Análise cinemática de mecanismos articulados

Análise cinemática de mecanismos articulados

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então a velocidade, em coordenadas rectangulares será: v = x i + y j + z k

2.4.2 Velocidade Angular

Na Fig.2.21 está representado um corpo rígido, rodando em torno do eixo [OA]. Então, todos os pontos do corpo, tal como o ponto (P), movem-se em trajectórias em torno de [OA].

Figura 2.21 - Velocidade angular

A velocidade angular do corpo é dada pelo vector [ωωωω], com a direcção de [OA] e o sentido dado pelas usuais regras do 'saca-rolhas' ou da ‘mão direita’. Designando o deslocamento angular de qualquer linha normal ao eixo de rotação por (∆∆∆∆φφφφ) e o intervalo de tempo correspondente por (∆∆∆∆t), então a grandeza do vector velocidade angular será,

Supondo que o eixo de rotação [OA] é fixo, o vector r define a posição de um ponto (P), fixo ao corpo. Considerando o vector resultante do produto [ωωωω x r], o seu módulo será (ωωωω⋅⋅⋅⋅r⋅⋅⋅⋅sen φφφφ) em que (φφφφ) é o ângulo entre [ωωωω] e [r], sendo tangente à trajectória de (P). Então,

. r = v = ω x r ou seja, a velocidade de um ponto, pertencente a um corpo rígido, rodando em torno de um eixo fixo.

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2.4.3 Velocidade de um Ponto num Sistema Referencial Móvel

Ao analisar os movimentos dos vários elementos dos mecaninmos, muitas vezes surge o problema de descrever o movimento de um ponto que se move relativamente a um outro sistema móvel.

Tomando um sistema de eixos coordenados [Xo, Yo, Zo], com origem no ponto (O), e um outro sistema [X, Y, Z], com origem no ponto (Q) e móvel relativamente ao primeiro, considere-se um ponto (P) que segue uma dada trajectória fixa no sistema [X, Y, Z] - Fig.2.2.

Figura 2.2 - Referencial móvel

Num dado instante, a posição do ponto (P), referida ao sistema fixo [Xo, Yo, Zo], será dada pelo vector [Do]. Este pode decompor-se em:

Do = DQ + D

Por outro lado, [D] pode escrever-se na forma: D = x i + y j + z k e, como as coordenadas [x, y, z] do ponto (P) e os versores do sistema de eixos [i, j, k] são funções do tempo - uma vez que mudam de direcção devido ao efeito de rotação do sistema [X, Y, Z] - então a derivada da equação em ordem ao tempo vem como:

D' = (x i + y j + z k) + (x' i + y' j + z' k) (2.17) em que o segundo membro do lado direito da equação representa a velocidade do ponto (P), relativamente ao sistema móvel [X, Y, Z] e se designa por velocidade relativa.

O primeiro membro do lado direito da equação, que traduz as derivadas dos versores do sistema [X,

Y, Z], podem ser analisados com mais pormenor. Assim, consideremos um sistema de eixos auxiliar [X', Y', Z'], com origem no ponto (Q), e cujos eixos não sofrem qualquer rotação em relação a [Xo, Yo, Zo] mas apenas translação.

yo zo xo z’ x’ y’ ωy dt ωz dt ωx dt x y di ω dt j ω dt k i (t=0) i+di (t=dt) j

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Admitindo que o sistema [X, Y, Z] está animado de uma velocidade de rotação [ΩΩΩΩ], podemos observar o comportamento do versor [i], desde o instante (t=0), em que [i] coincide com [X'], até ao instante (t=dt).

Então, o versor [i], desde (t=0) até ao instante (t=dt), sofre um acréscimo (di) que pode ser expresso por:

di = ωz dt j - ωy dt k

Efectivamente, (di) é igual à soma de dois efeitos:

- (ωωωωz dt), segundo o eixo dos [Y], com sentido positivo, devido à rotação de [i] em torno do eixo dos [Z];

- (ωωωωy dt), segundo o eixo dos [Z], em sentido negativo, devido à rotação de [i] em torno do eixo dos [Y].

A rotação em torno do eixo dos [X], ou seja (ωωωωx dt), não influi em (di) pelo que não foi considerada.

