Elementos de máquinas III, Notas de estudo de Engenharia de Produção

Baixe Elementos de máquinas III e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA Disciplina de ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 ÍNDICE 1  MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 9  1.1  RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 9  2  CAMES .................................................................................................................................................. 13  2.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13  2.2  PROJETO GRÁFICO DE CAMES ........................................................................................................ 13  2.2.1  Came de Disco com seguidor Radial ................................................................................... 13  2.2.2  Came de disco com seguidor oscilante ................................................................................ 16  2.2.3  Came de Retorno Comandado ............................................................................................. 18  2.2.4  Came Cilíndrico ................................................................................................................... 18  2.2.5  Came Invertido ..................................................................................................................... 19  2.3  TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR ............................................................................................. 19  2.4  FABRICAÇÃO DE CAMES ................................................................................................................. 28  2.5  PROJETO ANALÍTICO DE CAMES ..................................................................................................... 29  2.5.1  Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana ........................................................... 30  2.5.2  Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete ................................................................... 35  2.5.3  Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete .............................................................. 44  2.6  EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 48  3  ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 50  3.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 50  3.2  PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 53  3.2.1  Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 53  3.2.2  Perfil Evolvental .................................................................................................................. 56  3.3  LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 59  3.4  ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 60  3.5  DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 64  4  ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS .................................................................... 67  4.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67  4.2  SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 70  4.3  ESPESSURA DO DENTADO ............................................................................................................... 75  4.4  FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 77  4.5  ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 80  4.6  CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 82  4.7  INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 83  4.7.1  Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 86  4.8  GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 86  4.9  MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 90  4.9.1  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 94  4.9.2  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 94  4.9.3  Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 94  4.9.4  Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 99  4.10  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA .......................................................... 104  4.11  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 105  4.11.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 106  4.11.2  Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 108  5  ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS .................................................... 109  5.1  CURVA HELICOIDAL ..................................................................................................................... 109  5.2  ENGRENAGENS ESCALONADAS .................................................................................................... 110  5.3  ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................. 111  5.4  PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ..................................................................... 112  5.5  CREMALHEIRA HELICOIDAL ......................................................................................................... 114  5.6  VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ............................................................................... 115  5.7  PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL ............................................................................................ 117  5.7.1  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos .................................................... 117  5.7.2  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos .................................................... 118  5.8  NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ................... 118  5.9  INTERFERÊNCIA ............................................................................................................................ 119  5.10  GRAU DE RECOBRIMENTO ............................................................................................................ 120  5.11  MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS ................................................................................................................................................... 121  5.11.1  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos ................................................ 121  5.11.2  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos .................................................. 121  5.12  TIPOS DE ENGRENAMENTOS .......................................................................................................... 122  5.12.1  Engrenamento “V0” (Vê zero) ........................................................................................... 122  5.12.2  Engrenamento “V” (vê) ..................................................................................................... 123  5.13  REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ....................................................................................... 125  5.14  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................. 125  5.15  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 126  5.15.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 127  5.15.2  Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 128  6  TRENS DE ENGRENAGENS ........................................................................................................... 129  6.1  GENERALIDADES .......................................................................................................................... 129  6.2  ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ................................................................................... 130  7  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ................................................... 132  7.1  EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................. 132  7.1.1  Efeitos dinâmicos ............................................................................................................... 134  7.2  DURABILIDADE SUPERFICIAL ....................................................................................................... 136  7.3  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 138  7.3.1  Tensões de Flexão .............................................................................................................. 138  7.3.2  Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 139  7.3.3  Tensão admissível .............................................................................................................. 