Gabarito sub 2005

Gabarito sub 2005

(Parte 1 de 2)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica - Av. Prof. Mello Moraes, 2231 - São Paulo - SP - 05508-900 Brasil- Tel: (011) 3091-5355 - Fax: (011) 3091-1886

PME2100 – Mecânica A

Prova Substitutiva – 06 de Dezembro de 2005 – Duração: 100 minutos Importante: não é permitido o uso de calculadoras

1 – (4,0 pontos) O piso é o referencial fixo, e a coluna prismática (paralela ao eixo Oz) está fixa neste piso. O centro O do disco também não se move em relação ao piso. O vetor de ro- tação do disco de raio R é k rωω= (ω constante). A bara AB tem comprimento 2L, está vinculada em A na periferia do disco e em B no cursor, por meio de juntas esféricas e, no instante mostrado na figura, é paralela ao eixo Oz. A esfera (de centro P) se move ao longo da barra AB, com velocidade v (constan- te) e encontra-se no meio da barra, no instante mostrado na figura. Considerando este mesmo instante:

a) Determine a velocidade Avr do ponto A, o vetor de rotação

Ωr da barra AB, e a velocidade Bvr do ponto B. Considere que a componente de Ωr na direção vertical seja nula em todos os instantes.

b) Adotando a barra AB como referencial móvel, determine as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P.

c) Determine a aceleração Aar do ponto A, a aceleração Bar do ponto B e a aceleração angular αr da barra AB d) Determine as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P.

Solução:

rω=

⇒Ω+Ω−=− iLjLjRkv yxB r=Bv , LR x 2 b) kvvrelP r=,

RBPvv BarrP r ω jRv arrP

⇒+= arrPrelPabsP v ,,, r kvjRv absP

RkLjiiRka yxB r ωωααω ;2

RiLjLiRka yxB rωααω−+−−=−

2ωα jL R r 2 x y

Coluna prismática Cursor

Disco de centro O

Esfera de centro P Barra AB

R v

Oxyz é fixo em relação ao piso. piso

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RiL RkLjL

RiRAPAPaa AarrP

2, ωωω kL

RiRa arrP

⇒∧=∧Ω= kviL Rva relPcorP vRa corP rω−=, r kL RjL vRiRa absP

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mg mg

Mg N

T Fat

PME2100 – Mecânica A

Prova Substitutiva – 06 de Dezembro de 2005 – Duração: 100 minutos Importante: não é permitido o uso de calculadoras

2 - (6,0 pontos) A figura mostra uma barra homogênea de massa m e comprimento L, articulada em O e C e um disco homogêneo de massa m , raio R e articulado em C. O sistema "barra e disco" é mantido em repouso na posição horizontal por um fio ideal ligado ao disco no ponto B e cuja outra extremidade está ligada a um bloco de massa M no ponto A. O coeficiente de atrito entre o bloco e sua superfície de apoio é μ, mas nas articulações e na polia o atrito é nulo. Na situação apresentada:

a) Determine as reações do vínculo em O e a tração no fio, e determine o eixo central do sistema de forças externas que atuam no sistema "barra e disco".

b) Calcule o mínimo coeficiente de atrito μ compatível com o equilíbrio.

Nos itens seguintes considere que o fio foi cortado:

c) Considerando o instante imediatamente posterior ao corte do fio, determine as reações do vínculo em O e determine o eixo central do sistema de forças externas que atuam no sistema "barra e disco".

d) Usando o Teorema do Momento Angular, determine o vetor de rotação Ωr do disco.

e) Usando o Teorema da Energia Cinética, determine o vetor de rotação ωr da barra no instante em que o centro do dis- co atinge o ponto mais baixo de sua trajetória.

f) Determine as reações da articulação em O no instante em que o centro do disco atinge o ponto mais baixo de sua trajetória.

Eixo central: lugar geométrico dos pólos para os quais o momento do sistema de forças é mínimo.

Disco homogêneo de massa m e raio R:

2mRJGz=Barra homogênea de massa m e comprimento L:

Solução: a)

Como o sistema é equilibrado (0 r=R), o eixo cen- tral não está definido.

b) ir jr g fio M A

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mg mg mg mg d E

No limite, pela lei de Coulomb, ⇒≤⇒≤MgmgNFatμμ23Mm mín 2 c) TMA para o conjunto com pólo em O:

TMA para o conjunto com pólo no baricentro do conjunto:

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