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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME 20 – MECÂNICA B – Primeira Prova – 04 de abril de 2006 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)

1ª Questão (4,0 pontos)

A barra delgada de massa 2m e comprimento L está ligada aos volantes A e B, de raio R, como indicado na figura. Os volantes giram em torno do eixo Az com a mesma velocidade angular, constante. O volante A tem massa 4m e o volante B tem massa 3m, devido a um defeito de dimensões desprezíveis no ponto C. Portanto, o defeito é responsável pela subtração de uma massa m desse volante. No instante considerado, tanto a barra como o defeito encontram-se no plano xz.

Considerando o sistema Axyz, solidário ao volante A, pede-se:

(a) Determinar as reações (considerando o peso) no anel em A e na articulação em B.

(b) Determinar a localização e os valores de duas massas m1 e m2, fixadas na parte externa do volantes A e B, suficientes para balancear o sistema

2ª Questão (3,0 pontos)

Uma placa homogênea quadrada de lado a e massa m está articulada em um garfo AB, como indicado na figura. O garfo AB gira com velocidade angular constante K r w=.

O sistema de eixos Ox’y’z’ é solidário à placa. Determinar o valor de w para que a placa se mantenha em equilíbrio em ângulo b constante igual a 30o.

X = x' z' b G y C z B

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Questão 3 (3,0 pontos). O EP1 solicitou analisar a dinâmica de um pêndulo formado por uma barra em formato de Z, de seção transversal circular com raio R, densidade de massar, considerando-se o atrito no mancal desprezível. Você deve ter encontrado que o centro de massa do pêndulo tem coordenadas:

cba cbRa z cba bRbab x

Deve também ter calculado o momento de inércia OzzJ e o produto de inércia OxzJ do pêndulo no sistema coordenado (Oxyz), a ele solidário, encontrando:

kgm cba c RbR b b b a

@

1 kgm

RbRa cba mRJOxz -=œœ ßø ŒŒ º

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Na presente questão pede-se:

(a) Escreva a equação do movimento e as equações que levam ao cálculo das reações vinculares (forças e momentos).

(b) Elabore o diagrama SCICOS, para a integração da equação de movimento e para o cálculo das reações, incluindo saídas gráficas das variáveis cinemáticas e da componenteOyM do binário reativo aplicado pelo mancal ao pêndulo. (c) A figura mostra o resultado de duas simulações (1) e (2), sob condições iniciais (CI)

epepq

Simulação (1) :

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Simulação (2) :

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Resolução da 1ª Questão (4,0 pontos)

A barra delgada de massa 2m e comprimento L está ligada aos volantes A e B, de raio R, como indicado na figura. Os volantes giram em torno do eixo Az com a mesma velocidade angular, constante. O volante A tem massa 4m e o volante B tem massa 3m, devido a um defeito de dimensões desprezíveis no ponto C. Portanto, o defeito é responsável pela subtração de uma massa m desse volante. No instante considerado, tanto a barra como o defeito encontram-se no plano xz. Considerando o sistema Axyz, solidário ao volante

A, pede-se: (a) Determinar as reações (considerando o peso) no anel em A e na articulação em B.

(b) Determinar a localização e os valores de duas massas m1 e m2, fixadas na parte externa do volantes A e B, suficientes para balancear o sistema

Resolução considerando um voltante com massa 4m e um volante com massa 3m (a) Diagrama de corpo livre

xG=e

r&rr

Þ iR aG y C z B y z

2mg 3mg

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mRmgXX w k r w=

kJjJiJH zyzxzA

iJjJH yzxzA

Produtos de inércia: mRLL RmJxz =÷

)(2,0=yzJ

jL mgjLmgXiLYM BBA

LY B Þ 0=BY e 24wmRmgXB-=

Colocando uma massa m1 no volante A em (-R,0,0) e uma massa m2 no volante B em (-R,0,L)

= m

RmRmm R xG Þ m=1

Resolução considerando que o disco B tem massa 4m e um furo de massa (-m): a) Cálculo das reações vinculares

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L z

LmmLL m

R x

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