esférico ( k = 1,65 kcal/h.m.oC ) de diâmetro externo 1,2 m e interno 1,1 m é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90 oC. Quando água de chuva a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW. Quando ar atmosférico a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW. a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar. b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos. DADO : 1 KW = 860 kcal/h Resposta : 58,5 e 409,5 Kcal/h.m2.°C ; 215,7°C e 969,8 °C Exercício P.1.3.5. Um tanque de formato cúbico, com 1 m de lado, é utilizado para armazenar um produto químico a 210 oC, com coeficiente de película interno de 80 W/m2.K. A parede do tanque é constituída de uma camada interna de carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k = 0,212 W/m.K ) e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) de 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 oC. Considerando que a temperatura ambiente é 30 oC, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine: a) o fluxo de calor na condição de segurança, ou seja, 60°C na superfície externa do aço b) a espessura do refratário para atender a condição de segurança a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por de uma de isolante ( k = 0,0289 W/m.K) de mesma espessura. Resposta : 3600 W Exercício P.1.3.6. Ar na pressão de 6 kN/m2 e temperatura de 300 °C , fluí com velocidade de 10 m/s sobre uma placa plana de comprimento 0,5 m e 0,25 m de largura. Determine a taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27 °C. Dados: - Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação. - Para fluxo laminar ( 5105×<Re ) seguinte correlação adimensional é apropriada para este tipo de escoamento: 2 1 2 1 6640 Pr.Re.,Nu L= , onde : ( )placadaocomprimentL Lv e k LhNu LL === ∞ υ . Re. - As propriedades estimadas do ar e o número de Prandt são: 68700364010215 24 ,PrK.m/W,ks/m, ==×= −υ Resposta : 142,65 W Exercício P.1.3.7. Água a T = 40 °C, flui sobre uma placa de alumínio de 10 mm de espessura. A placa é eletricamente aquecida do lado oposto ao da água. A superfície sob a água esta a T = 59,8 °C e a superfície oposta está a 60 °C. Para as condições de regime permanente, determine o coeficiente de transferência de calor (coeficiente de película) entre a água e a placa. A condutividade térmica do alumínio é k = 204,1 W/m.K ( a 60 °C ) Resposta : 206,1 W/m2.K 26 1.4. ALETAS 1.4.1. CONCEITO Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de calor consideremos um exemplo prático. Consideremos um sistema de aquecimento que utiliza água quente que escoa por uma tubulação. O fluxo de calor transferido para o ambiente pode ser obtido pela seguinte expressão: 1 .2. ln . 1 1 2321 eeii eiei AhLk r r Ah TT RRR TTq +      + − = ++ − = π & ( eq. 1.28 ) Analisemos os meios de elevar a transferência de calor através da redução das resistências térmicas    → → = escoamento de e velocidadde aumento necessário aumentar dimensões de mudança necessário aumentar . 1 1 i i ii h A Ah R     → →         = parede da material do trocanecessário aumentar parede da espessura areduzir necessário reduzir ..2. ln 2 1 2 1 1 k r r Lk r r R π    → → = ALETAS DE COLOCAÇÃOou dimensões de mudança aumentar escoamento de e velocidadde aumento necessário aumentar . 1 1 e e ii A h Ah R O aumento da superfície externa de troca de calor pode ser feito através de expansões metálicas denominadas aletas, como mostra a figura 1.16 [ figura 1.16 ] 1.4.2. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA Consideremos uma superfície base sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal uniforme, como mostra a figura 1.17. As aletas tem espessura e, altura l e largura b. A superfície base está na temperatura Ts maior que a temperatura ambiente T∞ [ figura 1.17 ] 27 O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao fluxo transferido pela área exposta das aletas ( AA ) mais o fluxo transferido pela área exposta da superfície base ( AR ) : ( ) ( )   −= −= += ∞ ∞ TTAhq TTAhq qqq AA SRR AR ?.. .. onde , & & & ( eq. 1.29 ) A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T∞) é desconhecida. A temperatura Ts é da base da aleta, pois à medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui, ou seja, AA não trabalha com o mesmo potencial térmico em relação ao fluido. Por este motivo &qA , calculado com o potencial (Ts- T∞), deve ser corrigido, multiplicando este valor pela eficiência da aleta ( η ). A eficiência da aleta pode ser definida assim : SA TA ra temperatuna estivesse se trocadoseria quecalor aleta pela trocadorealmentecalor =η Portanto, ( )∞− = TTAh q SA A .. & η Da equação 6.18 obtemos o fluxo de calor trocado pela área das aletas : ( ) ... η∞−= TTAhq SAA& ( eq. 1.30 ) Partindo de um balanço de energia em uma aleta de seção uniforme, pode ser obtida uma expressão para o fluxo de calor realmente transferido pela aleta, o que permite o cálculo da eficiência conforme a expressão abaixo : ( ) . . lm lmtagh =η ( eq. 1.31 ) onde, ( coeficiente da aleta ) m h P k At = . . e ( ) LmLm LmLm ee eeLmtagh .. .. . + − = A equação 1.31 indica que a eficiência da aleta é uma função do produto "m.l". Observando uma tabela de funções hiperbólicas