140  7.3.4  Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 142  7.3.5  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 142  7.3.6  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 142  7.3.7  Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 143  7.3.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 144  7.3.9  Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 146  7.3.10  Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 146  7.3.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 146  7.3.12  Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 148  7.4  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ..................................................................................... 149  7.4.1  Tensões de Contato ............................................................................................................ 150  7.4.2  Resistência a Fadiga Superficial ....................................................................................... 150  7.4.3  Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 151  7.4.4  Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 153  7.4.5  Fator Razão de Dureza ZW (CH) ......................................................................................... 153  7.4.6  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 154  7.4.7  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 154  7.4.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 155  7.4.9  Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 156  7.4.10  Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 157  7.4.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 157  7.4.12  Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) ........................................................................... 159  7.4.13  Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 159  7.4.14  Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 160  8  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 162  em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V =Rω onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra peça. É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 :log e PM PO PO PM o PO PM PO PM ⋅= == ω ω ωω como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, eO Pn PO PM 22 2 = Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, fO Pn PO PM 33 3 = Assim, fO eO Pn eO fO Pn 3 22 32 3 =×= ω ω KO KO fO eO 3 2 3 2 2 3 == ω ω Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centros por sua interseção com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 Prof. Douglas Roberto Zaions A Figura 2.2 mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno da came é tangente às várias posições do rolete. Na Figura 2.2 pode-se ver também, que a linha de ação entre a came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor máximo deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente, esse valor máximo é de 30º. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo na construção gráfica de uma came, muitas vezes é difícil determiná-lo analiticamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um monograma para determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de cames. O ângulo de pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor mostrado na Figura 2.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de pressão aumentando-se o raio mínimo da came de modo que a trajetória do seguidor em relação à came seja para a mesma elevação. Isto eqüivale a aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa came com seguidor de rolete, o raio de curvatura de superfície primitiva deve ser maior do que o raio do rolete senão a superfície da came se tornará ponteaguda. Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou rolete são deslocados lateralmente ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figura 2.1 e Figura 2.2 Isto é feito por razões estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão no curso de elevação. Pode-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Figura 2.3 ilustra uma came e um seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo usados na Figura 2.2. se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana for paralela a uma linha radial de came, resultará a mesma came obtida com um seguidor radial. Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento haste. Elementos de Máquinas III 16 2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante A Figura 2.4 mostra uma came de disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando o mesmo princípio de construção empregado para a came de com seguidor radial, gira-se o seguidor em torno da came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado, em torno de seu centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada posição indicada na escala. Há diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O método indicado na Figura 2.4 é usar a interseção de dois arcos de circunferência (por exemplo, o ponto 3’) para determinar um ponto da face do seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em torno da came. O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro da came até a posição 3 da escala de deslocamento e como centro de curvatura o centro de rotação da came. O segundo arco é traçado com o centro de curvatura situado no centro de rotação do seguidor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos será o ponto 3’. Devido ao úmero infinito de retas que podem passar pelo ponto 3’, é necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta da face do seguidor correspondente ao ponto 3’. Conforme mostrado na figura , isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da face do seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o diâmetro externo do cubo do seguidor. essa circunferência é, então, traçada em cada posição do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta que passa pelo ponto 3’ e é tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, obtém-se um polígono formado por diversas posições da face do seguidor. A partir deste polígono desenha-se o contorno da came. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.4 - Came de disco com seguidor oscilante de face plana A Figura 2.5 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O procedimento para a determinação dos pontos 1’, 2’, 3’ etc. é semelhante ao indicado na Figura 2.5. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete determinadas pela rotação do seguidor em torno da came. Traçam-se as circunferências correspondentes à cada posição do rolete e o contornos da came é tangente a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões menores de modo a minimizar o erro do contorno da came. Deve-se mencionar também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de uma came com seguidor oscilante, de rolete, como o usado para uma came com seguidor radial deslocado Figura 2.5 - Came de disco com seguidor oscilante Elementos de Máquinas III 20 movimento pode ser qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples ou cicloidal. O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos citados e por esta razão tem sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de velocidade constante modificada. O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o seguidor tenha apoios monos rígidos e maior trecho de balanço. Também menos potência será necessária para operar a came. Por estas razões o movimento harmônico simples é o preferido entre os outros tipos. Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de deslocamento e marcá-la sobre a haste do seguidor. As elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais facilidade graficamente, plotando-se uma curva deslocamento-tempo. Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo método de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio da escala de deslocamento e da escala de tempos se os intervalos forem iguais. A determinação dos pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como será visto a seguir. Consideremos um ponto de deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 21 Prof. Douglas Roberto Zaions cada tipo de movimento. A Figura 2.9 indica uma construção gráfica para determinar os pontos de inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Figura 2.10 mostra a construção para intervalos de deslocamento. Das relações 2 2 1 AtS = , V=At e S=Vt, é possível provar a validade da construção mostrada na Figura 2.9 e Figura 2.10. Figura 2.9 - Construção gráfica para determinar os pontos de inflexão Figura 2.10 - Construção para intervalos de deslocamento Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como exemplo na Figura 2.10, o trecho 0A, de aceleração constante pode ser construído conforme indicado na Figura 2.11, onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Figura 2.10) esta dividido no mesmo número de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Figura 2.10 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o correspondente intervalo de tempo. Figura 2.11 - Movimento Parabólico Elementos de Máquinas III 22 A Figura 2.12 mostra o movimento harmônico simples ( )[ ]trS rωcos1−= para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. Nesta figura deve-se notar que se a came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L a velocidade angular ωr do raio girante r se iguala à velocidade angular ω da came e a equação do deslocamento do seguidor pode ser escrita como ( ) ( )θω cos1cos1 −=−= rtrS . Se a came gira somente de um quarto de volta para o deslocamento ωω 2=⋅ rL e ( )θ2cos1−= rS . Portanto, pode-se ver que a relação entre ωr e ω é expressa por seguidor do L elevação para came da derotação ângulo 180º w w r = Figura 2.12 - Movimento harmônico Simples Uma came circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico simples a um seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro geométrico da came estarão sempre na direção do movimento do seguidor. A Figura 2.13 mostra a construção para o movimento cicloidal ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= β θπ πβ θ 2 2 1 senLS para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O raio do círculo gerado é π2 L . A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz 0A até as linhas correspondentes marcadas no eixo do tempo. Para cames de alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizias respeito somente ao UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 25 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.14 - Características do Movimento Cicloidal onde S- deslocamento; V - velocidade; A – aceleração Elementos de Máquinas III 26 Figura 2.15 - Características do Movimento Harmônico onde S- deslocamento; V - velocidade; A – aceleração UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 27 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.16 - Características do Movimento polinomial de oitavo grau S- deslocamento; V - velocidade; A - aceleração Exemplo 1 - Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem repouso, durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem usadas. Referindo-se à Figura 2.17: AB: Use a meia-ciclóide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante. Elementos de Máquinas III 30 2.5.1 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana A abordagem deste problema permite que o contorno da came seja determinado analiticamente. No método gráfico, os pontos de contato entre a came e o seguidor são desconhecidos e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha o contorno da came. Também o raio mínimo da came, para evitar que seja ponteaguda, somente pode ser determinado por tentativas. No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três características valiosas das cames: (i) Equações paramétricas do contorno da came; (ii) Raio mínimo da came para evitar pontas; e (iii) Localização do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor; Destas características, a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão informações que possibilitam a produção da came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a seguir. A Figura 2.18 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas x e y e esta a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em relação à origem é dado pela seguinte equação: Equação 2.1 ( )θfCR += onde o raio mínimo da came é representado por C e ( )θf representa o movimento desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela geometria da Figura 2.18. Dos triângulos mostrados Equação 2.2 θθ cos⋅+⋅= xsenyR ou Equação 2.3 θθ senxyl ⋅−⋅= cos o membro da direita da equação 3, é a derivada em relação a θ do membro da direita da equação 2. Portanto ( )[ ]θ θθ fC d d d dRl +== Equação 2.4 ( )θfl ′= UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 Prof. Douglas Roberto Zaions Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S= ( )θf , então R e l são determinados facilmente das equações 1 e 4. Da equação 4 pode-se ver que o comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o ponto de contato esta na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor move em direção ao centro da came, a velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que o contato se realiza abaixo do eixo do seguidor. Figura 2.18 - Seguidor radial de face plana Figura 2.19 - Formação de pontas em uma came Para determinar as equações de x e y para o contorno da came. é necessário somente resolver as equações 2 e 3 simultaneamente, o que resulta θθ lsenRx −= cos e θθ coslRseny += Elementos de Máquinas III 32 Substituindo-se os valores de R e l das equações 1 e 4 respectivamente, Equação 2.5 ( )[ ] ( ) θθθθ senffCx ′−+= cos Equação 2.6 ( )[ ] ( ) θθθθ cosfsenfCy ′++= O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando θd dx e θd dy forem iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y na Figura 2.19. Para determinar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha girado de um ângulo θ e que o contato entre a face de seguidor e a came ocorra no ponto (x, y). Mais adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo dθ, o ponto de contato (x, y) não mudará por causa da ponta, ficando ainda em x e y. Assim pode-se ver que 0== θθ d dy d dx . Diferenciando as equações 5 e 6, Equação 2.7 ( ) ( )[ ] θθθ θ senffC d dx ′′++−= Equação 2.8 ( ) ( )[ ] θθθ θ cosffC d dy ′′++= As equações 7 e 8 podem se anular simultaneamente somente quando ( ) ( ) 0=′′++ θθ ffC Portanto para evitar pontas, Equação 2.9 ( ) ( ) 0>′′++ θθ ffC A soma ( ) ( )[ ]θθ ff ′′+ deve ser inspecionada para todos os valores de θ para determinar seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja suficientemente grande para assegurar que a equação 9 não se anule para qualquer valor de θ. Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés de sê-lo pela função f(θ). Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas equações 5 e 6 que dão as coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de θ. Em geral, o segundo método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de uma curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 Prof. Douglas Roberto Zaions ( )S r r= −1 cosθ onde r é o raio girante e θr o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento harmônico(ver Figura 2.12). Para os dados representados, r = 25 mm θr = 2θ Portanto, ( ) ( )θθ 2cos125 −== fS ( ) θθ 250senf =′ e ( ) θθ 2cos100=′′f Para se determinar o raio mínimo, a soma ( ) ( )θθ ffC ′′++ deve ser maior do que zero. Substituindo-se os valores de ( )θf e ( )θf ′′ e simplificado, 02cos7525 >++ θC A soma 25 + 75cos2θ será um mínimo para 2 πθ = ; logo 07525 >−+C ou C > 50 mm O comprimento da face do seguidor é determinado por ( )l f= ′ =θ θ50 2sen mmlmáx 50= Com o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de lmáx ou seja, 100 mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para evitar que o contato se realize no bordo da face. 2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete A determinação analítica da superfície primitiva de uma came de disco com seguidor de rolete não apresenta dificuldades. Na Figura 2.21 a posição do centro do rolete em relação ao centro da came é dada pela seguinte equação: Elementos de Máquinas III 36 Equação 2.10 ( )θfRR += 0 onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva da came f(θ) é o movimento radial do seguidor em função do ângulo de rotação da came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais a came pode ser delineada. Figura 2.21 - Came de disco com seguidor radial de rolete: posição do centro do rolete em relação ao centro da came Figura 2.22 - Came de disco com seguidor radial de rolete: raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em cames deste tipo, considerando o raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Rr. Estes valores são mostrados na Figura 2.22 junto com o raio de curvatura ρc da superfície da came. Se na Figura 2.22 ρ for mantido constante e for aumentado Rr, ρc irá decrescer. Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor ρ, o raio de curvatura da superfície da came, ρc, se reduzirá a um ponto e a came ficará ponteaguda, conforme indica a Erro! Fonte de referência não encontrada.a. Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície da came fica rebaixada e o movimento realizado pelo seguidor será o desejado, conforme mostrado na Figura 2.22b. Portanto, a fim de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil da came, o raio do rolete, Rr, deve ser menor do que ρmin, onde ρmin é o valor mínimo do raio UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 Prof. Douglas Roberto Zaions de curvatura da superfície primitiva em um determinado trecho da came. Havendo diversos tipos de curvas, sobre a superfície da came, pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho deverá ser verificado separadamente. Como é impossível haver um rebaixo numa parte côncava da superfície da came, somente as partes convexas devem ser verificadas. Figura 2.23 - Método para verificar a existência de pontas O raio de curvatura em um ponto de uma curvatura, expresso em coordenadas polares, é dado por ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 22 2 2 3 2 2 2 φφ φ ρ d RdR d dRR d dRR onde ( )φfR = e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação para determinar o raio de curvatura da superfície primitiva da came. Para este caso, ( ) ( )φθ ff = . Da equação 10 ( )θfRR += 0 ( )θθ fd dR ′= ( )θ θ f d Rd ′′=2 2 Portanto, Equação 2.11 ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]θθ θρ fRfR fR ′′−′+ ′+ = 22 2 3 22 2 A equação 11 pode ser calculada para determinar a expressão de ρ para um tipo particular de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da came, deve-se determinar ρmin. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a equação 11 com várias Elementos de Máquinas III 40 Figura 2.25 - Movimento Harmônico UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 41 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.26 - Movimento polinomial do oitavo grau Elementos de Máquinas III 42 Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em 30º. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitem. Embora seja possível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, pelo qual pode-se determinar analiticamente o ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o oscilante de rolete. A que será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete. Para a came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Figura 2.27, o ângulo de pressão OCA é denominado α e o centro da came, O. Supõe-se que a came está preparada e o seguidor gira no sentido horário da posição C até C ′ segundo um pequeno ângulo ∆θ. Da figura abaixo tem-se: CE ECtg ′ =′ −1α Figura 2.27 -Came de disco e o seguidor radial: ângulo de pressão Quando ∆θ tende a zero, os ângulos OCE e CAC ′ tendem para 90º. Ao mesmo tempo o segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R∆θ e ambos, CD e Cf para CE. Portanto, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=′ − →∆ θ α θ d dR R tg 1lim 1 0 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 2.15 0 22 0 2 2 cos SR lRS −+ =β onde S, R0 e l têm dimensões fixas. O ângulo Γ é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OOB ′ como Equação 2.16 SR lRS 2 cos 222 −+ =Γ Também pode-se escrever uma equação para R, a partir do triângulo OOB ′ Equação 2.17 ( )Σ+−+= ψcos2222 lSSlR O ângulo ∑ é uma constante determinada a partir do triângulo OOA ′ como Equação 2.18 lS RSl 2 cos 2 0 22 −+ =Σ e o ângulo ψ é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da came θ. Portanto, das equações precedentes, os valores de R e φ podem ser calculados a partir de valores de θ e dos correspondentes ângulos de elevação ψ. No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Figura 2.30 mostra o esboço de uma came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da superfície primitiva ρ e o ângulo de pressão α. O ponto O é o centro da came, o pondo D é o centro da curvatura e o ponto O′ , o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do seguidor a partir da horizontal é σ, que é dada pela equação Equação 2.19 ( )θσσ f+= 0 onde f(θ) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de referência σ0 (não mostrado na figura). Da Figura 2.30, o ângulo de pressão α é dado por γπσα −−= 2 Substituindo-se a equação 19 por σ Equação 2.20 ( )[ ] γπθσα −−+= 20 f Elementos de Máquinas III 46 A fim de se obter uma expressão para o ângulo γ, determinam-se duas equações de posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O’-A). Figura 2.30 - Ângulo de pressão A equação para o primeiro trajeto é dada por γδ ρeerR ′+′= Equação 2.21 ( ) ( )γγρδδ isenisenr +++= coscos A equação para o segundo trajeto é dada por σilebiaR ++= Equação 2.22 ( )σσ isenlbia +++= cos Separando-se as partes reais e imaginárias das equações 21 e 22, Equação 2.23 σγρδ coscoscos lar +=+ Equação 2.24 σγρδ lsenbsenrsen +=+ Derivando as equações 23 e 24 em relação a θ, θ σσ θ γγρ θ δδ d dlsen d dsen d drsen −=−− θ σσ θ γγρ θ δδ d dl d d d dr coscoscos =+ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 47 Prof. Douglas Roberto Zaions Para uma rotação infinitesimal da came, ρ pode ser considerado como constante. Assim, o ponto D, o centro de curvatura da came no ponto de contato e r podem ser considerados como fixos à came para um acréscimo de rotação dθ. Portanto, o valor de dδ é igual a dθ e como δ diminui quando θ cresce, segue-se que dδ/dθ = -1. Também, dσ/dθ = f’(θ). Portanto, Equação 2.25 ( ) σθ θ γγρδ senfl d dsenrsen ′−=− Equação 2.26 ( ) σθ θ γγρδ coscoscos fl d dr ′=+− Eliminando-se dγ/dθ nas equações 25 e 26, ( ) ( ) σθδ σθδγ coscos flr senflrsentg ′+ ′+ = Os termos r cosδ e r senδ podem ser calculados das equações 23 e 24, dando Equação 2.27 ( )[ ]( )[ ]θσ θσγ fla flsenbtg ′++ ′++ = 1cos 1 que, quando substituída na equação 20, dará i ângulo de pressão α. Para se determinar αmax, será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Para se calcular o raio de curvatura ρ, é necessário primeiro derivar a equação 27 em relação a θ. Substituindo dγ/dθ da equação 26 e com o auxílio da equações 19,23 e 27, obtém- se a seguinte equação para ρ: Equação 2.28 [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )θσσθθρ flbasenfbCaCfDC DC ′′−+′+−′++ + = cos122 2 3 22 onde ( )[ ]θσ flaC ′++= 1cos ( )[ ]θσ flsenbD ′++= 1 Para evitar o rebaixo, ρ deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível determinar-se ρmin para cada posição do perfil da came. Para isso, é necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Elementos de Máquinas III 50 3 ENGRENAGENS 3.1 INTRODUÇÃO A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma perda. Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as Engrenagens coroa e sem-fim. A Figura 3.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 99 %. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos (Figura 3.1-d), com eixos reversos(Figura 3.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 51 Prof. Douglas Roberto Zaions este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 3.1-e) ou espinha de peixe (Figura 3.1-f). Figura 3.1 – Engrenagens cilíndricas. Fonte: Niemann: 1971 Figura 3.2 – Engrenagens Cônicas Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e Elementos de Máquinas III 52 transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 3.2-a), dentes helicoidais(Figura 3.2-b) ou dentes curvos(Figura 3.2-c) Para elevadas velocidade é necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. Figura 3.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens coroa sem-fim (Figura 3.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 3.3-a), são utilizadas para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 3.4) são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da altura do eixo propulsor. Os principais tipos, Hipóide e Palóide, correspondem aos fabricantes Gleason (USA) e Klingelnberg (Alemanha) respectivamente. Exigem grande precisão de montagem e apresentam rendimento da ordem de 98%. