Apostila de Vibrações

Apostila de Vibrações

(Parte 1 de 6)

Universidade Estadual do Oeste do Paraná

UNIOESTE/Campus de Foz do Iguaçu Centro de Engenharias e Ciências Exatas - CECE

Vibrações Mecânicas

Notas de Aulas Prof. Dr. Samuel da Silva

Foz do Iguaçu, 2008.

Prefácio

Este texto apresenta as notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Esta apostila não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área [7], [5], [10] ou [12], mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas. Assim, é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complementar e reforçar o assunto. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente, sendo assim, sugestões, correções e comentários são muito bem vindos. Gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Milton Dias Junior da FEM/UNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1. Boa leitura e estudo!

Sumário

Lista de Figuras 4

1.1 Exemplos de aplicação8
1.1.1 Análise vibro-acústica8
1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações1
1.1.4 Integridade estrutural1
1.2 Conceitos básicos12
1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas13
1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos13
1.2.3 Forças de excitação14
1.2.4 Análise de sistemas equivalentes18
1.2.5 Posição de equilíbrio estático20
1.3 Classificação das vibrações mecânicas20
1.4 Exercícios resolvidos21
1.5 Exercícios25

1 Introdução 8 1.1.2 Análise modal experimental e modificação estrutural . 9

2.1 Vibrações livres não-amortecidas30
2.2 Vibrações livres amortecidas36
(0 < ξ < 1)39
2.2.2 Movimento superamortecido ou super crítico(ξ > 1)42
cido (ξ = 1)43
2.3 Decremento logarítmico4
2.4 Exercícios47

2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 28 2.2.1 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico 2.2.3 Movimento amortecido criticamente ou crítico amorte-

3.1 Vibração causada por excitação harmônica52

3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 51 3

rotativas58
3.3 Função de resposta ao impulso (IRF)61
3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário63
3.5 Método da integral de convolução65
3.6 Função de transferência e métodos freqüênciais6
3.6.1 Transformada de Laplace6
3.6.2 Função de resposta em freqüência (FRF)68
por vibrações forçadas79
3.9 Exercícios79

3.2 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas 3.7 Estimativa experimental de IRFs e FRFs: Análise Espectral . 70 3.8 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento

4.1 Isolamento de Vibrações85
4.1.1 Isolamento ativo86
4.1.2 Isolamento passivo8
4.2 Tipos de Amortecimento91
4.2.1 Amortecimento de Coulomb91
4.2.2 Amortecimento histerético93
4.2.3 Amortecimento proporcional94
4.3 Técnicas de Medição95
4.3.1 Medição em campo95
4.3.2 Medição em laboratório96
4.3.3 Transdutores para medição de vibrações97

4 Isolamento de Vibrações, Tipos de Amortecimento e Técnicas de Medição 85

5.1 Equações de Lagrange100
5.2 Solução via modos normais: análise modal analítica103
5.2.1 Vibrações livres: sistema sem amortecimento104
cional109
5.3 Vibrações forçadas115
5.4 Introdução à análise modal experimental119
5.5 Exercícios128

5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 9 5.2.2 Vibrações livres: sistema com amortecimento propor- Referências Bibliográficas 132

1.1 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros10
1.2 Alguns modos de vibrar da porta1
1.3 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississípi em 200712
1.4 Sistema torsional14
1.5 Exemplo de força harmônica16
1.6 Exemplo de força periódica16
1.7 Exemplo de força transitória17
1.8 Exemplo de força aleatória17
1.9 Sistema massa-mola-amortecedor18
1.10 Sistema mecânico como molas em paralelo19
1.1 Sistema mecânico como molas em série19
1.12 Exemplo 121
1.13 Exemplo 22
1.14 Exemplo 2 - solução2
1.15 Exemplo 323
1.16 Exemplo 3 - solução24
1.17 Exemplo 425
1.18 Exercício 126
1.19 Exercício 226
1.20 Exercício 327
1.21 Exercício 427
2.1 Sistema massa-mola-amortecedor29
gdl para várias condições iniciais diferentes32
2.3 Sistema massa-mola com 1 gdl3
2.4 Vagão batendo em uma mola34
2.5 Sistema com 1 gdl35
2.6 DCL do sistema35
2.7 Exemplo de resposta do sistema subamortecido40
com movimento subamortecido41

Lista de Figuras 2.2 Exemplo de resposta de sistema livre não-amortecido com 1 2.8 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl 5

2.10 Resposta do sistema superamortecido43
2.1 Resposta do sistema criticamente amortercido4
sucessivas45
2.13 Resposta livre do sistema47
2.14 Resposta livre do sistema estrutural49
2.15 Resposta ao impulso h(t)50

