Algebra vetorial e geometria analitica, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Algebra vetorial e geometria analitica e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! JACIR J. VENTURI álgebra vetorial - geometria analítica 92 edição (atualizada) Este livro se encontra integralmente no site: www.geometriaanalitica.com.br com acesso gratuito. jacirventuriOgeometriaanalitica.com.br  O Copyright by Jacir J. Venturi FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte: Biblioteca Central UFPR VENTURI, Jacir J., 1949- Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi -9.ºed. - Curitiba 242p.: Inclui Bibliografia. ISBN 85.85132-48-5 1. Álgebra Vetorial. 2. Geometria Analítica. LTítulo. CDD512.5 CDU 514.124 ISBN 85-85 132-48-5 REF. 072 Composição/Desenhos: — Herica Yamamoto Capa/Projeto Gráfico: Beatriz Susana Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado graficaDunificado.com 20 20 25 25 26 27 29 29 30 35 36 36 37 39 39 41 44 51 52 53 53 57 60 Índice CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 NOÇÕES PRELIMINARES 01. 02. RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. Elementos primitivos .................................................................... Ponto e reta impróprios ................................................................ Reta orientada ............................................................................. Medida algébrica de um segmento ............................................... Razão simples de três pontos ....................................................... Divisão áurea ............................................................................... Abscissas na reta ......................................................................... Distância entre dois pontos .......................................................... Razão simples de três pontos ....................................................... Sistema cartesiano ortogonal ....................................................... Sistema cartesiano oblíquo .......................................................... Pares ordenados: operações e igualdade .................................... Distância entre dois pontos .......................................................... Ponto que divide um segmento numa razão dada ........................ Baricentro de um triângulo ........................................................... Sistema polar ............................................................................... Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal ..................................................................... Sistema cartesiano ortogonal ....................................................... Distância entre dois pontos .......................................................... Ponto que divide um segmento numa razão dada ........................ Baricentro do triângulo ................................................................. Sistema cilíndrico ......................................................................... Sistema esférico ........................................................................... CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 VETORES 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. VETORES: APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. O PLANO NO E 01. 02. Sinopse histórica .......................................................................... Grandezas escalares e vetoriais .................................................... Definições, etimologia e notações .................................................. Paralelismo de vetores .................................................................. Multiplicação de um vetor por umescalar ....................................... Coplanaridade de vetores .............................................................. Adição de vetores .......................................................................... Subtração de vetores ..................................................................... Combinação linear de vetores ........................................................ Expressão cartesiana de umvetor ................................................. Condição de paralelismo de dois vetores ....................................... Condição de coplanaridade de vetores .......................................... Combinação linear de quatro vetores ............................................. Ângulo de dois vetores ................................................................... Multiplicação interna ou escalar ..................................................... Expressão cartesiana do produto escalar ...................................... Multiplicação vetorial ou externa .................................................... Área de um paralelogramo e de umtriângulo .................................. Multiplicação mista ........................................................................ Duplamultiplicação vetorial ........................................................... Projeção de umvetor sobre umoutro vetor .................................... Projeção de umponto sobre umplano ........................................... Distância de ponto a plano ............................................................. Distância de umponto a reta .......................................................... Distância entre duas retas ............................................................. Área de um triângulo ...................................................................... Área da projeção ortogonal de umtriângulo sobre umplano ........... Área da projeção não ortogonal de umtriângulo sobre umplano ...................................................... Co-senos diretores de umvetor ..................................................... Equação do plano ........................................................................... Pertinência de ponto a plano .......................................................... 3 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 111 115 121 128 132 135 137 139 142 144 145 148 157 160 20 20 25 25 26 27 29 29 30 35 36 36 37 39 39 41 44 51 52 53 53 57 60 Índice CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 NOÇÕES PRELIMINARES 01. 02. RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01. 02. 03. 04. 05. 06. Elementos primitivos .................................................................... Ponto e reta impróprios ................................................................ Reta orientada ............................................................................. Medida algébrica de umsegmento ............................................... Razão simples de três pontos ....................................................... Divisão áurea ............................................................................... Abscissas na reta ......................................................................... Distância entre dois pontos .......................................................... Razão simples de três pontos ....................................................... Sistema cartesiano ortogonal ....................................................... Sistema cartesiano oblíquo .......................................................... Pares ordenados: operações e igualdade .................................... Distância entre dois pontos ........................................................... Ponto que divide umsegmento numa razão dada ......................... Baricentro de umtriângulo ............................................................ Sistema polar ............................................................................... Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal ..................................................................... Sistema cartesiano ortogonal ....................................................... Distância entre dois pontos .......................................................... Ponto que divide umsegmento numa razão dada ......................... Baricentro do triângulo ................................................................. Sistema cilíndrico ......................................................................... Sistema esférico ........................................................................... CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 VETORES 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. VETORES: APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. O PLANO NO E 01. 02. Sinopse histórica .......................................................................... Grandezas escalares e vetoriais .................................................... Definições, etimologia e notações .................................................. Paralelismo de vetores .................................................................. Multiplicação de um vetor por um escalar ...................................... Coplanaridade de vetores .............................................................. Adição de vetores .......................................................................... Subtração de vetores ..................................................................... Combinação linear de vetores ........................................................ Expressão cartesiana de um vetor ................................................. Condição de paralelismo de dois vetores ....................................... Condição de coplanaridade de vetores .......................................... Combinação linear de quatro vetores ............................................. Ângulo de dois vetores ................................................................... Multiplicação interna ou escalar ..................................................... Expressão cartesiana do produto escalar ...................................... Multiplicação vetorial ou externa .................................................... Área de um paralelogramo e de um triângulo ................................ Multiplicação mista ........................................................................ Duplamultiplicação vetorial ........................................................... Projeção de um vetor sobre um outro vetor .................................. Projeção de um ponto sobre um plano ......................................... Distância de ponto a plano ............................................................. Distância de um ponto a reta ........................................................ Distância entre duas retas ............................................................. Área de um triângulo ...................................................................... Área da projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano ......... Área da projeção não ortogonal de um triângulo sobre um plano ................................................... Co-senos diretores de umvetor ..................................................... Equação do plano ........................................................................... Pertinência de ponto a plano .......................................................... 3 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 111 115 121 128 132 135 137 139 142 144 145 148 157 160 03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 04. Equação segmentária do plano ..................................................... 05. Equação do plano que passa por um ponto e ortogonal a um vetor ..................................................................... 06. Casos particulares da equação geral do plano .............................. 07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................ 08. Equação do feixe de dois planos ................................................... 09. Distância de um P a um plano a ...................................................O 10. Equação dos planos bissetores .................................................... 11. Ângulo de dois planos ................................................................... 3A RETA NO E 01. Equações da reta .......................................................................... 02. Posições relativas de duas retas ................................................... 03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............ 04. Condição de coplanaridade de duas retas .................................... 05. lnterseção de reta e plano ............................................................. 06. lnterseção de duas retas ............................................................... 07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano .......... 08. Distância de um ponto a uma reta ................................................. 09. Distância entre duas retas reversas .............................................. 