nota-se que a medida que o produto "m.l" aumenta a eficiência da aleta diminui, pois o numerador aumenta em menor proporção. De volta à equação 1.29, o fluxo de calor trocado em uma superfície aletada por ser calculado assim : & & &q q qR A= + ( ) ( )η..... ∞∞ −+−= TTAhTTAhq sAsR& Colocando o ∆T e o coeficiente de película em evidência, obtemos : ( )( )∞−+= TTAAhq sAR ... η& ( eq. 1.32 ) 1.4.3. TIPOS DE ALETAS Vários tipos de aletas estão presentes nas mais diversas aplicações industriais. A seguir veremos alguns dos tipos mais encontrados industrialmente e aproveitaremos também para calcular o coeficiente da aleta ( m ). Aletas de Seção Retangular [ figura 1.18 ] 30 Cálculo do número de aletas : ( ) aletas e LnneL 74 012,00015,0 1. ≅ + = ∆+ =⇒∆+= Cálculo da eficiência da aleta : m h k e = = × × = 2 2 25 175 0 0015 13 801 . . . , 1656,0012,0801,13. =×=lm ( ) ( ) 1641,01656,0. 1656,01656,0 1656,01656,0 = + − == − − ee eetaghlmtagh ( ) ( )%09,99 9909,0 1656,0 1641,0 . . === lm lmtaghη Cálculo da área não aletada : ( ) ( ) 2889,00015,01741... mebnAAnAA StSR =××−=−=−= Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) : ( ) ( ) 2776,174012,012...2 mnlbAA =×××== Cálculo do fluxo de calor : ( )( ) ( ) ( ) hKcalTTAAhq SAR 91,727940150776,199,0889,025... =−××+×=−+= ∞η& Exercício R.1.4.3. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio ( k=186 W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20 mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50 W/m2.K quando a moto está em movimento. Quando a moto está parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto está em movimento. ( OBS : desprezar as áreas laterais) Placa m L m e b m e mm m mm m h Kcal h m C h Kcal h m C T C T C k Kcal h m C o o o o ar o o → ⇒ = = = = = = = = = = = 1 1 1 1 5 0 0015 12 0 012 225 25 150 40 175 2 2 2 0 , , , . . . . . . ∆ KmWhKmWh KTKTKmWk mmme mmmlaletasn mrmmmcmH pm Saleta ee .15 .50 300 500 .186 006,06 02,020 5 025,050 15,015 22 == === == === =→=== ∞ φ 31 Cálculo da área não aletada : ( ) 201885,0006,0025,02515,0025,02. mAnAA tsR =××××−×××=−= ππ Cálculo da área das aletas : r r l ma e= + = + =0 025 0 02 0 045, , , [ ] ( ) ( )[ ] 22222 04398,05025,0.045,0.2....2 mnrrA eaA =×−×=−= ππππ Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto em movimento ) : m h k e m m l= = × × = → = × =− 2 2 50 186 0 006 9 466 9 466 0 02 0 18931. . , , . , , , ( ) ( ) ( )%84,98 9884,0 1893,0 1871,0 1893,0 1893,0 . . ==== tgh lm lmtghη Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto parada ) : m h k e m m l= = × × = → = × =− 2 2 15 186 0 006 5 1848 5 1848 0 02 0 10371. . , , . , , , ( ) ( ) ( )%90,99 999,0 1037,0 1036,0 1037,0 1037,0 . . ==== tgh lm lmtghη Cálculo do fluxo de calor ( para a moto em movimento ) : ( )( ) ( ) ( ) WTTAAhq SARmm 198,62330050004398,09884,001885,050... =−××+×=−−= ∞η& Cálculo do fluxo de calor ( para a moto parada ) : ( )( ) ( ) ( ) WTTAAhq SARpp 358,18830050004398,0999,001885,015... =−××+×=−−= ∞η& Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento : % & & & , , , , %Elev q q q m p p = − × = − × =100 623 198 188 358 188 358 100 230 86 % , %Elev = 230 86 Exercício R.1.4.4. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( k = 178 Kcal/h.m.oC), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300 oC, enquanto que o ambiente está a 20 oC com coeficiente de película de 120 Kcal/h.m2.oC. Cálculo da eficiência : m h k r m= = × × = − 2 2 120 178 0 0025 23 17 1. . . , n k Kcal h m C mm m r m l mm m T C T C h Kcal h m C o S o o o = = ∅ = = = ∅ = = = = = = ∞ 6400 178 5 0 005 2 0 0025 30 0 03 300 20 120 2 aletas . . , , , . . 32 m l. , , ,= × =23 17 0 03 0 6951 ( ) 6012,0. 695,0695,0 695,0695,0 = + − = − − ee eelmtagh ( ) ( )%49,86 8649,0 6951,0 6012,0 . . === lm lmtaghη Cálculo da área não aletada : ( ) ( )[ ] 222 875,00025,01... mrnAAnAA StS =×−=−=−= ππ Cálculo da área das aletas ( desprezando as áreas laterais ) : 2015,3640003,00025,02....2 mnlrAA =××××== ππ Cálculo do fluxo de calor : ( )( ) ( ) ( ) hKcalTTAAhq SARac 11692620300015,38649,0875,012.../ =−××+×=−+= ∞η& Antes da colocação das aletas o fluxo é : ( ) ( ) hKcalTTAhq SSas 33600203001120../ =−××=−= ∞& % & & & / / / Aumento = − × = − ×q q q c a s a s a 100 116926 33600 33600 100 % % Aumento = 248 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Exercício P.1.4.1. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coeficiente de película é 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 cm x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80 oC, com temperatura ambiente de 30 oC. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35 Kcal/h.m.oC, pede-se : a) a eficiência da aleta; b) calor dissipado pela placa aletada; Respostas : 95,7% ; 10,44 Kcal/h Exercício P.1.4.2. Um tubo de diâmetro 4" e 65 cm de comprimento deve receber aletas transversais , circulares, de 1,5 mm de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas tem 5 cm de altura. No interior do tubo circula um fluido a 135oC. O ar ambiente está a 32 oC, com coeficiente de película 12 kcal/h.m2.oC. A condutividade térmica do material da aleta é 38 kcal/hm2 o C. Determinar o fluxo de calor pelo tubo aletado. Resposta : 8369 Kcal/h Exercício P.1.4.3. Um tubo de aço de 0,65 m de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60 oC na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20 oC e com coeficiente de película de 5 Kcal/h.m2.oC, a uma razão de 40 kcal/h. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica 40 Kcal/h.m.oC. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e 0,002 m de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05m de altura e 0,0015 m de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais. Resposta : a primeira proposta ( 1708 Kcal/h ) é mais vantajosa que a segunda ( 1563 Kcal/h ) Exercício P.1.4.4. Um tubo horizontal de diâmetro 4" conduz um produto a 85oC, com coeficiente de película 1230 kcal/h.m2.oC. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 kcal/h.m.oC, tem 0,8 m de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a 20 oC, com coeficiente de película 485 Kcal/h.m2.oC. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1/8" de espessura e 2" de altura. Pede-se : a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas; b) o fluxo de calor pelo tubo aletado. Respostas : 5773 Kcal/h ; 32857 Kcal/h 35 & . . . .q E A F E A Fn n= −1 1 12 2 1 12 ( )21121 .. nn EEFAq −=& Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que : E T E Tn n1 1 4 2 2 4= =. . e , portanto : ( )4241121 ... TTFAq σσ −=& Obtemos assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas: ( ) TTFAq 4241121 ... −= σ& ( eq. 1.42 ) O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas emissividades ( ε ). Nos livros e manuais, encontramos para diversos casos, tabelas e ábacos para o cálculo do fator forma para cada situação (placas paralelas, discos paralelos, retângulos perpendiculares, quadrados, círculos, etc). Um caso bastante como em aplicações industriais é quando a superfície cinzenta que irradia é muito menor que superfície cinzenta que recebe a radiação ( por exemplo uma resistência elétrica irradiando calor para o interior de um forno ). Para este caso específico, o Fator Forma é simplesmente a emissividade da superfície emitente: F 112 ε= ( eq. 1.43 ) Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93 oC, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21oC. O ar no compartimento está a 27oC e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m2.oC. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se : a) o duto é de estanho ( ε = 0,1) b) o duto é pintado com laca branca (ε = 0,9) a) Para um comprimento unitário do duto de estanho ( sem pintura ), temos : 1,01 == εmL Como o tubo atravessa um grande compartimento, ou seja, a superfície do tubo é muito menor que a superfície do compartimento, o fator forma é calculado através da equação 5.10, assim: ( )2 superf. 1 superf.F 〈〈〈== 1,0112 ε O fluxo de calor é composto de duas parcelas: condrad qqq &&& += ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )mphKcalarTtTLrharTtTAhcondq 1,2282793111,025....2... =−×××××=−=−= ππ& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mphKcalarTtTLrarTtTFAradq 35 42944366111,021,081088,444.....2.4412.. =    −××××××−×=     −=     −= πεπσσ& ( )mphKcalq 1,263351,228 =+=& b) Quando o tubo é pintado com laca branca ( e = 0,9 ) apenas a transferência de calor por radiação é afetada : & & &q q qrad cond= ′ + ( )2 superf. 1 superf.F 〈〈〈== 9,0112 ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mphKcalarTtTLrarTtTFAradq 315 429443669,.0111,0281088,444.....2.4412.. =    −××××××−×=     −′=     −= πεπσσ& ( )mphKcalq 1,5433151,228 =+=& T C K T C T C K h Kcal h m C cm m r m t o ar o p o o = = = = = = ∅ = = ⇒ = 93 366 27 21 294 5 22 0 22 0 11 2. . , , 36 Exercício R.1.5.2. Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a 95 oC, com coeficiente de película 20 kcal/h.m2.oC. O tubo, de diâmetro externo 4” e resistência térmica desprezível, está isolado com lã de rocha ( k = 0,035 kcal/h.m.oC) de 2” de espessura. Sabendo-se que a temperatura da face externa do isolamento do tubo é 22 oC , determinar : a) o fluxo de calor transferido através da tubulação; b) a emissividade da superfície do isolamento, sabendo-se que a metade do fluxo de calor transferido da tubulação para o ambiente se dá por radiação e que a temperatura da face interna das paredes da sala é 5 oC a) ( ) ( ) ( ) & . . . . ln , , ln , , , , q T T R R T T h r L r r k L i e i iso i e i iso = − + = − +     × × × = − × × × × + × × × 1 2 2 95 22 1 20 2 0 0508 1 0 0 1016 0 0508 0 035 2 1 0 1 2 1 π π π π ( )& /q Kcal h p m= 22,06 b) ( )& . . .q A F T T A F= − <<< ⇒ =σ ε1 12 14 24 2 12 1como A1 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] & . . . , , , , q A T T= − = × × × × × × × + − +− σ ε π ε 1 1 1 4 2 4 8 1 4 422 06 2 4 88 10 2 0 1016 1 0 22 273 5 273 ε1 0 22= , Exercício R.1.5.3. Um reator em uma indústria trabalha a 600 oC em um local onde a temperatura ambiente é 27 oC e o coeficiente de película externo é 40 Kcal/h.m2.oC. O reator foi construído de aço inox ( ε = 0,06 ) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (k= 0,05 kcal/h moC e ε = 0,65 ) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual. Desconsiderando as resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se : a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento; b) A parcela transferida por convecção após o isolamento; Desprezando as resistências térmicas de convecção interna e condução na parede de aço do reator, a temperatura da superfície externa pode ser considerada a mesma do fluido. a) Cálculo da área de transferência de calor : ( ) ( ) 222 14,2512312..2...2 mrLrA =××+×××=+= ππππ . O fluxo de calor total é a soma das parcelas por convecção e por radiação. A parcela por convecção é : ( ) ( ) hKcalTTAhqconv 80,5762082760014,2540.. 