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 55 Prof. Douglas Roberto Zaions (ii) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C2 Fazemos rolar R2 sem deslizamento sobre o interior do C2 e o ponto descreve um arco de hipociclóide IP2, formando o flanco do pé do perfil P2. Fazemos rolar R1 sem deslizamento sobre o exterior círculo primitivo C2 e o ponto descreve um arco de epiciclóide IS2 formando o flanco de cabeça do perfil P2 O1 R1 C1 P1 S2 P2 C2 R2 S1 O2 I Figura 3.8 - Geração de uma engrenagem epicicloidal Para obtenção de engrenagens intercambiáveis é necessário ter-se o mesmo rolete para todas as rodas. O valor, geralmente usado para o diâmetro dos roletes R1 e R2 é igual a 5,5m, onde “m” é o módulo que representa o diâmetro do círculo primitivo dividido pelo número de dentes. Nas engrenagens epicicloidais, a linha de ação (onde a força é transmitida) esta sobre os arcos pertencentes aos círculos R1 e R2 e como apresenta uma forma curva e, uma vez que as normais aos perfis devem passar por I, chegamos a conclusão que a orientação será variável. Desta maneira, a força transmitida varia em direção e intensidade, resultando um engrenamento com movimentos bruscos e sujeito a vibração. Uma outra desvantagens dos dentes epicicloidais esta associado ao fato de que os perfis P1 e P2 são determinados com os dois círculos primitivos C1 e C2 bem definidos. A distância entre centros deve ser rigorosamente igual à soma dos raios destes dois círculos, do contrário, o engrenamento é defeituoso. Elementos de Máquinas III 56 Também, devido ao ponto de inflexão em I as engrenagens epicicloidais são de difícil usinagem. 3.2.2 Perfil Evolvental A grande maioria das engrenagens, salvo casos muito particulares, é confeccionada com perfil evolvental. Comparando ao perfil cicloidal, essa curva apresenta as seguintes vantagens: (i) Usinagem com ferramentas mais simples; (ii) A relação de velocidades angulares entre duas rodas não varia com uma variação da distância entre centros; (iii) Facilidade da obtenção de rodas corrigidas; (iv) A direção da força entre os dentes permanece invariável; A evolvente é a curva gerada por um ponto de uma corda que se desenrola de um círculo. O termo exato seria evolvente de círculo, conforme a Figura 3.9. P Figura 3.9 - Geração da curva evolvente Consideremos, agora, duas circunferências de centros 01 e 02 que estão ligados por uma corda, conforme a Figura 3.10, sendo a corda possuidora de um ponto P. Coloca-se, inicialmente, o ponto P sobre B2 e faz-se a roda 2 girar no sentido horário. Desta maneira o ponto P descreverá uma evolvente EV2 sobre a roda 2 e uma evolvente EV1 sobre a roda 1. Pode-se notar que o ponto P será de tangência das duas evolventes. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 57 Prof. Douglas Roberto Zaions O1 O2 B2 B1 P Ev2 Ev1 Figura 3.10 - Geração de 2 evolventes com uma corda Faz-se, agora, um círculo transmitir movimento ao outro pelos perfis de evolvente. O contato será sempre no ponto P que se deslocará sobre a reta tangente às circunferências (reta de ação). A fim de caracterizar a terminologia, apresenta-se a geração da curva evolvente na Figura 3.11. Define-se: a) Circunferência de Base - É aquela circunferência sobre a qual rola a reta que contém o ponto, geratriz da evolvente. b) Raio de Base - É o raio da circunferência de base. c) Reta Geratriz - É a reta que rola, sem deslizamento, sobre a circunferência de base e contém o ponto P, gerador da evolvente. d) Raio Vetor - É o que une um ponto genérico P da evolvente com o centro da circunferência de base. e) Ângulo de Incidência, αp - É o ângulo formado pelo raio vetor e o raio que passa pelo ponto de tangência da reta geratriz com a circunferência de base. Elementos de Máquinas III 60 KO KO 1 2 2 1 = ω ω onde O2K representa o raio primitivo r2 e O1K representa o raio primitivo r1 ou seja o raio das circunferências que passam em K. Podemos resumir estas propriedades, assim: a) Existe uma relação de velocidade 2 1 ω ω , inversamente proporcional aos segmentos que o ponto K determina no segmento O1 e O2. 1 2 1 2 2 1 r r KO KO == ω ω b) Para que a relação de velocidades angulares permaneça constante é necessário que o ponto K permaneça fixo. 3.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES Consideremos os corpos da figura 26 , que engrenam com seus perfis evolvente e dispõem de movimentos de rotação em torno de O1 e O2. Os círculos de base para as evolventes 1 e 2 são também centros em O1 e O2. Seja P o ponto de contato das duas evolventes. A normal comum aos perfis de evolventes deve cortar a linha entre centros em um ponto fixo K. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 61 Prof. Douglas Roberto Zaions O1 O2 r1 α T N ́ r2 T ́ N K rb2 rb1 α w2 w1 Figura 3.13 - Engrenamento de duas evolventes A reta NN´, constituída por retas tangentes ao círculo de base e perpendicular ao perfil da evolvente. Então, a reta NN´ é uma linha que tangência os círculos de base e passa em K. Logo é uma reta fixa e, é chamada “Reta de ação”. A reta de ação é o lugar geométrico dos pontos de contato das duas superfícies. Sobre o ponto K a velocidade tangencial é a mesma. 2211 rrV ⋅=⋅= ωω Estas circunferências com raios r1 e r2 são chamadas de “circunferências primitivas” e apresentam grande importância. Vão gerar o diâmetro primitivo. Ao ponto K chamamos “Ponto Primitivo”. Desprezando-se o atrito, a força exercida por uma evolvente sobre a outra tem a direção normal à superfície em cada ponto. Portanto, a força tem direção da reta de ação. Ao ângulo formado entre a normal ao segmento que une os centros e a reta de ação, denomina-se “ângulo de pressão”. Vejamos, agora, o que acontece se a distância entre centros variar. Inicialmente para a distância entre centros O1 O2 temos: 2211 rrV ⋅=⋅= ωω Elementos de Máquinas III 62 por ser a velocidade tangencial a mesma sobre o círculo primitivo. Pela Figura 3.13, tem-se que: αcos11 ⋅= rrb e αcos22 ⋅= rrb Assim, podemos também escrever que 1 2 1 2 2 1 b b r r r r w w == ou seja, a relação 2 1 w w depende dos raios de base, portanto, não se altera. Para uma nova distância entre centros O1 O2, conforme Figura 3.14, tem-se um novo ponto primitivo K’ e novos raios 1r ′ e 2r ′ , tais que: α ′⋅′= cos11 rrb e α ′⋅′= cos22 rrb O1 O2 r1 α rb2 rb1 a aw rb1 r1w r2w r2 O1 O2 rb2 rb2 aw > a α > αw αw Figura 3.14 - Variação da distância entre centros no engrenamento de duas evolventes A partir da Figura 3.14 tem-se que: wwb rrr αα coscos 111 == e wwb rrr αα coscos 222 =⋅= e ( ) ( ) www rrrr αα coscos 2121 +=+ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 65 Prof. Douglas Roberto Zaions obtendo-se então: 11 bn rv ⋅= ω Da mesma forma, obtem-se: 22 bn rv ⋅= ω Para as velocidades tangenciais, podemos escrever, por semelhança de triângulos: 1 11 bn t r PB v v = Sendo 11 ρ=PB (raio equivalente P) e 11 bn rv ⋅= ω tem-se que 111 ρω=tv Analogamente: 222 ρω=tv Esta velocidade tem bastante importância e vamos determiná-la três pontos : Ponto B1: 01 =tv 1222 BBv t ⋅= ω Ponto C: αω senrvt 111 ⋅= αω senrvt 222 ⋅= Ponto B2: 2111 BBvt ⋅= ω 02 =tv Os valores de vt1 e vt2 estão representados na Figura 3.15 sendo valores lineares. Para vt temos: 21 ttt vvv −= uma vez que é adotada a convenção de ser vt negativo, enquanto se desloca de B1 até C. Podemos escrever 221121 ρωρω ⋅−⋅=−= ttt vvv Se orientarmos um segmento “e” que une o ponto C ao ponto P tal que sua orientação seja oposta ao caminhamento do contato (B1 para B2) tem-se que eCP = Tem-se então que: eCB += 11ρ e eCB −= 22ρ A velocidade vt será então, uma vez que 2211 CBCB ωω = A velocidade no ponto C é: ( )21 ωω +⋅= evt Elementos de Máquinas III 66 Deve-se evitar valores elevados da velocidade de deslizamento a fim de evitar desgaste das superfícies e a dissipação de potência em forma de atrito. Ainda deve-se ter o cuidado de evitar que duas evolventes se toquem em regiões onde o raio de curvatura é pequeno, em virtude da área de contato ser pequena e provocar assim elevadas tensões, o que acarreta a fadiga do material na superfície. Assim deve-se manter a relação ρ tv pequena. Da mesma maneira, pode-se também minimizar a relação ωρ δ ⋅ = tp v sendo esta, praticamente equivalente. Na relação ωρ δ ⋅ = tp v temos que ( )21 ωω +⋅= evt e ρ.