Apostila Polos Zeros

Apostila Polos Zeros

i i i

Capıtulo 1

Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros

O calculo da resposta no domınio do tempo y(t) de um sistema g(t) pode ser calculado atraves da integral de convolucao:

onde u(t) e o sinal de excitacao do sistema.

Usualmente, utiliza-se a transformada de Laplace para a conversao do sistema para o domınio da frequencia: Y(s) = G(s)U(s).

Posteriormente, para o calculo de y(t), pode-se realizar a anti-transformada de Laplace.

Para isto, e mais facil transformar Y(s) utilizando a tecnica de expansao em fracoes parciais, ja que cada fracao parcial tem anti-transformada facilmente conhecida. Neste caso, e possıvel evidenciar o efeito de cada polo do sistema e do sinal de entrada u(t). Os zeros de Y(s) desaparecem na expansao em fracoes parciais. O efeito dos zeros afeta apenas os coeficentes das fracoes parciais. A conclusao que devemos chegar e que os zeros do sistema atuam como filtros evidenciando ou anulando o efeito dos polos do sistema.

1.2 Algumas questoes basicas Seja um sistema linear e invariante no tempo representado por:

any(n)(t) + an−1y(n−1)(t) ++ a1y(1)(t) + a0y(t) =
bmu(m)(t) + bm−1u(m−1)(t) ++ b1u(1)(t) + b0u(t),

i i i

2 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros onde, dt(i) , u(i)(t) , d(i)u(t) dt(i) ,

Podemos definir:

onde,

Utilizando esta notacao podemos escrever:

A solucao para y(t) envolve dois termos. O primeiro, corresponde a resposta do sistema D(p)y(t) = N(p)u(t) considerando uma entrada nula, i.e., u(t) = 0. Neste caso, a Equacao 1.7 se reduz a equacao denominada Homogenea,

A sua transformada de Laplace pode ser expressa como:

onde I(s) e um polinomio cujos coeficientes dependem das condıcoes iniciais. D(s) e denominado polinomio caracterıstico de 1.7 porque caracteriza a resposta denominada livre, nao forcada ou resposta natural. As raızes de D(s) sao denominadas modos do sistema. Por exemplo, se

Os polos tem multiplicidade unitaria, com exececao de −1 que possui multiplicidade igual a dois.

Desta forma, para quaisquer condicoes iniciais Y(s) pode ser expandido em fracoes parciais como:

i i i

1.2. Algumas questoes basicas 3 A resposta no tempo pode ser escrita como:

onde K1, K2, K3, C1 e C2 dependem das condicoes iniciais. Se todas as condicoes iniciais forem nulas a resposta de 1.7 pode ser escrita como:

onde G(s) e a transformada de Laplace quando as condicoes iniciais sao nulas (c.i.n.):

= L[saıda]

Logo a solucao geral da Equacao 1.7 pode ser escrita como:

Resposta a Estado-Zero

Considere por exemplo a seguinte equacao diferencial:

A utilizacao da transformada de Laplace considerando condicoes iniciais nao nulas, resulta em:

onde y = dy/dt e as letras maiusculas denotam as transformadas de Laplace das variaveis representadas pelas letras minusculas correspondentes.

Fazendo um reagrupamento dos termos podemos escrever a equacao acima da seguinte forma:

Resposta a Estado-Zero

Esta equacao revela que a solucao da Equacao 1.16 e parcialmente excitada por u(t),t > 0, o que resulta numa parcela denominada de Resposta a Estado-Zero, e parcialmente exci- estado inicial pode ser entendido como o resultado da entrada u(t) para t ≤ 0.

i i i

4 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros

1.3 Classificacao das funcoes de transferencia Considere a seguinte funcao racional:

onde N(s) e D(s) sao polinomios com coeficientes reais.

Tais funcoes de transferencia sao classificadas de acordo com o grau do polinomio do numerador degN(s) e do grau do polinomio do denominador degD(s). A Tabela 1.1 a seguir resume a classificacao.

Tabela 1.1. Classificacao das funcoes de transferencia.

degN(s) > degD(s) impropria degN(s) ≥ degD(s) propria degN(s) < degD(s) estritamente propria degN(s) = degD(s) bi-propria

Se G(s) e bi-propria entao G−1(s) tambem e bi-propria. Em geral, trabalhamos com funcoes proprias ou estritamente proprias, ja que, funcoes de transferencia improprias descrevem sistemas nao causais.

