ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP

Departamento Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos

PM2520 – Introdução ao CAD/CAM - Prof. Dr. Marcos Tsuzuki

4a. Lista de Exercícios – PMR2520

Este exercício não deve ser entregue.

Prof. Dr. Marcos Tsuzuki

1. Determine os parâmetros de interpolação de Hermite – para determiná-los recorde dos seguintes fatos: a. A curva deverá ser representada por um polinômio de terceiro grau:

2. Encontre a expressão para uma interpolação de Hermite de grau 5 – siga os seguintes passos: a. Considere a curva de quinto grau como sendo:

3. Aumente o grau de uma curva de Hermite de 3 para 5 sem alterar a sua forma – proceda da seguinte maneira: a. A expressão com nível 3 é dada abaixo:

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Onde CM é obtido pela resolução do exercício 1. b. É possível alterar a expressão acima para:

ttttttP & &( 7 )

4. Determine a expressão para a curva de Bézier de grau 3 – a expressão genérica é dada por:

i ini tJtP 0 onde ini in t

5. Determine a expressão da primeira derivada de uma curva de Bézier – determine também o valor das derivadas nas extremidades da curva.

6. Explique o significado geométrico do seguinte algoritmo para traçar curvas de Bézier:

typeordinate = [x,y,z]; point = array[ordinate] of real; construction_points = array[0..n,0..n] of point; function Casteljau(var P:construction_points; i,j: integer; u: real) : point; begin if j = 1 then Casteljau := (1-u)*P[i,0] + u*P[i+1,0]; else Casteljau := (1-u)*Casteljau(P,i,j-1,u) + u*Casteljau(P, i+1, j-1, u); end;

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PM2520 – Introdução ao CAD/CAM - Prof. Dr. Marcos Tsuzuki var LOCUS : point; MOVE_TO(P[0][x],P[0][y]); for k := 1 to N_of_segments do begin u := k / N_of_segments; LOCUS := Casteljau(KnotArray, 0, N, u); DRAW_TO(LOCUS[x], LOCUS[y]); end;

7. verifique qual é a condição necessária para que duas superfícies de Coons (1964) sejam contínuas até a curvatura (segunda derivada). Determina a expressão para convenientes?

8. Determine a segunda derivada mista (vetor cruzado) da superfície de Coons (1964).

0100 QwCQwCwQ

10. O polinômio de menor grau que satisfaz as condições necessárias para os pesos relativos à Superfície de Coons são:

ttC ttC =

0( 1 )

Determine a expressão algébrica da superfície para o caso do exercício 9.

1. Verifique que os polinômios de Hermite também satisfazem as condições necessárias para os pesos relativos à superfície de Coons. Determine a expressão da superfície de Coons utilizando os polinômios de Hermite.

12. Qual a condição apra que a superfície de Coons (1967) seja reduzida à forma:

13. Considere a expressão do patch triangular, faça uma das coordenadas ser zero. Qual a expressão que você encontrou? Por que?

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