Transformadas Z [Fundamentos Mat. p/ Sinais e Controle]

Transformadas Z [Fundamentos Mat. p/ Sinais e Controle]

(Parte 1 de 3)

J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z

6 – Transformadas z

6.1 – Introdução às Transformadas z 4 6.2 – Transformadas z – definição 7 6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos 8

Sinal x[n] = an ⋅u1[n] (exponencial discreto) 8

Exemplo 6.1 8

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) 9 Exemplo 6.2 10

Exemplo 6.3 12 6.4 – Pólos discretos 13

Exemplo 6.4 13 6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos 15

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta) 15

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto) 16 Exemplo 6.5 17

Exemplo 6.6 17 6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos 18

Exemplo 6.7 18 Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial 19 Sinais seno e co-seno discretos 20 Exemplo 6.8 21

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6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos 2 6.9 – Propriedades da Transformada z 24

Homogeneidade (“homogeneity”) 24 Aditividade (“additivity”) 24 Linearidade (“linearity”) 24 Translação (“time shifting”) 24 Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”) 26 Expansão no tempo (“time scaling”) 27 Conjugado (“conjugate”) 27 Convolução (“convolution”) 28 Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”) 28 6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 29

Teorema do Valor Inicial (TVI) 29 Teorema do Valor Final (TVF) 29 Exemplo 6.9 29 Exemplo 6.10 30 6.1 – Transformada z inversa 31

Caso 1 – Pólos reais e distintos 32 Exemplo 6.1 32 Caso 2 – Pólos complexos conjugados 3 Exemplo 6.12 35 Exemplo 6.13 35 Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 36 Exemplo 6.14 38 Exemplo 6.15 38 Exemplo 6.16 39 Caso 4 – Pólos múltiplos na origem 39

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6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z 41

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Transformadas z

6.1 – Introdução às Transformadas z

Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5).

No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z.

A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é ‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discretos.

Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna.

As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731).

As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de sistemas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, etc.

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Fig. 6.1 – Brook Taylor (1685–1731) à esquerda, Karl Weierstrass (1815–1897) ao centro e Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), à direita.

Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos:

resultados que serão utilizados mais adiante.

Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta introdução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’ (P.G.) de razão q ≠ 0,

Isto é, se

ou, equivalentemente

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A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz 1q< , isto é

–1 < q < 1 , então, a soma S de todos os termos é dada por:

Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo:

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6.2 – Transformadas z – definição

Para representar as transformadas z de um sinal discreto x[n] usa-se seguinte a notação:

que é semelhante à notação adoptada para as Transformadas de Laplace no capítulo anterior.

A definição das Transformada z unilateral de um sinal discreto x[n] é:

onde C∈z é um número complexo.

A eq. (6.6) acima é chamada de Transformada z unilateral pois é definida para sinais x[n] onde x[n] = 0 para n < 0 e é a definição de Transformada z adoptada aqui pois, a exemplo da Transformada de Laplace (capítulo 5), é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos.

Além desta definição de Transformada z unilateral (para n = 0, 1, 2, …) que adoptamos aqui, há também a Transformada z bilateral (que é definida para ∀n, ou seja: n = 0, ±1, ±2, …).

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6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos

Nesta secção serão apresentados as Transformadas z do sinal discreto x[n] = an , assim como de x[n] = u1[n] = degrau unitário, partindo da definição de X(z) dada em eq. (6.6).

Sinal x[n] = an ⋅u1[n] (exponencial discreto)

Considere o sinal discreto:

onde u1[n] é o degrau unitário discreto. Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é:

n 0n n

que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a⋅z

ou

Exemplo 6.1: Considere o sinal x[n]

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que se encontra ilustrado na figura 6.3.

Fig. 6.3 – O sinal x[n] do exemplo 6.1.

Agora, usando a definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que:

Note que o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem

[eq. (6.6), definição de Transformada z unilateral].

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) No caso particular de a = 1 no sinal anterior, corresponde ao sinal x[n] = u1[n] que é o degrau unitário discreto.

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Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z de u1[n] é:

ou,

Exemplo 6.2: Considere o sinal discreto.

A Transformada z deste sinal é:

n n n n n n ou seja,

Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e 1 = 1/3, descobre-se que:

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e que z z z

e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que:

Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z , a semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na secção 6.9 (Propriedades da Transformada z).

Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que:

que também equivale a:

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Exemplo 6.3:

Considere a Transformada z do sinal x[n] = an

ou seja,

az z

Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que:

Logo, az z)z(X

Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos

0npara,a e portanto,

que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da

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6.4 – Pólos discretos

Conforme visto no capítulo anterior [na secção 5.8, eq. (5.20) ], uma fracção racional é uma fracção em que ambos o numerador e o denominador são polinómios:

As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”.

