Análise cinemática de mecanismos articulados

Análise cinemática de mecanismos articulados

(Parte 3 de 4)

A partir desta ‘imagem’ é possível determinar a velocidade de qualquer outro ponto pertencente ao elemento, desde que conhecida a sua localização geométrica, traçando o respectivo vector com origem em Ov e extremo na ‘imagem’ desse mesmo ponto.

Para um mecanismo articulado, o método pode ser aplicado sucessivamente aos vários elementos, conforme ilustrado na Fig.2.35 para um sistema biela-manivela.

Figura 2.35 - Imagem de velocidades para um sistema biela-manivela

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 30

2.4.6.3 Centros instantâneos de rotação

Utilizando os centros instantâneos de rotação, é possível a análise de velocidades uma vez que, por definição, conhecida a velocidade do extremo de uma ligação relativamente ao seu centro instantâneo de rotação, então essa velocidade relativa será exactamente a mesma para a extremidade da outra ligação cujo centro instantâneo é comum.

A Fig.2.36 mostra a aplicação deste princípio a um mecanismo em que a barra 2 é motora, sendo obviamente conhecida (ωωωω2) e as dimensões (r1), (r2), (r3) e (r4) e pretendendo-se determinar a velocidade em vários pontos (A, B, C, D e E), quando o sistema se encontra na posição ilustrada.

Após determinação de todos os centros instantâneos de velocidade - Fig.2.36.a) - e a partir do conhecimento de (ωωωω2) e de (r2) calcula-se (VA). Conhecida esta, e uma vez que (O24) também pertence à barra 2, rotando (VA) sobre a linha de centros [O24O12O41] com centro em (O21) para a posição (VA’), por semelhança de triângulos pode calcular-se (V24) - Fig.2.36.b).

Uma vez que (V24) é não só a velocidade de um ponto na barra 2 mas também na barra 4, pode agora ser utilizada para determinar a velocidade de outros pontos nesta barra, como sejam (VB) e (VE). Os triângulos semelhantes têm aqui (O41) como vértice comum e os respectivos vectores (VB’) e (VE’) podem depois ser rodados, para obtenção de (VB) e (VE) - Fig.2.36.c).

Finalmente, para se calcular (VD), uma vez que o ponto (D) pertence à barra 3, que (VA) é conhecida e pertence à barra 2 e que a barra 1 é a referência fixa, procede-se à rotação de (VA) sobre a linha de centros [O12O13O23] com centro em (O13) e determina-se (VD’) que, rodado, dá origem a (VD).

Adicionalmente, pode reconfirmar-se (VB), já que este ponto pertence simultaneamente às barras 3 e 4 - Fig.2.36.d).

Figura 2.36 - Determinação de velocidades através dos centros instantâneos de rotação

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 31

Adicionalmente, pode referir-se uma relação válida para qualquer mecanismo de quatro barras, conhecida como Teorema da Razão de Velocidades Angulares, e que postula que,

‘a razão de velocidades angulares entre dois elementos, relativamente a um terceiro, é inversamente proporcional ao comprimento dos segmentos formados na linha de centros pela intersepção do centro instantâneo comum’ e que, para o mecanismo da Fig.2.36, se pode traduzir em,

Pode ainda provar-se que esta razão é positiva quando o centro instantâneo comum se encontra para lá dos dois centros fixos - como no exemplo acima - e é negativa quando o centro instantâneo comum se encontra entre os dois centros fixos.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 32

2.4.7 Métodos Analíticos de Determinação da Velocidade

Quando a análise de um mecanismo não se resume a uma ou algumas (poucas) posições, o recurso a métodos analíticos associados ou não ao processamento computacional torna-se imprescindível.

2.4.7.1 Método algébrico

Consiste, essencialmente, na dedução de uma expressão analítica que traduza a velocidade de um elemento do mecanismo, em função da velocidade da ligação motora.

Normalmente, a forma mais simples de o conseguir é por derivação em ordem ao tempo da expressão de posição, ou deslocamento, do elemento em causa.

Seguidamente dão-se alguns exemplos de aplicação, na sequência do explanado no ponto 2.3.4.1 relativamente à determinação analítica de posição e deslocamento.

