Determinação da inclinação e deflexão flexional de um eixo escalonado

Determinação da inclinação e deflexão flexional de um eixo escalonado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DISCIPLINA: Mecânica dos Materiais

PROFESSOR: Sônia Goulart de Oliveira

Nomes:

Trabalho 2 – Determinação da inclinação e deflexão

Antônio Ricardo Fernandes Zaiden Bruno Alexandre Roque Guilherme Augusto de Oliveira Luis Paulo Pettersen P. Coelho

DISCIPLINA: Mecânica dos Materiais

Aplicada PROFESSOR: Sônia Goulart de Oliveira

Determinação da inclinação e deflexão um eixo escalonado

Antônio Ricardo Fernandes Zaiden
P. Coelho

Guilherme Augusto de Oliveira Uberlândia, 0

Determinação da inclinação e deflexão flexional de Uberlândia, 07 de Julho de 2010

Resumo

Neste trabalho, apresenta-se um eixo escalonado bi-apoiado, com dimensões e carregamentos que devem ser determinados arbitrariamente pelo grupo, e pede-se para calcular a deflexão flexional e a inclinação ao longo do comprimento do eixo. Para tal, deve-se escolher um método de cálculo dentre os que serão citados no desenvolvimento teórico. Através de um programa escrito e compilado no software computacional MATLAB, e baseando-se na integração dos gráficos (cálculo das áreas) obteve-se a inclinação e a deflexão. Os gráficos contidos neste trabalho facilitarão o entendimento dos cálculos, bem como a interpretação de resultado dos mesmos. Os resultados obtidos foram comparados com os fornecidos pelo software Viga G, executados em calculadoras portáteis HP 50 G.

Índice

1. Introdução 04 2. Desenvolvimento Teórico 04 2.1. Cálculo da deflexão de viga pelo Método da Superposição 07 2.2. Cálculo de deflexão de viga por Funções de Singularidade 09 2.3. Métodos de Energia – Energia de Deformação 10 2.4. Teorema de Castigliano 14 3. Apresentação do problema a ser estudado 16 4. Resolução do Problema 17 5. Conclusões 2 6. Anexos 23 Bibliografia 25

1. Introdução

Vigas defletem muito mais que membros carregados axialmente, e o problema de flexão ocorre provavelmente com mais freqüência que qualquer outro de carregamento em projeto.

Eixos fixos ou rotativos, virabrequins, alavancas, molas, cantoneiras e rodas, assim como muitos outros elementos, devem freqüentemente ser tratados como vigas no projeto e análise de estruturas mecânicas e sistemas [1]. Por isso, a determinação da deflexão flexional e da inclinação máxima em eixos é de extrema importância, visto que tais fatores podem acarretar na falha do sistema mecânico. A seguir, serão mostrados alguns métodos que possibilitam o cálculo da deflexão flexional e da inclinação.

2. Desenvolvimento Teórico

A teoria elaborada a seguir foi baseada no texto do livro Shigley, Joseph E. – Projeto de

Engenharia Mecânica, Bookman, 2005. A expressão para a curvatura de uma viga submetida a um momento flexor é dada por:

Onde é o raio de curvatura, é o momento flexor, é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia de área da seção transversal. Através de estudos anteriores, obteve-se que a curvatura de uma plana é fornecida pela equação:

Interpretando que é a deflexão da viga em qualquer ponto ao longo de seu comprimento. A inclinação dessa viga para qualquer ponto é:

Para diversos problemas de flexão, a inclinação é muito pequena, e para tais casos, o denominador da equação (2) pode ser considerado unitário. A equação (1) pode então ser descrita como:

(4) A força cortante e o momento flexor são relacionados pela equação:

(5) Diferenciando a equação (5), tem-se:

Algumas vezes, a flexão é causada por uma carga distribuída Tal carga distribuída é denominada intensidade de carga, com unidades de força por unidade de comprimento e é positiva na direção positiva. A equação (6) acima pode ser igualada ao .

