Análise cinemática de mecanismos articulados

Análise cinemática de mecanismos articulados

(Parte 4 de 4)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 4 a) b) Figura 2.46 - Aplicação do polígno de acelerações

Neste caso, as componentes da aceleração do ponto (B) serão:

aBt = R ⋅ α com a direcção de (αααα) aBn = R ⋅ ω2 com a direcção [BA] sendo de notar que, neste exemplo, aA=0, pelo que aB/A=aB/An+aB/At.

No caso mais genérico em que o ponto (A) também tem uma dada aceleração - tal como ilustrado na Fig.2.46.b) - e sendo (A) o centro da curvatura do movimento de (B), então,

= aA + aB/An + aB/At continua a verificar-se.

Todavia, dois importantes conceitos devem estar sempre presentes:

1. a componente normal da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo corpo rígido, é função da velocidade angular da ligação e da distância entre os dois pontos, tendo a direcção da linha de união dos dois pontos e o sentido do ponto de referência;

2. a componente tangencial da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo corpo rígido, é função da aceleração angular da ligação e da distância entre os dois pontos, tendo a direcção perpendicular à linha de união dos dois pontos e o mesmo sentido da aceleração angular.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 45

2.5.6.2 Imagem de acelerações

A imagem de acelerações obtem-se seguindo os mesmos princípios já enunciados para a imagem de velocidades.

Tendo em consideração que, em termos de adição dos módulos dos respectivos vectores,

aB/A = aB/An + aB/At

aB/At = α ⋅ BA então:

Da equação (2.29) pode concluir-se que, como (ωωωω) e (αααα) são constantes para cada uma das ligações, então a aceleração de cada ponto relativamente a outro, numa mesma ligação, é proporcional à distância entre eles.

É também possível provar que a orientação da imagem de acelerações, de cada ligação, depende da aceleração angular dessa mesma ligação.

Assim:

- se a aceleração angular for nula, a imagem de velocidades encontrar-se-á rodada de 180o em relação à posição da respectiva barra, no sentido da velocidade de rotação;

- existindo uma componente de aceleração angular, a imagem encontrar-se-á rodada de um valor de [180o - tan-1(α/ω2)] em relação à posição dessa barra, no sentido da aceleração angular.

Para o mecanismo da Fig.2.47 teremos assim,

Figura 2.47 - Mecanismo de biela-manivela e considerando a inexistência de aceleração angular da ligação 2 (αααα2=0), as imagens de velocidades e de acelerações encontram-se nas Fig.2.48.a) e b), respectivamente.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 46 a) b) Figura 2.48 - Imagens de velocidades e de acelerações

É de notar que a imagem de acelerações da ligação 2, que não tem aceleração angular, apresenta uma rotação de 180o. Por seu turno para a ligação 3, animada de uma aceleração angular no sentido directo, a sua imagem aparece com uma rotação menor que 180o.

2.5.6.3 Centros Instantâneos de Aceleração

Para o caso genérico da Fig.2.49.a), supondo o ponto (J) como centro instantâneo de aceleração e conhecidas a aceleração (aA) do ponto (A) e a velocidade (ωωωω) e aceleração (αααα) da ligação em causa, a equação vectorial da aceleração de (J) será, aJ = aA + α ∧ r + ω ∧ (ω ∧ r) = 0

Uma vez que se trata de movimento plano, então (ωωωω ≡ k), pelo que:

aA + r α (k ∧ r) - r ω2 r = 0 donde: aA = r ω2 r - r α (k ∧ r) mas, uma vez que (r) e (k ∧ r) são vectores perpendiculares, então os dois termos do lado direito da equação acima representam uma soma vectorial cujo resultado é (aA), tal como ilustrado na Fig.2.49.b).

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 47 a) b) Figura 2.49 - Determinação de acelerações através de centros instantâneos de aceleração

aA

tornando-se, assim, possível calcular a magnitude e a direcção do vector (r), r = γ = tan-1 (α/ω2)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 48 2.5.7 Métodos Analíticos de Determinação de Aceleração

2.5.7.1 Método algébrico

A partir da expressão da velocidade, e por derivação em ordem ao tempo, ou a partir da expressão do deslocamento, derivando duas vezes, obtém-se a correspondente equação da aceleração.

Seguem-se exemplos de determinação, para os mecanismos já estudados em termos de análise de deslocamento, ponto 2.3.4.1, e análise de velocidades, ponto 2.4.7.1.

Exemplo a) Para o mecanismo de biela-manivela da Fig.2.50, em que a expressão da velocidade é,

. r ⋅ sen 2θ 

Figura 2.50 - Sistema biela-manivela a equação da aceleração resultante vem como,

 r ⋅ sen 2θ   r ⋅ cos 2θ r3 ⋅ sen2 2θ 

2l ⋅ cos φ l ⋅ sen φ 4l3 ⋅ cos3 φ em que, cos φ = [1 - (r/l ⋅ sen θ)2]½

Dada a complexidade da expressão, e uma vez que os mecanismos usuais apresentam uma razão

(l/r) elevada, é comum desprezar o último termo à direita, assim como tomar (cos φ ≈ 1), simplificando-se a equação para:

 r   r 

x = - r α ⋅ sen θ + sen 2θ - r ω2 ⋅ cos θ + cos 2θ

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Exemplo b)

Figura 2.51 - Mecanismo de quatro barras e sendo as expressões da velocidade, como já visto,

da dupla derivação da equação vectorial (2.30), utilizando o mesmo procedimento de separação de raizes reais e imaginárias, resulta:

r3 ⋅ sen (θ4-θ3)

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