A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.1), é uma fracção racional cujos pólos são:

As Transformadas z dos sinais x[n] = an ⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9) , são fracções racionais cujo único pólo é:

z = a no caso eq. (6.8), e

no caso eq. (6.9)

z = 1

Exemplo 6.4: Considere o sinal discreto da exponencial truncada

que encontra-se esboçado na figura 6.4.

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Fig. 6.4 – O sinal x[n] do exemplo 6.4, 0 < a < 1. A Transformada z deste sinal é:

n 0n n za za)z(X

e portanto X(z) é a soma SN dos N primeiros termos da progressão geométrica com o

primeiro termo a1 = 1 e a razão

z 1 az

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Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem). Entretanto, analisando agora o numerador desta Transformada z ou seja

N az = que nos dá a seguinte solução:

pi

que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) do numerador desta Transformada z.

Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que:

z = a.

Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo. Logo eles se can- celam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0.

6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

tem a seguinte Transformada z :

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que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = z –1 e a razão q = z também. Logo, usando a eq. (6.5) temos que:

ou

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

tem a seguinte Transformada z :

ou seja,

que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo

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Exemplo 6.5:

Considere o sinal discreto x[n],

que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade de tempo para a direita.

A Transformada z deste sinal é:

ou seja,

Exemplo 6.6: Considere o sinal discreto x[n],

que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de tempo para a direita.

A Transformada z deste sinal é:

mmn

ou seja,

Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a

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A expressão encontrada no Exemplo 6.1 poderia ser obtida usando a Transformada z do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e eq. (6.15), ou seja,

Z e

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos

Inicialmente vamos ver um exemplo do sinal discreto de uma exponencial multiplicada por um seno.

Exemplo 6.7: Considere o sinal discreto:

Usando a equação de Euler temos:

A Transformada z deste sinal é: { }

pi ⋅ pi ⋅ n n4jn4j e eeZ ou seja,

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Note que os dois pólos desta Transformada z são:

A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto na secção 6.3, em que primeiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta, também aqui vamos inicialmente apresentar a Transformada z para os casos de seno e co-seno multiplicados por exponenciais discretas an .

Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial

têm as seguintes Transformadas z :

o n

o n

que equivalem a

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Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] com e

e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser reescrita como:

pi− pipi− que, usando as equações de Euler (secção 1.5) e substituindo ()2/24/sen=pi, a eq. (6.2) se torna em z4 sen

que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21).

Sinais seno e co-seno discretos x[n] = sen(ωon)⋅u1[n] y[n] = cos(ωon)⋅u1[n] têm as seguintes Transformadas z :

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Exemplo 6.8: Considere o sinal x[n]

ou seja,

Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que:

nn1n

e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada z deste sinal é:

As Transformadas z introduzidas nesta secção assim como nas duas secções anterio-

an cos(ωon), etc.) estão reunidas numa tabela na secção a seguir.

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6.8 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos

Da mesma forma que foi feito na secção 5.7 para Transformadas de Laplace, nesta secção apresentamos uma Tabela das Transformadas z de alguns sinais discretos.

Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos

1 zX z z zX z

1 zX z z a1 a z

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Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos (continuação) x[n] X(z) = Z { x[n] }

= an a z a zX z

a sen( ) zX z 1 2 a cos( ) z a z a z sen( ) z 2 a z cos( ) a z z a cos( ) z 2 a z cos( ) a

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6.9 – Propriedades da Transformada z

A seguir vamos ver algumas propriedades que são satisfeitas pela Transformada z .

Homogeneidade (“homogeneity”)

Aditividade (“additivity”)

Linearidade (“linearity”)

Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas:

onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transformadas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente.

Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da linearidade da Transformada z permite escrever

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Translação (“time shifting”):

Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja x[n] = 0, n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de m = 1 (shift de 1 unidade para direita):

Para m = 2 (shift de 2 para direita):

e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita)

na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace (capítulo 5, secção 5.4).

Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada z unilateral, conforme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 (secção 5.4) consideramos a Transformadas de Laplace unilateral.

Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m para direita) equivale a multiplicar por z – m (no domínio z, da frequência).

Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.3) se transformam na forma bem mais simplificada, resumidas na eq. (6.35).

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No caso de translação de m = –1 (shift de 1 unidade para esquerda):

para m = –2 (shift de 2 para esquerda):

e no caso geral, m = –1, –2, –3, … (shift de |m| para esquerda):

Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”):

onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por

X(z). Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por αn no domínio do tempo.

Em particular, se α = e jω , então, como e jω = 1, ∀ ω, ωω zX]n[x jnj eeZ

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Expansão no tempo (“time scaling”): Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo.

kdemúltiploénãonse,0 kdemúltiploénse,]k/n[x ]n[x)k( o qual está ilustrado na figura 6.5 para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, …

Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade: { } ( )kzX]n[x )k( =Z

Conjugado (“conjugate”)

Onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z).

Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então:

logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a* .

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Convolução (“convolution”)

Semelhantemente às transformadas de Fourier e de Laplace, também na Transformada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z:

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