21 =−××=−=& A parcela transferida por radiação, considerando a superfície do reator bem menor que o ambiente, é : r m r m L m T C T C T C h Kcal h m C k Kcal h m C i o e o p o i o iso o 1 2 2 2 0,0508 2 2 4 0,1016 1 95 22 5 20 0,035 = = = + = = = = = = = = " " " " . . . . ( ) mrm mL CmhKcalh inox CT CT o oo 123 ..4006,0 27600 2 21 =⇒=∅= == == ε 37 ( ) ( )2 superf. 1 superf.F onde ,TTFAqrad 〈〈〈=−= εσ 124241121 ...& ( ) ( ) ( )[ ] hKcalTTAqrad 39,421592732727360006,014,251088,4... 44842411 =+−+××××=−= −εσ& Portanto, & & & , ,q q qconv rad= + = +576208 80 42159 39 & ,q Kcal h= 618368 19 b) O isolamento deve reduzir a transferência de calor a 10% da atual : & , & , , ,′ = × = × =q q Kcal h0 1 0 1 618368 19 61836 82 Além disto, a temperatura externa do isolamento deve ser 62 oC, então : O novo fluxo de calor continua sendo composto das parcelas de convecção e radiação: & & &′ = ′ + ′q q qconv rad A parcela transferida por radiação foi alterada devido à emissividade do isolante ser diferente da emissividade do inox e também devido à nova temperatura externa do isolamento. ( ) ( ) ( )[ ] hKcalTTAqrad 4,4135273272736275,014,251088,4... 44842411 =+−+××××=−= −εσ& A parcela que pode ser transferida por convecção, devido à restrição dos 10% de redução do fluxo de calor, é obtida por diferença e permite o cálculo da espessura do isolante: & & & , ,′ = ′ + ′ = − ⇒q q qconv rad 61836 82 4135 4 & ,′ =q Kcal h57701 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Exercício P.1.5.1. Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ambiente a 25 oC ( h = 17,2 Kcal/h.m2.oC ) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos tem uma condutividade de 1,0 kcal/h.m.oC e uma emissividade de 0,8 . A temperatura da superfície externa da parede da fornalha é 100 oC. Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja temperatura da superfície é igual a temperatura ambiente, qual é a temperatura da superfície interna da parede da fornalha ? Resposta : 360,7 °C Exercício P.1.5.2. Um reator de uma indústria trabalha à temperatura de 600 oC. Foi construído de aço inoxidável (ε= 0,06 ) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com uma camada de lã de rocha ( k = 0,05 Kcal/h.m.oC e e = 0,75 ) para reduzir a transferência de calor a 10% da atual. Calcular : a) o fluxo de calor ( radiação e convecção ) antes do isolamento; b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a temperatura externa do isolamento deve ser igual a 62 oC. Resposta : 42400 Kcal/h ; 12,8 cm Exercício P.1.5.3. Vapor d'água saturado a 255 oC escoa por um tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo salão de 10 m de comprimento e cujas paredes estão à mesma temperatura de 25oC do ambiente (har= 5 kcal/h.m2.oC). Deseja-se pintar a superfície do tubo de maneira que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas emissividade são : tinta A - εa=1; tinta B - εb=0,86 e tinta C - εc= 0,65. Sabendo que o calor latente de vaporização nestas condições é 404 Kcal/Kg, determinar: a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 kg/h b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura Resposta : Tinta C ; 1392 Kcal/h ( p/ m de tubo ) 65,0 92,61813 .2.05,0 62 6001 = =′ = = = iso hKcalq ComhKcalisok CoisoT CoT ε & 40 2.1.4. VISCOSIDADE CINEMÁTICA É frequente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica aparecer combinada com a massa específica, dando origem à viscosidade cinemática. ρ µν =          = = −= = × ×× = − −− s mSMK s mSI ststoke s cmCGS T L LM TLM 2 * 2 2 2 3 11 ][: ][: )(][: ][ γ γ γ ν ( eq 2.6 ) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício R.2.1.1. A massa específica de um combustível leve é 805 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade deste combustível. ( considerar g=9,8 m/s2 ) ).(78898,9805. 2323 s mkgN m N s m m kgg ==×== ργ A massa específica da água é aproximadamente 1000 kg/m3. Portanto, o peso específico será : 323 98008,91000.2 m N s m m kggOH =×== ργ A densidade é calculada a partir da relação : 805,0 9800 7889 2 === OH r γ γγ Exercício R.2.1.2 Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determine o peso específico, a massa específica e a densidade do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 ) 33105,05,0500 mlmlV −×=== 333 00012105,0 6 m N m N V G = × == − γ 3 2 3 2 2 3 5,1224 8,9 /).(6 /8,9 /12000. m Kg s m ms mkg sm mN g g ====⇒= γρργ 22,1 /9800 /12000 3 3 2 === mN mN OH r γ γγ Exercício R.2.1.3 Os tanques da figura estão totalmente preenchidos com um óleo leve cuja densidade é 0,82. Calcule a pressão sobre a base em cada um dos casos. 3 2 80369800.82,0.82,0 mNOHrr ===⇒= γγγγ 3 2 3 1 246228222 mVmV =××==××= NVGNVGVG V G 19286424.8036.642888.8036.. 