1.4 Expansao em fracoes parciais

Nesta secao, detalha-se a tecnica de expansao em fracoes parciais. Suponha a seguinte funcao de transferencia:

+ ++ Ar

i i i

A funcao no domınio do tempo pode ser escrita como:

Ki exp−pit +A1 exp−pmt +A2t exp−pmt ++ Artr−1 exp−pmt .

1.5 Polos e zeros A seguir, uma definicao formal para polos e zeros e estabelecida.

Um primeiro questionamento de ordem teorica que pode ser feito e se todas as raızes do polinomio D(s) sao polos de G(s). Considere a seguinte funcao de transferencia:

i i i

6 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros o que torna o resultado indefinido. Entretanto, utilizando a regra de L’Hopital obtemos:

Portanto, nem toda raiz de D(s) e um polo de G(s). No exemplo acima, o fato se deve ao fato que N(s) e D(s) possuem um fator comum. Na verdade, a funcao de transferencia pode ser escrita como:

Nesse exemplo, observamos que se os polinomios N(s) e D(s) nao possuem fatores comums, entao todas as raızes de N(s) e D(s) sao respectivamente zeros e polos de G(s).

Se N(s) e D(s) nao possuem um fator comum eles sao denominados co-primos e G(s) e denominado irredutıvel.

Resposta a estado-zero A resposta a estado-zero e estabelecida pela seguinte equacao:

Computa-se inicialmente a transformada de Laplace de u(t), U(s), e posteriomente podemos obter Y(s). Uma expansao em fracoes parciais de Y(s) pode facilmente levar a transformada de Laplace inversa para obtencao da resposta do sistema no domınio do tempo y(t). A seguir sao apresentados alguns exemplos.

Exemplo 1 Dado o sistema calcular a resposta para um entrada a degrau unitario u(t) = 1 para t ≥ 0. Podemos escrever Y(s) como:

A expansao em fracoes parciais pode ser representada como:

i i i onde os coeficientes podem ser calculados como:

Y(s) pode entao ser representada como:

A resposta no tempo pode entao ser calculada como:

Podemos observar atraves do Exemplo 1 que os termos relativos aos polos do sistema podem ser divididos em duas partes, uma relativa aos polos do sistema G(s) e um relativo aos polos de U(s). A resposta deste sistema poderia ser escrita genericamente como:

Uma questao importante e que dependendo de u(t), os polos de G(s) podem nao ser excitados. O exemplo a seguir ilustra esta questao.

Exemplo 2 Considere por exemplo U(s) = s +1. Neste caso,

i i i

8 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros Exemplo 3 Vamos supor agora que:

A transformada de Laplace e dada por:

dessa forma,

A resposta do sistema no domınio do tempo y(t) e dada por:

Neste exemplo, e possıvel observar que a excitacao ou nao do polo depende se U(s) possui um zero para cancela-lo.

1.6 Polos e suas caracterısticas no domınio do tempo

A seguir apresenta-se os casos principais dos tipos de termos que comumente aparecem numa expansao em fracoes parciais em conjunto com sua descricao analıtica e grafica.

• Funcao de transferencia: K

• Resposta no tempo: K exp−σt .

A figura 1.1 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

i i i

1.6. Polos e suas caracterısticas no domınio do tempo 9 j ω Polo Real Negativo

Tempo (seg) g(t)

• Funcao de transferencia: K

• Resposta no tempo: K expσt .

A figura 1.2 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

j ω Polo Real Positivo

Tempo (seg) g(t)

i i i

10 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros

• Funcao de transferencia:

• Resposta no tempo:

A figura 1.3 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

j ω Polos Complexos Conjugados Estaveis

Tempo (seg) g(t)

Figura 1.3. Localizacao dos polos e resposta impulsiva do sistema G(s).

• Funcao de transferencia:

• Resposta no tempo:

i i i

1.6. Polos e suas caracterısticas no domınio do tempo 1 A figura 1.4 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

j ω Polos Complexos Conjugados Instaveis

Tempo (seg) g(t)

Figura 1.4. Localizacao dos polos e resposta impulsiva do sistema G(s).