Seguindo o mesmo raciocínio, para (dj) e (dk) teremos:

dj = ωx dt k - ωz dt i dk = ωy dt i - ωx dt j

Dividindo ambos os membros por (dt), virá:

i = ωz j - ωy k j = ωx k - ωz i k = ωy i - ωx j

Substituindo estes valores na expressão (2.17) verifica-se que o primeiro membro do lado direito se pode traduzir no determinante:

i j k = Ω ∧ D ωx ωy ωz x y z que traduz a velocidade absoluta de um ponto (S), momentaneamente coincidente com (P), mas pertencente ao sistema móvel [X, Y, Z].

Então, a equação da velocidade do ponto (P) pode, por derivação da equação,

Do = DQ + D tomar a forma:

em que: Vo - velocidade absoluta de P

VQ + ΩΩΩΩ ∧∧∧∧ D - velocidade de transporte V - velocidade relativa de P, em relação ao sistema móvel (= VP/S)

Uma aplicação do exposto pode ser vista, analisando o mecanismo da Fig.2.23.

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Figura 2.23 - Exemplo de aplicação

Tomando como sistema fixo [x, y] e para sistema móvel [x', y'], com origem em (A), seja (B3) o ponto (B) pertencente à ligação 3 e (B4) esse mesmo ponto, quanto pertencente considerado como pertencente à ligação 4. Supondo que (ωωωω2) é conhecido, a questão é determinar (ωωωω4). Assim, torna-se necessário conhecer a velocidade de um ponto pertencente à ligação 4, por exemplo (B4).

Numa analogia com o exposto anteriormente, aqui o ponto (A) será equivalente ao ponto (Q), assim como (B3) a (S) - solidário com o sistema móvel - e (B4) a (P).

VB4 = VA + VB3/A + VB4/B3

Notas: - a forma de determinação destas velocidades será abordado mais adiante;

- de referir também que, nesta disciplina, serão abordados apenas os casos de mecanismos planares, que constituem a maioria das aplicações práticas.

2.4.4 Velocidade de um Corpo Rígido

Considerando um corpo rígido animado de um movimento misto de rotação [ΩΩΩΩ] e de translação que, para o ponto (A), tem o valor (VA) - Fig.2.24,

Figura 2.24 - Corpo animado de movimento misto a posição de um outro ponto qualquer (B), pertencente ao corpo, é definida pela equação: rB = rA + rB/A sendo a sua velocidade de VB = VA + VB/A

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Sendo a velocidade (VA) conhecida, (VB/A) é a velocidade de (B) em relação a (A), isto é, a velocidade de (B) num sistema de referência que tenha (A) como origem, ou seja:

VB/A = Ω ∧ rB/A donde, VB = VA + Ω ∧ rB/A = VA + VB/A (2.19)

Comparando esta expressão com (2.18) verifica-se ser a primeira um caso particular da segunda, em que o ponto em estudo não tem velocidade relativamente ao sistema móvel, uma vez que pertence ao mesmo corpo rígido.

Da equação (2.19) também se pode concluir que a velocidade relativa de dois pontos quaisquer de um corpo rígido é dada pela diferença entre as velocidades absolutas dos mesmos, ou seja:

Um outro exemplo encontra-se esquematizado na Fig.2.25.

Pretendendo conhecer a velocidade do ponto (C), conhecida a velocidade do ponto (B), e uma vez que (B) e (C) pertencem ao mesmo corpo rígido, então:

e, mais uma vez, não existe o último termo da equação (2.18) dado o ponto (C) ser solidário com o sistema móvel [x, y].

Figura 2.25 - Sistema biela-manivela

2.4.5 Eixos e Centros Instantâneos de Rotação

Quando um corpo roda no espaço, relativamente a outro corpo, pode considerar-se a existência de um eixo comum de rotação, cuja posição em relação aos dois pontos pode, ou não, variar a cada instante.