2211 =======⇒= γγγγ 2 m 2 m 2 m 6 m 2 m 2 m 1 2 41 2 1 /160722.2 642881 mN A GPTanque base ===⇒ 2 1 /160726.2 1928641 mN A GPTanque base ===⇒ As pressões exercidas na base são iguais. Pelo teorema de Stevim também podemos comprovar, pois os dois tanques tem a mesma altura : 2 22 2 11 /160722.8036. /160722.8036. mNhP mNhP === === γ γ Exercício R.2.1.4. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033 m2/s e a sua densidade é 0,86. Determinar a sua viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas Métrico. A peso específico da água é aproximadamente 1000 kgf/m3. 33 860100086,02 2 m kgf m kgf OHr OH r =×=×=⇒= γγγγ γγ      ===⇒= 34 2 2 3 .75,87 /8,9 /860. m utm m sKgf sm mkgf g g γρργ 24 22 .86,2.75,87033,0. m skgf m skgf s m =×==⇒= ρνµ ρ µν Exercício R.2.1.4. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( ν = 0,15 stokes e ρ = 905 kg/m3 ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo. s m cm m s cmscmstokes 2 5 2 2 4 2 2 105,11015,0/15,015,0 −− ×=×===ν 2 5 0136,0905105,1 m sN ⋅ =××=⋅= −ρνµ Pa m N m sm m sN e v 1,181,18 003,0 /40136,0. 22 0 ==× ⋅ == µτ Exercício R.2.1.5. Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, com velocidade constante, e se apoia sobre uma película de óleo de 1 mm de espessura e de µ = 0,01 N.s/m2. Se o peso da placa é 100 N, quanto tempo levará para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado. mS S o 20 5,0 101030sen ==∆⇒ ∆ = 22045 mA =×= NGF oT 505,010060cos. =×== e v0.µτ = e A FT=τ , então : A F e v To =.µ sm A eF v To /25,001,020 001,050 . . = × × == µ st sm m v St t Sv o o 80/25,0 20 =∆⇒= ∆ =∆⇒ ∆ ∆ = EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício P.2.1.1. A massa específica de um fluido é 610 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade. Respostas : 5978 N/m3 e 0,610 10 m 30o FT ∆S 60o G 42 Exercício P.2.1.2. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e sua densidade é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica no sistema métrico. Resposta : 2,58 Kgf.s/m Exercício P.2.1.3. Um tanque de ar comprimido contém 6 kg de ar a 80 oC, com peso específico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque. Resposta : 1,52 m3 Exercício P.2.1.4. O peso de 3 dm3 de uma substância é 2,7 Kgf. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g é 10 m/s2, determine a viscosidade dinâmica no sistema métrico. Resposta : 9 x 10-4 Kgf.s/m2 Exercício P.2.1.5. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em plano inclinado de 300. A velocidade da é placa é constante e igual a 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm ? Resposta : 0,01 N.s/m2 Exercício P.2.1.6. Um tanque cilíndrico, de massa 50 kg, tem diâmetro igual a 0,5 m e altura igual a 2,5 m. Este tanque é totalmente preenchido com um líquido de peso específico 8600 N/m3. Determine a força necessária para imprimir uma aceleração de 2,5 m/s2 ao conjunto tanque+líquido. Resposta : 1201,9 N Exercício P.2.1.7. Um recipiente contém 30 kg de água ( γ = 9800 N/m3 ) e está completamente cheio. Após algum tempo 2/3 ( dois terços ) da água do recipiente é consumida e o recipiente é novamente completado, desta vez com um óleo leve (γ = 7742 N/m3 ) que, evidentemente, sobrenada sobre a água. Para estas novas condições, determine a massa total de fluido ( óleo + água ) presente no recipiente. Resposta : 25,8 Kg Exercício P.2.1.8. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em plano inclinado de 30°. A partir da posição indicada na figura, é necessário um intervalo de tempo de 20 segundos para que a placa atinja o final do plano. Considerando que a espessura da película de óleo é 2 mm, determine a viscosidade dinâmica do óleo. Resposta : 0,02 N.s/m2 Exercício P.2.1.9. Duas placas de grandes dimensões são paralelas. Considerando que a distância entre as placas é de 5 mm e que este espaço está preenchido com um óleo de viscosidade dinâmica 0,02 N.s/m2, determine a força necessária para arrastar uma chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm, posicionada a igual distância das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 m/s Resposta: 6 N 5 mm F Óleo 3 mm 1 m 10 m 30o FT G 45 2.2.5. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSÃO a) Piezômetro PA = γ . h ( Patm = 0 ) Desvantagens : • Não serve para depressões • Não serve para gases • Não serve para pressões elevadas b) Manômetro com tubo em “U” PA = γ2 . h2 - γ1 . h1 Se o fluido for gás : PA = γ2 . h2 d) Manômetro Metálico ( Tubo de Bourdon ) Pm = Pi - Pe Pi : pressão interna Pe : pressão atmosférica Pm : pressão do manômetro Geralmente : Pe = 0 ( escala efetiva ), então : Pm = Pi A figura abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manômetro metálico. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício R.2.2.1. A figura mostra um tanque de gasolina com infiltração de água. Se a densidade da gasolina é 0,68 determine a pressão no fundo do tanque ( γH2O = 9800 N/m3 ). P = γH2O . h1 + γg . h2 P = γH2O . h1 + dg . γH2O . h2 P = 9800 x 1 + 0,68 x 9800 x 5 P = 43120 N/m2 = 43,12 KPa = 4,4 m.c.a. PA h PA h2 h1 Pi Pe Gasolina Água h2=5 m h1 = 1m 46 Exercício R.2.2.2. O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m. Calcule a relação entre a pressão no topo e na base ( nível do mar ), considerando o ar como fluido incompressível (γAr = 12,01 N/m3 ). P2 = Patm = 101234 N/m2 P2 – P1 = γAr .