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2CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

2.1 INTRODUÇÃO

Apesar da maioria das instalações elétricas, hoje em dia, não serem em corrente contínua, a teoria a ser vista neste capítulo constitui uma base para as demais aplicações que são utilizadas em eletricidade.

Para estudar os circuitos em corrente contínua parte-se de conceitos básicos da eletrostática e da eletrodinâmica. São definidas, basicamente, as grandezas: corrente, diferença de potencial, potência e energia elétrica.

Em seguida definem-se os elementos básicos dos circuitos de corrente contínua, quais sejam, as fontes ideais e a resistência, que constituirão os bipolos. A associação de bipolos será analisada a partir da Lei de Ohm.

Apresentam-se, então, as redes de corrente contínua (C.C.) e as leis, conceitos e teoremas para sua resolução. São apresentadas as aplicações das Leis de Kirchhoff e do Método das Correntes Fictícias de Maxwell.

2.2 CONCEITOS BÁSICOS

Neste item serão apresentadas, sucintamente, as leis e definições que constituirão a base dos estudos de redes em corrente contínua.

2.2.1Lei de Coulomb e Potencial Elétrico

As leis da eletricidade originaram-se a partir do final do século XVIII. Inicialmente foi identificada a existência de cargas elétricas com polaridade positiva ou negativa e, foi verificado, ainda, que cargas elétricas de polaridades iguais se repelem e, cargas elétricas de polaridades diferentes se atraem. Em 1785, Coulomb avaliou a força de atração, ou repulsão, entre duas cargas pontuais como sendo:

102. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA onde: F - força em N (Newton); q1, q2- cargas elétricas em C (Coulomb); r - distância entre as cargas em m; ε - constante que depende do meio, em F/m (Faraday/m). Para o vácuo ε = εo = 8,85 x 10-12 F/m.

Pode-se escrever que:

q Eεπ= constitui o campo elétrico provocado pela carga 1q, e é dado em V/m

(Volt/m). Na realidade, tanto o campo elétrico E1 como a força F são grandezas vetoriais, conforme apresentado na Fig. 2.1, para cargas positivas e negativas.

a) Carga positiva b) Carga negativa

Figura 2.1 - Vetores de campo elétrico e força

Pode-se definir, também, o trabalho, W, realizado pela carga q2 ao ser deslocada desde um ponto muito distante (∞) até a distância r de q1 como sendo:

rdEqrdEqrdFW vvvrvv (2.2)

O potencial elétrico, Vr, é uma grandeza escalar, definida como sendo o trabalho W por unidade de carga (q2), ou seja:

12 r VrdEq

(2.3)

WV rv

+v dr v v Fq2

-q1 q2P v

ELETROTÉCNICA GERAL 1

Nota-se que o potencial elétrico independe da carga q2 . Pode-se, a partir deste conceito, calcular o trabalho para deslocar a carga q2 de A até B, como sendo:

)V(q)Vq(VqW rdEqrdEqrdEqW ou seja, a diferença de potencial (d.d.p. ou tensão) VBA = VB – VA entre os pontos A e B, consiste no trabalho (por unidade de carga) para se deslocar uma carga de A até B..

2.2.2 Corrente Elétrica

Define-se a intensidade de corrente elétrica (i ) que atravessa uma superfície, Fig. 2.2, como a quantidade de carga elétrica que atravessa a superfície por unidade de tempo. Assim a corrente será dada por:

em

Figura 2.2 - Corrente Elétrica

O sentido convencional da corrente elétrica é o correspondente à circulação de cargas positivas. Logo, em condutores metálicos, o fluxo de elétrons, que são cargas negativas, é em sentido contrário ao sentido convencional da corrente.

2.2.3Lei de Joule e Resistência Elétrica

A circulação de corrente elétrica em um condutor provoca o seu aquecimento, pela sua “resistência” à passagem da corrente elétrica.

lS ∆q

122. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

A Lei de Joule estabelece que a energia, W, transformada em calor, ou dissipada, é dada por:

onde: W - é a energia dissipada no condutor em J (Joule); I - é a corrente elétrica em A;

R - é a resistência elétrica do condutor em Ω (Ohm).