10. Ângulo de duas retas .................................................................... 11. Ângulo de uma reta com um plano ................................................. ................................................................ CAPÍTULO 8 e APÊNDICE - RECR ANDOi 160 162 164 166 171 176 179 182 183 187 198 199 202 205 206 210 216 218 220 221 224 O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi P R E F Á C I O O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e didática quanto possível. Por vezes, preferiu-se a apresentação intuitiva aos refinamentos teóricos. Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremos diversos exercícios emaula, deixando os demais a cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevando a interação aluno-professor. O aluno deve ter em mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimento da teoria. Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplica- bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios, no intuito de motivar o aluno naquilo que está estudando. Os quatros primeiros capítulos integram o programa da Geometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina: reta, plano, cônicas, superfícies, etc. Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores. Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra, porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade, além de ser assaz importante a outras disciplinas. A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável conhecimento dos capítulos 5 e 6. Há que se tomar público que, face à nossa formação acadêmica e relacionamento profissional, o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica e Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamos a todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigor no assunto. Ademais, cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka, Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabe e Ivo J. Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões. O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros. Críticas e sugestões hão de surgir. E serão bem-vindas. Resta-nos o consolo de ter envidado esforços para empregar util- mente o nosso tempo. "A censura que nos for feita - se faz oportuno Souza Pinto - há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade emacertar." ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Prezado Universitário: motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representaa para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustrante observar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice de desistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel a busca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "O importante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas o que fazemos do que fizeram de nós". Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo e desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas e abstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares. Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio. Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram. É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa, promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê- los. O Autor conditio sine qua non "Tinha 12 anos quando assisti à demons- tração de um teorema de geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava de descobrir o universo platônico, com sua ordem perfeita, com seus objetos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar deminhavocação ser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás- tica." Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitir aos alunos de boa vontade. A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de "quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o aluno perceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica e participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a explicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessário treino, exercícios e efetiva participação pessoal. A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (que exigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam, reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento. Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental. A esse nível, tal como uma estrutura geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Prezado Universitário: motivação pela disciplina no Ensino Médio. Este embasamento representaa para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor. A nós, professores, importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário. É frustrante observar que em certos cursos - em especial noturnos - o índice de desistência atinge 50% até ou logo após a primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novel a busca junto aos livros, professores e colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não leva a nada. "O importante - afirma Jean Paul Sartre - não é o que fizeram de nós, mas o que fazemos do que fizeram de nós". Ao ingressar na Universidade, o calouro sente-se perplexo e desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremas e abstrações aqui e quase nada lá. Cobra-se autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares. Tal procedimento - argumenta Valmir Chagas - “desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo". É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio. Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Não é só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil, a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram. É papel precípuo da Universidade, e lhe cabe a iniciativa, promover física e socialmente a comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê- los. O Autor conditio sine qua non "Tinha 12 anos quando assisti à demons- tração de um teorema de geometria e senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava de descobrir o universo platônico, com sua ordem perfeita, com seus objetos eternos e incorruptíveis, de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer. Assim, apesar deminhavocação ser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás- tica." Neste excerto de entrevista, de 1987, o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e, por extensão, à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Este é o sentimento que nós, professores, devemos transmitir aos alunos de boa vontade. A didática, de um lado, cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e, a partir daí, iniciar o seu trabalho; que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de "quadro-negro, giz e salivação"; que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister que o aluno perceba o seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmica e participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a explicação do professor. É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também com a Matemática: é necessário treino, exercícios e efetiva participação pessoal. A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio. E para a maioria das atividades profissionais (que exigem o nível secundário ou universitário) é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que não a utilizam, reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento. Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental. A esse nível, tal como uma estrutura geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam. Disso resulta, como maior legado, o entendimento e a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA parte do ouvires. Destarte, tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente, um bloco de prata. Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa, comprovou a fraude, pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes de água. Deste fato decorre o princípio de Arquimedes, lei básica da Hidrostática: Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes "era por vezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo, que costumava traçar figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando em um estado de preocupação total e de possessão divina, no sentido mais verdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência”. Na 2.º Guerra Púnica, contra a poderosa razia do exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marcelo, a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores. Marcelo infligiu um cerco de 3 anos e em 212 a.C. a cidade de Siracusa rendeu-se. Adentrando-se às muralhas de Siracusa as hostes romanas promoveram a pilhagem, seguida de uma sangrenta matança. Um soldado aproximou-se de um encanecido senhor de 75 anos, que indiferente à chacina, desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou: "Não toque nos meus círculos". O soldado enraivecido transpassou-o com a espada. Foram as derradeiras palavras de Arquimedes. Amaior grandeza se manifesta na Matemática: Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para x: 10 10 qr Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor de x surgiu em 1671 como consequência da série de James Gregory. Por essa série, o francês De Lagny em 1719 calculou as 112 primeiras casas decimais de x e em 1873 o inglês W. Shanks chegou manualmente a 707 casas (conta-se que teria levado 5 anos para a execução dos cálculos). Jaci. Ventui OBSERVAÇÃO: A letra x é a inicial da palavra grega nepipepera. que significa periferia, circunferência. Sabemos que x = 3,1415926535... é um número irracional. Arquimedes deu o tiro de largada de uma longa maratona e, ao mesmo tempo, o estudo do n propiciou notáveis avanços em diversos capítulos da matemática. A fita de chegada para o cálculo de x, por meio de polígonos inscritos e circunscritos em uma circunferência, se deu em 1605, quando o matemático holandês Ludolph van Ceulen calculou o x. com 35 casas decimais (começou com um polígono de 15 lados e dobrou o número de lados 37 vezes). Arquimedes demonstrou que a área contida por um parábola (S,) e uma reta transversal é 4/3 da área do triângulo (S,) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base. Em seus trabalhos de geometria sólida encontramos, pela primeira vez as fórmulas corretas para as áreas da superfície esférica (S=4rR?), da calota esférica (27Rh) e para os volumes da esfera 2Rta e dofuso esférico Ea 3 3 O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de gravidade de figuras sólidas e planas. Obteve a área de uma elipse (S = xab) e descreveu sólidos de revolução gerados por parábolas, elipses e hipérboles em tomo de seus eixos (quádricas de revolução). Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares têm equação p = k6) e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo. Deforma inédita, Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial. Apolônio de Perga parece ter-se considerado um cordial rival de Arquimedes, e muito pouco se sabe de sua vida. Supõe-se ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua "Universidade". Graças ao apoio de Lisímaco, general de Alexandre, transferiu-se para Pérgamo (donde a palavra pergaminho), onde havia uma Biblioteca e uma "Universidade" só inferiores às de Alexandria. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Apolônio, e não Euclides, mereceu dos antigos o epíteto de o Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável. Averdade é que não se pode questionar o mérito de ambos. Euclides tornou-se sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos, enquanto a maior parte das obras de Apolônio desapareceram. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (século IV d.C.), que fez uma breve descrição de sua monumental produção matemática. Infere-se que os tratados de Apolônio continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analítica. Para gáudio de todos, porém, o tratado As Cônicas, sobre seções cônicas, suplantou todas as obras existentes na antiguidade. O tratado As Cônicas é composto de 8 livros, sete dos quais sobreviveram. Einegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton, Ptolomeu (tabelas trigonométricas, sistemas de latitude e longitude), Kepler ("os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um de seus focos"), Galileu ("a trajetória de um projétil é uma parábola"). Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose da Geometria com a Algebra. Face o exposto, concluímos que os gregos promoveram um extraordinário incremento à Geometria. No entanto, como não dispunham de uma notação algébrica adequada, a Matemática grega teve o seu ocaso com Apolônio. A Álgebra, podemos afirmar de forma concisa, possui uma dupla paternidade: Diofanto e Al-Khowarizmi. Diofanto de Alexandria viveu no século Ill d.C., e sua principal obra foi Aritmética, tratado que originalmente era composto de 13 livros, dos quais só os 6 primeiros se preservaram. O principal mérito da Aritmética é a utilização de notações, ou seja, de uma linguagem mais sincopada, mais simbólica para a Matemática. Por seu tumo, Al-Khowarizmi viveu por volta de 800 d.C. na cidade de Bagdá, que emerge como uma nova Alexandria. Sua principal obra Al-Jabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa. Al-Jabr recebeu aforma latinizada Algebrae (Algebra). Em árabe Al-Jabr significa, numa tradução mais livre, deslocação e parece "referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação". Os símbolos 0, 1, 2,3, 4,5,6, 7,8, 9tiveram notável receptividade na Europa através da obra de Al-Khowarizmi. Daí serem denominados algarismos arábicos, mas que a bem da verdade são de origem hindu. Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra em toda a Europa, Pierre de Fermat concluiu em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos). Para a maioria dos historiadores, tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica. E curioso observar que Fermat não era um matemático. Estudou e ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 5 in A quad. et 9 in A planu minus 5 aequatur 0. “Na maior parte da ciências, assevera (1839- 1873), matemático alemão, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura”. rainha e a serva de todas as ciências "Um mundo de infinita harmonia" Deus eternamente geometriza - (5 em A quadrado e 9 emAplanomenos5éigualazero). Como na formação de uma estrutura geológica, as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos. Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim em contínua evolução. As formulações inicialmente tênues e difusas percor- rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol- vimento. Apropriadamente, já se definiu a Matemática como a " ". E o apanágio de sua majestade é o rigor, a lógica, a harmonia e sua linguagem precisa, universal e sincopada. Após este epítome histórico, adentremos entusiasticamente ao mundo maravilhoso da Geometria. , nas palavras do poeta. - Que faz Deus, pergunta o discípulo. - responde sabiamente . Herman Hankel Platão C A P Í T U L O Noções preliminares 1. ELEMENTOS PRIMITIVOS 2. PONTO E RETA IMPRÓPRIOS A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os pontos, as retas e os planos. PONTOS: letras latinas maiúsculas. Ex.: A, B, C ... P, Q ... RETAS: letras latinas minúsculas. Ex.: a, b, c ... r, s, t ... PLANOS: letras gregas minúsculas. Ex.: , , ... … Se duas retas r e s são paralelas entre si, então elas têm a mesma direção ou mesmo ponto impróprio. O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no infinito de s e é o mesmo para todas as retas que são paralelas a s; será indicado por P . Se dois planos e são paralelos, então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria. A reta imprópria de pode ser imaginada como a reta no infinito desse plano e é a mesma para todos os planos paralelos a ; será indicada por r . Notação: a) Ponto impróprio b) Reta imprópria α β γ π α β α α ∞ ∞ r s ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi O PROFESSOR ARREPENDIDO Histórias pitorescas sempre têm um pouco de fantasia, principalmente, quando se reportam a homens bem- sucedidos. Conta-se que na Universidade de Harvard havia um professor de Matemática extremamente rigoroso. Na última avaliação do ano, elaborou uma prova muito difícil e lançou um desafio a seus alunos: "se um de vocês tirar nota 10 nesta prova, peço demissão da Universidade e serei seu assessor". Era seu aluno um fedelho de 17 anos, no entanto, brilhante nessa disciplina, con- siderada a "rainha e serva de todas as ciências". Obteve nota 9,5. Até hoje, o nosso caro professor lamenta ter sido tão exigente. Perdeu a oportunida- de de se tornar um dos homens mais ricos do Planeta. Em tempo: o aluno se chamava Bill Gates. História de uso corrente. Texto do autor. O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma divindade,masumagrandepedraincandescente,maior que o Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais, exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão, Aristóteles. dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que nestas condições este problema é irresolúvel. A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra: S = S R = . Admitindo por ex. R = 3 (3) = Problema da Quadratura do Círculo: π π 2 2 2 2 l l = 5,31ou3 =π= ll π= Rl R OBSERVAÇÃO: Chama-se ponto próprio ao ponto na sua acepção usual. Assim, duas retas concorrentes têm em comum um ponto (próprio). Analogamente, dois planos concorrentes se interceptam segundo uma reta (própria). Cada reta própria tem um único ponto impróprio. Em cada plano existe uma única reta imprópria. A reta imprópria é constituída exclusivamente de pontos impróprios. Duas retas impróprias têm em comum um único ponto impróprio. Todos os pontos e retas impróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio. z x y Jaci. 1 Ventui O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO Foi proposto inicialmente por Anaxágoras (499 - 428 a.C.). Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avançadas para a época, afirmara que o Sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente, maior que o Peloponeso (península do sul da Grécia) e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol. Anaxágoras foi professor de Péricles (490 - 429 a.C.), que o libertou da prisão. Ademais, exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos: Sócrates, Platão, Aristóteles. Problema da Quadratura do Círculo: dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso. No século XIX, demonstrou-se que nestas condições este problema é irresolúvel. o Asolução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra: So= So nRº=/º.Admitindo porex.R=3 m(3/=0º t=3Nz ou (=5,31 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Relações segmentárias no espaço unidimensional O matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e volumes. Uma reta é orientada, se esta- belecermos nela um sentido de percurso como positivo; o sentido contrário é negativo. O sentido positivo é indicado por uma seta. Um reta orientada também é chamada de eixo. Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real, positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se associa uma unidade de comprimento u. Exemplo: AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade) BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade) Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas algébricas iguais a 4 e - 4. Então: AB + BA = 0 ou AB AB AB BA AB = - BA 1. RETA ORIENTADA 2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO A B r u (reta) (reta orientada) AP BP A (ABP) = + A P B r (ABP) = – A C B r P Q A r 3 1 3 BC AC)ABC( −= − == 3 2 6 QA PA)PQA( === (ABP) AP BP = B P r 3. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS a) Definição b) Sinal c) Exemplos 1) 2) Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, que é simbolizado por (ABP). Assim: A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao segmento finito . Se interno, a razão será negativa. Assim: O ponto C divide o segmento na razão simples igual a - 3. O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3. OBSERVAÇÃO: Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmento na razão k.AB AB AB PQ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Relações segmentárias no espaço unidimensional O matemático e astrônomo alemão,Möbius (1790-1868) foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias, ângulos, áreas e volumes. Uma reta é orientada, se esta- belecermos nela um sentido de percurso como positivo; o sentido contrário é negativo. O sentido positivo é indicado por uma seta. Um reta orientada também é chamada de eixo. Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r. A medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real, positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo, em caso contrário. O número real que é a medida algébrica do segmento é representado por AB. Ao eixo se associa uma unidade de comprimento u. Exemplo: AB = + 4u (onde A é origem e B extremidade) BA = - 4u (onde B é origem e A extremidade) Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas algébricas iguais a 4 e - 4. Então: AB + BA = 0 ou AB AB AB BA AB = - BA 1. RETA ORIENTADA 2.MEDIDA ALGÉBRICA DE UMSEGMENTO A B r u (reta) (reta orientada) AP BP A (ABP) = + A P B r (ABP) = – A C B r P Q A r 3 1 3 BC AC)ABC( −= − == 3 2 6 QA PA)PQA( === (ABP) AP BP = B P r 3. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS a) Definição b) Sinal c) Exemplos 1) 2) Dados os pontos A, B e P, de uma reta r, denominamos razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente, que é simbolizado por (ABP). Assim: A razão simples (ABP) será positiva se o ponto P for externo ao segmento finito . Se interno, a razão será negativa. Assim: O ponto C divide o segmento na razão simples igual a - 3. O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3. OBSERVAÇÃO: Se (ABP) = k, diremos que P divide o segmento na razão k.AB AB AB PQ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA d) Casos particulares 1.SeP=A,a razão simples é nula. P=A B r — >>>» (asp) AP. O. BP BP 2.SeP=M (ponto médio), a razão simples éiguala -1. A P B r ——»———»—— + —S» M (app)-22 - AP 4 BP CAP 4. DIVISÃO ÁUREA a) Definição Um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razão se: AP'=AB.PB Diz-se também que AP é o segmento áureo de ÀB. OBSERVAÇÃO: Não prescindindo do rigor matemático, deve-se apresentar uma segunda relação para o segmento áureo: PBº=AB .AP. b) Cálculo Dado o segmento AB = a, calcular o seu segmento áureo AP =x. A P B a-x ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi O pentagrama estrelado ao lado figurado representou a insígnia dos pita- góricos, o símbolo da saúde para os gre- gos e aparece hoje freqüentemente em bandeiras, cartazes, etc. Observe que: A B D E C AB AC divisão áurea= = = = →AD AC AE AD ED AE 0 618, B O A r –2 3 O r Então: OP + P P = OP P P = OP - OP Exemplo: Dadas as abscissas x = 5 e x = - 3, calcular AB e BA. Resolução: AB = x - x = - 3 - 5 = - 8 BA = x - x = 5 - (- 3) = 8 Sejam os pontos P , P e P de uma reta orientada r, com abscissas x , x e x respectivamente. Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P P numa certa razão k. Então: k = (P P P) k = k = 1 1 2 2 1 2 2 1 A B B A A B 1 2 1 2 1 2 1 2 P P = x - x1 2 2 1 7. RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSAS O P1 P2 r x1 x2 O P1 P2 P r x1 x2 x = ? P P 1 2 P P x x x x − − 1 2 5. ABSCISSAS NA RETA 6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS O ponto O (origem) divide o eixo r em duas semi-retas, onde a semi-reta positiva é indicada pela seta. É negativa a outra semi-reta. Ao eixo se fixa a priori uma unidade de comprimento. Chama-se x de um ponto P de uma reta orientada r, à medida do segmento orientado e finito OP , da origem a esse ponto, antecedida do sinal de (+) ou (-) conforme o ponto pertença à semi-reta positiva ou negativa. Há uma correspondência bijetiva entre os números reais e os pontos de uma reta. Exemplo: x = 3 = -2 Abscissa em latim significa , . Deve-se provavel- mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz através de umpequeno corte. Sejam os pontos P e P , cujas abscissas são respectivamente x e x . abscissa corte incisão 1 1 1 A B 1 2 1 2 x OBSERVAÇÃO: ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Isolando ox: Caso particular: sek=- 1 tem-se: Onde x é a abscissa do ponto médio de PP, . Exemplo: Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento AB na razão 2. Dadosx,=3ex,=7. Xu -kxa 3-2(7) Resolução: = = =11 tesolução: x TkK T2 o A B P Figura 3 7 1 Portanto (ABP)= 11 [tdos 01. O ponto P divide o segmento P,P, numa certa razão k. Cal- culark, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas suas abscissas x=3,x,=6 e x=-2 -=3 Resp.: k=— ? 5 02. Dados (ABP)=5, x,=2, x,=5, calcular x,. Resp.: 17 Isolando o x: Caso particular: se k = - 1 tem-se: Onde x é a abscissa do pontomédiodeP P . Exemplo: Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento na razão 2. Dados x = 3 e x = 7. Resolução: Figura: Portanto (ABP) = 11 1 2 A B AB ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi x x kx 1 k 1 2= − − x x x 2 1 2= + x x kx k A B= − − = − − = 1 3 2 1 2 11(7) O A B P r 3 7 11 Exercícios "Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui." (Inscrição no frontispício da Academia de Platão) O ponto P divide o segmento P P numa certa razão k. Cal- cular k, conhecendo-se respectivamente os pontos pelas suas abscissas x = 3, x = 6 e x = - 2 Resp.: Resp.: 17 1 2 1 2 Dados (ABP) = 5, x = 2, x = 5, calcular x .P B A 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. Obter a abscissa do ponto P, tal que PA . PB = PC . PD. Considere O, A, B, C pontos colineares, onde O representa a origem. Calcule a abscissa x do ponto C na igualdade: Achar a distância QP tais que (ABP) = e (ABQ) = sen- do x = 2 e x = 8 Sendo x = 3 e x = 8, calcular as abscissas dos pontos P e P que dividem em 3 partes iguais. Achar as abscissas dos pontos que dividem em 4 partes iguais. Dados: x = - 2, x = 0, x = 3, x = 5 Resp.: AB + 2CA + OB - 3BC = 3 Dados: x = 2 e x = 5 Resp.: Resp.: 8 Resp.: Dados x = - 3 e x = 6 Resp.: A B C D A B P Q A B A B 1 2 AB PQ "Gigantes são os mestres nos ombros dos quais eu me elevei." ISAAC NEWTON (1642 - 1727), físico, astrônomo e matemático inglês. 