ω será decomposto em duas situações: 11 ρω ⋅ e 22 ρω ⋅ Para ρ podemos escrever: pbr αρ tan⋅= e, geralmente: 111 tan pbr αρ ⋅= e 222 tan pbr αρ ⋅= Tem-se então para o “deslizamento Específico” dos corpos número 1 e 2 as seguintes expressões: ( ) 111 21 1 tan pb p r e αω ωω δ ⋅⋅ +⋅ = e ( ) 222 21 2 tan pb p r e αω ωω δ ⋅⋅ +⋅ = A partir das deduções acima determinou-se os valores do deslizamento específico em três pontos: Ponto B1 =∝1δ ( ) 221 211 2 ω ωω δ ⋅ +⋅ = BB CB Ponto C: 01 =δ 02 =δ Ponto B2: ( ) 121 212 1 ω ωω δ ⋅ +⋅ = BB CB =∝2δ Problema sobre deslizamento específico 1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 2,5 mm. A engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 20 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 60 dentes. O ângulo de pressão α = 20o. A velocidade angular da roda 1 é w1 = 1500 rpm. Determinar o deslizamento específico. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 67 Prof. Douglas Roberto Zaions 4 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS As engrenagens aparecem em quase todas as máquinas e, desta forma, o projetista tem freqüentemente a necessidade de projeta-las tanto a nível cinemático, geométrico e em termos de resistência mecânica. O que tem forçado o aparecimento das engrenagens é a exigência de engrenagens mais econômicas, mais silenciosas, mais leves e com maior capacidade de carga. Há uma grande quantidade de informações assim como vários processos de cálculo, pois além de pesquisas em muitas instituições, várias firmas desenvolvem programas de testes e aperfeiçoamento de suas engrenagens. O primeiro problema que surge ao projetar uma engrenagem é o de encontrar um par que seja capaz de transmitir potência requerida. As engrenagens devem ser: grandes o suficiente, resistentes e muito precisas para realizar o trabalho a que se destinam. Neste capítulo, apresenta-se inicialmente os aspectos cinemáticos e geométricos das engrenagens cilíndricas de dentes retos e em seguida o dimensionamento baseado na resistência mecânica e na vida, levando-se em consideração algumas normas técnicas. 4.1 INTRODUÇÃO A Figura 4.1 apresenta esquematicamente 3 posições de contato de duas evolventes durante um engrenamento. O ponto B1 é o lugar de engrenamento na origem da evolvente da peça 1 com um ponto da peça 2. O segundo ponto, esta em P e representa um ponto qualquer de engrenamento. O terceiro ponto B2 é o lugar do engrenamento na origem evolvente da peça 2 com um ponto da peça 1. Considerando-se o sentido de rotação do engrenamento o indicado na Figura 4.1 tem-se assim o engrenamento, iniciando em B2 e terminando em B1. Termina em B1 porque a partir deste ponto, caso o engrenamento continuasse, o mesmo se daria em um perfil qualquer, mas não em perfil evolvente, perdendo-se assim as boas características de engrenamento da evolvente. Desta maneira, sendo B1 o ponto extremo de engrenamento, limita-se o perfil da Elementos de Máquinas III 70 df d da Cilindro de pé Cilindro de cabeça Cilindro primitivo Perfil Flanco hf Flanco do pé do dente ha h Flanco de cabeça Largura do dente Cilindro de base Figura 4.3 – Proporções da geometria de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos Fonte: Henriot (1968) 4.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS Os símbolos e a terminologia empregada neste trabalho atendem as normas NBR 6684, NBR 6174 e SB 21. Neste trabalho, as principais relações geométricas das engrenagens estão associadas aos estudos de Henriot (1968) que apresenta forte relação com as normas ISO. Na simbologia descrita a seguir, deve-se utilizar o sub-índice 1 e 2 para associar as engrenagens menor e maior respectivamente. Com base no que já foi estudado no capítulo anterior pode-se escrever que a distância entre centros de referência corresponde a soma dos raios de referência da engrenagem maior e menor, ou seja: 21 rra += A relação de transmissão pode ser determinada pelas seguintes expressões: 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 r r d d z z n n r r i b b ====== ω ω Substituindo-se 12 rir ⋅= na expressão 21 rra += teremos que 11 i ar + = ou i ad + ⋅ = 1 2 1 . Da mesma forma encontra-se i iad + ⋅⋅ = 1 2 2 . Considerando p o passo de referência (passo primitivo) pode-se escrever: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 71 Prof. Douglas Roberto Zaions z2 ⋅=⋅⋅=⋅ prd ππ e z⋅ π p=d A relação z d = π p define-se ser igual a m (módulo). É usado nos paises que utilizam o sistema métrico sendo seu valor medido em milímetros: z dm == π p Para países cuja unidade é a polegada, usam-se em lugar do módulo, o “passo diametral” - DP do inglês Diametral pitch. O passo diametral ou Diametral pitch corresponde ao número de dentes dividido pelo diâmetro de referência (primitivo) medido em polegadas: d zDP ′′ = O passo diametral pode ser relacionado com o módulo pela seguinte expressão: 4,25=⋅DPm Existem módulos e Diametral pith padronizados para facilitar a fabricação de ferramentas. Na Tabela 4.1, apresenta-se os módulos disponíveis pela DIN. Tabela 4.1 - Módulos disponíveis pela DIN de m = 0,3 até m = 1,0 mm de 0,1 mm em 0,1 mm de m = 1,0 até m = 4,0 mm de 0,25 mm em 0,25 mm de m = 4,0 até m = 7,0 mm de 0,5 mm em 0,5 mm de m = 7,0 até m = 16,0 mm de 1,0 mm em 1,0 mm de m = 16,0 até m = 24,00 mm de 2,0 mm em 2,0 mm de m = 24,00 até m = 45,00 mm de 3,0 mm em 3,0 mm de m = 45,00 até m = 75,00 mm de 5,0 mm em 5,0 mm A Tabela 4.2 apresenta os módulos padronizados de engrenagens cilíndricas transcritos da NBR 8088. A norma NBR 8088 salienta que deve ser dada preferência aos módulos da classe I. Recomenda-se evitar o emprego dos módulos indicados entre parênteses, da classe III. A fim de mostrar ao estudante de engenharia o tamanho dos módulos, a Figura 4.4 ilustra os dentes em tamanho aproximado ao natural para módulo entre 1 a 12. Elementos de Máquinas III 72 Figura 4.4 - Dentes em tamanho natural para módulo entre 1 a 12 Fonte: Silveira (1977) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 75 Prof. Douglas Roberto Zaions Símbolo Nomenclatura Relação geométrica SM Espessura do dente em um raio rM ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⋅ ⋅⋅= MMM EvEvr SrS αα 2 2 Usar: bMM rrr =⋅=⋅ αα coscos vg Velocidade de deslizamento vga Velocidade de deslizamento na cabeça (do dente) vt Velocidade tangencial x1 Fator de correção da engrenagem menor x2 Fator de correção da engrenagem maior z1 Número de dentes da engrenagem menor z2 Número de dentes da engrenagem maior i Relação de transmissão (movida/motora) 2 1 2 1 1 2 1 2 n n w w d d z zi ==== αa Ângulo de pressão no cilindro de cabeça αn Ângulo de pressão no cilindro de referência αwn Ângulo de pressão de funcionamento normal δ Deslizamento específico R Grau de recobrimento R r r r r a p a b a b= − + − − ⋅ ⋅ 1 2 1 2 2 2 2 2 sen cos α α Rw Grau de recobrimento para uma distância entre centros imposta α α cos 2 2 2 2 2 1 2 1 ⋅ ⋅−−+− = p senarrrr R wwbabaw w1 Velocidade angular da engrenagem menor w2 Velocidade angular da engrenagem maior 4.3 ESPESSURA DO DENTADO Finzi (1963) menciona que é importante determinar a espessura do dente em função do raio a fim de verificar que a sua extremidade não seja excessivamente fina, o que poderia acontecer com um pequeno número de dentes e grande ângulo de pressão. Segundo Henriot (1968), a fórmula geral para determinação da espessura Sm em um ponto M que apresenta o raio rM é: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⋅ ⋅⋅= MMM EvEvr SrS αα 2 2 O ângulo de pressão na posição M (αM) é determinado pela seguinte expressão: bMM rrr =⋅=⋅ αα coscos Elementos de Máquinas III 76 É importante salientar que 2 π⋅ = mS representa a espessura sobre a circunferência de referência (circulo primitivo). O Ev αM - Ev α rb r rp ra rm Sb Sm Sa S Figura 4.5 – Espessura do dentado Problemas sobre espessura do dentado: 1) Em uma engrenagem o diâmetro primitivo é de 100 mm e seu número de dentes é 50. Seu ângulo de pressão é de 20o. Determinar a espessura do dente sobre a circunferência de cabeça. 2) Para o problema anterior, determinar a espessura do dente sobre a circunferência de base. 3) Para o problema anterior determinar o raio do círculo de ponta ou seja, o raio da circunferência onde as duas evolventes de dentes se encontram. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 77 Prof. Douglas Roberto Zaions 4.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES Geralmente as engrenagens trabalham nos dois sentidos de rotação e em virtude de folga, a cada inversão de movimento ocorre um impacto (uma pancada da motora sobre a movida). A inversão também pode ocorre quando a motora se tora conduzida como por exemplo em um veículo em descida. A folga é muito prejudicial quando as engrenagens são usadas para posicionamento. Por outro lado, se não houver folga a perigo de engripamento dos dentes com desgastes acentuados e aquecimento dos mesmos. A folga é necessária para compensar erros de fabricação, folgas nos mancais, efeitos de temperaturas e deformações elásticas. O valor da folga em engrenagens de boa qualidade é da ordem de décimo de milímetro. J Reta de ação Figura 4.6 – Folga no engrenamento Elementos de Máquinas III 80 4.