Exemplo a)

Considerando a equação do deslocamento do pistão 4, em função do ângulo da manivela 2 do sistema da Fig.2.37, equação esta já deduzida no ponto acima referido e que pode ser reescrita como:

x = r ⋅ cos θ + l ⋅ [ 1 - (r/l ⋅ sen φ)2 ]½

Figura 2.37 - Sistema biela-manivela a sua derivação, atendendo a que (θ = ωt ), resulta na expressão da variação de (x) em função da variação do ângulo (θ) da manivela 2, ou seja, na equação da velocidade do pistão 4,

. r ⋅ sen 2θ 

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 3

Exemplo b)

Retomando o exemplo do mecanismo de quatro barras da Fig.2.38 para o qual, r1 + r2 + r3 + r4 = 0 ou seja, r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 + r3 ⋅ eiθ3 + r4 ⋅ eiθ4 = 0 sendo ainda, R = r1 + r2 ; R + r3 + r4 = 0

Figura 2.38 - Mecanismo de quatro barras da derivação da equação vectorial pode obter-se a solução para as velocidades angulares das barras 3 e 4, como se segue:

(1) A dedução completa destas equações, e das subsequentes, pode ser encontrada no Anexo a este capítulo

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 34

Exemplo c)

Para o mecanismo de corrediça da Fig.2.39, para o qual: r1 + r2 - r4 = 0 ou seja, r1 ⋅ eiθ1 + r2 ⋅ eiθ2 - r4 ⋅ eiθ4 = 0

r2 ⋅ cos θ2 - r1

resulta, como já visto, que: r4 =

r2 ⋅ sen θ2 

Figura 3.39 - Mecanismo de corrediça

Por sua vez, retomando a equação vectorial e derivando-a em ordem ao tempo, obtemos a equação das velocidades:

dr1 dθ1 dr2 dθ2 dr4 dθ4

dt dt dt dt dt dt

Sendo os valores de r1, r2 e θ1 constantes, anulando os três primeiros termos, virá:

dθ2 dr4 dθ4 r2 i eiθ2 - eiθ4 - r4 i eiθ4 = 0 dt dt dt

ou, i r2 θ2 eiθ2 - r4 eiθ4 - i r4 θ4 eiθ4 = 0

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 35

θ2 ≡ ω2e θ4 ≡ ω4

em que:

Como:

VA2 = A2 ⋅ ω2 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 2)

VA4 = A4 ⋅ ω4 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 4) e,

VA2 = VA4 + VA2/A4

Assim, e utilizando a fórmula de Euler a equação pode ser transformada em: .

e, separando as componentes real e imaginária,

r4

2.4.7.2 Diferenciação gráfica

Especialmente útil na análise de velocidade e aceleração a partir de registos gráficos de deslocamento, obtidos por meios analógicos (registador x-t, osciloscópio ou mesmo imagem), tem como maior limitação o facto de apenas ser sensível a mudanças de magnitude da grandeza em estudo, seja de deslocamento linear ou angular, seja de velocidade ou aceleração.

Para uma função do tipo, x = f(t) tal como a ilustrada na Fig.2.40.a), e cuja derivada é, por definição:

em que [BC] é a tangente à curva-função no ponto (A).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 36

Figura 2.40 - Diferenciação gráfica

O processo passa pela traçagem de tangentes a vários pontos da curva, construindo triângulos, preferencialmente de abcissas [BD] iguais. Seguidamente torna-se possível construir um diagrama de derivadas, utilizando o mesmo eixo das abcissas (t) e, para cada ponto considerado, registando em ordenadas a altura [CD] do respectivo triângulo - Fig.2.40.b).

A escala da derivada, no gráfico resultante, é dada por, x = x/h em que (h) é o dobro do intervalo de tempo utilizado e igual a [BD].

2.4.7.3 Diferenciação numérica

Para uma função semelhante à referida para a diferenciação gráfica, a sua derivada pode ser escrita como,

f '(x) = lim∆x→0    ∆x 

que será uma outra aproximação a f '(x).

A situação encontra-se ilustrada na Fig.2.41, em que (L-) e (L+) são as 'cordas' à esquerda e à direita do ponto considerado, ou seja, para (-∆∆∆∆x) e (+∆∆∆∆x) respectivamente.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 37

Figura 2.41 - Diferenciação numérica

À medida que os intervalos se reduzam, (L-) e (L+) tenderão a ter inclinações cada vez mais parecidas e, no limite, a inclinação da tangente à curva no ponto considerado - por definição, a derivada da função nesse ponto.