Relacionando as equações (5) e (6) e derivando de forma sucessiva a equação (4), tem-se:

É conveniente apresentar essas equações em grupo, como segue: (8)

deflexão transversalAs vigas têm intensidades de carregamento que variam de constante
concentradas)

As equações (8) a (12) são fundamentais para relacionar a intensidade do carregamento , a força cortante vertical , o momento flexor , a inclinação da superfície neutra e a (carregamento uniforme), intensidade variável , a funções de Dirac delta (cargas

A intensidade de carregamento geralmente consiste em zonas contiguas por partes, cujas expressões são integradas por meio das equações (8) a (12), com graus variados de dificuldade. Outra abordagem é representar a deflexão como uma série de Fourier, algo capaz de representar funções de valor único por meio de um número finito de descontinuidades finitas, então diferenciando inteiramente desde as equações (12) a (8) e parando em algum nível no qual os coeficientes de Fourier possam ser avaliados. Um fator de complicação é a natureza contínua por parte de algumas vigas (eixos) que são corpos de diâmetros escalonados. Tudo o que foi exposto até agora, trata de métodos formais de integração, os quais, com problemas adequadamente selecionados, resultam em soluções para .

Essas soluções podem ser: Soluções fechadas (analíticas), ou representadas por séries infinitas, que equivalem à forma fechada se essas séries forem rapidamente convergentes, ou aproximações obtidas ao avaliar o primeiro e o segundo termos.

As soluções em série podem ser escritas convenientemente na forma equivalente à solução fechada através de um software computacional, como, por exemplo, o MatLab. Existem muitos métodos para resolver o problema de integração para a deflexão da viga. Alguns dos métodos mais populares incluem o seguinte:

• Superposição; • O método momento-área;

• Funções de singularidade;

• Integração numérica.

Existem métodos que não lidam com as equações (8) a (12) diretamente. Um método de energia, baseado no teorema de Castigliano, é muito poderoso para problemas inapropriados para os métodos citados neste trabalho anteriormente.

2.1. Cálculo da deflexão de viga pelo Método da Superposição

Para o cálculo da deflexão de viga pelo método da superposição, pode-se usar o conjunto de tabelas A-9, contidas no livro Shigley, Joseph E. – Projeto de Engenharia Mecânica, Bookman, 2005.

As tabelas abaixo foram retiradas do site do PET da Engenharia Mecânica da UFF, e trazem algumas flechas e deflexões de vigas hiperestáticas e isoestáticas:

Tabela 1 - Flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas [2].

Viga

Carregamento e Vinculação (comprimento L)

Deflexão angular na extremidade Flecha Máxima

+ f

f ϕ

4 ϕ = + ML / EI f = + ML2 / 2 EI

8 ϕΑ = - ML / 6 EI ϕΒ =+ ML / 3 EI f = - ML2 / 9√3 EI para xm = L / √ 3

Tabela 2 - Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas [2].

Viga

Carregamento e Vinculação (comprimento L)

Reações Vinculares e Momentos

Máximos

Flecha Máxima + ↑ f M a b q xm ϕΒ ϕΑ f= f ϕΒ ϕΑ f ϕΒ ϕΑ

f P

2.2. Cálculo de deflexão de viga por Funções de Singularidade

As funções de singularidade são excelentes para manejar descontinuidades. Utilizando essas funções, expressões gerais tabeladas para a força cortante e o momento flexor em vigas podem ser descritas quando a viga é carregada por forças ou momentos concentrados. O quadro abaixo traz as funções de Singularidade:

M L/2 M

B A f f q

Figura 1 - Funções de Singularidade para o cortante e momento flexor [1].

2.3. Métodos de Energia - Energia de Deformação

Enquanto as outras formulações se baseiam no método newtoniano da mecânica dentro do qual o equilíbrio estático é representado de maneira vetorial, esta alternativa utiliza o método Lagrangeano, que usa funções escalares, baseados em conceitos de trabalho e energia.