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE As evolventes das engrenagens são limitadas por uma circunferência de cabeça. Na Figura 4.9, representa-se duas engrenagens em uma situação de engrenamento. O2 O1 rb2 Reta de ação rb1 B1 B2 α A1 A2 rA1 ra1 r1 K rA2 ra2 r2 C. base 2 C. referência 2 C. cabeça 2 C. base 1 C. referência 1 C. cabeça 1 α Figura 4.9 - Engrenamento de duas engrenagens Chama-se de arco útil do perfil do dente ao arco onde se realiza o contato entre as evolventes durante o engrenamento. O arco é limitado por duas circunferências de raios ra1 e rA1 para o pinhão e ra2 e rA2 para a roda. Os pontos A1 e A2 representam o início e o fim de engrenamento respectivamente. A partir da Figura 4.9 pode-se escrever: ( ) ( )212111 bA RABr += Como: 212111 BABBAB −= , αα senasenOOBB ⋅=⋅= 2121 e ( ) ( )222221 ba rrBA −= Tem-se que: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 11 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⋅+= babA rrsenarr α UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 81 Prof. Douglas Roberto Zaions Analogamente: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 22 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⋅+= babA rrsenarr α As duas expressões anteriores caracterizam os limites de engrenamento de duas evolventes. Na Figura 4.10, tem-se um dente, onde K representa o inicio de contato e T o fim do contato, e está sobre a aresta do dente. O arco KT da evolvente é então o arco útil do perfil do dente. Ao ponto I, sobre a circunferência de base temos a origem da evolvente. Devido seu pequeno raio o arco KI da evolvente não é utilizado, e por esta razão abandona-se o perfil do dente segundo a curva “1” a fim de melhorar a resistência do dente. Pode-se também, adotar a curva “2”, produzindo um adelgaçamento no pé do dente melhorando desta forma suas características para interferência, podendo-se então ter engrenagnes com menor número de dentes. Para casos de altas cargas e velocidades, freqüentemente, adota-se o perfil conforme curva “3”. A variação do perfil é muito pequena e o valor de TT´ é da ordem da deformação elástica do dente. O segmento TT´´ é da ordem de 0,4m, onde “m” é o módulo da engrenagem. T ́ C. referência 1 C. C2 C. fundo C. C1 máx 0,02 0,4.m T´´ 3 K I 2 1 T Figura 4.10 - Zonas de Engrenamento de um dente Elementos de Máquinas III 82 4.6 CREMALHEIRA Na Figura 4.11 tem-se um pinhão e cremalheiras. Baseados no fato de que a reta de ação é mantida tangente ao círculo de base e perpendicular ao perfil da cremalheira. Reta de ação α r = ∞ r1 = finito Cremalheira Engrenagem I O Y Figura 4.11 - Engrenamento do pinhão com cremalheira em diferentes posições O ponto I da Figura 4.11onde a reta de ação corta a linha OY é o ponto da tangência do círculo primitivo do pinhão e da linha primitiva da cremalheira ( estes elementos rodam um sobre o outro sem deslizar. Desta maneira se mantém o raio primitivo r1 tal que αcos 1 1 brr = e o ângulo de pressão de funcionamento é α. O ângulo de pressão da cremalheira, para ser perpendicular ao perfil deve ser também α. Para a engrenagem com velocidade rv ⋅= ω , onde ω é a sua velocidade angular e “r” o ser raio primitivo, teremos por ocasião do seu engrenamento com a cremalheira, um movimento linear da mesma com velocidade de translação “v”. Assim, um conjunto engrenagem-cremalheira transforma movimento rotativo em linear. Denomina-se “Reta Média” da cremalheira aquela sobre a qual a espessura do dente é igual a do vão. A reta primitiva é função do engrenamento. O ângulo de pressão dado o flanco ser reto é constante e conserva seu valor para qualquer engrenamento. Podemos escrever: mmmm SeeSeSp ⋅=⋅=+=+= 22 A espessura do dente a uma distância “l” da reta média vale: αtan2 ⋅⋅+= lSS mx sendo “ l ” orientado conforme Figura 4.12. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 85 Prof. Douglas Roberto Zaions O1 O2 B2 C ra1 C Cabeça 2 rb2 rb1 α ra2 r1 2 π r2 B1 C base 2 C base 1 α α Figura 4.15 - Engrenamento de Evolventes A condição necessária para evitar interferência é que o segmento de ação seja limitado pelo segmento 21BB . O caso limite ocorre então com a circunferência de cabeça da roda 2 passando em B1 e da roda 1 em B2. No triângulo O2B1C temos que ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⋅⋅⋅⋅−+⋅= απαα 2 cos2 212 2 1 2 21 senrrrsenrOB e sendo: 21222 OBhrr aa ≤+= então: ( ) αα 221212222 22 senrrsenrhrh aa ⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+ ou ( ) α α 2 12 2 2 2 1 2 22 senrh hsenr r a a ⋅⋅−⋅ −⋅ = Para um engrenamento normal temos: 11 zmr ⋅= , 22 zmr ⋅= e mha =2 Assim, para cada z1 obteremos um valor z2 para que não haja interferência. Substituindo os valores em função de z2. α α 2 1 22 1 2 24 4 senz senzz ⋅⋅− −⋅ ≤ Elementos de Máquinas III 86 Na Tabela 4.5 apresenta-se a relação limite 2 1 z z para α = 15 e 20o. Tabela 4.5 – Relação z1/z2 para α = 15 e 20o. 2 1 Z Z 15o 21722 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 28/195 20o 13/16 14/26 15/50 16/101 17/131 0 18/∞ 4.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta Pode-se usinar uma engrenagem com o emprego de uma ferramenta dentada como por exemplo com uma cremalheira, provida de gumes de corte e dotadas de movimentos especiais. Para a cremalheira o valor r2 da α α 2 1 22 1 2 24 4 senz senzz ⋅⋅− −⋅ ≤ é infinito, ou seja: ∞=2r então 022 2 12 =⋅⋅−⋅ αsenrha ou α2 2 1 sen hr a= Sendo ha2 = ha0, o adento da cremalheira de corte e α, o ângulo de pressão da mesma, obtemos com a equação 20, o mesmo valor do raio da roda que pode ser usinado sem interferência. Para o caso comum de ha2 = m, α = 20o e sendo r1 = m1.z1 obtem-se 1809,17 20 2 21 ≅== osen z ou seja, se um pinhão com menos de 18 dentes, for usinado por uma cremalheira ferramenta, o pinhão sofrerá uma adelgaçamento do pé dos dentes. A cremalheira de corte é a ferramenta que provoca o máximo de adelgaçamento. Rodas usinadas com o seu emprego não sofrerão interferência de funcionamento com nenhuma outra roda. Geralmente, ao invés de 18 dentes, utiliza-se como limite mínimo de dentes para a construção de engrenagens cilíndricas de dentes retos, 17 dentes. Porém é bom lembrar que engrenagens com 17 dentes produzidas a partir de uma cremalheira ferramenta sofrerão um pequeno adelgaçamento da raiz do dente. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 87 Prof. Douglas Roberto Zaions 4.8 GRAU DE RECOBRIMENTO O grau de recobrimento de um conjunto de engrenagens é definido como a relação entre o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento e o tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos. O grau de recobrimento indica então o número de pares de dentes que permanecem engrenados a cada instante. Deste modo um grau de recobrimento igual a 1,35 indica que durante 35% do tempo permaneceu engrenado 2 pares de dentes e durante os 65% restante apenas 1 para esta engrenado. R = 1,35 35% do tempo permanece 2 pares de dentes engrenados 65% do tempo permanece 1 pares de dentes engrenados 1 + 1 = 2 100-35 = 65 Figura 4.16 – Exemplo de grau de recobrimento. Pela Figura 4.17 tem-se a situação de engrenamento. O engrenamento inicia em A1 e termina em A2. Conforme já estudado no item Arco Útil do Perfil do Dente, os pontos A1 e A2 são os extremos do arco útil do perfil do dente. O segmento 21AA é o segmento de ação e é o lugar geométrico dos pontos em contato das duas evolventes. A velocidade de deslocamento do ponto P em contato sobre a reta de ação, conforme estudado no item Deslizamento Específico, é: αωωω cos112211 ⋅⋅=⋅=⋅= rrrv bbn Um par de dentes permanece engrenado desde A1 até A2, percorrendo o segmento 21AA com velocidade vn. Desta maneira o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento pode ser determinado pela seguinte expressão: nv AAt 211 = Elementos de Máquinas III 90 1 - Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos normal deve engrenar com um pinhão de 20 dentes, módulo de 4 mm e ângulo de pressão 20o. A relação de transmissão deve ser igual a 2. Determinar a distância entre centros e o grau de recobrimento. 2 - Para o problema anterior determinar o máxima distância entre centros de funcionamento (aw) possível de ser utilizada. 