Assim, a potência dissipada por efeito Joule pode ser dada por 2RIt WP==e é medida em J/s ou W (Watt). Se a corrente for função do tempo i = i(t), então a potência instantânea será )t(iR)t(p2= e, para um tempo t, a energia dissipada será

A resistência elétrica R depende, basicamente, das características geométricas e do material do condutor. Para um condutor cilíndrico, como o da Fig. 2.2, tem-se:

onde: l é o comprimento do condutor em m;

Sé a área da secção transversal em m2; ρé a resistividade elétrica do material em Ω×m

Quando a área do condutor é medida em mm2 a resistividade passa a ser medida em Ω×mm2 / m.

Pode-se definir, ainda, a condutância, G, e a condutividade do material, σ, como sendo o inverso da resistência e da resistividade, respectivamente. Formalmente:

S/m)oumho/m (em 1=eSiemens)=Sou mho (em R

2.2.4Lei de Ohm

Pela Lei de Joule, eq. (2.5), a energia dissipada num condutor percorrido por uma corrente constante I é dada por tIRItRIW2==. Sendo qtI=, tem-se qRIW=. Ora, a

ELETROTÉCNICA GERAL 13 energia pode ser também avaliada como sendo o trabalho para levar a carga q entre os dois pontos extremos do condutor, que pode ser dada por qVW= onde V é a diferença de potencial entre esses pontos. Igualando as expressões para cálculo da energia dissipada no condutor:

resulta para a diferença de potencial o valor: V = R × I(2.8) onde V é a d.d.p. (ou tensão) entre os extremos do condutor; a expressão será válida sempre que a resistência R for constante.

2.2.5Variação da Resistência com a Temperatura

A resistência elétrica de um condutor é variável com sua temperatura. O mesmo, obviamente, acontece para a resistividade elétrica do material, conforme a Fig. 2.3:

Temperatura oCTT=0 ρ0 ρt

Resistividade ρ

Figura 2.3 - Variação da resistividade com a temperatura

142. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

2.2.6Força Eletromotriz (f.e.m.)

A força eletromotriz consiste na energia convertida em energia elétrica por unidade de carga, isto é:

Sabe-se que um gerador elétrico converte energia de alguma forma para energia elétrica; uma pilha, por exemplo, converte energia química em energia elétrica. A força eletromotriz E nos terminais do gerador, constitui a tensão ou d.d.p. necessária à circulação de corrente, suprindo a energia que o circuito requerer. A potência fornecida pelo gerador ao circuito pode ser calculada por:

2.3 BIPOLOS

2.3.1Curvas Características de Bipolos

Bipolo elétrico é qualquer dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis, mediante os quais pode ser feita a sua ligação a um circuito.

O comportamento elétrico de um bipolo pode ser obtido a partir de sua característica externa, ou curva característica, que é representada pela função V = f ( I ). A característica externa representa a tensão nos terminais do bipolo em função da corrente que o atravessa, conforme a Fig. 2.4.

Os bipolos classificam-se em lineares e não lineares, conforme sua curva característica, seja uma reta ou não, respectivamente. Pode-se, ainda, classificá-los em passivos e ativos, conforme sua curva característica cruze a origem ou corte o eixo dos coordenadas cartesianas em dois pontos, conforme mostra a Fig. 2.4.b, respectivamente.

Um resistor com resistência constante, por exemplo, é um bipolo passivo linear pois sua função V=RI é representada por uma reta passando pela origem, com coeficiente angular R.

Uma bateria pode ser representada pela associação de um gerador ideal com f.e.m. E, em série com uma resistência, que representa a resistência interna da bateria. A diferença de

ELETROTÉCNICA GERAL 15 potencial entre os terminais da bateria (A e B) é igual à soma das d.d.ps. entre os pontos A e B e, entre os pontos C e B, que é dada por:

VAB = VAC + VCB = E - r I

Conforme Fig. 2.4.b, a reta cruza os eixos nos pontos de coordenadas (0,E) e (Icc,0), e representa um bipolo ativo linear.

O valor de Icc, também chamado de corrente de curto circuito do bipolo ativo, representa o valor da corrente quando a tensão no terminais do bipolo é nula, ou seja, quando os terminais do bipolo estão ligados em curto circuito.