3 2 24 5 14 3 19 3 e − 3 4 3 2 15 4 , , − 1 2 1 2 5 3k −= ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional        43421 y Py y O x x P Px 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos orto- gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O. A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or- denadas; os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos P e P , de tal sorte que x = OP e y = OP . Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas ou também chamadas coordenadas retan- gulares: onde x é de P e y a de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais. a) O = (0, 0) origem do sistema cartesiano. b) P = (x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas. c) P = (0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas. x y x y x y coordenadas cartesianas abscissa ordenada Particularidades → → → 2. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO 3. PARES ORDENADOS: OPERAÇÕES E IGUALDADE O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º. Propositalmente, em respeito à sim- plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos. Tais sistemas mono- tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori- zação de fórmulas. Exemplo: (2, 5) + (1, - 3) = (3, 2) Exemplo: 3 (5, 1) = (15, 3) Exemplo: (x 1, y + 3) = (1, 7) Donde: x 1 = 1 x = 2 y + 3 = 7 y = 4 a) Adição (x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) b) Multiplicação por umnúmero real k k (x , y ) = (kx , ky ) c) Igualdade de dois pares ordenados (x , y ) = (x , y ) x = x e y = y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 − ⇔ − − → → − 43421 y Py y O P Px x x P = (x, y) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional        43421 y Py y O x x P Px 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos orto- gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O. A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or- denadas; os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos P e P , de tal sorte que x = OP e y = OP . Destarte, podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas ou também chamadas coordenadas retan- gulares: onde x é de P e y a de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais. a) O = (0, 0) origem do sistema cartesiano. b) P = (x, o) projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas. c) P = (0, y) projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas. x y x y x y coordenadas cartesianas abscissa ordenada Particularidades → → → 2. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO 3. PARES ORDENADOS: OPERAÇÕES E IGUALDADE O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º. Propositalmente, em respeito à sim- plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos. Tais sistemas mono- tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori- zação de fórmulas. Exemplo: (2, 5) + (1, - 3) = (3, 2) Exemplo: 3 (5, 1) = (15, 3) Exemplo: (x 1, y + 3) = (1, 7) Donde: x 1 = 1 x = 2 y + 3 = 7 y = 4 a) Adição (x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) b) Multiplicação por um número real k k (x , y ) = (kx , ky ) c) Igualdade de dois pares ordenados (x , y ) = (x , y ) x = x e y = y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 − ⇔ − − → → − 43421 y Py y O P Px x x P = (x, y) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P = (x , y ) e P = (x , y ), deseja-se calcular a distância d entre P e P . Apli- cando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P AP , tem-se: d = (x x ) + (y y ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2− − ou y y2 y1 O x1 x2 x A x – x2 1 P1 d P2 y – y2 1 d (x x ) (y y )2 1 2 2 1 2= − + − Exercícios "O oposto do amor não é o ódio, mas a indiferença." Érico Veríssimo (1905-1975), romancista gaúcho. Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas cartesianas de P em . Resp.: P = (0, 7) O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhe- cendo-se o ponto A = ( 2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1. Resp.: - 6 e 2 Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo eqüilátero de vértices A = (3, 3), B = ( 3, 3) e C = . Resp.: Dados os pontos A = (2, y), B = ( 8, 4) e C = (5, 3), determinar y para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A. AB − − − − 01. 02. 03. 04. 05. 10. 06. 07. 08. 09. 11. Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5), P = (- 1, 2) e P = (6, 3). Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) e C = (- 1, - 1). Calcular o vértice A. 1 2 3 Resp.: P = (3, - 1) Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos A = (1, ) e B = (2, ). Resp.: P = (1, 0) Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e ( 5, 6). Determine a área do quadrado. Resp.: 26 Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médios dos lados de umtriângulo. Achar os vértices desse triângulo. Resp.: (4, - 6), (- 2, 2), (0, 4) Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as coordenadas do vértice C, sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero. Resp.: Resp.: ou Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A = (5, - 6), B = (1, 2) e C = (3, - 4). Resp.: (11, 2 ) (circuncentro) − 1 2 3 9 6 ( , )−3 3 3 3 3 2 B2 AP =+ Resp.: y = - 2 ou y = 9         ±± = 2 a3a, 2 a3aC 31+ , 3– 2 ) ) 31– , 32 ) ) 5. PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA 6. BARICENTRO DE UMTRIÂNGULO Seja o segmento de extremidades P = (x , y ) e P = (x , y ). O ponto P = (x, y) divide o segmento P P numa razão dada k. Então: Introduzindo as coordenadas de P , P e P e Isolando-se x e y: e Caso particular Se k = -1, então o ponto coincide com o do segmento P P . Donde se infere as fórmulas: e Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio. Geometricamente num triângulo, o baricentro é obtido pela intersecção das medianas. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 P ponto médio a) Definição 1 2 y y y yA B C= + + 3G Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi b) Cálculo Dado o triângulo de vértices A = (x , y ), B = (x , y ) e C = (x , y ). O baricentro G divide a mediana AM numa razão facilmente determiná- vel: Introduzindo as abscissas : Mas: Substituindo-se 2 em 1 tem-se: Analogamente para a ordenada do baricentro obtém-se: A A B B C C y y2 y y1 P P1 P2 x1 x x2 x k x x x x = − − 1 2 k y y y y = − − 1 2 x x kx k = − − 1 2 1 y y ky k = − − 1 2 1 AM 3 2 AM 3 1 A G B M C ou x x xG A M= − 2 3 x x x x G A G M − − = −2 1 x x xM B C= − 2 2 x x x xG A B C= + + 3 "Quando morreres, só levarás contigo aquilo que tiveres dado." Saadi (1184-1291), poeta persa. Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem o segmento A = (3, - 1) e B = (0, 8) em 3 partes iguais. Resp.: P = (2, 2) e P = (1, 5) 1 2 1 2 01. PP PP)PPP(k 2 1 21 == 2 xxx 21M + = 2 yyy 21M + = 2 MG AG:Então 2 1 2 MG AG)AMG( −= −= − == ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 02. Até que ponto da reta o segmento de extremos A= (1,-1)e B= (4, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com- primento quintuplique? Resp.:P=(16,29) 03. O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G=(4,0) e M=(2,3)0 ponto médio de BC . Achar as coordenadas do vértice A. Resp.:A=(8,-6) 04. Num triângulo ABC, são dados os vértices A =(-4,10) e B= (8,-1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos y e x. Resp.:G=(0,3)eC=(-4,0) 05. Calcular as coordenadas dos extremos Ae B do segmento que é dividido emtrês partes iguais pelos pontos P,=(-1,3)eP,=(1,5). Resp.:A=(-3,1)eB=(3,7) 7. SISTEMA POLAR No plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano. E utilizado, entre outras disciplinas, em Cálculo Diferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens. Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos. Na prática também empregado na navegação, aviação, etc. O sistema polar é carac- terizado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um P, ponto O pertencente atalreta. p > eixo polar do sistema O pólo do sistema ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 02. 03. 04. 05. Até que ponto da reta o segmento de extremos A = (1, - 1) e B = (4, 5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com- primento quintuplique? Resp.: P = (16, 29) O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G = (4, 0) e M = (2, 3) o pontomédiode . Achar as coordenadas do vértice A. Resp.: A= (8, - 6) Num triângulo ABC, são dados os vértices A = (- 4, 10) e B = (8, -1). Determinar o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos y e x. Resp.: G = (0, 3) e C = (- 4, 0) Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido emtrêspartes iguais pelos pontos P = (- 1, 3) e P = (1, 5). Resp.: A = (- 3, 1) e B = (3, 7) BC 1 2 7. SISTEMA POLAR No plano, a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano. É utilizado, entre outras disciplinas, em Cálculo Diferencial e Integral, onde o sistema polar apresenta próceras vantagens. Mais especificamente, na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos. Na prática também empregado na navegação, aviação, etc. O sistema polar é carac- terizado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um ponto O pertencente a tal reta. - pO O P p ρ θ p eixo polar do sistema O pólo do sistema → → + O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares: onde: = OP ( 0) é a de P. (0º < 2 ) é o , ou de P. Reciprocamente, dado um par ordenado de números reais, é possível localizar no plano um único ponto, do qual aqueles números são as coordenadas polares. O argumento será considerado se sua orientação for a do sentido anti-horário e se no sentido horário. O raio vetor é quando assinalado no lado terminal de e quando no seu prolonga- mento. Tenha-se presente que o argumento admite múltiplas determinações: 2k + . Na prática, utiliza-se o em que o raio das circunferências concêntricas aumentam de 1 em 1 cm, e os ângulos de 15º em 15º. Compensa-se a ausência do papel quadriculado polar com régua milimetrada e transferidor. Exemplos: Representar os pontos em coordenadas polares: A = (5, 30º) B = (4,150º) C = (7, - 30º) D = (4, - 120º) P = ( , ) distância polar ou raio vetor argumento anomalia ângulo polar b) Convenção positivo negativo positivo negativo c) Representação gráfica de pontos papel quadriculado polar ρ θ ρ ρ ≥ θ ≤ θ π θ ρ θ θ π θ OBSERVAÇÃO:       π−= 3 ,2A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 01. 02. 03. 04. Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: a) Resp.: b) B = Resp.: c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0 d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2 e) x + y + xy = 5 Resp.: f) x + y = 0 Resp.: a) Resp.: b) Resp.: c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xy d) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y ) Resp.: Resp.: 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − ρ ρ − θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ − − − − 2 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano. Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de em relação ao eixo polar. ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3). A = −( , )3 3 3 ( , )3 3 3 ρ θ θ = + 2 sen cos ( , )3 1− ( , )− −3 1 2 O P y x Série B ρ θ = k       π 3 2,6 52sen 2 112 =      θ+ρ       = =+ x ytgarck2 22 ayx (semi-circunferência de raio igual a 2) Resp.: 05. 06. 07. Representar = 2 e 0 Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para o sistema cartesiano. Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: a) = k Resp.: x + y = k ρ ≤ θ ≤ π ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2 Resp.: (x + y ) = a (x y ) Tal curva do 4.º grau, descoberta por Jacques Bernoulli, é denominada Lemniscata (do grego lemnisko que significa ornato, laço de fita), (espiral de Arquimedes) b) Resp.: x + y = (espiral hiperbólica) c) log = k Resp.: (espiral logarítmica) 2 2 2 2 2 2 2 2 − ρ θ OBSERVAÇÃO: a       π 6 ,6       π= 6 7,2Q       π−= 6 ,2P       π 3 ,2       5 4cosarc,5 2 x ytgarc       2 2 x ytgarc k             π−= 3 ,2A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 01. 02. 03. 04. Passar do sistema cartesiano para o sistema polar: a) Resp.: b) B = Resp.: c) x + y 3x = 0 Resp.: ( 3 cos ) = 0 d) (x + y ) = 3(x y ) Resp.: = 3 cos 2 e) x + y + xy = 5 Resp.: f) x + y = 0 Resp.: a) Resp.: b) Resp.: c) = k sen 2 Resp.: (x + y ) = 2k xy d) cos 2 = 2 Resp.: (x y ) = 2(x + y ) Resp.: Resp.: 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − ρ ρ − θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ − − − − 2 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano. Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de em relação ao eixo polar. ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas (4, 3). A = −( , )3 3 3 ( , )3 3 3 ρ θ θ = + 2 sen cos ( , )3 1− ( , )− −3 1 2 O P y x Série B ρ θ = k       π 3 2,6 52sen 2 112 =      θ+ρ       = =+ x ytgarck2 22 ayx (semi-circunferência de raio igual a 2) Resp.: 05. 