• Funcao de transferencia:

A figura 1.5 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

i i i

12 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros j ω Polos reais multiplos s=−1, s=−2 (m=2)

Tempo (seg) g(t)

• Funcao de transferencia:

s −jω

• Resposta no tempo:

A figura 1.6 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

i i i

1.6. Polos e suas caracterısticas no domınio do tempo 13 j ω Polos imaginarios s=−j2,+j2

Tempo (seg) g(t)

• Funcao de transferencia:

A figura 1.7 ilustra a localizacao do polo e a resposta impulsiva para o sistema:

i i i

14 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros j ω Polos imag. multiplos s=−j2, +j2 (m=2)

Tempo (seg) g(t)

1.7 O efeito dos zeros

O efeito dos zeros sobre a resposta do sistema e mais difıcil de ser inferido. Apesar da localizacao dos polos determinar a natureza dos modos do sistema, e a localizacao dos zeros que determina a proporcao que os modos sao combinados. Estas combinacoes podem fazer com que os resultados sejam bastante diferentes quando comparados com os modos individuais relativos a cada polo.

Da mesma forma como nos polos, tambem podemos definir zeros rapidos e zeros lentos. Zeros rapidos sao aqueles que estao bastante afastados em relacao ao eixo imaginario quando comparado com os polos dominantes. Por outro lado, zeros lentos sao aqueles que estao bem mais proximos do eixo imaginario do que os polos dominantes.

Exemplo 4 Para ilustrar a influencia dos zeros na resposta do sistema a resposta a degrau de varios sistemas com polos iguais mas com zeros diferentes sao compa-

G4(s) e suas respectivas expansoes em fracoes parxiais podem ser observados na Tabela 4. A expansao em fracoes parciais de qualquer um desses sistemas pode ser representada por:

i i i

1.7. O efeito dos zeros 15 tempo (seg) y(t)

Exemplo 5 Considere, por exemplo, a seguinte funcao de transferencia:

nesse sistema e possıvel verificar a variacao da resposta y(t) atraves da variacao do parametro c sem a mudanca dos valores dos polos e do ganho do sistema. Os

i i i

16 Capıtulo 1. Calculo da resposta no domınio do tempo: o papel dos polos e zeros dois modos naturais do sistema sao representados por, exp−1t e exp−2t, que sao relacionados aos polos −1 e −2 respectivamente. O efeito do primeiro modo natural exp−1t pode gradativamente ser anulado a medida que c → −1. O mesmo acontece para exp−2t quando c → −2. Uma situacao mais geral, pode ser observada na Figura 1.9 onde e apresentado a resposta a degrau do sistema H(s) considerando c = −0.1,0.1,−0.25,0.25,−10,10. Pode ser observado que, para um zero rapido, por exemplo |c| 1, nao existe um impacto significativo na resposta transitoria. Quando o zero e lento e estavel o sistema possui sobresinal significativo. Quando o zero e lento e instavel entao o sistema exibe um undershoot significativo.

6 Respostas a degrau de H(s) para c=−0.1, 0.1, −0.25, 0.25, −10, 10 tempo (seg) y(t) c=−0.1 c=0.1 c=0.25 c=−0.25 c=−10 data6

Figura 1.9. Respostas a degrau do sistema H(s) para diferentes valores de c.

E possıvel estabelecer estimativas para o sobresinal e undershoot. a seguir alguns resultados desenvolvidos por Goodwin, Graebe e Salgado 1.

Lema 1 (Zeros de fase nao mınima e undershoot) Assuma um sistema linear e estavel com funcao de transferencia G(s) possuindo ganho unitario e um zero em s = c, onde c ∈ R+.

1G.C. Goodwin, Stefan F. Graebe e M.E. Salgado, Control System Design, Prentice-Hall.

i i i

1.7. O efeito dos zeros 17

Assuma tambem que a resposta a degrau unitario do sistema, y(t), tem um tempo de

Este lema estabelece que, quando o sistema possui zeros de fase nao mınima existe uma solucao de compromisso entre ter uma resposta rapida e uma resposta com undershoot pequeno. ♦

Lema 2 (Zeros lentos e sobresinal) Assuma um sistema linear e estavel, com funcao de transferencia dada por G(s) possuindo ganho unitario e um zero em s = c,c < 0. Alem disso, assuma que:

3. O valor de δ definindo o tempo de assentamento ts e escolhido tal que K > 0 resultando que:

E possıvel concluir que a resposta a degrau possui um sobresinal que e limitado de acordo com a seguinte relacao:

Este lema estabelece que quando um sistema estavel possui zeros lentos, existe uma solucao de compromisso entre uma resposta rapida e um sobresinal pequeno. ♦

Comentários