α (tgα=R)

R a - bipolo passivo

V= E - rI V

I E rCC= r I

I E rCC = r V b - bipolos ativos Figura 2.4 - Características externas de bipolos elétricos

A f.e.m. E é chamada de tensão em vazio, pois representa o valor da tensão nos terminais do bipolo quando a corrente é nula, isto é, quando seus terminais estão em circuito aberto.

162. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

Normalmente assinalam-se os terminais com os símbolos: + para o terminal positivo e - para o terminal negativo. Convenciona-se que o potencial do primeiro é maior que o do segundo.

Utilizam-se duas convenções para a representação de correntes e tensões em bipolos:

• Convenção do receptor: a corrente positiva entra no terminal positivo do bipolo; usualmente utilizada para bipolos passivos.

• Convenção do gerador: a corrente positiva sai pelo terminal positivo; usualmente utilizada para bipolos ativos.

Exemplo 2.1

Para o circuito da Fig. 2.5 pede-se determinar a tensão nos terminais do bipolo ativo e a corrente elétrica que circula no circuito.

V E=6V r=0,02Ω R=0,18Ω

5.4V V=RI E=6V

30A V=E-rI

ICC=300A a) Circuito do Exemplob) Resolução Gráfica Figura 2.5 Circuito para o Ex. 2.1

Resolução analítica: Como se pode notar na Fig 2.5a, os valores de tensão nos terminais e corrente, para os dois bipolos, são iguais. Sendo:

- Para o bipolo ativo V = E - r.I = 6 - 0,02.I; - Para o bipolo passivoV = R.I = 0,18.I;

Igualando as duas expressões temos:

ELETROTÉCNICA GERAL 17

Resolução gráfica: Na Fig. 2.5b apresenta-se o método gráfico de resolução, no qual o ponto de intersecção das duas curvas características dos bipolos representa a solução ou o ponto de operação do circuito.

Um gerador de corrente ideal é aquele que mantém uma dada corrente, ΙG , independente do valor da tensão nos seus terminais. É representado conforme a Fig. 2.6 a.

Ir IG r a) Gerador de corrente ideal b) gerador de corrente real

Figura 2.6 - Gerador de Corrente

Um gerador de corrente real pode ser representado pela associação em paralelo de um gerador de corrente ideal com uma resistência, Fig. 2.6.b. A curva característica deste bipolo pode ser obtida observando-se que a corrente de saída, I, é igual à corrente do gerador, IG, menos corrente, Ir, que flui pela resistência r. Assim sendo resulta:

IrIrVou r

Note-se que a curva característica de um gerador de corrente real, eq. (2.9), é idêntica à de um gerador de tensão (ou bateria) que tenha resistência interna r e corrente de curto circuito dada por ΙG = E / r. Assim, um gerador de corrente real pode ser substituído por um gerador de tensão equivalente e vice-versa. É comum, para geradores de corrente, utilizar-se a condutância ao invés da resistência. Sendo g = 1/r, a equação do bipolo torna-se:

182. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

2.3.3Associação de Bipolos

É comum desejar-se obter um bipolo equivalente a uma associação de bipolos, ou seja, a curva característica do bipolo equivalente deve ser igual à curva da associação dos bipolos. A seguir será analisado como se pode obter a curva característica da associação de bipolos em série e da associação de bipolos em paralelo.

A - Associação em série

eletromotrizes Ei e resistências internas Ri, com i = 1, 2,, n.

A Fig. 2.7a representa a associação em série de n bipolos que apresentam forças

a - em série

Bipolo 1 Bipolo 2

Bipolo N

I3 -

Req

Veq

Bipolo equivalente V

I1I2In

V1 V2 Vn

Bipolo 1 Bipolo 2 Bipolo n

V - b- em paralelo

Figura 2.7 - Associação de Bipolos

Observa-se que bipolos associados em série são percorridos pela mesma corrente e sua tensão resultante é dada pela soma das tensões individuais, Fig. 2.7.a. Formalmente resulta:

Para o caso de bipolos ativos e lineares (o caso de bipolo passivo é um caso particular de bipolo ativo com f.e.m. nula), resulta:[][][] IRERIEIRE IRE...IREIREV...V

eqeq

ELETROTÉCNICA GERAL 19

Ou seja, da eq. (2.10) obtém-se que a f.e.m. do bipolo equivalente é dada pela soma das f.e.m.s. individuais de cada um dos bipolos e a resistência equivalente é dada pela soma das resistências individuais.