Estes eixos designam-se por eixos instantâneos de rotação. Para movimentos no plano, os eixos instantâneos são sempre perpendiculares ao plano do movimento e interceptam os corpos em pontos que se designam por centros instantâneos de rotação.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 24 2.4.5.1 Propriedades

A velocidade de um ponto de um corpo rígido, relativamente a outro ponto do mesmo corpo, tem uma direcção prependicular ao segmento de recta que une os dois pontos considerados.

Para demonstrar este teorema, pode utilizar-se o método da redução ao absurdo, provando que a velocidade relativa de dois pontos de um corpo rígido não pode ter componente segundo o segmento que os une.

Assim, na Fig.2.26.a) representa-se um corpo rígido em que se consideram dois pontos, (A) e (B).

a) b) c) Figura 2.26 - Corpo rígido

Supondo que a velocidade de (A) em relação a (B), ou seja (VA/B), é tal como representada na Fig.2.26.b), então pode ser feita a sua decomposição em direcções perpendiculares. Tendo um dos componentes a direcção [AB], isto equivaleria a que os dois pontos se estariam a aproximar (ou afastar) o que é contrário à noção de corpo rígido. Assim, a direcção de (VA/B) não pode ter componente segundo [AB], ou seja, será apenas e só segundo a perpendicular a [AB] - Fig.2.26c).

Considerando agora dois corpos, 1 e 2, sendo o corpo 2 fixo e movendo-se o corpo 1 no plano, relativamente ao corpo 2 - Fig.2.27 .

Figura 2.27 - Corpos com movimento relativo

Dois pontos, (A) e (B), pertencentes ao corpo 1 têm velocidades (VA) e (VB), respectivamente. Considerando os segmentos [op] e [qr], que passam pela origem dos vectores e são normais às respectivas linhas de acção, então todos os pontos de [op] têm velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [op], o mesmo acontecendo ao ponto I de intercepção das duas rectas.

Do mesmo modo, todos os pontos de [qr] terão velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [qr] e, igualmente para o ponto (I).

q r

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Como (VA) e (VB) são velocidades absolutas, dado que o corpo 2 é fixo, o ponto (I) teria uma velocidade absoluta segundo duas direcções diferentes, o que não é possível.

Assim, a velocidade do ponto (I) só pode ser nula, ou seja, será o ponto do corpo 2 em torno do qual roda o corpo 1 - isto é, por definição, o centro instantâneo de rotação dos dois corpos, sendo válido apenas no instante considerado.

A análise seria semelhante no caso de nenhum dos corpos ser fixo. Neste caso, no entanto, o centro instantâneo não seria fixo no plano mas continuaria a ser o ponto em torno do qual ambos os corpos não teriam movimento relativo.

Assim, pode concluir-se que:

- centro instantâneo de rotação é um ponto em torno do qual roda uma ligação; - um centro instantâneo de rotação tem a mesma velocidade quer se considere como pertencente a uma ou outra ligação; - o conhecimento da posição do centro instantâneo de rotação permite o cálculo directo da velocidade de qualquer ponto da ligação; - inversamente, conhecidas as velocidades de dois pontos quaisquer, (A) e (B), de um corpo, a posição do ponto (I) é determinada pela intersepção das normais aos vectores velocidade desses mesmos pontos.

O número (i) de centros instantâneos de rotação de um mecanismo determina-se combinando as ligações do mecanismo, duas a duas. Assim, sendo (n) o número de ligações, vem que:

i = n⋅(n-1)/2

A determinação da posição dos centros instantâneos de rotação pode ser feita por simples inspecção ou utilizando os Teoremas dos Três Centros e da Normal Comum.

Na Fig.2.28 encontram-se alguns exemplos de determinação por inspecção directa.

Figura 2.28 - Determinação por inspecção directa O10

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Quando três ligações têm movimento relativo, existem três centros intantâneos de rotação, situados sobre a mesma linha recta.

Considerando as três ligações representadas na Fig.2.29,

Figura 2.29 - Teorema dos três centros a demonstração pode ser feita por redução ao absurdo.

Por simples inspecção, podem ser determinados os centros (O10) e (O20), ficando por determinar o centro (O12).

Supondo que (O12) se situa no ponto (P), então (VP1) e (VP2) serão as velocidades do ponto (P), quando considerado como pertencente aos corpos 1 e 2, respectivamente. No entanto, e por definição, estas velocidades têm de ser iguais.

