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Capítulo 3 DERIVADAS

A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.

Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.

É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.

CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.

EXEMPLO Considere a seguinte função:

2x)x(f= Primeiramente, vamos escolher dois valores de x:

1x0= e 2x1= Os valores de y correspondentes a esses pontos são:

Então, a curva da função passa pelos pontos:

)4,2()y,x(Q11== Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:

x yyx y m

O denominador do coeficiente angular é igual a:

1xxx01=−=∆ Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:

)21,1 , 1,1()y,x(Q11== O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

x yyx y m

Sendo que:

As coordenadas do ponto Q são iguais a:

)0201,1 , 1,1()y,x(Q11== O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:

x yyx y m

Sendo que:

01,0101,1xxx 01 =−=−=∆ Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:

À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2.

A situação, quando ∆x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo:

Note que esse é um processo limite dado por:

x ylimm 0x ∆

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado.

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite:

Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q:

Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por:

x yyx y m

À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P:

No limite, quando ∆x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função:

Derivada = x )x(f)x(flim 0x ∆

→∆ Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente:

Derivada = h

A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): )x(f ′

Então:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido.

No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano).

Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico:

Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1.

Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções.

• 5)x(f= 5)x(f=∆+ (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5)

Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero.

Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular.

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade.

A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por: nxk)x(f⋅=

EXEMPLO Calcular a derivada da função:

SOLUÇÃO Pela regra geral:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo:

• 2x)x(f= Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada vista anteriormente:

Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x.

• 3x)x(f= Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada:

Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2.

Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada:

Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1.

A regra geral para o caso de funções raiz é dada por: qpxk)x(f⋅=, com q>p q pqxq

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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EXEMPLO Encontrar a derivada da função:

SOLUÇÃO Aplicando a regra para funções raiz:

Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada:

Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador.

Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada:

Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x elevado à potência 3 no denominador.

Primeiramente, vamos modificar essa função:

Aplicando a regra da derivada:

Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x elevado à potência 4 no denominador.

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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A regra geral esse tipo de função é dada por:

EXEMPLO Encontrar a derivada da função:

SOLUÇÃO Aplicando a regra estabelecida:

Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x).

EXEMPLO Encontrar a equação da reta tangente a 2x)x(f= no ponto 3x0=.

O coeficiente angular da reta tangente à função 2x)x(f= é dada por: x2)x(f =′

No ponto 3x0=, o valor do coeficiente angular é igual a:

632)3(f)x(f 0 =⋅=′=′ Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso,

Então, a reta tangente passa pelo ponto P:

)9,3()y,x(P00== Logo, a equação procurada é dada por:

9x6y−= O resultado é mostrado no gráfico ao lado.

É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse intervalo.

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente:

Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir mostra o resultado desse cálculo.

Função Derivada )x(sen)x(f= )xcos()x(f=′

EXEMPLO Provar que, se xe)x(f= então xe)x(f=′.

SOLUÇÃO Primeiramente, devemos calcular:

A derivada da função é dada pelo seguinte limite:

x x

Para resolver esse limite, vamos fazer:

Pela equação anterior, podemos concluir que:

0u→ quando 0x→∆ Substituindo no limite:

1lim)u1ln( ulim x

1 eln

1x 1elim

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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PROPRIEDADES DA DERIVADA A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades:

, desde que g(x)≠0

EXEMPLO Calcular as derivadas:

Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um.

A segunda derivada é expressa por: ])x(f[)x(f ′′=′′

Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada.

EXEMPLO Encontrar a segunda derivada da função:

SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por:

Então, a segunda derivada é igual a: x6)x2(3)x(f =⋅=′′

Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte forma: ])x(f[)x(f ′′′=′′′

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez.

EXEMPLO Encontrar a quinta derivada da função:

SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por:

9x10])x(f[)x(f =′=′ A segunda derivada é igual a:

Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a notação de uma função é feita de uma das seguintes formas: f(x) ou y

EXEMPLO A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo:

A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo:

A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas:

E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada:

A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos conhecer a derivada de funções do tipo: ))x(g(fy=

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Nesse caso, vamos fazer: )x(gu=

Então a função inicial se torna: )u(fy=

A derivada de y em relação a x é dada por:

dx du du dy du du dx dy dx

Essa expressão é conhecida como regra da cadeia. Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples:

EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função:

SOLUÇÃO Podemos notar que a função 2x)x(g= está dentro da função seno. Devemos fazer então:

A função y se torna: )usen(y=

A derivada de y em relação a u é igual a: )ucos()u(y =′

A derivada de u em relação a x é igual a: x2)x(u =′

Então a derivada de y em relação a x é dada por:

x2)ucos( dx

Substituindo u por x 2 na equação anterior:

x2)xcos( dx

EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

SOLUÇÃO Note que a função x2xx)x(g23++= está dentro da função quadrática. Devemos fazer:

x2xxu23++= A função y se torna então:

A derivada de y em relação a u é igual a: u2)u(y =′

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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A derivada de u em relação a x é igual a:

2x2x3)x(u 2 ++=′ Então a derivada de y em relação a x é dada por:

Substituindo a expressão de u na equação anterior:

Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula:

dx df df df df df df dy

Ou na forma mais simples:

EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo:

SOLUÇÃO Para resolver o problema, devemos fazer:

32xf= A função y se tornará então:

))f(ln(seny2= Agora fazemos:

)fln(f21= Isso torna a função y igual a:

)f(seny1= Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x:

2 x3)x(f =′ Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2:

O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece:

A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia:

Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função: 2

Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia:

dg dg du du df dx

Primeiramente, devemos fazer:

σ µ−=xg

A função f se tornará então:

piσ =

Agora fazemos:

Isso torna a função f igual a:

Começaremos calculando a derivada de g em relação a x:

Lembre-se que o parâmetro µ que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g: g)g(u −=′

O cálculo da derivada de f em função de u fornece:

Note que o parâmetro piσ 2 1 é constante, portanto, devemos derivar apenas a função exponencial. A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia:

df u

Substituindo os valores de u e g:

piσ

A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ?

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada dx dy :

dydx dydy dx dy ÷

Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra:

dx1 dx dy =

EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo:

)x(arcseny=

SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por:

Derivando a expressão anterior:

)ycos( dy dx =

Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

ycos1 dx dy =

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y através da relação trigonométrica fundamental:

22x1ysen1ycos−=−= Substituindo na expressão da derivada:

Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a

EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo:

xlny=

SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por:

xey =

Derivando a expressão anterior:

ye dy dx =

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Então, a derivada de y em relação a x é igual a:

ye1 dx dy =

O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y sabendo que:

xey =

Então:

x1 dx dy =

Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a x

Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas:

Função Derivada

Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte representação: )x(fy=

EXEMPLO São funções explícitas:

)xcos(y= Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas.

Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma: 0)y,x(f=

A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de funções explícitas.

EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita:

SOLUÇÃO Tomando a derivada em relação a x nos dois membros:

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

Fazendo 2yu=, podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia:

dx dy dy du dx dx dyy2)y( dx

Chamando 2xu=, podemos calcular a derivada do segundo termo:

x2 dx du =

As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

Isolando dx dy no primeiro membro teremos:

yx y2 x2 dx

EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita:

SOLUÇÃO Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar:

O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções:

y dx dy x dx dxy dx dyx)xy( dx

Chamando 2xu=, podemos calcular a derivada do segundo termo:

x2 dx du =

As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem:

x2y dx dy

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS

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