B - Associação em paralelo

Na associação em paralelo de bipolos, Figura. 2.7.b, a tensão terminal dos bipolos é igual e a corrente total é dada pela soma das correntes individuais. A determinação do bipolo equivalente é levada a efeito com maior simplicidade pela substituição dos bipolos individuais de tensão por bipolos de corrente real. Resultam as seguintes relações:

Para cada bipolo tem-se Ιi = Ιcci - giVi, logo para a associação resulta:

Ou seja, da Equação. (2.1) conclui-se que o gerador de corrente real equivalente à associação apresenta corrente constante igual à soma das correntes individuais e sua condutância é a soma das condutâncias individuais. Finalmente o bipolo equivalente em termos de gerador de tensão é dado por:

IREV eqeq −= onde:

eq g

1Re g

Exemplo 2.2

Para o circuito da Figura. 2.8, em que se tem dois bipolos ativos e um passivo, sendo

R1=0,02 Ω; R2=0,08 Ω, R3= 0,20 Ω, E1= 5 V e E2= 10 V. Pede-se: a) O bipolo equivalente da associação série-paralelo dos três bipolos.

b) A corrente Ι e a tensão nos terminais V, do bipolo equivalente quando alimentar, entre seus terminais A e B, uma resistência R de 10Ω.

202. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

− B Bipolo 3 req(1,2,3) Eeq(1,2,3)

Bipolo 1

Bipolo2 E2

Figura 2.8 - Associação de bipolos do exemplo 2.2 a) O bipolo equivalente da associação dos bipolos 1 e 2, conta com:

Em termos de gerador de corrente, temos:

Associando este ao bipolo 3, resulta:

logo

ELETROTÉCNICA GERAL 21 b) A corrente na resistência ligada aos terminais A e B, pode ser calculada por:

A resolução analítica de redes que contam com bipolos não lineares geralmente é obtida através de processo iterativo. Por outro lado, a resolução é bastante simplificada utilizando-se procedimentos gráficos.

Na Figura 2.9 apresenta-se um bipolo ativo linear, bipolo 1, que supre um bipolo passivo não linear, bipolo 2, caracterizado por característica externa V=f(Ι). A solução analítica dessa rede poderia ser feita fixando-se um valor arbitrário I(0) da corrente impressa no bipolo passivo. A partir dessa corrente determina-se, através da curva V(1) = f(I(0)), a tensão em seus terminais. A partir dessa tensão calcula-se a corrente fornecida pelo bipolo ativo:

r VEI

Repete-se o procedimento até que diferença entre os valores das correntes em duas iterações sucessivas seja não maior que uma tolerância pré-estabelecida.

V = f (I) E

IV=E-r I IC C

Bipolo não linear VPonto de operação a) Circuitob) Resolução Gráfica Figura 2.9 - Bipolos Não Lineares

2. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

Para a solução gráfica destaca-se que, em operação em regime permanente, as tensões nos terminais dos dois bipolos e suas correntes devem ser iguais. Logo, o ponto de operação será dado pela interseção das duas curvas. Na Figura 2.9.a apresenta-se o método de resolução gráfica deste circuito.

Uma rede de bipolos é um conjunto de bipolos ligados entre si. Pode-se definir, ainda, para uma rede :

• Nó - um ponto qualquer da rede no qual se reúnem dois ou mais bipolos distintos;

• Ramo (ou lado) - qualquer dos bipolos da rede cujos terminais estão ligados a dois nós distintos;

Figura 2.10 - Exemplo de rede de bipolos

A rede de bipolos da Figura. 2.10 é um exemplo que conta com 6 nós, 10 ramos e várias malhas (por exemplo: ramos 1-2-3, ramos 4-5-7-8, ramos 1-10-5-7-9, etc.).

As duas leis de Kirchhoff são apresentadas a seguir:

1ª Lei de Kirchhoff: A soma algébrica das correntes aferentes a um nó qualquer de uma rede de bipolos é nula. Para tanto, deve-se atribuir às correntes que “entram” no nó sinal contrário às que “saem” do nó (vide Figura. 2.1). A justificativa desta lei é evidente em se considerando que num nó não pode haver acúmulo de cargas elétricas.

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