2.9 Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores. . . 42 2.12 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes

tema com 1 gdl54
3.2 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl56
3.3 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada58
3.4 Curva da função Λ (r, ξ)59
3.5 Exemplo de resposta ao impulso h(t) de um sistema62
um grau de liberdade64
grau de liberdade71
com 1 grau de liberdade72
um sistema com 1 grau de liberdade73
3.10 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico74
3.1 Exemplo de um sinal estacionário75
3.12 Distribuição de partes de um sinal estacionário76
IRF discreta h[n]78
3.14 Conjunto moto-bomba83
3.16 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade84

3.1 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sis- 3.6 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com 3.7 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1 3.8 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema 3.9 Gráfico da parte real e imaginária da FRF (compliância) para 3.13 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma 3.15 FRF (Compliância) para um sistema com 1 grau de liberdade. 84

4.2 Transmissibilidade Absoluta do sistema8
4.3 Exemplo de máquina como isolamento passivo89
5.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade100
5.2 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade102
5.3 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo114
excitação harmônica116

4.1 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores. 86 5.4 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de 6

aplicado na massa 1118
5.6 Resposta experimental da estrutura ensaida124
5.7 FRFs experimentais124
5.8 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade128
5.9 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade128
5.10 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade129
5.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade129
5.12 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade130
5.13 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade131

5.5 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação F(t) 7

Capítulo 1 Introdução

A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas. Inicialmente, apresenta-se uma lista de algumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta disciplina, com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações. Em seguida, destaca-se formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações, como graus de liberdade, elementos de um sistema vibratório, forças de excitação, análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático. Por fim, é mostrada uma forma de classificar os problemas de vibrações. Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos.

1.1 Exemplos de aplicação

Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina.

1.1.1 Análise vibro-acústica

A análise vibro-acústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de ruído ou vibração excessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em projetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo.

Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel. O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel. O es- tudante deve lembrar do conceito de ressonância1, estudado em física básica. Assim, se a freqüência de rotação do motor coincidir com alguma freqüência natural da estrutura do automóvel, como as freqüências naturais do capo, pode ocorrer um efeito trágico. Portanto, durante o projeto de um carro, os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as freqüências naturais do sistema como um todo e de seus componentes, para se evitar ressonância, ou mesmo ruído indesejável em paíneis, interior, etc2.

Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em estruturas aeronáuticas [2]. Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação (ocasionadas sobretudo devido ao despreendimento de vortíces). Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante de uma interação entre forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas. Assim, para uma aeronave ser certificada pelo CTA/FAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre freqüências de ressonância em função das velocidades de vôo, peso, altitude, pressão, etc. Conseqüentemente, as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas, muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório.

1.1.2 Análise modal experimental e modificação estrutural

A análise modal experimental (AME) consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico. Os parâmetros modais são parâmetros característicos do sistema e são compostos por freqüências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Se forem corretamente obtidos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático.

A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáutica. Um exemplo interessante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores [8]. Nesta aplicação, a empresa fabricante do automóvel constatou que em determinadas velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista, o que poderia provocar desconforto, além do risco de acidente. Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em velocidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor, vista na figura (1.1). Depois de extraído os modos naturais,

1O Cap. 2 irá definir formalmente o que é ressonância. 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente? vistos na figura (1.2), constatou-se que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades. A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema.

(a) Carro com instrumentação usada no ensaio.

(b) Detalhe da porta. Fig. 1.1: Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros.

Fig. 1.2: Alguns modos de vibrar da porta.

1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações

Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3, como rolamentos, mancais, conexões, etc. apresentam algum defeito, como desalinhamento, desbalanceamento, trinca, etc. o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão. Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados: referência (sem dano) e com dano. Assim, é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não. Adicionalmente, com aplicação de análise espectral, pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apresenta. As unidades de geração de usinas hidrelétricas, como as de Itaipu, são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas.

1.1.4 Integridade estrutural

Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmicas de estruturas como pontes, fuselagens de aeronaves, estruturas offshore, barragens, etc. visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas. Esta é uma área multidisciplinar, que compreende estudo de materiais, ferramentas estatísticas, reconhecimento de padrões, análise de tensões e

3Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais, compressores, turbinas, etc.

principalmente vibrações mecânicas. Assim, como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações, a medição de vibração mecânica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia.

Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississípi, na cidade de Minéapolis nos Estados Unidos, figura 1.3. A ponte tinha sido inspecionada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado, porém um estudo conduzido anteriormente em 2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades. O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos.

Fig. 1.3: Desabamento de ponte sobre o o rio Mississípi em 2007.

1.2 Conceitos básicos

Vibração é definida como um movimento periódico, i.e., uma oscilação de uma partícula, um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio. A seguir alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas.

4A ponte foi construída em 1967.

1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas

O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes necessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um conjunto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.

1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos

Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amortecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é

(Parte 1 de 6)

Comentários