06. 07. Representar = 2 e 0 Transformar a equação = a cos 2 , do sistema polar para o sistema cartesiano. Passar do sistema polar para o sistema cartesiano: a) = k Resp.: x + y = k ρ ≤ θ ≤ π ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2 Resp.: (x + y ) = a (x y ) Tal curva do 4.º grau, descoberta por Jacques Bernoulli, é denominada Lemniscata (do grego lemnisko que significa ornato, laço de fita), (espiral de Arquimedes) b) Resp.: x + y = (espiral hiperbólica) c) log = k Resp.: (espiral logarítmica) 2 2 2 2 2 2 2 2 − ρ θ OBSERVAÇÃO: a       π 6 ,6       π= 6 7,2Q       π−= 6 ,2P       π 3 ,2       5 4cosarc,5 2 x ytgarc       2 2 x ytgarc k       ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi O p O p a) espiral de Arquimedes c) espiral logarítmica b) espiral hiperbólica O p A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos, por ser a forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso. Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P = ( , ) e P = ( , ), em coordenadas polares. Resp.: d = (x x ) + (y y ) Substitua: x = cos , x = cos , y = sen , y = sen 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ρ θ ρ θ − ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ SUGESTÃO: 2 2 2− 08. OBSERVAÇÃO: Apenas a título de curiosidade, representamos os respectivos gráficos: d2 1 2 2 2 1 2 2 12= + − −ρ ρ ρ ρ θ θcos( ) 270º240º 300º 330º210º 180º 150º 120º 90º 60º 45º 30º p 3 4 3 O 09. Construir o gráfico de = 3 + sen .ρ θ Resp.: "Deus não dá fardos pesados para ombros fracos." Adágio popular Jaci. Ventui Num dos rolos de papiro, encontrou a informação de que na cidade de Siena (hoje Assuã), ao sul de Alexandria, ao meio-dia do solstício de verão (o dia mais longo do ano, 21 de junho, no hemisfério norte) colunas verticais não projetavam qualquer sombra; ou seja, o Sol se situava a prumo. Entretanto, o nosso conspícuo geômetra observou que no mesmo dia de solstício, as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamente mensurável. Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se instalasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse um poço profundo em Siena. Ao meio-dia, enquanto o Sol iluminava as profundezas do poço de Siena (fazia ângulo de 90º com a superfície da Terra), em Alexandria, Eratóstenes mediu o ângulo 6 = 7º12', ou seja: 1/50 dos 360º de uma circun- ferência. E ET] 7] Portanto, o comprimento do meridiano terrestre deveria ser 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena. Por tais cálculos, conjecturou que o perímetro da Terra seria de 46.250 km. Hoje sabemos que é de 40.076 km. Aproximação notável, considerando-se a época da medição. Precedeu a experiência um feito digno de nota: Alexandria e Siena situavam-se a grande, porém, desconhecida distância. Para medi-la, Eratóstenes determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos e escravos a pé seguissem em linha reta, percorrendo desertos, aclives, declives e tendo que, inclusive, atravessar o rio Nilo. Distância mensurada: 5.000 estádios ou cerca de 925 km. Ademais, as cidades de Alexandria e Siena não estão sobre o mesmo meridiano como supunha Eratóstenes, havendo uma diferença de quase 3º. (Do autor) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E . Sejam x, y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) é triretângulo. Principais elementos : - ponto O origem do sistema cartesiano. - retas orientadas eixos cartesianos. - planos xy, xz, yz planos cartesianos. Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedo retângulo, cujas faces interceptam os eixos x emP,yemP e z em P . Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas 3 → → → x y Z z P2 PZ P3 P z yO x Px P1 Py x y cartesianas ortogonais : P = (x, y, z) onde: x = OP y = OP z = OP O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ou octantes. a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano. b) P = (x, y, 0), P = (x, 0, z), P = (0, y, z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy, xz e yz. c) P = (x, 0, 0), P = (0, y, 0), P = (0, 0, z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x, y e z. d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas. São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar. com as triplas (x , y , z ) e (x , y , z ), bem como a condição de igualdade de 2 triplas (item 3, do capítulo 3). Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria da Relatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossa estrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4 dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de dois planos pode ser um único ponto. Ou ainda, é factível a retirada de um objeto (ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes. Dados dois pontos P = (x , y , z ) e P = (x , y , z ), a distância d x y z 1 2 3 x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 → → → → abscissa ordenada cota Particularidades 2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis. Na espacial, três variáveis. Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras. O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E . Sejam x, y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O. Destarte o triedro (Ox, Oy, Oz) é triretângulo. Principais elementos : - ponto O origem do sistema cartesiano. - retas orientadas eixos cartesianos. - planos xy, xz, yz planos cartesianos. Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualiza-se um paralelepípedo retângulo, cujas faces interceptam os eixos x emP,yemP e z em P . Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais. Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas 3 → → → x y Z z P2 PZ P3 P z yO x Px P1 Py x y cartesianas ortogonais : P = (x, y, z) onde: x = OP y = OP z = OP O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões, denominadas oitantes ou octantes. a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano. b) P = (x, y, 0), P = (x, 0, z), P = (0, y, z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy, xz e yz. c) P = (x, 0, 0), P = (0, y, 0), P = (0, 0, z) representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x, y e z. d) Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas. São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar. com as triplas (x , y , z ) e (x , y , z ), bem como a condição de igualdade de 2 triplas (item 3, do capítulo 3). Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões. Einstein, em sua Teoria da Relatividade apóia-se em um espaço de 4 dimensões. E toda a nossa estrutura mental, fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação. Por exemplo, num espaço de 4 dimensões (não representável geometricamente), a intersecção de dois planos pode ser um único ponto. Ou ainda, é factível a retirada de um objeto (ou um ponto) do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes. Dados dois pontos P = (x , y , z ) e P = (x , y , z ), a distância d x y z 1 2 3 x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 → → → → abscissa ordenada cota Particularidades 2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 11. 12. 13. 14. 15. 16. Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de . Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), achar as coordenadas carte- sianas do ponto B. AB Resp.: B = ( 1, 1, 1) Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G = (2, 2, 3) e os pontos médios de dois lados, M = (1, 2, 4) e M = (2, 3, 3). Resp.: (2, 0, 3), (0, 4, 5), (4, 2, 1) Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe- rior. Resp.: 12 u.v. A base é umquadrado, cujo lado é 2. A altura h é a cota do ponto P, ou seja, h = 9. Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A = (1, 1, 2) e B = (4, 5, 6) para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B? Resp. : (10, 17, 14) O ponto P pertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A = (2, 3, 0) e B = (0, 1, 2). Encontrar P. Resp.: P = (0, 0, 2) Dados dois vértices A = (9, 5, 12) e B = (6, 1, 19) de umparale- logramo ABCD e P = (4, 1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais, determinar os vértices C e D. Resp.: − − − − − − − 1 2 Dados O = (0, 0, 0), A = (2, 0, 0), B = (2, 2, 0), C = (0, 2, 0) e P = (1, 1, 9). SUGESTÃO: C = ( 1, 3, 2) e D = (2, 3, 5)− − − ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 05. 06. 07. 08. 09. 10. Na figura, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P. Provar que o triângulo A = (1, 2, 0), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 2) é eqüilátero. Resp.: A = (2, 4, 0) B = (2, 0, 3) C = (0, 4, 3) P = (2, 4, 3) Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento na razão 2. Dados A = (2, 5, 1) e B = (3, 0, 2). Resp.: P = (4, 5, 3) No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias do ponto P = (1, 4, 2) aos eixos coordenados x, y e z. Resp.: Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto é 2 e ao ponto B = (2, 0, 1) é 3 (Barsotti). Resp.: Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1, 3) e C = (0, 5, 4) e também o baricentro G = (1, 2, 3). Calcular o vértice A. Resp. : A = (1 , 0, 2) − − − − AB − − − − A = (1, 1, 0) z 3 O B P A2 4 y x C 2 5 5 17, , V S h OABC = 1 3 ( ) e         − − = 1 2 2,0, 2 2P         − − = 1 2 2,0, 2 2'P 11. 12. 13. 14. 15. 16. Os pontos A, B, M são colineares e M é o ponto médio de . Sabendo-se que A = (1, 3, 5) e M = (0, 1, 2), achar as coordenadas carte- sianas do ponto B. AB Resp.: B = ( 1, 1, 1) Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G = (2, 2, 3) e os pontos médios de dois lados, M = (1, 2, 4) e M = (2, 3, 3). Resp.: (2, 0, 3), (0, 4, 5), (4, 2, 1) Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe- rior. Resp.: 12 u.v. A base é um quadrado, cujo lado é 2. A altura h é a cota do ponto P, ou seja, h = 9. Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A = (1, 1, 2) e B = (4, 5, 6) para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B? Resp. : (10, 17, 14) O ponto P pertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A = (2, 3, 0) e B = (0, 1, 2). Encontrar P. Resp.: P = (0, 0, 2) Dados dois vértices A = (9, 5, 12) e B = (6, 1, 19) de um parale- logramo ABCD e P = (4, 1, 7) o ponto de intersecção de suas diagonais, determinar os vértices C e D. Resp.: − − − − − − − 1 2 Dados O = (0, 0, 0), A = (2, 0, 0), B = (2, 2, 0), C = (0, 2, 0) e P = (1, 1, 9). SUGESTÃO: C = ( 1, 3, 2) e D = (2, 3, 5)− − − ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 05. 06. 07. 08. 09. 10. Na figura, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P. Provar que o triângulo A = (1, 2, 0), B = (4, 0, 1) e C = (2, 1, 2) é eqüilátero. Resp.: A = (2, 4, 0) B = (2, 0, 3) C = (0, 4, 3) P = (2, 4, 3) Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento na razão 2. Dados A = (2, 5, 1) e B = (3, 0, 2). Resp.: P = (4, 5, 3) No sistema cartesiano ortogonal, determinar as distâncias do ponto P = (1, 4, 2) aos eixos coordenados x, y e z. Resp.: Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto é 2 e ao ponto B = (2, 0, 1) é 3 (Barsotti). Resp.: Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B = (2, 1, 3) e C = (0, 5, 4) e também o baricentro G = (1, 2, 3). Calcular o vértice A. Resp. : A = (1 , 0, 2) − − − − AB − − − − A = (1, 1, 0) z 3 O B P A2 4 y x C 2 5 5 17, , V S h OABC = 1 3 ( ) e         − − = 1 2 2,0, 2 2P         − − = 1 2 2,0, 2 2'P ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi SUGESTÃO As diagonais de um paralelogramo se bissecam em seu ponto médio. 5. SISTEMA CILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamente. Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura, dois outros sistemas também são usuais: o sistema cilíndrico e o sistema esférico. a) Considere em um plano um sistema polar, cujo pólo é O e cujo eixo polar é p; além disso, considere um eixo z de origem O e ortogonal ao plano . Dado um ponto qualquer P do espaço E , faz-se a seguinte construção, ilustrada na figura abaixo: P é projetado ortogonalmente sobre o plano e sobre o eixo z; P' e P são as respectivas projeções. Assim, ficam determinados três números , e z que são suas coordenadas cilíndricas: onde: = OP' ( 0) é a de P. (0º < 2 ) é o de P. α α α ρ θ ρ θ ρ ρ ≥ θ ≤ θ π 3 z P = ( , , z) distância polar ou raio vetor argumento, anomalia ou ângulo polar α p O z z P’ PPz ρ θ y y x O α θ ρ Py Px P’ x p≡ P z Pz z = OP é a cota de P. Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, pode-se localizar um ponto no espaço, do qual os números dados são as coordenadas cilíndricas; portanto, há uma correspondência bijetora entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de números reais que são as coordenadas cilíndricas. b) Considera-se os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo das abscissas, o pólo coincida com a origem e o eixo z seja comum para os dois sistemas. Então: P = (x, y, z) emcoordenadas cartesianas P = ( , , z) emcoordenadas cilíndricas Observe-se que z é coordenada homônima para os dois sistemas. O triângulo retângulo OP P' do plano , estabelece as fórmulas: z x OBSERVAÇÃO: cilíndricaA denominação - - provém de na figura se admitir um cilindro de base circular, cujo raio é a constante no plano , e cuja geratriz é PP', que gira em torno de z. ρ α ρ θ α Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 1) = x + y 2) x = cos 3) y = sen 4) tg = ρ ρ θ ρ θ θ 2 2 2 x θ ρ P’yPx O y x Exercícios "Como pode a Matemática, sendo produto do pensamento humano, independente da experiência, se adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade?" ALBERT EINSTEIN (1879-1955) físico alemão. Naturalizou-se cidadão norte-americano em 1940. Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico. a) Resp.: b) B = (0, 1, 3) Resp.: c) (x + y ) = z (x y ) Resp.: = z cos 2 Efetuar a passagem do sistema cilíndrico para o sistema carte- siano. a) Resp.: b) B = (1,330º, ) Resp.: c) sen 2 = 2z Resp.: xy = z 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 − ρ ρ θ π ρ θ 01. 02. A = − −( , ,3 3 3 2) θ ρ α β O P z Ø S P N θ α Plano equatorial Plano meridiano de Greenwich         π = 2, 4 3, 2 2A ø P = ( , , ø)ρ θ 6. SISTEMA ESFÉRICO Seja O (pólo) um ponto do espaço E pelo qual passa uma reta orientada z (eixo polar). O plano é passante por z. P um ponto do espaço tridimensional. O semi-plano de bordo z contém P. Dado o ponto P, ficam determinados os três números , e ø, que são suas coordenadas esféricas: = OP, a de P; a de P é a medida do ân- gulo que o eixo z forma com OP; ø a de P é a medida do ângulo que o plano forma com o semi-plano . Reciprocamente, dado um terno ordenado de números reais, é possível localizar no espaço um único ponto do qual os números do terno são as coordenadas esféricas. Para que a um ponto corresponda um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se fazer as seguintes restrições : 0 0 0 ø < 2 Na figura ao lado, tem-se uma aplicação notável do sistema esférico: as coordena- das geográficas de um ponto P. O ângulo ø é a longitude de P e a sua colatitude. Re- corde-se da geografia que colatitude é o complemento da latitude, esta representada na figura pelo ângulo . A denominação provêm do fa- to de se imaginar uma superfície esférica que contém P, de centro em O e cujo raio é a constante . a) distância polar ou raio vetor colatitude longitude ou azimute esférica 3 α β ρ θ ρ θ − − α β ρ ≥ ≤ θ ≤ π ≤ π θ α ρ OBSERVAÇÃO:      −= 2, 2 1, 2 1A       π= 3, 2 ,1B       − π = 2, 3 2,6A         π−= , 2 1, 2 3B Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi b) Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal z = cos Faz-se coincidir o plano com o plano xz. O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em P , P e P . O ponto P' é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy. Emrelação aos dois sistemas, tem-se : P = (x, y, z) coordenadas cartesianas de P. P = ( , , ø) coordenadas esféricas de P. Por construção, observe-se que P P = OP'. Do triângulo retângulo OP P, obtém-se: P P = sen e α → ρ θ → ρ θ ρ θ x y z z z z x α Px x O Ø P’ β y Pyy ρθ z z Pz P Pz P z θ ρ O x P’yPx O Ø = y x A = ( ,2 2 90º , 315º ) A = −( , ,9 3 3 6) * tg ø O triângulo retângulo OP P' fornece: * x = OP' cos ø mas OP' = P P = sen * y = OP sen ø ou Dos dois triângulos retângulos em destaque : OP = x + y = P P e = P P + z ou = x + y + z Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: a) A = (2, 2, 0) Resp.: b) Resp.: B = (5, 135°, 45°) c) 5x 5y = 8z Resp.: 5 sen cos 2 ø = 8 cos a) Resp.: x z z z ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ − − ρ θ θ x = sen cos ø y = sen sen ø Cálculo de ' ' Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogo- nal: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Grandes obras não nascem apenas de grandes idéias. 01. 02.         − = 2 25, 2 5, 2 5B       π− π = 6 , 3 ,12A Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi b) Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal z = cos Faz-se coincidir o plano com o plano xz. O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em P , P e P . O ponto P' é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy. Emrelação aos dois sistemas, tem-se : P = (x, y, z) coordenadas cartesianas de P. P = ( , , ø) coordenadas esféricas de P. Por construção, observe-se que P P = OP'. Do triângulo retângulo OP P, obtém-se: P P = sen e α → ρ θ → ρ θ ρ θ x y z z z z x α Px x O Ø P’ β y Pyy ρθ z z Pz P Pz P z θ ρ O x P’yPx O Ø = y x A = ( ,2 2 90º , 315º ) A = −( , ,9 3 3 6) * tg ø O triângulo retângulo OP P' fornece: * x = OP' cos ø mas OP' = P P = sen * y = OP sen ø ou Dos dois triângulos retângulos em destaque : OP = x + y = P P e = P P + z ou = x + y + z Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico: a) A = (2, 2, 0) Resp.: b) Resp.: B = (5, 135°, 45°) c) 5x 5y = 8z Resp.: 5 sen cos 2 ø = 8 cos a) Resp.: x z z z ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ − − ρ θ θ x = sen cos ø y = sen sen ø Cálculo de ' ' Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogo- nal: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Grandes obras não nascem apenas de grandes idéias. 01. 02.         − = 2 25, 2 5, 2 5B       π− π = 6 , 3 ,12A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi c) Imagem geométrica ou representante de um vetor imagem geométrica representante vetor imagem geométrica do veto d) Etimologia da palavra vetor Vetor transportado, levado e) Notações de vetor I. II. III. Na figura ao lado tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor. O segmento orientado é um conjunto de pontos, ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados. Cada segmento orientado é, a rigor, a ou o de um vetor. A figura apresenta quatro segmen- tos orientados ou então quatro imagens geométricas de um mesmo vetor. Como abuso de linguagem, em- prega-se a palavra em vez de r. De acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor. Provém do verbo latino : transportar, levar. é o particípio passado de , signifi- cando . Apesar de primitiva e até bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans- portado" até B. Uma letra latina minúscula encimada por uma seta. Exemplos: a, b, c … u, v, w ... Uma letra latina minúscula sobrelinhada. Exemplos: , , … , , ... Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre- sentante do vetor. Exemplo: A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B. abusus non tollit usum vehere vehere a b c u v w A B z 4 O x 1 5 y P B A → v → v → → → → → → A + v = B ou v = B A− → → → → → → → → → → onde A é a e B é a do vetor. Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877). Também bastante usual a notação v = AB IV. Uma terna ordenada de números reais : v = (x , y , z ) Exemplo: v = (1, 5, 4) Na figura v = (P O) Como abuso de notação tem-se ainda v = (P O) = P Usualmente, quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema. v É o número não negativo que indica o comprimento do vetor. Exemplo: Então | v | = 4 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a . O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. origem extremidade f) Módulo ( | | ) g) Vetor nulo ( ) zero 1 1 1 − − OBSERVAÇÃO: ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi c) Imagem geométrica ou representante de umvetor imagem geométrica representante vetor imagem geométrica do veto d) Etimologia da palavra vetor Vetor transportado, levado e) Notações de vetor I. II. III. Na figura ao lado tem-se um conjunto de segmentos orientados de um único vetor. O segmento orientado é um conjunto de pontos, ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados. Cada segmento orientado é, a rigor, a ou o de umvetor. A figura apresenta quatro segmen- tos orientados ou então quatro imagens geométricas de ummesmo vetor. Como abuso de linguagem, em- prega-se a palavra em vez de r. De acordo com a locução latina (o abuso não tolhe o uso) também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor. Provém do verbo latino : transportar, levar. é o particípio passado de , signifi- cando . Apesar de primitiva e até bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "trans- portado" até B. Uma letra latina minúscula encimada por uma seta. Exemplos: a, b, c … u, v, w ... Uma letra latina minúscula sobrelinhada. Exemplos: , , … , , ... Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre- sentante do vetor. Exemplo: A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B. abusus non tollit usum vehere vehere a b c u v w A B z 4 O x 1 5 y P B A → v → v → → → → → → A + v = B ou v = B A− → → → → → → → → → → onde A é a e B é a do vetor. Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H. Grassmann (1809-1877). Também bastante usual a notação v = AB IV. Uma terna ordenada de números reais : v = (x , y , z ) Exemplo: v = (1, 5, 4) Na figura v = (P O) Como abuso de notação tem-se ainda v = (P O) = P Usualmente, quando já estiver fixado o sistema de coordenadas, o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema. v É o número não negativo que indica o comprimento do vetor. Exemplo: Então | v | = 4 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a . O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas. origem extremidade f) Módulo ( | | ) g) Vetor nulo ( ) zero 1 1 1 − − OBSERVAÇÃO: ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA h) Vetor unitário É o vetor de módulo igual a 1. Exemplo: v Então: |v|=1 1 i) Versor O versor de um vetor V não nulo, é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de V. 2 Y versV=-— lvl Exemplos: v A 5 Y +++ então vers v = — vers v 3 w . wi 24 —e— entãoversw=— vers w 4 O vetor unitário coincide como seu próprio versor. j) Vetor oposto Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor BÃe se indica por -AB. O vetor oposto de um vetor V é representado por —V. Exemplo: is >>>» =v 4.PARALELISMO DE VETORES a) Definição Dois vetores u e V de mesma direção são ditos paralelos. Ipso facto, suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesmareta. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi I. lI. b) Casos particulares: c) Propriedades I. Propriedade associativa emrelação aos escalares. II. Propriedade distributiva emrelação à adição de escalares. III. Propriedade distributiva em relação à adição de vetores. lV. Se v = (x , y , z ), então: k > 0 Os vetores v e kv são equiversos. Exemplos: k < 0 Os vetores v e kv são contraversos. Exemplo: 0( v ) = 0 . kv = 0 k = 0 ou v = 0 . ( 1) v = v onde v é o oposto de v . Nas expressões abaixo, m e n são escalares quaisquer e v e w são vetores arbitrários: m(nv) = n(mv) = (mn) v (m + n) v = mv + nv m(v + w ) = mv + mw mv =m(x , y , z ) = (mx ,my ,mz ) ⇒ − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6. COPLANARIDADE DE VETORES Os vetores u, v e w são coplanares se tiverem imagens geomé- tricas paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são sempre coplanares, enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares. Exemplos: O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor; é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares. Convenção: (dado)u → u2 1 → → u (dado) → – 2u u, v e w são coplanares u, v e w não são coplanares α β → w → v → u α → w → v → u 7. ADIÇÃO DE VETORES a) Definição Dados dois vetores u e v, para se obter a soma u + v, fixamos um ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B = A + u e C = B + v, conforme a figura; nessas condições, u + v = (C - A). Denotando por diferença de pontos: u + v = (B - A) + (C - B) = (C - A) Donde AC é o vetor resultante, obtido da adição de u com v . Geometricamente, a soma de n vetores (sendo n um número inteiro positivo qualquer) é feita considerando imagens geométricas dos C BA → v → u → → → → → → → → → → → → →→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte; o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal. Exemplos: Dados u, v e w , obter graficamente a soma: Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. Dados os vetores u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ), então u + v = (x + x , y + y , z + z ). u + v = v + u Demonstração: Considere as imagens geométricas dos vetores u e v representados na figura. b) Sob a forma de triplas: c) Propriedades I. Comutativa: 1 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 → w → v → u → w → u →→ u + w → w → v → u → w → v →→ v + w Dados a) u + w = ? b) v + w = ? c) u + v + w = ? A B D C → v → v → u → u A B C D → w → v → u 8. SUBTRAÇÃO DE VETORES a) Definição Dados os vetores u e v, definimos a diferença u - v por: → → → → → → → → → → → 1.º membro: u + v = (B - A) + (C - B) = (C - A) 2.º membro: v + u = (D - A) + (C - D) = (C - A) donde u + v = v + u (cqd) → → → → → → → → → → u - v = u + (- v). Conseqüência A diagonal do paralelogramo cons- truído sobre as imagens geométricas de u e v representa a soma u + v . Sabe-se que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas. Para a "regra do paralelogramo" construído sobre as imagens geométricas de u e v de mesma origem A, adota-se a diagonal que contém o ponto A. A "regra do paralelogramo" é muito usual na composição de forças emMecânica. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Demonstração : Sejam u, v e w vetores dados. 1.º membro: ( u + v ) = (B - A) + (C - B) = (C - A) ( u + v ) + w = (C - A) + (D - C) = (D - A) 2.º membro: ( v + w ) = (C - B) + (D - C) = (D - B) u + ( v + w ) = (B - A) + (D - B) = (D - A) Então: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (qed) u + 0 = u Dado um vetor u, existe um único vetor indicado por - u, tal que : u + (- u ) = 0 O vetor ( - u ) é o vetor oposto de u. u + v = u + w v = w Regra do paralelogramo: II. Associativa: III. Elemento neutro: lV. Elemento oposto: V. Lei do cacelamento: OBSERVAÇÃO: ⇒ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte; o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal. Exemplos: Dados u, v e w , obter graficamente a soma: Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. Dados os vetores u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ), então u + v = (x + x , y + y , z + z ). u + v = v + u Demonstração: Considere as imagens geométricas dos vetores u e v representados na figura. b) Sob a forma de triplas: c) Propriedades I. Comutativa: 1 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 → w → v → u → w → u →→ u + w → w → v → u → w → v →→ v + w Dados a) u + w = ? b) v + w = ? c) u + v + w = ? A B D C → v → v → u → u A B C D → w → v → u 8. SUBTRAÇÃO DE VETORES a) Definição Dados os vetores u e v, definimos a diferença u - v por: → → → → → → → → → → → 1.º membro: u + v = (B - A) + (C - B) = (C - A) 2.º membro: v + u = (D - A) + (C - D) = (C - A) donde u + v = v + u (cqd) → → → → → → → → → → u - v = u + (- v). Conseqüência A diagonal do paralelogramo cons- truído sobre as imagens geométricas de u e v representa a soma u + v . Sabe-se que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas. Para a "regra do paralelogramo" construído sobre as imagens geométricas de u e v de mesma origem A, adota-se a diagonal que contém o ponto A. A "regra do paralelogramo" é muito usual na composição de forças em Mecânica. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Demonstração : Sejam u, v e w vetores dados. 1.º membro: ( u + v ) = (B - A) + (C - B) = (C - A) ( u + v ) + w = (C - A) + (D - C) = (D - A) 2.º membro: ( v + w ) = (C - B) + (D - C) = (D - B) u + ( v + w ) = (B - A) + (D - B) = (D - A) Então: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (qed) u + 0 = u Dado um vetor u, existe um único vetor indicado por - u, tal que : u + (- u ) = 0 O vetor ( - u ) é o vetor oposto de u. u + v = u + w v = w Regra do paralelogramo: II. Associativa: III. Elemento neutro: lV. Elemento oposto: V. Lei do cacelamento: OBSERVAÇÃO: ⇒ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 04. 05. 06. Nos cubos abaixo, representar a soma dos vetores indicados. a) b) Resp.: a) (G - A) b) (E - A) No tetraedro e no paralelepípedo retângulo, achar a soma dos vetores representados por suas imagens geométricas. a) b) Resp.: a) (D - A) b) (E - O) No hexágono regular, obter: a) (B - A) + (E - F) + (F - A) b) (D - A) - (E - A) + (E - B) Resp. : a) (D - A) b) (D - B) 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: Resp. : a) (0, 11, 13) b) (1, 9, 7) Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular: Resp.: a) (2, 6, -2) b) (-14, -12, - 4) Sendo A = (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar D = (x, y, z ) tal que BD = AB+CB. Resp. : D = (-3, 7, -7 ) Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3). Resp. : BA= (1 , 5, -1) Conhecendo-se u = (1 , 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcu- lar os escalaresm,nepemmu+nv+pw=(0,0,14). Resp.: m = -1, n = 5, p = -1 Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a: Resp.: (-2, 2, -3) Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5). A B CD E F GH A B CD F GH E A B D C A B CO D G E F A B C D EF → w → v → u a) 2u - v + 4w b)3(u + v) -2(2v - w) a) A + v b) 2A - 3B - v→ → → → → →→ → → → → Resp.: x = (1, 0, -5)→ → →→→→→ Jacir. J. Venturi 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar: Resp. : a) (0, 11, 13) b) (1, 9, 7) Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular: Resp.: a) (2, 6, -2) b) (-14, -12, - 4) ( ) Sendo A = 2, 0, 1 , B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB. Resp. : D = (-3, 7, -7 ) Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3). Resp. : BA= (1 , 5, -1) Conhecendo-se u = (1 , 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcu- lar os escalares m, n e p em mu + nv + pw = (0, 0, 14). Resp.: m = -1, n = 5, p = -1 Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a: Resp.: (-2, 2, -3) Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5). a) b) a) B) ® w ® v ® u a) 2u - v + 4w b)3(u + v) -2(2v - w) a) A + v b) 2A - 3B - v ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® Resp.: x = (1, 0, -5) ® ® ® ® ® ® ® 76 9. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 10. EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR Considere os vetores u , u , u , … u e os escalares k , k , k , … k . Diz-se que v é de quando escritos sob a forma de: Seja x, y e z um sistema carte- siano ortogonal. Convencionou-se representar por i, j e k, nesta ordem, os versores dos eixos cartesianos ortogonais x, y e z. Então: i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) E pela definição de versor, que possuem módulo unitário, tem-se: | i | = | j | = | k | = 1 1 2 3 n 1 2 3 n combinação linear a) u , u , u , … u1 2 3 n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 14. 15. Calcular P tal que . Dados A = (-1, -1, 0) e B = (3, 5, 0). Resp.: Sabendo-se que u e v são perpendiculares tais que | u | = 5 e | v | = 12, calcular | u + v | e | u - v |. Resp.: 13 e 13 AB 3 2AP = → k j → → i y x O z x y z z Pz Px x O y P Py → v c) Exemplos Do paralelepípedo retângulo obtém-se: A B C D G E O F 4 3 2 z y x v = k u + k u + k u + … k u1 1 2 2 3 3 n n OBSERVAÇÃO: →→→→→ →→→ →→ → → →→ → → →→ → → → →→→ → →→ → →→→ (P - O) = x i (P - O) = y j (P - O) = z k tem-se x y z → → → → → → →→→→ → Os versores i, j e k constituem uma base ortonormal de E por ser formada de vetores unitários e mutuamente ortogonais. Considere-se um pontoP=(x, y, z ) do espaço tridimensional e i, j e k os versores dos eixos carte- sianos ortogonais x, y e z. O vetor v =(P O) tem origem em O e extremidade em P e pode ser ex- presso como de i, j e k. Do paralelepípedo re- presentado na figura ao lado ob- tém-se: (P - O) = (P - O) + (P -O)+(P -O) como (P O)= v = x i + y j + zk denominada do vetor (P - O), onde x, y e z são as x i , y j e zk as do citado vetor. O vetor v re- presenta a diagonal do paralelepípedo reto, cujas arestas são os vetores coordenadas x i , y j e zk. Em particular o vetor (P - O) pode ter imagem geométrica num dos planos cartesianos. Por exemplo, se (P - O) estiver no plano xy, a 3.ª coordenada é nula: (P - O) = x i + y j. 3 z b) combinação linear expressão cartesiana coordenadas componentes − x y - OBSERVAÇÃO: (A - O) = 2 i (C - O) = 4 j (G - O) = 3k (B - O) = 2i + 4j (D - O) = 2i + 3k (F - O) = 4j + 3k (E - O) = 2 i + 4 j + 3k → → →→ →→ →→ →→ → → →      = 0,3, 3 5P ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 11. CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES a) Teorema linearmente b) Vetores representados por pontos Dois vetores não nulos u e v são paralelos se, e somente se, existir umescalar k tal que: v = ku Podemos afirmar que v é expresso emfunção de u. Demonstração: 1) Sendo u e v paralelos, os seus versores só podem diferir quan- to ao sentido: vers v = ± vers u ou Como é umnúmero real, chamemo-lo de k. Donde v = ku (cqd) 2) Reciprocamente, se v = ku, então v é paralelo a u, pela defini- ção de produto de vetor por escalar. A igualdade persiste se os vetores forem representados por pontos. Seja u = (B - A) e v = (C - D), então: (C - D) = k(B - A) Exemplos: Enfatizando o paralelismo dos vetores representados por suas imagens geométricas, podemos afirmar que: Sejam u = (x , y , z ) e v = (x , y , z ). Pelo teorema, u é paralelo a v se, e somente se, existir um número real k tal que v = ku; ou ainda, (x , y , z ) = k(x , y , z ). Explicitando o k, obtém-se a condição de para- lelismo dos vetores u e v : A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do correspondente numerador. Exemplo: São paralelos os vetores u = (3, 2, 0) e v = (6, 4, 0). Na figura ao lado, u = (A - O) e v = (B - O). Observe que v = 2u, e que em particular os vetores u e v têm imagens geométricas no pla- no xy. c) Vetores representados por triplas Convenção: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Q P A B M N )NM( 3 2)AB( )QP(3)NM( )AB( 2 1)QP( )QP(2)AB( −−=− −−=− −=− −=− x x y y z z ( k)2 1 2 1 2 1 = = = x z 6 3 O 2 4 A B y → →→ → →→ u v ± → → →→ u u vvou u u v v ±=±= → → →→ → → → → → →→ →→→→ →→ →→→ → → → → → → → →→ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Exercícios “Sempre se ouvirão vozes em discordância, expressando oposição sem alternativa; discutindo o errado e nunca o certo; encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer influência sem aceitar responsabilidades." SUGESTÃO: John F. Kennedy (1917 - 1963), presidente dos E.U.A. Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores : a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20) b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6) c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k Resp. : a) x = - 6 b) x = 4 c) x = 6 Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coordenadas do vértice D. Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15) Resp.: D = (2, 7) Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or- dem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e D = (-1, 0, 2). Resp.: A = (3, 4, 6) Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são colineares. Por exemplo: os vetores (C - A) e (B - A) devem ser paralelos. 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. Série B Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e C = (5, -13, 11) são colineares. Resp.: x = 2 e y = - 4 Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O). Resp.: (P - O) = 2i + 4j - k Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3), E = (5, 4, 1) e F = (5, 5, 3), pede-se os vértices A e G. Resp.: A = (1, 1, 1) G = (6, 8, 5) "Uns nasceram para o martelo, outros para a bigorna." (François M. Voltaire (1694-1778), escritor francês.A B C x 2 o –1 4 y P z A B C D E H F G →→→→→→→→ → →→ → ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Exercícios “Sempre se ouvirão vozes em discordância, expressando oposição sem alternativa; discutindo o errado e nunca o certo; encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer influência sem aceitar responsabilidades." SUGESTÃO: John F. Kennedy (1917 - 1963), presidente dos E.U.A. Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores : a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20) b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6) c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k Resp. : a) x = - 6 b) x = 4 c) x = 6 Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coordenadas do vértice D. Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15) Resp.: D = (2, 7) Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or- dem escrita. Achar o vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e D = (-1, 0, 2). Resp.: A = (3, 4, 6) Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são colineares. Por exemplo: os vetores (C - A) e (B - A) devem ser paralelos. 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. Série B Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e C = (5, -13, 11) são colineares. Resp.: x = 2 e y = - 4 Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O). Resp.: (P - O) = 2i + 4j - k Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3), E = (5, 4, 1) e F = (5, 5, 3), pede-se os vértices A e G. Resp.: A = (1, 1, 1) G = (6, 8, 5) "Uns nasceram para o martelo, outros para a bigorna." (François M. Voltaire (1694-1778), escritor francês.A B C x 2 o –1 4 y P z A B C D E H F G →→→→→→→→ → →→ → "Segue sempre quem te dá pouco, e não quem muito te promete." SUGESTÃO: Provérbio chinês Calcular sabendo-se coplanares os vetores: a) u = (1, 3, 0), v = (2, 1, 4) e w = (3, 4, a) b) u = ai - 3j, v = aj + k e w = i + j + k Resp.: a) 4; b) Provar que os pontos A = (4, 5, 1 ), B = (- 4, 4, 4), C = (0, -1, -1) e D = (3, 9, 4) são coplanares. O determinante das coordenadas dos vetores (B - A), (C - A) e (D - A) é nulo. Dados u = 2i, v = i + j + k e w = -2i + 6j + 6k, exprimir w como combinação linear de u e v. Resp.: w = - 4u + 6v Sendo u = (0, 2, -1), u = (0, 1, 3) e v = (0, 3, 0) exprimir v como combinação linear de u e u . Resp.: Exprimir w = (-2, 6, 2) como combinação linear de u = (2, 0, 0) e v = (1, 1, 1). Resp.: impossível OBS.: De fato, os vetores u, v e w não são coplanares. a 1 2 1 2 01. 02. 03. 04. 05. Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Ou seja, se e somente se, v for de u e u , sendo k e k escalares. Demonstração: Sejam v, u , u vetores coplanares, (B - A) a imagem geométrica do vetor v. Pela ori- gem A conduzimos uma para- lela ao vetor u , e pela extremi- dade B, uma paralela a u . C é o ponto de intersecção de tais paralelas. Então: (C - A) = k u (B - C) = k u Da figura: (B - A) = (C - A) + (B - C) Substituindo: v = k u + k u (qed) Reciprocamente, é passível de demonstração: se v = k u + k u então os vetores v, u e u são coplanares. Três vetores v = (x , y , z ), v = (x , y , z ) e v = (x , y , z ) são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois. lpso facto, o seu determinante deve ser nulo: Exemplo: Os vetores u = (2, 3, 5), v = (3, 0, -1) e w = (7, 6, 9) são coplanares. combinação linear b) Coplanaridade de vetores representados por triplas 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3 → u1 → u1 → u2 → u2 → v B A C x y z x y z x y z 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 = 1 13 2 ± SUGESTÃO: w = k u + k v então (-2, 6, 6) = k (2, 0, 0) + k (1, 1, 1) 1 2 1 2 )uu3( 7 3v 21 += → → →→ → →→→→→ →→ → → → → → → →→→ →→ →→→→→→→ → → →→→→→→→→→ → → → → →→ → → → → "Segue sempre quem te dá pouco, e não quem muito te promete." SUGESTÃO: Provérbio chinês Calcular sabendo-se coplanares os vetores: a) u = (1, 3, 0), v = (2, 1, 4) e w = (3, 4, a) b) u = ai - 3j, v = aj + k e w = i + j + k Resp.: a) 4; b) Provar que os pontos A = (4, 5, 1 ), B = (- 4, 4, 4), C = (0, -1, -1) e D = (3, 9, 4) são coplanares. O determinante das coordenadas dos vetores (B - A), (C - A) e (D - A) é nulo. Dados u = 2i, v = i + j + k e w = -2i + 6j + 6k, exprimir w como combinação linear de u e v. Resp.: w = - 4u + 6v Sendo u = (0, 2, -1), u = (0, 1, 3) e v = (0, 3, 0) exprimir v como combinação linear de u e u . Resp.: Exprimir w = (-2, 6, 2) como combinação linear de u = (2, 0, 0) e v = (1, 1, 1). Resp.: impossível OBS.: De fato, os vetores u, v e w não são coplanares. a 1 2 1 2 01. 02. 03. 04. 05. Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi Ou seja, se e somente se, v for de u e u , sendo k e k escalares. Demonstração: Sejam v, u , u vetores coplanares, (B - A) a imagem geométrica do vetor v. Pela ori- gem A conduzimos uma para- lela ao vetor u , e pela extremi- dade B, uma paralela a u . C é o ponto de intersecção de tais paralelas. Então: (C - A) = k u (B - C) = k u Da figura: (B - A) = (C - A) + (B - C) Substituindo: v = k u + k u (qed) Reciprocamente, é passível de demonstração: se v = k u + k u então os vetores v, u e u são coplanares. Três vetores v = (x , y , z ), v = (x , y , z ) e v = (x , y , z ) são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois. lpso facto, o seu determinante deve ser nulo: Exemplo: Os vetores u = (2, 3, 5), v = (3, 0, -1) e w = (7, 6, 9) são coplanares. combinação linear b) Coplanaridade de vetores representados por triplas 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3 → u1 → u1 → u2 → u2 → v B A C x y z x y z x y z 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 = 1 13 2 ± SUGESTÃO: w = k u + k v então (-2, 6, 6) = k (2, 0, 0) + k (1, 1, 1) 1 2 1 2 )uu3( 7 3v 21 += → → →→ → →→→→→ →→ → → → → → → →→→ →→ →→→→→→→ → → →→→→→→→→→ → → → → →→ → → → → ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 06. Considere a figura e expresse (P - B) como combinação linear de (A-B)e (C-B). Resp.:(P-B)=HC-B)+S(A-B) SUGESTÃO: (P-A)=2(C-P)onde (P-A)=(P-B)-(A-B) e (C-P)=(C-B)-(P-B) 07. Sendo P o ponto médio do lado BC do triângulo ABC, conforme afigura, exprimir (P-A) como combinação linear de (B-A)e(C-A). 1 1 Resp.:(P-A)=5(B- A)+5(C- A) 13. COMBINAÇÃO LINEAR DE4VETORES Teorema Sejam 3 vetores do espaço tridimensional u,, u, e u,, não nulos e não coplanares, então qualquer vetor v pode ser expresso como combi- nação linear deu, u,eu,: V=kd, + kd, + ki, ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi 02. 03. 14. ÂNGULO DE DOIS VETORES Sendo P o vértice de uma pirâmide cuja base é o para- lelogramo ABCD, exprimir (D - P) como combinação linear de (A - P), (B - P) e (C - P). Resp.: (D - P) = (A - P) + (C - P) - (B - P) Faça a figura, onde (D - A) = (C - B) ou (D - P) - (A - P) = (C - P) - (B - P) No tetraedro OABC, P é o ponto médio de . Exprimir (P - A) como combinação linear de (A - O), (B - O) e (C - O). Resp.: O ângulo 0º 180 de dois vetores u e v, é o ângulo formado entre suas direções, levando-se emconsideração os sentidos de u e v . Exemplos: SUGESTÃO: ≤ θ ≤ º BC )OA()OC( 2 1)OB( 2 1)AP( −−−+−=− A B C O P → v → u0º < < 90ºθ → v → u90º < < 180ºθ → v → → u → θ = 90º (u e v são ortogonais) θ = 0º (u e v são equiversos) → v → u →→ θ = 180º (u e v são contraversos) → → u θ → v → → u θ 0º < < 90ºθ → v → → 15. MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR a) Símbolo: b) Definição c) Sinal do produto interno u . v A notação acima é devida ao físico norte-americano J. W. Gibbs (1839 - 1903). Representa-se também u x v. (notação em desuso) O produto interno ou escalar de dois vetores u e v é o número (escalar) tal que: Onde é a medida do ângulo formado entre os veto- res u e v. A operação de multiplicação escalar foi criada por Grassmann. u . v > 0 indica que cos >0, o que ocorre quando é ângulo agu- do. Se u . v < 0, então é ângulo obtuso. OBSERVAÇÃO: OBSERVAÇÃO: 0º 180º≤ θ ≤ θ θ θ → → u . v = | u | | v | cos θ→ → → → → h) Propriedades do produto escalar: I. Comutativa: u . v = v . u II. Associativa emrelação à multiplicação por umescalar k: III. Distributiva emrelação à adição de vetores: Seja u* o versor do vetor u . A última igualdade não se altera se a multiplicarmos por | u*|. A A igualdade persiste com u* = : ou Se o ângulo entre u e v for agudo, a medida algébrica da projeção será positiva. Se obtuso, negativa. Exemplo: Dados | u | = 3 e | v | = 2 e uv = 60 , achar a da projeção do vetor v sobre u . 'B' = | u*| | v | cos θ o medida ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi d) Nulidade do produto escalar e)Módulo de um vetor f) Ângulo de dois vetores g) Interpretação geométrica do produto escalar medida algébrica u . v = 0, se: I) um dos vetores for nulo; II) os dois vetores forem ortogonais, pois cos 90º = 0. O módulo de um vetor u pode ser calculado através do produto interno, pois: u . u = | u | | u | cos 0 Donde: | u | = u . u | u | = u . u O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial, isolando-se o cos na fórmula do produto escalar: Na figura A'B' é a da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u. Em símbolos: Do triângulo retângulo AB'B: º A'B' = projuv A'B' = AB cos = | v | cos 2 ⇒ θ θ θ → v → u → u A’ A θ B B’ → v → u → u 60º u . v | u | | v |cos =θ → → → → → u . v = | u | projuv Resolução: u . v = | u | | v | cos 60 = (3) (2) = 3 o projuv = = u . v 3 | u | 3 k (u . v) = (ku) . v = u . (kv) u . (v + w) = u . v + u . w → → → → → → → u | u |       2 1 projuv = → →→u . v | u | h) Propriedades do produto escalar: I. Comutativa: u . v = v . u II. Associativa em relação à multiplicação por um escalar k: III. Distributiva em relação à adição de vetores: Seja u* o versor do vetor u . A última igualdade não se altera se a multiplicarmos por | u*|. A A igualdade persiste com u* = : ou Se o ângulo entre u e v for agudo, a medida algébrica da projeção será positiva. Se obtuso, negativa. Exemplo: Dados | u | = 3 e | v | = 2 e uv = 60 , achar a da projeção do vetor v sobre u . 'B' = | u*| | v | cos θ o medida ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi d) Nulidade do produto escalar e)Módulo de umvetor f) Ângulo de dois vetores g) Interpretação geométrica do produto escalar medida algébrica u . v = 0, se: I) umdosvetoresfornulo; II) os dois vetores forem ortogonais, pois cos 90º = 0. O módulo de um vetor u pode ser calculado através do produto interno, pois: u . u = | u | | u | cos 0 Donde: | u | = u . u | u | = u . u O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial, isolando-se o cos na fórmula do produto escalar: Na figura A'B' é a da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u. Em símbolos: Do triângulo retângulo AB'B: º A'B' = projuv A'B' = AB cos = | v | cos 2 ⇒ θ θ θ → v → u → u A’ A θ B B’ → v → u → u 60º u . v | u | | v |cos =θ → → → → → u . v = | u | projuv Resolução: u . v = | u | | v | cos 60 = (3) (2) = 3 o projuv = = u . v 3 | u | 3 k (u . v) = (ku) . v = u . (kv) u . (v + w) = u . v + u . w → → → → → → → u | u |       2 1 projuv = → →→u . v | u | e) o vetor w como combinação linear de u e v. Resp.: w = - u + v w = k u + k v 1) multiplique escalarmente por u 2) multiplique escalarmente por v Determinar o ângulo uv, sabendo-se que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = 4. Resp.: uv = arc cos u + v = - w ou (u + v) . (u + v) = (-w) . (-w) Provar a lei dos co-senos: c = a +b - 2ab cos Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo. Dados | u | = , | v | = 1 e uv = Resp.: = arc cos As diagonais são u + v e u - v. Então seu produto interno é (u + v) . (u - v) = |(u + v)| |(u - v)| cos SUGESTÃO: SUGESTÃO: SUGESTÃO: SUGESTÃO: 1 2 2 2 2 θ θ θ θ 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c, sabendo-se que | a | = | b | = | c | = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogo- nais. Resp.: Sendo u, v e w mutuamente ortogonais, demonstrar que: a) | u + v | = | u | + | v | b) | u + v + w | = | u | + | v | + | w | Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo | a | = e | b | = Resp.: Como c = a - b faça o produto escalar entre b e a - b. Na figura estão representadas as imagens geométricas dos vetores u, v e w. Sendo | u | = | v| = 2 e | w | = 4 escrever w como combina- ção linear de u e v. Resp. : w = - 2(u + v) Sabendo-se que os vetores u, v e w formam dois a dois ângu- los de 60º e tais que | u | = 4, | v | = 2 e | w | = 1. Achar o módulo do vetor s = u + v + w. Resp: | s | = 2 2 2 2 2 2 2 θ SUGESTÃO: ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi → a → b → c θ 3 π 6 5π → a → b → c 60º → w → v → u 120º 120º 120º c = a - b c . c = (a - b) . (a - b) | c | = | a | + | b | - 2a . b | c | = | a | + | b | - 2| a | | b | cos 2 2 2 2 2 2 θ → → → → → → → → → → → → → → → → → → 3 32 4 1 7 72 3 6 π SUGESTÃO: Desenvolva o produto interno: s . s = (u + v + w) . (u + v + w) → → → → → → → → → → → → → → → → → → 2 .22 35 e) o vetor w como combinação linear de u e v. Resp.: w = - u + v w = k u + k v 1) multiplique escalarmente por u 2)multiplique escalarmente por v Determinar o ângulo uv, sabendo-se que u + v + w = 0, | u | = 2, | v | = 3 e | w | = 4. Resp.: uv = arc cos u + v = - w ou (u + v) . (u + v) = (-w) . (-w) Provar a lei dos co-senos: c = a +b - 2ab cos Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo. Dados | u | = , | v | = 1 e uv = Resp.: = arc cos As diagonais são u + v e u - v. Então seu produto interno é (u + v) . (u - v) = |(u + v)| |(u - v)| cos SUGESTÃO: SUGESTÃO: SUGESTÃO: SUGESTÃO: 1 2 2 2 2 θ θ θ θ 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c, sabendo-se que | a | = | b | = | c | = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogo- nais. Resp.: Sendo u, v e w mutuamente ortogonais, demonstrar que: a) | u + v | = | u | + | v | b) | u + v + w | = | u | + | v | + | w | Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo | a | = e | b | = Resp.: Como c = a - b faça o produto escalar entre b e a - b. Na figura estão representadas as imagens geométricas dos vetores u, v e w. Sendo | u | = | v| = 2 e | w | = 4 escrever w como combina- ção linear de u e v. Resp. : w = - 2(u + v) Sabendo-se que os vetores u, v e w formam dois a dois ângu- los de 60º e tais que | u | = 4, | v | = 2 e | w | = 1. Achar o módulo do vetor s = u + v + w. Resp: | s | = 2 2 2 2 2 2 2 θ SUGESTÃO: ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi → a → b → c θ 3 π 6 5π → a → b → c 60º → w → v → u 120º 120º 120º c = a - b c . c = (a - b) . (a - b) | c | = | a | + | b | - 2a . b | c | = | a | + | b | - 2| a | | b | cos 2 2 2 2 2 2 θ → → → → → → → → → → → → → → → → → → 3 32 4 1 7 72 3 6 π SUGESTÃO: Desenvolva o produto interno: s . s = (u + v + w) . (u + v + w) → → → → → → → → → → → → → → → → → → 2 .22 35 16. EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO ESCALAR De extraordinária importância é a expressão cartesiana de u . v Num sistema cartesiano ortogonal são conhecidos os vetores u e v por suas expressões cartesianas: No entanto: i . i = j . j = k . k = | i | = | j | = | k | =1 i . j = i . k = j . k = 0 Donde: u . v = x x + y y + z z que a do produto escalar. Desta também se pinça a condição de de u e v : u v e também o de um vetor: | u | = u . u = x + y + z Geometricamente, o módulo é a medida da diagonal de um para- lelepípedo reto. Dedução: é expressão cartesiana ortogonalidade módulo 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ⊥ ⇔ x x + y y + z z = 01 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi u = x i + y j + z k v = x i + y j + z k 1 1 1 2 2 2 u . v = (x i + y j + z k) . ( x i + y j + z k) = x x i . i + x y i . j + x z i . k + + x y i . j + y y j . j + y z j . k + + x z i . k + y z j . k + z z k . k 1 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 10 32 32 30 4 30 4 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 1) 2) 3) 4) (10) .