( h2 – h1 ) P1 = P2 - γAr .( h2 – h1 ) ( ) 955,0 101234 38101,121 . 1 2 12 2 1 = × −= − −= P hh P P Arγ Exercício R.2.2.3. A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região mais profunda (γHg = 133 KN/m3 ). Pfundo = Po + γH2O . hlago onde, Po = γHg .hHg é a pressão na superfície do lago Pfundo = γHg .hHg + γH2O . hlago = 133 (KN/m2) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m2) x 40 (m) Pfundo = 472 KN/m2 = 472 KPa ( abs ) Exercício R.2.2.4. Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio ( densidade 13,6 ). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque. P1 = Parcomp + γOleo . (h1 + h2 ) P2 = γHg . h3 P1 = P2 Parcomp + γOleo . (h1 + h2 ) = γHg . h3 Parcomp = γHg . h3 - γOleo . (h1 + h2 ) Parcomp = dHg .γH2O. . h3 - dOleo .γH2O . (h1 + h2 ) Parcomp = 13,6 x 9800 x 0,229 - 0,9 x 9800 x (0,914 + 0,152 ) Parcomp = 21119 N/m2 = 21,119 KPa Exercício R.2.2.5. No piezômetro inclinado da figura, temos γ1 = 800 Kgf/m2 e γ2 = 1700 Kgf/m2 , L1 = 20 cm e L2 = 15 cm , α = 30 oC. Qual é a pressão em P1 ? h1 = L1.sem α h2 = L2.sem α P1 = h1.γ1 + h2.γ2 = L1.sem α.γ1 + L2.sem α.γ2 P1 = 0,20 x sen 30o x 800 + 0,15 x sen 30o x 1700 P1 = 207,5 Kgf/m2 Exercício R.2.2.6. Dois tanques de combustível pressurizados estão interconectados por uma tubulação conforme mostra a figura abaixo. Dado que o manômetro metálico M1 indica uma pressão de 40 KPa e que o peso específico do combustível é 7000 N/m3, determine : a) a pressão indicada pelo manômetro M2; b) a pressão indicada pelo manômetro M3. P1 P2 h3 h2 Ar Óleo h1 α L1 L2 P1 h2 h1 A’ A 47 PM1 = 40 kPa = 40000 N/m2 γcomb = 7000 N/m3 a) A pressão ao longo do plano AA’ é constante, portanto podemos fazer : PM1 + γcomb . 10 = PM2 + γcomb . 6 40000 + 7000 . 10 = Pm2 + 7000 . 6 PM2 = 68000 N/m2 = 68 kPa b) O manômetro M3 mede a pressão no plano AA’, então : PM3 = PM1 + γcomb . 10 = 40000 + 7000 . 10 PM3 = 110000 N/m2 = 110 kPa Exercício R.2.2.6. Na figura abaixo são conhecidas as seguintes medidas : h1 = 180 cm e h2 = 250 cm.. Considerando que o peso específico do mercúrio é 133280 N/m3 e que o sistema está em equilíbrio, determine: a) a pressão do Gás A b) a indicação do manômetro (1), considerando que o manômetro (2) indica uma pressão de 115000 N/m2 para o Gás B Considerando o manômetro em U com mercúrio do lado esquerdo, temos : 2 221221 2154045,298008,1133280.... mNhhPhPh OHHgGasAOHGasAHg =×−×=−=⇒+= γγγγ O manômetro metálico (2) indica a pressão do Gás B : 22 115000 mNPP MGasB == O manômetro Metálico (1) indica a diferença de pressão entre os Gases ( A – B ): kPamNPPP GasBGasAM 4,100100404115000215404 2 1 ==−=−= Exercício R.2.2.7. O sistema da figura está em equilíbrio e a massa m sobre o pistão é de 10 kg. Sabendo que a altura h é 100 cm, determinar a pressão do Gás 2. Dados/Informações Adicionais: γH2O = 9800 N/m3 Desprezar o peso do pistão A pressão do gás 1 pode ser calculada pelo delocamento da água ( h ) : Gás A Gás B h1 (1) (2) Água Hg h2 Gás 2 Gás 1 h A= 400 cm2 m H2O 50 Exercício P.2.2.6. O sistema da figura está em equilíbrio e o peso do porquinho é 200 N. Sabendo que a altura h é 50 cm, determinar a pressão do Gás 2. Dados/Informações Adicionais: γHg = 133280 N/m3 Desprezar o peso do pistão e da plataforma. Resposta : 106,64 kPa Exercício P.2.2.6. Considerando que o peso específico do óleo é 7000 N/m3 e que o sistema da figura está em equilíbrio, determine a altura x na figura. Resposta : 35,7 cm Gás 2 Gás 1 h Hg A= 50cm2 51 2.3. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 2.3.1. VAZÃO EM VOLUME Vazão em Volume é o volume de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo       == s cm h m s l s m t V tempo seçãopelapassouquevolume Q 333 ,,, vA t xA t xA QsAV .. . . como ===⇒= AvQ .= onde, v é a velocidade média do fluido A é a área da seção 2.3.2. VAZÃO EM MASSA Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo      = s utm h utm h kg s kg t mQm ,,, Vm V m . como ρρ =⇒= , portanto : Q t V t V Qm .. . ρρ ρ === QQm .ρ= e como AvQ .= , temos : AvQm ..ρ= 2.3.3. VAZÃO EM PESO Vazão em peso é o peso de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo     = s Kgf h Kgf h N s N t GQG ,,, AvQQggQgQ t gmQgmG mG ........ .. como γγρρ ======⇒= , portanto : AvQG ..γ= 2.3.4. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE Consideremos um fluido escoando por uma tubulação no regime permanente. O regime permanente se caracteriza por não haver variações das propriedades do fluido em cada ponto, ou seja, as propriedades na seção [1] ( v1 , ρ1 , etc. ) são constante e as propriedades na seção [2] ( v2 , ρ2 , etc. ) também são constantes. (1) (2) Fluido A x 52 Como as propriedades ficam constantes, não pode haver acúmulo de massa entre [1] e [2], pois neste caso, pelo menos a massa específica variaria. Portanto, concluímos que no regime permanente a massa em cada seção é a mesma, ou seja : constante21 == mm QQ em qualquer seção ( ) kAv =..ρ ( equação da continuidade ) 222111 .... AvAv ρρ = Fluido incompressível: No caso em que o fluido é incompressível, como a sua massa específica é constante, a equação da continuidade poderá então ser escrita : 222111 .... AvAv ρρ = , como .. 