Gabarito rec 2006

Gabarito rec 2006

(Parte 1 de 2)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

GABARITO PME 20 – MECÂNICA B –Prova de Recuperação – 25/7/2006 – Duração 100 minutos

1ª Questão (3,5 pontos)

O sistema da figura é composto pela barra AOCD de massa desprezível, pela esfera A, de massa concentrada m, e pelo disco D de massa M e raio R. A barra, dinamicamente equilibrada no plano horizontal, gira ao redor do eixo vertical z, que passa pela articulação O, com velocidade angular k r W=W constante, e o disco gira ao redor do trecho CD da barra com velocidade angular i r w= de módulo constante. O sistema de coordenadas (O,x,y,z) é solidário à barra. Pede-se:

a) O vetor de rotação absoluto abswr do disco e a aceleração do ponto D; b) A relação entre W e w e a relação entre as massas m e M para que o movimento seja possível; c) As reações na articulação O.

2ª Questão (3,0 pontos)

G a b x P Q i rj r A figura ao lado mostra um rebocador portuário prestes a se chocar contra uma defensa de um pier. A embarcação, de massa total M, realiza uma manobra à ré, em movimento de translação pura, com velocidade constante, tal que iuVG r = é o vetor de velocidade de seu centro de massa, imediatamente anterior ao choque. O ponto de contacto da embarcação com a defensa é P, de restituição de Newton, com coeficiente e, e desprezando qualquer forma de atrito, pede-se: a) elabore o diagrama de corpo-livre; b) equacione o problema de impacto; c) determine o impulso Ir aplicado à embarcação;

d) determine a velocidade jviuVG de massa G da embarcação e o vetor de rotação da embarcação w¢r , logo após o choque.

Dado: J, momento de inércia total da embarcação em torno do eixo Gz.

y z

A CO gW

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3ª Questão (3,5 pontos)

A figura representa um sistema dinâmico composto por um anel rígido, de raio R, e uma haste diametral, em torno da qual estão montados: uma mola helicoidal linear, ideal e de constante elástica K, e um amortecedor linear, ideal e de coeficiente de amortecimento C. A mola e o amortecedor prendem um bloco de massa m ao anel. A mola tem comprimento natural igual a R. O bloco, idealizado como um ponto material, pode deslizar sem atrito sobre a haste diametral, que tem densidade linear de massa m, igual à do anel. O anel gira em torno de um eixo fixo Oz, perpendicular à haste diametral, com velocidade

a) Determine o momento de inércia diametral do conjunto anel+haste (despreze a espessura); b) Escreva a função de Energia Cinética do Sistema; c) Escreva a Função de Energia Potencial do Sistema e a Função Dissipação de Rayleigh; d) Deduza as equações de movimento do sistema acionado pelo torque M(t), através do formalismo Lagrangiano (utilize as equações de Lagrange).

x O w(t) z

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PME 20 – MECÂNICA B –Prova de Recuperação – 25/7/2006 – Duração 100 minutos RESOLUÇÃO

1ª Questão (3,5 pontos)

O sistema da figura é composto pela barra AOCD de massa desprezível, pela esfera A, de massa concentrada m, e pelo disco D de massa M e raio R. A barra, dinamicamente equilibrada no plano horizontal, gira ao redor do eixo vertical z, que passa pela articulação O, com velocidade angular k r W=W constante, e o disco gira ao redor do trecho CD da barra com velocidade angular i r w= de módulo constante. O sistema de coordenadas (O,x,y,z) é solidário à barra. Pede-se:

a) O vetor de rotação absoluto abswr do disco e a aceleração do ponto D; b) A relação entre W e w e a relação entre as massas m e M para que o movimento seja possível; c) As reações na articulação O.

Solução

kiD abs r b) Diagrama de corpo livre do disco y z

A CO gW

ZD Mz

Mx Mg

YD My

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TMB disco:

MgZ LMY kMgZjYiXjiLM D

TMA disco, pólo em D:

MkMjMiMJ

J kji yzyx

Ø w

Diagrama de corpo livre da barra: (0,5)

Equilíbrio da barra:

mgMgZ LmLMY

O O (0,5)

RgL mglMgl c)

gmMZ Y

O (0,5

Lm2W

LM2W LM 2W

WwxJ mg ZO

Mg

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2ª Questão (3,0 pontos)

G a b x P Q i rj r A figura ao lado mostra um rebocador portuário prestes a se chocar contra uma defensa de um pier. A embarcação, de massa total M, realiza uma manobra à ré, em movimento de translação pura, com velocidade constante, tal que iuVG r = é o vetor de velocidade de seu centro de massa, imediatamente anterior ao choque. O ponto de contacto da embarcação com a defensa é P, de restituição de Newton, com coeficiente e, e desprezando qualquer forma de atrito, pede-se: a) elabore o diagrama de corpo-livre; b) equacione o problema de impacto; c) determine o impulso Ir aplicado à embarcação;

d) determine a velocidade jviuVG de massa G da embarcação e o vetor de rotação da embarcação w¢r , logo após o choque.

Dado: J, momento de inércia total da embarcação em torno do eixo Gz.

(Parte 1 de 2)

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