O trabalho externo feito sobre um membro elástico para deformá-lo é transformado em energia de deformação, ou energia potencial. Se o membro é deformado de uma distância , essa energia é igual ao produto da força média pela deflexão, ou seja:

A equação (13) é geral na medida em que a força também pode significar torque, ou momento, contanto que, naturalmente, unidades consistentes sejam utilizadas para o !. Substituindo as expressões apropriadas de !, fórmulas de energia de deformação para vários carregamentos simples podem ser obtidas. Para tração e compressão, assim como para torção, por exemplo, utilizam-se as equações:

A deflexão angular de uma barra circular uniforme submetida a um momento torcional $ é dado por:

Onde % é o módulo de rigidez, e & é o momento polar de inércia.

A equação (15) é rearranjada e chega-se na relação:

Relacionando as equações (13) à (16), chegam-se as seguintes expressões, para tração, compressão e torção, respectivamente:

Para a obtenção de uma expressão para a energia de deformação decorrente de cisalhamento direto, considere o elemento com um lado fixo da figura 2, mostrada a seguir. A força põe tal elemento sob estado de cisalhamento puro, e o trabalho feito é:

(19) Uma vez que a deformação por cisalhamento é:

Para o cisalhamento direto tem-se a relação:

Figura 2 – Elemento da viga exposto a esforço e a sua respectiva deflexão [1].

A energia de deformação armazenada em uma viga ou alavanca sob forma flexional pode ser obtida referindo-se à figura 2(b). Na figura, "* é uma seção de uma curva elástica de comprimento + que tem um raio de curvatura . A energia de deformação armazenada nesse elemento da viga é:

Eliminando ρ da equação acima, utilizando a equação (1), tem-se:

Para pequenas deflexões, a aproximação + é pertinente. Desta forma, para a viga completa, em flexão:

Algumas vezes, a energia armazenada em uma unidade de volume - é uma quantidade útil. Dividindo-se as equações de energia de deformação acima citadas pelo volume total #" e estabelecendo-se " ./ para tração e compressão, 0 ) para o cisalhamento direto e $ & )10 para torção, obtém-se,respectivamente, para tração e compressão, cisalhamento direto, e torção:

É interessante observar, a partir das equações (26), que o desenvolvimento de uma alta tensão em um material com módulo baixo de elasticidade, ou rigidez, resultará na máxima quantidade de energia armazenada. A equação (25) será exata somente quando uma viga estiver sujeita à flexão pura. Mesmo quando o cisalhamento estiver presente, essa equação continuará a dar resultados bons, exceto para vigas muito curtas. A energia de deformação decorrente do carregamento de cisalhamento de uma viga é um problema complicado.

Uma solução aproximada pode ser obtida utilizando-se a equação (21) com um fator de correção cujo valor depende da forma da seção transversal. Se for utilizar 3 para esse fator e correção e para a força cortante, então a energia de deformação decorrente do cisalhamento em flexão será a integral da equação (21), ou:

A equação (27) é válida para o cisalhamento de flexão. Os valores de 3 estão listados na tabela 3, a seguir:

Tabela 3 – Fatores de correção da energia de deformação para o cisalhamento [1].

Forma da Secção Transversal da Viga Fator C

Retangular 1,2 Circular 1,1 Tubular de parede fina, circular 2,0 Secções em forma de caixa* 1,0 Secções estruturais* 1,0 (*) – Usar apenas a área da alma

2.4. Teorema de Castigliano

Uma surpreendentemente simples abordagem para análise da flexão é propiciada pelo método de energia denominado Teorema de Castigliano. Trata-se de uma forma única de analisar deflexões, sendo ainda mais útil para determinar reações de estruturas indeterminadas. Esse teorema Expressa que, quando forças atuam em sistemas elásticos submetidos a pequenos deslocamentos, o deslocamento correspondente a qualquer força, colinear com a mesma, é igual à derivada parcial da energia total de deformação com relação á força. Os termos força e deslocamento nessa afirmação são interpretados de maneira ampla, de modo a significar igualmente a momentos e deslocamentos angulares. Matematicamente, o teorema de Castigliano é:

Onde '6 é o deslocamento do ponto de aplicação da força 6, na direção de 6. Para deslocamento rotacional, a equação (28) pode ser escrita como:

Onde 6 é o deslocamento rotacional, em radianos, do momento 6, na direção de 6.

