(Parte 1 de 2)

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Telefone: (011) 211.2998 818.5221/5223 Fax (011) 211.4308 818.5714

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 18 de outubro de 2005 Duração: 100 minutos. Não é permitido o uso de calculadoras.

Questão 1 (3,5 pontos) O aro de raio 3R e espessura desprezível gira sem escorregar em relação ao solo. Os discos de raio R giram sem escorregar em relação ao aro. A barra AB está articulada aos centros dos discos de raio R, conforme mostra a figura. O vetor de rotação do aro é k r w=.

Sabendo que a barra AB tem movimento de translação pura, pede-se, no instante mostrado na figura: (a) Determinar a posição do CIR (centro instantâneo de rotação) do aro e o vetor velocidade Evr do ponto E do aro (ponto de contato entre o aro e o disco de centro B).

(b) Determinar graficamente o CIR do disco de centro A e o CIR do disco de centro B.

(c) O vetor de rotação Bwr do disco de centro B.

(d) A velocidade de translação ABvr da barra AB.

Questão 2 (3,0 pontos)

A figura mostra um sistema de 3 polias, de centros fixos A, B e C e um carretel de centro D. A polia de centro C, raio 4R e velocidade angular W , movimenta a correia sem que haja escorregamento. No núcleo de raio R, do carretel de raio externo 2R e centro D, está enrolado um cabo que é puxado para a esquerda a uma velocidade constante V. Admitindo que não haja escorregamento no contato entre o carretel e a correia, pede-se: (a) A velocidade U de progressão da correia. (b) Indicar graficamente o CIR do carretel.

(c) Para quais valores de V o cabo desenrola do núcleo do carretel? Justifique.

Questão 3 (3,5 pontos) O disco de centro O e raio r gira em torno do eixo BO com velocidade angular

(a) O vetor de rotação aWr do eixo BO e o vetor de rotação DWr do disco.

(b) A velocidade vr do ponto P, indicando suas componentes de arrastamento, avr e relativa rvr

(c) A aceleração ar do ponto P, indicando suas componentes de arrastamento, aar , relativa rar e complementar car

(d) O vetor aceleração angular absoluta DW&r do disco de centro O.

3R w i r j r

C 4R

D 2R R i r jrcorreia cabo

B x z w 1

C q f

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GABARITO Questão 1 (3,5 pontos)

O aro de raio 3R e espessura desprezível gira sem escorregar em relação ao solo. Os discos de raio R giram sem escorregar em relação ao aro. A barra AB está articulada aos centros dos discos de raio R, conforme mostra a figura. O vetor de rotação do aro é k r w=.

Sabendo que a barra AB tem movimento de translação pura, pede-se, no instante mostrado na figura: (a) Determinar a posição do CIR (centro instantâneo de rotação) do aro e o vetor velocidade Evr do ponto E do aro (ponto de contato entre o aro e o disco de centro B). (b) Determinar graficamente o CIR do disco de centro A e o CIR do disco de centro B.

(c) O vetor de rotação Bwr do disco de centro B.

(d) A velocidade de translação ABvr da barra AB.

Solução a) Como não há escorregamento no contato entre o aro e o plano, o CIR do aro é o ponto H (ponto de contato).

k R ij v v E H v R ijwww == +

14243;(1,0)

r r

b)As velocidades dos pontos D e E são ortogonais às retas DH e EH, respectivamente, como indicado na figura. Como a barra ABC tem movimento de translação pura, todos os seus pontos têm velocidades na direção horizontal. Portanto, o CIR do disco de centro A está na interseção da reta vertical por A com a reta DH, e o CIR do disco de centro B está na interseção da reta vertical por B com a reta EH, conforme mostrado na figura.

k Ri v v C H v Riw w==Ù-fi =- r r

k Ri v v B E v R i j Rjw w w-

Igualando as duas expressões acima, chega-se a 33BBkwwww=Þ=r. (1,0) d) Como todos os pontos da bara têm a mesma velocidade, 3ABvRiw=-r. (0,5)

3R w ir H j r vD vE

3R w i r j r

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Questão 2 (3,0 pontos)

A figura mostra um sistema de 3 polias, de centros fixos A, B e C e um carretel de centro D. A polia de centro C, raio 4R e velocidade angular W , movimenta a correia sem que haja escorregamento. No núcleo de raio R, do carretel de raio externo 2R e centro D, está enrolado um cabo que é puxado para a esquerda a uma velocidade constante V. Admitindo que não haja escorregamento no contato entre o carretel e a correia, pede-se: (a) A velocidade U de progressão da correia.

(b) Indicar graficamente o CIR do carretel. (c) Para quais valores de V o cabo desenrola do núcleo do carretel? Justifique.

Solução a) Todos os pontos da correia têm a mesma velocidade escalar 4UR=W. (1,0)

b)(1,0)

c) Para que o fio desenrole é necessário que o carretel gire no sentido anti-horário, isto é, deve ter vetor de rotação k r w=, com 0>w. Esta condição se verifica mesmo que o fio seja puxado para a direita, desde que com uma velocidade escalar inferior a U. De fato, sendo F o ponto em

jRiRE iV

F EFkVV w, resultando R VR3

Portanto, o fio desenrola do carretel se RVW<4. (1,0)

C 4R

D 2R R i r jrcorreia cabo

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Questão 3 (3,5 pontos)

O disco de centro O e raio r gira em torno do eixo BO com velocidade angular

(a) O vetor de rotação aWr do eixo BO e o vetor de rotação DWr do disco.

(b) A velocidade vr do ponto P, indicando suas componentes de arrastamento, avr e relativa rvr

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