4.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS A correção de engrenagens pode ser aplicada para: (i) Para Compatibilizar distâncias entre centros de funcionamento e projeto; (ii) Evitar a interferência de fabricação; e (iii) Otimização do deslizamento específico. Para fins de entendimento da correção de engrenagens, faz-se algumas definições baseadas nas figura que seguem. Cremalheira ferramenta p = 3,1416m 2, 25 m Linha de referência Cremalheira ferramenta e = 1,5708m S = 1,5708m 1, 25 m 1m 20o Figura 4.18 – Cremalheira ferramenta com módulo normalizado 1 mm A Figura 4.18 define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada. A linha de referência ou reta média é aquela sobre a qual a espessura do dente é igual ao vão. Ela serve de referência para definir as demais dimensões. Para engrenagens mecânicas em geral com 201 ≤≤ om e 120 ≤≤ oDP , além das dimensões já definidas tem-se que o ângulo de pressão normalizado é de αo = 20o e os raios de concordância iguais a r = 0,4 m. A Figura 4.19 representa a usinagem de uma roda de “z” dentes a partir da cremalheira ferramenta. Chama-se: (i) -Diâmetro primitivo de usinagem da roda; e (ii) -Linha primitiva de UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 91 Prof. Douglas Roberto Zaions usinagem da cremalheira, aos elementos que rolam sem deslizamento, um sobre o outro, durante a usinagem. Logo, o passo primitivo “p” da roda é igual ao passo “p” da cremalheira. Por outro lado, a linha de ação de usinagem é normal ao perfil da cremalheira e tangente ao círculo de base da roda usinada. Isto significa que o diâmetro do círculo de base da roda é igual ao diâmetro primitivo de usinagem multiplicado pelo cosseno do ângulo de pressão “α” da cremalheira. Cremalheira geratriz p = π.m Linha de primitiva de geração α O círculo rola sem deslizamento Círculo de base Círculo de referência da engrenagem (primitiva) z.m z.m.cosα Reta de ação α Figura 4.19 - Usinagem de roda com “z” dentes a partir de cremalheira ferramenta Uma engrenagem apresenta dente normalizado se pode ser gerada a partir da cremalheira ferramenta normalizada. Um dente normalizado é dito normal se durante a usinagem a linha primitiva de usinagem (geração) da cremalheira ferramenta se confunde com a linha de referência desta. As características geométricas das engrenagens normais são aquelas ilustradas na Tabela 4.4. No dente normal é importante salientar que a espessura do dente é igual ao vão do dente sobre o diâmetro de referência (primitivo) da engrenagem. Um dente normalizado é dito corrigido se a linha primitiva de usinagem da cremalheira ferramenta não se confunde com a linha de referência. Sobre a circunferência primitiva de usinagem, com diâmetro de valor zmd ⋅= tem-se para engrenagem com dente corrigido que: (i) Espessura ≠ vão; (ii) Espessura + vão = Passo Elementos de Máquinas III 92 = m⋅π ; (iii) Adendo - ( )xmha +⋅= 1 ; (iv) Dedendo ( )xmhf −⋅= 25,1 ; e (v) Altura do dente mh ⋅= 25,2 . Obs.: x representa i índice de correção. Na Figura 4.20 temos uma roda de dentes corrigidos, uma vez que a linha primitiva de usinagem da cremalheira não coincide com a linha de referência. Linha de referência Linha de geraçãox.m (+) I x.(+) 1,25.m S mzd ⋅= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅= απ tgxmS 2 2( )xmhf −⋅= 25,1 mh ⋅= 25,2 ( )xmha +⋅= 1 ha hf h Figura 4.20 - Usinagem de roda com dentes corrigidos por correção positiva A correção se chama positiva se a linha de referência é exterior ao círculo primitivo de usinagem. A correção se chama negativa se a linha de referência corta o círculo primitivo de usinagem. O deslocamento do perfil “x.m” é a distância entre a linha de referência e a linha primitiva de usinagem. O coeficiente de correção ou simplesmente correção é o deslocamento do perfil dividido pelo módulo da cremalheira ferramenta. m mxx ⋅= Usa-se desta maneira x1 para designar a correção no pinhão e x2 para a roda. Na Figura 4.20 vê-se uma roda dentada com correção positiva e na Figura 4.21 pode-se ver tanto a correção positiva como a correção negativa. Observe-se que a correção positiva torna o dente aguçado na ponta e a correção negativa adelgaça o dente em sua raiz. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 95 Prof. Douglas Roberto Zaions Dedendo ( ) mxhf ⋅+= 225,1 Altura do dente mh ⋅= 25,2 4.9.3 Tipos de Engrenamentos Na figura ao lado, podemos ver os três tipos de engrenamentos: 1. Engrenamento Zero ou Normal (a); 2. Engrenamento V zero (c); 3. Engrenamento V (b); Figura 4.22 – Tipos de Engrenamentos Fonte: Niemann (1977) 4.9.3.1 Engrenamento Zero ou Normal Consideramos uma roda e um pinhão usinados com uma mesma cremalheira ferramenta com módulo mo e ângulo de pressão α. Consideremos ainda que durante a usinagem a linha primitiva de usinagem da cremalheira coincidiu com a linha de referência. Desta maneira teremos usinado uma roda e um pinhão normais. Nos itens anteriores, já estudamos as características do dentado normal. Tem-se para a distância entre centros normal as seguintes relações(Tabela 4.8): Tabela 4.8 - distância entre centros normal para engrenagens com dentes externos e internos Dentes externos Dentes Internos Engrenagens cilíndricas de dentes retos 2 12 dda + = 2 12 dda − = Elementos de Máquinas III 96 Para o recobrimento obtivemos as expressões, onde o sinal superior se refere as engrenagens externas e o inferior as internas. [ ] α α senarrrr p R bb aa ⋅−±−⋅⋅ = m22 22 1 2 21 cos 1 O número mínimo de dentes sem adelgaçamento do pé do dente pode ser obtido a partir da expressão geral do limite de interferência ou adelgaçamento já visto: Equação 4.1 ( ) α α 2 12 2 2 2 1 2 22 senrh hsenr r a a ⋅⋅−⋅ −⋅ = Uma vez que para o engrenamento normal temos: 2 1 1 Zm r o ⋅ = 2 2 2 Zm r o ⋅ = oa mh =2 oαα = desta maneira, a cada z1 obtemos um valor de z2 para que não haja interferência. A Tabela 4.9 relaciona alguns valores: Tabela 4.9 – Relação do número de dentes sem interferência de fabricação αo 2 1 r r 15o 21/22 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 27/195 20o 13/16 14/26 15/50 16/101 17/1310 18/∝ Desta maneira, se usinarmos um pinhão de 13 dentes com uma engrenagem ferramenta Fellows de 16 dentes, não haverá adelgaçamento do pé do dente do pinhão. Se o pinhão for engrenado com uma roda com número de dentes maior do que o da engrenagem ferramenta haverá interferência. Tem-se que: Equação 4.2 α α 2 1 22 1 2 24 4 senz senzz ⋅⋅− −⋅ ≤ A partir desta expressão podemos determinar o número mínimo de dentes z1 para engrenar com a cremalheira sem haver interferência. Neste caso limite temos Z2=∝, logo. 024 21 =⋅⋅− αsenZ Equação 4.3 α21 2 sen z = UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 97 Prof. Douglas Roberto Zaions Onde substituindo pelo ângulo de pressão de usinagem, temos o valor procurado para z1. Abaixo na Tabela 4.10 temos alguns valores: Tabela 4.10 - Número mínimo de dentes Z1 α 15o 15,50 200 250 30o Z1 30 22 17 11 8 A vantagem de usinar engrenagens com ferramenta Fellows é que se consegue rodas com menor número de dentes, sem adelgaçamento do pé do dente. Compare-se por exemplo, para αo=20o, obtemos o mínimo de 17 dentes com a cremalheira ferramenta e de apenas 13 dentes se for usinado com ferramenta Fellows de 16 dentes. Como desvantagens, um pinhão gerado por Ferramenta Fellows só pode engrenar com outro de mesmo ou menor número de dentes, a fim de evitar interferência. Um pinhão gerado por cremalheira pode engrenar com qualquer número de dentes sem haver problemas de interferência. Com ângulo de pressão de 30o, podemos obter um pinhão de 7 dentes com ferramenta Fellows de 17 dentes e um pinhão de 8 dentes com cremalheira ferramenta, sem haver adelgaçamento do pé do dente. 4.9.3.2 Engrenamento V0 (Vê-zero) Ao engrenamento obtido com um pinhão com correção x1 e uma roda com correção x2, e que trabalhem de tal maneira que as circunferências primitivas de funcionamento sejam as de usinagem, denomina-se engrenamento V0. O ângulo de pressão de funcionamento corresponde então ao ângulo de pressão α da cremalheira ferramenta. Sobre os círculos primitivos de usinagem os dentados tem o mesmo passo: Chamando-se: S1 - espessura primitiva dos dentes do pinhão S2 - espessura primitiva dos dentes da roda e1 - vão primitivo dos dentes do pinhão e2 - vão primitivo dos dentes da roda. Sabendo-se que o passo vale om⋅π tem-se que: Equação 4.4 ( ) ( )2211 SeSemp oo +=+=⋅= π