Embora não sendo regra, sobretudo se se tratar da vizinhança de um ponto de inflexão da curva, torna-se também evidente que a inclinação da 'corda' [PQ] é uma melhor aproximação à inclinação da

Este método é empregue para funções - por exemplo, de posição ou deslocamento - para as quais não seja possível obter uma expressão, ou cuja derivação seja analiticamente impossível. É também o método implicitamente utilizado em sistemas informáticos de análise de curvas digitalizadas.

2.4.7.4 Integração gráfica

Método inverso ao de diferenciação gráfica, utilizando os mesmos princípios já enunciados, torna-se particularmente útil nos casos em que a resposta em velocidade, aceleração ou choque é acessível e registável e pretendendo-se, a partir de uma destas, analisar a causa a montante. Isto é, choque (d3x/dt3)→ aceleração (d2x/dt2) → velocidade (dx/dt) → deslocamento (x)

Na Fig.2.42 mostra-se o procedimento a seguir, para uma função simples de patamares com intervalos de tempo iguais.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 38

Figura 2.42 - Integração gráfica Escolhendo criteriosamente o valor (h), a escala do gráfico resultante é dada por (x = h ⋅ x)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 39 2.5 ACELERAÇÃO

2.5.1 Definição

A aceleração linear, como taxa de variação da velocidade, pode ser definida analíticamente do seguinte modo:

∆v dv
∆ω dω

α = lim∆t→0 = = ω = φ ∆t dt

2.5.2 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Fixo

Como já visto atrás, a velocidade de um ponto (P) em movimento numa dada trajectória -

Fig.2.43.a) - é dada por,

. v = s ττττ em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória. Por seu lado, (ττττ) e (µ) são, respectivamente, tangente e normal à mesma trajectória.

Figura 2.43 - Trajectória de um ponto

Da derivação da equação da velocidade, em ordem ao tempo, resulta, a = s ττττ + s ττττ (2.20) em que o segundo termo do lado direito da equação merece alguma atenção.

Assim, sendo (φφφφ) a inclinação de (ττττ) e o ponto (C) o centro instantâneo de rotação de (P), à medida que a trajectória é descrita (ττττ) e (µ) vão variando com (φφφφ).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 40

Isso mesmo é representado na Fig.2.43.b), em que (ττττ) passa a (ττττ+∆∆∆∆ττττ) quando (φφφφ) sofre um acréscimo (∆∆∆∆φφφφ). Então, dττττ ∆ττττ 2⋅sen(∆φ/2) µ

dφ ∆φ∆φ
ds dττττ

e como, s ⋅ ττττ = dt dt

ds dττττ dφ ds

então: s ⋅ ττττ = (2.2) dt dφ ds dt

Sendo que (dφφφφ/ds), com direcção tangente à variação da trajectória, representa a variação do ângulo

(φφφφ) com a distância (s), designa-se por curvatura e é, por definição, o inverso do raio (ρρρρ) da trajectória. Assim,

Finalmente, substituindo este resultado na equação (2.20) virá, a = s ⋅ ττττ + s2/ρ ⋅ µ pelo que se constata ter o vector aceleração duas componentes perpendiculares entre si, uma de direcção tangencial ao deslocamento e (s) de intensidade, outra normal e dirigida para o centro de curvatura (C), com um valor de (s2/ρρρρ).

Assim, podemos escrever que, a = at + an

Figura 2.4 - Componentes da aceleração e, a partir da disposição ilustrada na Fig.2.4, afirmar que a componente tangencial será responsável pela variação (instantânea) de velocidade e a componente normal responsável pela manutenção da trajectória.

at an a

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 41

2.5.3 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Móvel

Reportando ao ponto 2.4.3 - e respectiva Fig.2.2 - relativo à velocidade de um ponto num referencial móvel, aí definida como,

VO = VQ + Ω ∧ D + V da sua derivação em ordem ao tempo vem, em que:

V’0 = a0 - aceleração de (P) em relação a [x0, y0, z0], ou absoluta V’Q = aQ - aceleração de (Q) em relação a [x0, y0, z0], ou absoluta

