Gabarito sub 2003

Gabarito sub 2003

(Parte 1 de 2)

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886

Departamento de Engenharia Mecânica

PME 20 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 01 de julho de 2003 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)

1ª Questão (4,0 pontos)

Sobre uma mesa horizontal plana, um disco de massa M er aio R, movimenta-se apoiado sem atrito com velocidade iuu ÿ = na direção x e velocidade angular ωωωω . A barra de massa m e comprimento L, possui apenas velocidade de translação ivv ÿ = tal que v < u. A barra é atingida pelo disco no ponto

A, distante a do seu baricentro G, produzindo um choque sem atrito e de coeficiente de restituição e. Considerando a hipótese de restituição de Newton.

Pede-se formular o problema do choque, obtendo um sistema de equações nas incógnitas u , v, ωωωωd o disco e

ΩΩΩΩ da barra após o choque, em função dos dados do problema (não é necessário resolver o sistema). Sugestão:

aplique o TMI (teorema do momento dos impulsos) ao disco e à barra, o TRI (teorema do impulso) ao disco, à barraea os istemaeah ipótesed er estituição de Newton.

2ª Questão (4,0 pontos)

Um disco de raio R e massa M está articulado em O. O bloco de massa m está apoiado sem atrito numa superfície horizontal, conforme mostrado na figura. O disco está ligado ao bloco e à base por duas molas de rigidez k. O bloco também está ligado à base por uma mola e um amortecedor viscoso lineares de constantes k e c respectivamente. Um sistema hidráulico aplica sobre o disco uma força F(t) = Foc osω t na vertical a uma distância r de O. Faça o diagrama de corpo livre do sistema e considerando as coordenadas generalizadas x e θθθθ, independentes e suficientes para descrever os movimentos do sistema, determine:

a) a energia cinética T do sistema; b) a energia potencial V do sistema; c) a função dissipativa R (Rayleigh) do sistema; d) a força generalizada Qθ; associada a F(t), e) escreva as equações de movimento pelo método

de Lagrange para as coordenadas x e θθθθ.;

G A v x y θ k k m x gc

F(t)

R r

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3ª Questão (2,0 pontos)

Foi realizada uma simulação numérica baseada no Exercício Computacional 2, para uma relação entream assa M do disco e m do pêndulo de αααα = M/m = 0,1 . Para as seguintes condições iniciais:

do disco e posição angular θθθθ(t) do pêndulo foram utilizados para desenhar, em função do tempo, o gráfico abaixo.

Identifique as linhas correspondentes a x(t) e θθθθ(t) no gráfico, descrevendo o movimento do sistema, interpretando-o do ponto de vista físico e faça considerações a respeito de conservação de energia do sistema.

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1ª Questão - Resolução (4,0 pontos)

Sobre uma mesa horizontal plana, um disco de massa M er aio R, movimenta-se apoiado sem atrito com velocidade iuu ÿ = na direção x e velocidade angular ωωωω . A barra de massa m e comprimento L, possui apenas velocidade de translação ivv ÿ = tal que v < u. A barra é atingida pelo disco no ponto

A, distante a do seu baricentro G, produzindo um choque sem atrito e de coeficiente de restituição e. Considerando a hipótese de restituição de Newton, determine:

Pede-se formular o problema do choque, obtendo um sistema de equações nas incógnitas u , v, ωωωωd o disco e

ΩΩΩΩ da barra após o choque, em função dos dados do problema (não é necessário resolver o sistema). Sugestão:

aplique o TMI (teorema do momento dos impulsos) ao disco e à barra, o TRI (teorema do impulso) ao disco, à barraea os istemaeah ipótesed er estituição de Newton. .

Teorema do Impulso na barra: O impulso sobre a barra é horizontal portanto não há variação de quantidade de movimento da barra na vertical e assim ivv ÿ ′=′ .

Teorema do Impulso no disco: O impulso sobre o disco é horizontal portanto não há variação de quantidade de movimento do disco na vertical e assim iuu ÿ ′=′ .

Teorema do Impulso no sistema: Não há impulso externo sobre o sistema portanto há conservação da quantidade de movimento do mesmo e usando os resultados acima:

Hipótese de Newton: sendo “x” a direção da normal de choque, )v(ev AxCxCxAx −=′− ′ vvAx =

uvjRiuiRkiuv CxC =ÿω−=∧ω−= ÿ

G A v x y

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TMI no disco: a linha de ação do impulso sobre o disco passa pelo seu baricentro, logo,

Novamente aplicando o Teorema do Impulso no disco: i)u(MQI ÿ −′=∆= (0,5)

TMI na barra: )I()GA(HGbarra

mLH,0H 2 depois,Gbarraantes,Gbarra

O sistema de equações (1), (2) e (3) nas incógnitas Ω′′′ ev,u , resolve o problema.

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2ª Questão - Resolução (4,0 pontos)

Um disco de raio R e massa M está articulado em O. O bloco de massa m está apoiado sem atrito numa superfície horizontal, conforme mostrado na figura. O disco está ligado ao bloco e à base por duas molas de rigidez k. O bloco também está ligado à base por uma mola e um amortecedor viscoso lineares de constantes k e c respectivamente. Um sistema hidráulico aplica sobre o disco uma força F(t) = Foc osω t na vertical a uma distância r de O. Faça o diagrama de corpo livre do sistema e considerando as coordenadas generalizadas x e θθθθ, independentes e suficientes para descrever os movimentos do sistema, determine:

a) a energia cinética T do sistema; b) a energia potencial V do sistema; c) a função dissipativa R (Rayleigh) do sistema;

d) a força generalizada Qθ; associada a F(t), e) escreva as equações de movimento pelo método de Lagrange para as coordenadas x e θθθθ.;

MR xm

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