21 ρρ = 2211 ... AvAv = ⇒ constante 21 ==QQ em qualquer seção Portanto, se o fluido é incompressível a vazão em volume á a mesma em qualquer seção. A partir desta equação pode-se obter a relação de velocidades em qualquer seção do escoamento. 2 1 122211 ... A A vvAvAv =⇒= Portanto, a velocidade é maior nas seções de menor área. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Exercício R.2.3.1. Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a velocidade na seção 2 sabendo que o fluido é incompressível. sm A A vvAvAv QQ /10 5 10.5... 2 1 122211 21 ===⇒= = A vazão em volume é : ( ) slsdmsm cm mcm s mAvQ /5/5/10.510.10.5. 3332 2 42 111 ===           == −− Exercício R.2.3.2. Ar escoa em regime permanente num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 cm2 e a da menor seção é 10 cm2. A massa específica do ar na seção (1) é 0,12 utm/m3 enquanto que na seção (2) é 0,09 utm/m3. Sendo a velocidade na seção (1) 10 m/s, determine: a) a velocidade na seção (2); b) a vazão em massa de ar nas seções (1) e (2); c) a vazão em volume de ar nas seções (1) e (2). a) Como o ar é um fluido compressível, a equação da continuidade é : ⇒= 21 mm QQ 222111 .... AvAv ρρ = ( ) ( ) sm cm m utm cm s m m utm A Av v /7,26 10.09,0 20.10.12,0 . .. 2 3 2 3 22 111 2 =                   == ρ ρ b) As vazões em massa em (1) e (2) são iguais ( regime permanente ): (1) (2) v1 = 5 m/s A2 = 5 cm2A1 = 10 cm 2 (1) (2) 55 (3) (1) (2) 2.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI Premissas Simplificadoras : • Fluido ideal ( µ = 0 , escoa sem perda de energia ) • Regime permanebte • Fluidos incompressíveis ( líquidos ) 2.4.1. FORMAS DE ENERGIA MECÂNICA Energia Potencial de Posição ( EPPo ) Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento EEPo = G . z , como G = m . g alturazgravidadedaaceleraçãogmassamondezgmEEPo :::,..= Energia Potencial de Pressão ( EPPr ) Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento EPPr = G . h específicopesopressãoPpesoGondePGEE :::,.Pr γ γ = Energia Cinética ( Ec ) velocidadevmassamondevmEc ::,.. 2 1 2= Como exemplo ilustrativo das três forma da energia, consideremos o escoamento de água em uma seringa, conforme mostra a figura abaixo. A força aplicada aplicada no êmbolo produz uma pressão maior que a atmosférica no ponto (1) do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), em alta velocidade e atinge o ponto (3) onde para antes volta a cair. Portanto, a energia que foi passada para o líquido através do êmbolo se manisfeta no ponto (1), principalmente na forma de pressão. No ponto (2) a energia está preponderante na forma cinética e no ponto (3) a energia está essencialmente na forma potencial. Tipo de Energia Ponto Cinética Potencial Pressão (1) Pequena Zero Grande (2) Grande Pequena Zero (3) Zero Grande Zero G z h γ P γ γ PhhP =⇒= . 56 Energia Total ( E ) A energia total do fluido é a soma das parcelas. E = EPPo + EPPr + Ec 2.4.2. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA “No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante” E1 = E2 ou EPPo1 + EPPr1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr2 + Ec2 ou 2 2 2 2 2 1 1 1 ..2 1..... 2 1... vm P Gzgmvm P Gzgm ++=++ γγ 2.4.3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL Pelo princípio de conservação da energia, temos : 2 . ... 2 . ... 2 22 2 2 11 1 vmP Gzgm vmP Gzgm ++=++ γγ Como, G = m.g , temos : g vGP GzG g vGP GzG .2 . .. .2 . .. 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ Dividindo ambos membros por G, temos : g vP z g vP z .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ ou H1 = H2 onde, (m)velocidadedecarga 2.g v (m)pressãodecarga γ P (m)posiçãodecargaz 2 ≡ ≡ ≡ E1 E2 Fluido Ideal 57 Exercício R.2.4.1. O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a seção do tubo é 10 cm2. Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície livre da água e (2) a saída do tubo. Portanto, temos que : H1 = H2 g vP z g vP z .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica. Em relação ao plano de referência, temos que : z1 = 10 e z2 = 2 Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície livre da água pode ser considerada desprezível. Portanto : v1 = 0 Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à : g v zz .2 2 2 21 += ( ) ( )( )ms mzzgv 2108,92..2 2212 −×    ×=−= smv 5,122 = A vazão em volume será : ( ) smm s mAvQ 32422 0125,010105,12. =××     == − slQ 5,12= 2.4.4. O TUBO VENTURI O venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um minímo e, novamente, volta a ter a mesma seção inicial. Este tipo de estrangulamento é denominado de garganta. A equação de Bernoulli aplicada entre as seções (1) e (2) na figura abaixo fornece : 10 m 2 m (1) (2) (1) (2) 60 MHVW ××= γ dividindo pelo tempo, obtemos : t HV t W M××= γ como : t VQe)potência( t W ==℘ , obtemos : MHQ ××=℘ γ Unidades de Potência : Sistema Internacional [ ] W s J s mNm s m m N == × =××=℘ 3 3 Sistema Métrico [ ] ) s kgmCV( s kgm s mkgfm s m m kgf 751 3 3 == × =××=℘ O Rendimento ( η ) é definido como : fornecidarealmentepotência útilpotência =η No caso da bomba a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência da máquina, assim : Na Bomba : B B B B η η ℘=℘⇒ ℘ ℘ = onde Bη é o rendimento da bomba. No caso da turbina a potência útil da máquina é menor que a potência fornecida pelo fluido, assim : Na Turbina : TT T T ηη ×℘=℘⇒℘ ℘ = onde Tη é o rendimento da turbina. Exercício R.2.4.3. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2. A velocidade na saída do tubo pode ser obtida através da vazão ( ) ( ) smm sm A QvAvQ /10 1010 /1010. 24 33 22 =× × ==→= − − Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v1=0 ) e (2) a saída do tubo. H1 + HM = H2 g vP zH g vP z M .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=+++ γγ Como as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica, temos que : 20 m 5 m (1) (2) M 61 20 + 0 + 0 + HM = 5 + 0 + 8,92 102 × Hm = - 9.9 m Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, então a máquina é uma turbina. A potência é: MHQ ××=℘ γ ( ) Ws J s mNm s m m N 2,9702,9702,9709,910109800 3 3 3 == × =×××= − Nem toda potência posta em jogo pelo fluido é aproveitada pela turbina, assim : WTT T T 6,72775,02,970 =×=×℘=℘⇒℘ ℘ = ηη Exercício R.2.4.4. Uma empresa de energia utiliza um sistema de “armazenamento” de energia conforme mostra a figura. A noite, quando sobra energia, é feito um bombeamento de água de um lago para um reservatório elevado e, durante o dia esta água é utilizada para gerar energia em uma turbina. Considerando que a vazão de água é sempre 500 litros/s e que os rendimentos da bomba e da turbina são 70%, calcule: a) a potência ( em kW ) necessária na bomba; b) a potência ( em kW ) recuperada na turbina a) Tomando a seção (1) como a superfície livre do lago e a seção (2) como a superfície livre do reservatório e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos: )dim(0)dim(0 )(0)(0 80)(0 : .2.2 21 21 21 2 22 2 2 11 1 ensõesgrandesdeioreservatórvensõesgrandesdelagov efetivaaatmosféricpressãoPefetivaaatmosféricpressãoP mzreferênciadenívelz onde g vP zH g vP z M == == == ++=+++ γγ mHHH BombaumaémHH BBM MM 80 )(800080000 =⇒+= =⇒++=+++ B T 80 m 80 m lago lago 62 A vazão de 500 litros/s, correspode a 0,5 m3/s. Portanto, a potência requerida para o bombeamento é: BHQ ××=℘ γ ( ) Ws J s mN m s m m N 392000392000392000805,09800 3 3 == × =××= A potência requerida na bomba deve levar em conta o rendimento, assim : KWW B B B B B 56056000070,0 392000 =℘⇒== ℘ =℘⇒ ℘ ℘ = η η b) Tomando a seção (2) como a superfície livre do reservatório e a seção (3) como a superfície livre do lago e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos: )dim(0)dim(0 )(0)(0 )(080 : .2.2 32 32 32 2 33 3 2 22 2 ensõesgrandesdelagovensõesgrandesdeioreservatórv efetivaaatmosféricpressãoPefetivaaatmosféricpressãoP referênciadenívelzmz onde g vP zH g vP z M == == == ++=+++ γγ mHHH TurbinaumaémHH TTM MM 80 )(800000080 =⇒−= −=⇒++=+++ A potência fornecida pelo fluido é: THQ ××=℘ γ ( ) Ws J s mN m s m m N 392000392000392000805,09800 3 3 == × =××= A potência aproveitada na turbina deve levar em conta o rendimento, assim : KWW TTT T T 4,27427440070,039200 =℘⇒=×=×℘=℘⇒℘ ℘ = ηη Portanto, levando em conta as perdas nas máquinas, a energia aproveitada é bem menor que a energia utilizada para o “armazenamento”. 2.4.6. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO Se o fluido não for ideal, devido ao efeito do atrito, ocorrerá uma dissipação da energia do fluido entre as seções (1) e (2). Neste caso, temos que : H1 > H2 Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim : H1 = H2 + HP onde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou “perda de carga” Levando em conta a presença de uma máquina no escoamento, teremos : H1 + HM = H2 + HP ou PM Hg. vP zH g. vP z +++=+++ 22 2 22 2 2 11 1 γγ (1) (2) Energia dissipada 65 Respostas : 17,2 m/s e 622 garrafões Exercício P.2.4.5. Na instalação da figura a máquina é uma turbina e o fluido é água. A turbina tem potência de 500 W e seu rendimento é 85%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 3 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). Resposta : 14,5 m Exercício P.2.4.6. Água escoa através da instalação esboçada na figura. A canalização que conduz a água tem um diâmetro interno de 10 cm. a) Dado que a vazão de água é 126,33 litros/s, determinar a potência fornecida ( ou recebida ) pela água pela máquina M, indicando se é uma bomba ou uma turbina. b) Determine a potência da máquina se o seu rendimento for 65%. Dados/Informações Adicionais: • O tanque da figura tem grandes dimensões Resposta : 7675,93 W ( é bomba ) ; 11809,12 W 11 m 1 m 5 m (1) (2) B M d 5 m 2 m 66 Exercício P.2.4.7. Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa d´agua situada no topo do edifício. A tubulação de recalque, conforme mostra a figura, tem diâmetro de ½” ( 0,5 polegadas ) e a vazão de água é 3 litros/s. Considerando a água um fluido ideal, determine : a) a altura manométrica da bomba b) a potência da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento é 65% Dados/Informações Adicionais • reservatório subterrâneo tem grandes dimensões e está aberto para a atmosfera • g= 9,8 m/s 1”=2,54 cm 1 HP =745,7 W Resposta : 46,7 m ; 2,8 HP B 23 m 5 m
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