Baixe Calculo III: Aulas de Cálculo Integral e Dupla - Prof. Stavros Christodoulou e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Cálculo III - Aula 1 Prof. Stavros Christodoulou São Paulo, 1o¯ de Março de 2005 Transcrição das aulas ministradas pelo professor Stavros Christodoulou na Escola Politécnica da USP no primeiro semestre de 2005. Este material é resultado de trabalho voluntário e o seu uso comercial é proibido. Todo o material está dispońıvel no website www.lsi.usp.br/~felipe/calculo.html Cópias XEROX são permitidas desde que o preço cobrado seja apenas o preço de custo do serviço (tipicamente de 10 a 15 centavos por folha de papel). Práticas abusivas podem levar à descontinuidade deste projeto voluntário. 1 Definição de Integral (simples) A igualdade a seguir1 é conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo (de Newton e Leibniz): Z b a f(x) dx = F (b)− F (a) onde F é alguma primitiva de f (i.e. F ′(x) = f(x),∀x) Escolhemos pontos x̄i ∈ [xi−1, xi] para i = 1, . . . , n e formamos a soma de Riemann: nX i=1 f(x̄i)∆xi, onde ∆xi = xi − xi−1 e a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b é uma partição de [a, b] No curso de Cálculo I, a integral R b a f(x) dx foi definida como o limite da soma de Riemann acima quando os ∆xi tendem a zero. O cálculo de integrais por meio da definição é muito trabalhoso. Portanto, foram estudadas técnicas mais simples e práticas. O mesmo ocore para o cálculo de integrais duplas. 1não é a definição de integral simples. 1 2 Integrais Duplas 2.1 Motivação • Cálculo do volume da região do espaço S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} onde B é um subconjunto do plano xy; e f é uma função real definida em B, que vamos supor f(x, y) ≥ 0,∀(x, y) ∈ B. • Cálculo da massa de uma “lâmina” plana cuja densidade superficial num ponto (x,y) de B é f(x,y). 2.2 Definição Vamos assumir que tanto o domı́nio B é um conjunto limitado do plano xy 2 quanto a função f é limitada (isto é, ∃M : |f(x, y)| ≤ M ∀(x, y) ∈ B). Sejam, então f : B ⊆ R2 −→ R, com B limitado e f limitada; e seja R = [a, b]×[c, d] algum retângulo contendo B. Tomamos uma partição a = x0 < x1 < · · · < xn = b de [a, b] e uma partição c = y0 < y1 < · · · < ym = d de [c, d]. Isso fornece uma partição de R em m.n pequenos “retângulos” Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ] i = 1, . . . , n j = 1, . . . , m Escolhemos pontos (xij∗, yij∗) dentro dos Rij e formamos a soma: nX i=1 mX j=1 f(xij∗, yij∗)∆xi∆yj onde ∆xi = xi − xi−1 e ∆yj = yj − yj−1 Observe que o número f(xij∗, yij∗)∆xi∆yj (no caso em que f(xij∗, yij∗) > 0) é o volume do paraleleṕıpedo de base Rij e altura f(xij∗, yij∗); e, conseqüentemente, (se ∆xi e ∆yj são “pequenos”) está próximo do volume abaixo do gráfico e acima do retângulo Rij 3. Assim, a soma de Riemann nX i=1 mX j=1 f(xij∗, yij∗)∆xi∆yj acaba sendo uma aproximação do volume de S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B; 0 ≤ z ≤ f(x, y)} ou da massa da “lâmina” plana que será tanto melhor quanto menores forem os números ∆xi e ∆yj . No limite, quando os números ∆xi e ∆yj tenderem a zero, se as somas se “aproximarem” de algum número “fixo” L, este número se define como a integral dupla, RR B f(x, y) dx dy, de f em B. 2o que significa que existe algum retângulo R = [a,b]x[c,d] no qual B está contido 3Análogo para cálculo de massa. 2