ΩΩΩΩ‘ = αααα - aceleração angular do sistema móvel [x, y, z] em relação a [x0, y0, z0] ΩΩΩΩ‘∧∧∧∧ D - variação de (ΩΩΩΩ), em módulo e direcção

V’ - aceleração de (P) relativamente ao sistema móvel [x, y, z]

Uma vez que, Ω ∧ D’ = Ω ∧ (Ω ∧ D + V)

V’ = D” = (x i” + y j” + z k”) + (x” i + y” j + z” k) da mesma forma que para a velocidade, temos agora para a aceleração:

em que (V) e (a) são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do ponto (P) em relação ao sistema móvel [x, y, z].

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 42 em que: a0 aceleração absoluta de (P) aceleração absoluta de (Q)

efeito da aceleração angular devida à rotação do sistema móvel efeito da velocidade angular devida à rotação do sistema móvel

2⋅⋅⋅⋅ΩΩΩΩ ∧∧∧∧ V efeito combinado do movimento de (P) em relação ao sistema móvel e da rotação deste mesmo sistema a aceleração de (P) relativamente a (Q), estando este fixo ao sistema móvel ACELERAÇÃO NO SISTEMA MÓVEL

No caso mais particular do movimento plano, (Ω = ω k) pelo que,

Ω ∧ (Ω ∧ D) = (Ω⋅D)⋅Ω - (Ω⋅Ω)⋅D = -ω2 D e a equação (2.27) simplifica-se para,

2.5.4 Aceleração de um Corpo Rígido

Retomando a equação (2.28), se a velocidade relativa for nula - isto é, se (P) estiver fixo em [x, y, z] - então os dois últimos termos da equação são nulos e então:

sendo:

ΩΩΩΩ‘∧∧∧∧ D - aceleração tangencial de (P) relativamente a (Q) ωωωω2 D - aceleração normal de (P) relativamente a (Q) Nota: com sentido negativo, ou seja, de (P) para (Q) pelo que a aceleração absoluta do ponto (P) se resume à soma da aceleração absoluta do referencial móvel, representada por (aQ), com a aceleração relativa (aP/Q) - representada aqui pelas suas componentes tangencial e normal, de forma análoga ao já visto para o caso de um referencial fixo.

Assim, podemos afirmar que, num corpo rígido em que um ponto (Q) esteja animado de velocidade e aceleração (ΩΩΩΩ‘ e ωωωω) relativamente a um sistema fixo, a aceleração absoluta de um ponto (P) também pertencente a esse corpo será dada por:

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 43

2.5.5 Centros Instantâneos de Aceleração

Da mesma forma que, num mecanismo, se podem localizar centros instantâneos de rotação - ou seja, pontos para os quais a velocidade linear de determinada ligação é nula - é também possível definir centros instantâneos de aceleração como sendo pontos em relação aos quais determinada ligação não tem aceleração, em dado momento.

Muito embora a sua localização possa ser consideravelmente trabalhosa, especialmente em mecanismos complexos, apresenta-se aqui o denominado Método dos Quatro Círculos, que o permite fazer de uma forma razoavelmente expedita.

Na Fig.2.45 apresenta-se a ligação [AB] de um qualquer mecanismo e as respectivas acelerações (aA) e (aB). O procedimento, igualmente ilustrado, é o seguinte:

- prolongar (aA) e (aB) até à sua intercepção no ponto (K); - traçar um círculo, passando pelos pontos (A), (B) e (K);

- traçar um círculo, passando pelos extremos dos vectores (aA) e (aB) e por (K); - localizar a intercepção dos dois círculos, ponto (J), e centro instantâneo de aceleração.

Figura 2.45 - Centro instantâneo de aceleração

2.5.6 Métodos Gráficos de Determinação de Aceleração

2.5.6.1 Polígno de acelerações

Baseia-se na solução gráfica das equações vectoriais de aceleração relativa, entre dois pontos (A e B) de um mesmo corpo rígido, ou seja:

e na decomposição da aceleração nas suas direcções tangencial (at) e normal (an).

Na Fig.2.46.a) mostra-se a ligação 2 de um mecanismo, dotada de velocidade e aceleração angulares, respectivamente (ωωωω) e (αααα), tal como indicadas.

(Parte 3 de 4)

Comentários