Aplicando a equação (28) para calcular as deflexões axiais e torcionais, respectivamente, temse:

O teorema de castigliano pode ser usado para determinar a deflexão de em um ponto, mesmo quando nenhuma força ou momento atuarem sobre ele. O procedimento é o seguinte:

1. Escreve-se a equação para a energia total de deformação , incluindo a energia decorrente da força ou do momento fictício 96, atuando no ponto cuja deflexão pretende-se determinar. 2. Deve-se encontrar uma expressão para a deflexão desejada '6, na direção de 96, calculando a derivada da energia total da deformação com respeito a 96. 3. Visto que 96 é uma força fictícia, deve-se solucionar a expressão obtida no passo 2 igualando 96 a zero, Logo:

3. Apresentação do problema a ser estudado

Usando a teoria descrita anteriormente, será utilizado um método para a determinação da deflexão flexional e inclinação de um eixo escalonado e bi-apoiado submetido a forças e momentos concentrados, como mostrados na figura abaixo:

Figura 3 – Eixo escalonado, bi-apoiado exposto a forças e momentos concentrados

Para a resolução do problema, foram adotados os seguintes valores para as dimensões e carregamentos do eixo (Valores em m para comprimento e N para forças):

4. Resolução do problema

Para os valores dimensionais acima anteriormente citados, efetua-se o cálculo das reações de apoio do eixo bi-apoiado:

Para o cálculo dos momentos flexores, separa-se o eixo em três diferentes trechos:

Para a obtenção do cortante, utiliza-se a equação, em cada trecho:

Com as equações de (3) a (38), chega-se aos seguintes gráficos: Figura 4 – Diagrama de Momento Flexor ao longo do eixo escalonado

Figura 5 – Diagrama do Esforço Cortante ao longo do eixo escalonado

Como se trata de um eixo circular, o momento de inércia de área é dado por:

Relacionando se o momento de inércia de área , o módulo de elasticidade , o Momento flexor , tem-se, para cada trecho de diferentes diâmetros do eixo, a seguinte relação:

A figura abaixo mostra D O4 ao longo do comprimento do eixo:

Figura 6 – Relação entre D O4 e o comprimento do eixo

A relação P QR já foi calculada para cada trecho da viga. Através da equação abaixo, ao

Figura 7 – Inclinação do eixo ao longo de seu comprimento

As inclinações são negativas perto da extremidade esquerda do eixo e positivas na extremidade da direita, já para x aproximadamente igual a 260 m, a inclinação torna-se nula. Por isso, para obter-se valores consistentes da inclinação, deve-se igualar as áreas, tanto acima quanto abaixo do eixo, se estas forem iguais e de sinais opostos, a inclinação será zero.

Após a determinação da inclinação do eixo, é possível o cálculo da deflexãoDesta
forma, calcula-se a área que a inclinação faz com o eixoDeve-se atentar para o sinal do valor

da área. Desta forma, obtém-se o gráfico de deflexão do eixo ao longo de seu comprimento:

A deflexão máxima é de @ Y Z 1 e ocorre em N[ Z 1, como se mostra na figura a seguir:

Figura 8 – Deflexão Máxima ao longo da viga

5. Conclusões

Como já foi falado anteriormente, em muitas aplicações em engenharia, é necessário determinar os esforços máximos, inclinações e deflexões que uma peça sofre. Com estes dados, é possível um dimensionamento correto e uma escolha adequada do material para a construção de um componente. Com este trabalho, foi possível a análise da deflexão e inclinação ao longo do eixo, possibilitando-se determinar os pontos mais críticos. Os resultados aqui obtidos foram comparados aos conseguidos pelo programa Viga G, executado em uma calculadora gráfica HP 50 G. Tal comparação revelou que os resultados oferecidos pelo programa escrito em MATLAB, possuem uma grande precisão, sobretudo pelo grande número de pontos utilizados para os cálculos dos momentos e esforços cortantes ao longo do eixo, o que favorece a exatidão na determinação da inclinação e deflexão do eixo.

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