Gabarito sub 2006

Gabarito sub 2006

(Parte 1 de 2)

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME 20 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 04 de julho de 2006 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)

1ª Questão (4,0 pontos)

A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa desprezível. O disco gira com velocidade angular w constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno do eixo vertical com velocidade angular W constante. O ponto

O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal. O sistema de coordenadas (O, x, y, z) é solidário à barra GB.

Pede-se, para a constante e expressando as respostas no sistema de coordenadas dado:

(a) O vetor de rotação absoluto do disco; (b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB; (c) A força na mola BD.

2ª Questão (3,0 pontos) A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a esfera

B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a esfera é perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação w’ da barra imediatamente após o choque.

3ª Questão (3,0 pontos)

No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas generalizadas u e q , e assumindo que as molas têm deformação nula quando as coordenadas u e q valem zero, determine:

(a) A energia cinética do sistema. (b) A energia potencial do sistema.

(c) A função dissipativa de Rayleigh do sistema

(d) As equações de movimento para as coordenadas u e q, usando o método de Lagrange.

W w

G x y B D

L 2L O A k c F q u O k c

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Resolução da 1ª Questão (4,0 pontos)

A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa desprezível. O disco gira com velocidade angular w constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno do eixo vertical com velocidade angular W constante. O ponto O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal.

O sistema de coordenadas (O, x, y, z) é solidário à barra GB. Pede-se, para a constante e expressando as respostas no sistema de coordenadas dado:

(a) O vetor de rotação absoluto do disco;

+=jiiabs

arrrelabs W r r aWaWwWsencos+-= jiabs

aWaWwWsen)cos(+-=(1,0)

r Aceleração do baricentro G

r Ù++=W

aaaW--=(0,5)

r Aplicando o TMB no disco (ver DCL ao lado)

aaaWsencossen22mgmLYG+-=(0,5)

aaW cossen2 2 mgmLXG --= (b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB;

Aplicando o TMA no pólo G do disco r +Ù-=

W w

G x y B D

FM cos a FM sen a mg

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

cos aWw mRmR kjiVmGH G jmRimRHG

4/sen2/)cos(22aWaWw+-=(0,5)

kijiii r&v aWaWaWW sen)sencos( -=Ù+-=Ù= kjjijj r&r aWaWaWW cos)sencos( -=Ù+-=Ù=

kmRkmRHG

kmRHG

G MVVmH kmRMG

)]4/cossen()2/sen[(22aaWawW+-=(0,5)

r (c) A força na mola BD. Considerando o momento angular da barra em relação ao pólo O

a(0,5)

mR mLmgFm (0,5)

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos)

A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a esfera B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a esfera é perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação w’ da barra imediatamente após o choque.

0=+VT2/mgLV= oJT22
w=(0,5)

mLmLLmL mJJ GO =+=÷

mg=

wmLL L

=w(0,5)
TMI com pólo em O(1,0)
LVMJJBOO¢+¢=wLVMmLmLB¢+¢=w22 LVMmLB¢=¢-)(2w
LVVABw¢=¢=¢(0,5)
www¢=¢-2)(MLmLww¢+=)(mMm
=¢w(0,5)

L 2L O A

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos)

No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas generalizadas u e q , e assumindo que as molas têm deformação nula quando as coordenadas u e q valem zero, determine:

(a) A energia cinética do sistema.

uMT+=(1,0)

1 q&& MR (b) A energia potencial do sistema.

(Parte 1 de 2)

Comentários