O centro instantâneo de rotação de duas ligações, em contacto directo segundo um ponto, situa-se na normal comum aos dois corpos, no ponto de contacto.

Com este teorema e com o anterior, torna-se possível localizar o centro instantâneo de rotação (O12), como mostra a Fig.2.30.

Figura 2.30 - Determinação do centro (O12)

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2.4.5.2 Exemplos de determinação a) No caso do mecanismo de quatro barras da Fig.2.31,

Figura 2.31 - Mecanismo de quatro barras de acordo com a expressão vista atrás, o número de centros instantâneos de rotação será dado por, i = [4 x (4-1)]/2 = (4 x 3)/2 = 12/2 = 6

Por inspecção directa podem ser determinados os centros (O21), (O23), (O34) e (O41), já assinalados na Figura faltando, assim, os centros (O24) e (O31).

b) Para um sistema came-seguidor, como o representado na Fig.2.32, considerando a existência de três ligações (além do fixe 1, teremos a came 2 e o seguidor 3) teremos, i = [3 x (3-1)]/2 = (3 x 2)/2 = 6/2 = 3

A inspecção directa fornece a localização do centro (O21) de rotação da came. Também se torna evidente que, tendo o seguidor 3 um movimento de translação linear, o centro (O31) estará a uma distância infinita, segundo a perpendicular à direcção do movimento.

Figura 2.32 - Sistema came-seguidor

Para a determinação do restante centro (O23), o Teorema dos Três Centros localiza-o na linha

(O23) deverá estar localizado na normal ao ponto de contacto, neste caso representado por uma linha vertical. A intersepção destas duas linhas determina assim a sua posição.

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2.4.6 Métodos Gráficos de Determinação da Velocidade

Os métodos gráficos, sendo expeditos e suficientemente rigorosos para a maior parte das aplicações, têm o defeito de serem válidos única e exclusivamente para a geometria e posição em que são traçados.

A sua utilidade resume-se, assim, ao estudo de casos pontuais, sendo excessivamente trabalhosos na análise completa do movimento de mecanismos.

2.4.6.1 Polígno de velocidades

Baseando-se nas Equações do Deslocamento e da Velocidade, já abordadas, e que se podem traduzir por:

a sua aplicação é aqui ilustrada para um disco circular com rotação concentrica - Fig.2.3.a).

Supondo conhecida a velocidade do ponto (A), pretende-se determinar a velocidade do ponto (B). A equação de velocidades relativas dá-nos que,

dos quais temos todos os dados relativamente a (VA) e sabemos que (VA/B) será perpendicular a [AB] e que (VB) será perpendicular ao segmento [OB].

Assim, torna-se possível traçar, a uma escala conveniente, o polígno de velocidades.

Começando por (VA), assinalam-se as perpendiculares referidas, respeitando na sua colocação relativamente a (VA), as regras de adição ou subtração de vectores, e seguindo a equação de velocidades - Fig.2.3.b) e c).

O resultado final encontra-se na Fig.2.3.d) onde, além da pretendida velocidade (VB), também se obtém (VA/B).

Figura 2.3 - Aplicação do polígno de velocidades

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2.4.6.2 Imagem de velocidades

Em mecanismos com elementos de ligação de geometria complicada, em que seja necessário conhecer a velocidade em pontos determinados, torna-se útil a obtenção de uma ‘imagem’ da velocidade do próprio elemento.

A título de exemplo, na Fig.2.34.a) encontra-se esquematizado um elemento 2 de forma triangular, animado de rotação em torno do ponto (O2), a uma dada velocidade (ωωωω2).

Figura 2.34 - Determinação da imagem de velocidades

Sendo as dimensões dos lados do triângulo (rA), (rB), e (rB/A), as respectivas velocidades serão:

VA = rA ω2 VB = rB ω2 VB/A = rB/A ω2 e como as direcções são conhecidas, torna-se possível construir a ‘imagem’ a uma dada escala- Fig.2.34.b) - obtendo-se uma réplica exacta do elemento, rodada de 90o, e cujos lados representam a velocidade de cada ponto considerado.

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